2020届一轮复习人教A版相似三角形定理与圆幂定理本章整合课件.pptx

1、本章整合专题一专题二专题三专题四专题五专题一利用相似三角形证明等积线段或成比例线段利用相似三角形的性质可以得到等积式或比例式是解决这类问题的基本方法.解决这类问题一般可分为三步:(1)把等积式化为比例式,从而确定相关的两个三角形相似.(2)确定两个相关的三角形的方法是:把比例式横看或者竖看,将两条线段中的相同字母消去一个,由余下的字母组成三角形.(3)设法找到证明这两个三角形相似的条件.专题一专题二专题三专题四专题五提示由条件知ABAC=BDAD,转化为证明BDAD=DFAF,即证FADFDB.证明BAC=90,ADB=90,C=BAD,RtADBRtCAB.ABAC=BDAD.又E是AC的中

2、点,AE=DE=EC.DAE=ADE.BAD=CDE=BDF.又F=F,FDBFAD.BDAD=DFAF,专题一专题二专题三专题四专题五应用2 如图,在ABC中,BAC=90,BC边的垂直平分线EM和AB,CA的延长线分别交于D,E两点,连接AM.求证:AM2=DMEM.专题一专题二专题三专题四专题五证明BAC=90,M是BC的中点,AM=CM,MAC=C.EMBC,E+C=90.又BAM+MAC=90,E=BAM.EMA=AMD,AMDEMA.专题一专题二专题三专题四专题五专题二利用相似三角形证明线段相等证明两条线段相等,一般情况下,利用等角对等边或全等三角形的性质来解决.但有些证明两条线段

3、相等的几何题利用前面的方法得不出来,或过程比较烦琐,此时可以借助相似三角形的有关比例线段来解决.专题一专题二专题三专题四专题五应用3 如图,AD,CF是ABC的两条高,在AB上取一点P,使AP=AD,再从P点引BC的平行线与AC交于点Q.求证:PQ=CF.提示利用相似三角形的性质,并结合AP=AD进行证明.专题一专题二专题三专题四专题五专题一专题二专题三专题四专题五应用4 如图,ABC为直角三角形,ABC=90,以AB为边向外作正方形ABDE,连接EC交AB于点P,过点P作PQ BC交AC于点Q.求证:PQ=PB.提示要证明PQ=PB,直接证明不容易证,可以先证明有关的三角形相似得出比例式,再

4、由等式的性质证明其相等.专题一专题二专题三专题四专题五证明PQ BC,BC AE,PQ AE.CPQ=CEA,CQP=CAE.而由题意,知AE=DE,PQ=PB.专题一专题二专题三专题四专题五专题三平行线分线段的规律性质平行线分线段的相关定理即平行截割定理,其实质是揭示一组平行线在与其相交的直线上截得的线段所呈现的规律.主要用来证明比例式成立,证明直线平行,计算线段的长度,也可以作为计算某些图形的周长或面积的重要方法.专题一专题二专题三专题四专题五应用5 如图,在ABC中,M是AC边的中点,E是AB边上的一点,且AE=AB,连接EM并延长交BC的延长线于点D.求证:BC=2CD.专题一专题二专

5、题三专题四专题五应用6 如图,在ABC中,DEBC,DHGC.求证:EGBH.专题一专题二专题三专题四专题五专题四与圆有关的角的计算与证明圆中的角有四类:圆心角、圆周角、弦切角和弧所对的角,与圆有关的角的计算与证明通常涉及这四类角,因此圆周角定理、圆心角定理和弦切角定理是解决此类问题的知识基础,通常利用圆周角、弦切角、圆心角与弧的关系来转化,并借助圆内接四边形的对角互补和圆的切线垂直于经过切点的半径(获得直角)来解决.专题一专题二专题三专题四专题五专题一专题二专题三专题四专题五应用8 如图,AB是圆O的直径,D,E为圆O上位于AB异侧的两点,连接BD并延长至点C,使BD=DC,连接AC,AE,

6、DE.求证:E=C.证明如图,连接OD,因为BD=DC,O为AB的中点,所以ODAC,于是ODB=C.因为OB=OD,所以ODB=B.于是B=C.因为点A,E,B,D都在圆O上,且D,E为圆O上位于AB异侧的两点,所以E和B为同弧所对的圆周角,故E=B.所以E=C.专题一专题二专题三专题四专题五专题五与圆有关的线段的计算与证明在圆中,解决与圆有关的线段的计算与证明问题时,首先考虑相交弦定理、割线定理、切割线定理和切线长定理,从而获得成比例线段,然后结合射影定理、相似三角形进行等比代换或等线代换加以证明,或列出方程解得线段的长.专题一专题二专题三专题四专题五应用9 如图所示,过O外一点A作一条直

7、线与O交于C,D两点,AB切O于点B,弦MN过CD的中点P.已知AC=4,AB=6,则MPNP=.专题一专题二专题三专题四专题五应用10 在两圆公共弦AB上,任取一点G,过点G作直线交一圆于点C,D,交另一圆于点E,F.求证:CGED=EGCF.提示简单型的比例线段问题,主要是证明两个三角形相似.专题一专题二专题三专题四专题五234156789101.(湖北高考)如图,圆O上一点C在直径AB上的射影为点D,点D在半径OC上的射影为点E.若AB=3AD,则 的值为.23415678910 解析:设AD=2,则AB=6,于是BD=4,OD=1.如图,由射影定理得CD2=ADBD=8,答案:8234

8、156789102.(陕西高考)如图,弦AB与CD相交于O内一点E,过E作BC的平行线与AD的延长线交于点P,已知PD=2DA=2,则PE=.解析:C与A在同一个O中,所对的弧都是 ,则C=A.又PEBC,C=PED.A=PED.又P=P,PE2=PAPD.又PD=2DA=2,234156789103.(北京高考)如图,AB为圆O的直径,PA为圆O的切线,PB与圆O相交于点D,若PA=3,PDDB=916,则PD=,AB=.解析:设PD=9k,则DB=16k(k0).由切割线定理可得PA2=PDPB,234156789104.(湖南高考)如图,在半径为 的O中,弦AB,CD相交于点P,PA=P

9、B=2,PD=1,则圆心O到弦CD的距离为.23415678910解析:如图,取CD中点E,连接OE,OC.由圆内相交弦定理知PDPC=PAPB,所以PC=4,CD=5,234156789105.(天津高考)如图,ABC为圆的内接三角形,BD为圆的弦,且BDAC.过点A作圆的切线与DB的延长线交于点E,AD与BC交于点F.若AB=AC,AE=6,BD=5,则线段CF的长为.23415678910解析:AE为圆的切线,由切割线定理,得AE2=EBED.又AE=6,BD=5,可解得EB=4.EAB为弦切角,且AB=AC,EAB=ACB=ABC.EABC.又BDAC,四边形EBCA为平行四边形.BC

10、=AE=6,AC=EB=4.由BDAC,得ACFDBF,234156789106.(重庆高考)如图,在ABC中,C=90,A=60,AB=20,过C作ABC的外接圆的切线CD,BDCD,BD与外接圆交于点E,则DE的长为.解析:在RtABC中,A=60,AB=20,可得BC=10 .由弦切角定理,可得BCD=A=60.在RtBCD中,可求得CD=5 ,BD=15.又由切割线定理,可得CD2=DEDB,可求得DE=5.答案:5234156789107.(广东高考)如图,AB是圆O的直径,点C在圆O上.延长BC到D使BC=CD,过C作圆O的切线交AD于E.若AB=6,ED=2,则BC=.23415

11、678910解析:如图,连接OC.AB为圆O的直径,ACBC.又BC=CD,AB=AD=6,BAC=CAD.又CE为圆O的切线,则OCCE.ACE为弦切角,ACE=B.ACE+CAD=90.CEAD.又ACCD,CD2=EDAD=26=12,234156789108.(课标全国高考)如图,CD为ABC外接圆的切线,AB的延长线交直线CD于点D,E,F分别为弦AB与弦AC上的点,且BCAE=DCAF,B,E,F,C四点共圆.(1)证明:CA是ABC外接圆的直径;(2)若DB=BE=EA,求过B,E,F,C四点的圆的面积与ABC外接圆面积的比值.23415678910(1)证明因为CD为ABC外接

12、圆的切线,故CDBAEF,所以DBC=EFA.因为B,E,F,C四点共圆,所以CFE=DBC,故EFA=CFE=90.所以CBA=90,因此CA是ABC外接圆的直径.23415678910(2)解:如图,连接CE.因为CBE=90,所以过B,E,F,C四点的圆的直径为CE.由DB=BE,有CE=DC,又BC2=DBBA=2DB2,所以CA2=4DB2+BC2=6DB2.而DC2=DBDA=3DB2,故过B,E,F,C四点的圆的面积与ABC外接圆面积的比值为 .234156789109.(辽宁高考)如图,AB为O的直径,直线CD与O相切于点E,AD垂直CD于点D,BC垂直CD于点C,EF垂直AB于点F,连接AE,BE.证明:(1)FEB=CEB;(2)EF2=ADBC.23415678910证明(1)由直线CD与O相切,得CEB=EAB.由AB为O的直径,得AEEB,从而FEB=EAB.故FEB=CEB.(2)由BCCE,EFAB,FEB=CEB,BE是公共边,得RtBCE RtBFE,所以BC=BF.类似可证:RtADE RtAFE,得AD=AF.又在RtAEB中,EFAB,故EF2=AFBF,所以EF2=ADBC.