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1、1第四节第四节 全微分全微分一一.全微分的定义全微分的定义二二.可微与连续、可偏导之间的关系可微与连续、可偏导之间的关系*三三.全微分在近似计算中的应用全微分在近似计算中的应用机动 目录 上页 下页 返回 结束 2教学目标教学目标 理解全微分的概念理解全微分的概念.掌握函数可微与连续、可偏导之间的关系掌握函数可微与连续、可偏导之间的关系.了解全微分在近似计算中的应用了解全微分在近似计算中的应用.机动 目录 上页 下页 返回 结束 3作业：作业：P34 1,2(单或双单或双),3,4(单或双单或双),6机动 目录 上页 下页 返回 结束 4一元函数一元函数 y=f(x)的微分的微分y=f(x0+

2、x)f(x0)一一.全微分的定义全微分的定义应用应用)(xoxAyxxfy)(d近似计算近似计算估计误差估计误差 二元函数也有类似的问题二元函数也有类似的问题,我们也希望用自变量的改变量和我们也希望用自变量的改变量和线性函数来近似代替函数的全增量线性函数来近似代替函数的全增量,从而我们引入多元函数从而我们引入多元函数全微分的定义全微分的定义机动 目录 上页 下页 返回 结束 5机动 目录 上页 下页 返回 结束 1.全微分的定义全微分的定义例例1 设有一个长为设有一个长为 x、宽为宽为y的矩形金属薄片的矩形金属薄片,则其面积为则其面积为.Sxy 当薄片受温度变化的影响当薄片受温度变化的影响,其

3、长会其长会由由x 变为变为,xx 同时宽会由同时宽会由 y 变为变为,yy 如图如图7.4.1.则该金属薄片面积的全增量为则该金属薄片面积的全增量为xyxyyxxy图图7.4.1.xyxyyxxy()()Sxxyyxy x yy xx y 由于由于 22221,2x yxyxy 则则 622(,)(0,0)lim0 xyx yxy 显然显然,面积的全增量面积的全增量 S 的表达式中包含两部分的表达式中包含两部分:x y 和和 的线性函数的线性函数;x y (,)(0,0)xy第二部分第二部分 是当是当的无穷小量的无穷小量.很小时很小时,就可略去高阶无穷小量就可略去高阶无穷小量从而可用第一部分从

4、而可用第一部分 y xx y 来近似计算面积的全增量来近似计算面积的全增量.S 下面给出二元函数全微分的定义下面给出二元函数全微分的定义机动 目录 上页 下页 返回 结束 y xx y 是是 第一部分第一部分 x yy xSx y 时比时比 22xy 高阶高阶x y 和和 此时在此时在,x y 7定义定义9 设二元设二元函数(,)zf x y 000(,)P xy处的某邻域处的某邻域 在点在点 0000(,)(,)zf xx yyf x y 可表示可表示为为()zA xB y o 其中其中 是只与点是只与点 有关而与有关而与AB、x 000(,)P xy和和y 无关的常数无关的常数,22()(

5、),xy ()o 是当是当 0 时比时比 更高阶的无穷小更高阶的无穷小量量,000(,)P xy则称函数则称函数(,)zf x y 在点在点 可微可微,A xB y 并称并称为为 机动 目录 上页 下页 返回 结束 0()U P内有定义内有定义,如果函数在如果函数在 处的全增量处的全增量000(,)P xy处的处的全微分全微分(total differential).00(,)xy函数函数(,)zf x y 在点在点800(,)dxyzA xB y (7.4.1)由于自变量的改变量等于自变量的微分由于自变量的改变量等于自变量的微分,即即d ,d ,xxyy 从而从而(7.4.1)式可记作式可记

6、作 00(,)dddxyzA xB y (7.4.2)机动 目录 上页 下页 返回 结束 00(,)d,xyz即即 记作记作9定理定理5 如果如果函数函数 z=f(x,y)在点在点 P0(x0,y0)处可微处可微,则则二二.可微与连续、可偏导之间的关系可微与连续、可偏导之间的关系(1)函数函数 z=f(x,y)在在(x0,y0)处处一定一定连续连续.(2)函数函数 z=f(x,y)在在(x0,y0)处处可偏导可偏导,且有且有 0000(,),(,),xyAfxyBfxy 此时此时,函数函数 z=f(x,y)在在(x0,y0)处处的全微分为的全微分为00(,)0000d(,)d(,)d.xyxy

7、zfxyxfxyy机动 目录 上页 下页 返回 结束 10机动 目录 上页 下页 返回 结束 证证(1)因因函数函数 z=f(x,y)在点在点 P0(x0,y0)处可微处可微,所以所以0000(,)(,)()zf xx yyf xyA xB yo (7.4.3)在式在式(7.4.3)中中,令令(,)(0,0),xy 有有(,)(0,0)lim0,xyz 即函数即函数 z=f(x,y)在在(x0,y0)处必连续处必连续.(2)在式在式(7.4.3)中取中取 0,y 此时全增量转化为偏增量此时全增量转化为偏增量0000(,)(,)(),xzf xx yf xyA xox 于是有于是有 000000

8、(,)(,)limlimxxxzf xx yf xyAxx 11同理可得同理可得 000000(,)(,)limlimyyxzf xyyf xyByy 即函数即函数 z=f(x,y)在在(x0,y0)处处可偏导可偏导,且有且有 00(,),xAfxy 00(,).yBfxy 由式由式(7.4.2)可得全微分计算公式可得全微分计算公式00(,)0000d(,)d(,)d.xyxyzfxyxfxyy当函数当函数 z=f(x,y)在在区域区域 D 内每一点都可微时内每一点都可微时,称称 f(x,y)为为 D 内的可微函数内的可微函数.d(,)d(,)d.xyzfx yxfx yy机动 目录 上页 下

9、页 返回 结束 此时此时,函数函数 z=f(x,y)的全微分可表示为的全微分可表示为 12机动 目录 上页 下页 返回 结束 一元函数的可导与可微是等价的一元函数的可导与可微是等价的.但对于多元函数来说但对于多元函数来说,情情形就不同了形就不同了.当函数的各偏导数都存在时当函数的各偏导数都存在时,虽然能形式地写出虽然能形式地写出 ,zzxyxy 但它与但它与 z 之差并不一定就是较之差并不一定就是较 高阶的无穷小高阶的无穷小,因而函数在一点可偏导只是它在该点可因而函数在一点可偏导只是它在该点可微的必要条件微的必要条件,而不是充分条件而不是充分条件.即它不一定即它不一定是该函数的全微分是该函数的

10、全微分.例如例如:函数函数222222000,(,),xyxyxyf x yxy13由第三节例由第三节例4知知可偏导可偏导,但不连续但不连续.且且,0)0,0()0,0(yxff)0,0()0,0(yfxfzyx因此因此,函数在点函数在点(0,0)不可微不可微.)(o22)()(yxyx22)()(yxyx22)()(yxyx0而而13机动 目录 上页 下页 返回 结束 即即偏导数存在函数偏导数存在函数 不一定可微不一定可微 !为什么二元函数的两个偏导数存在不能保证其连续为什么二元函数的两个偏导数存在不能保证其连续,更不更不能可保证其可微呢？能可保证其可微呢？14y 轴特定方向变化时的性质轴特

11、定方向变化时的性质,却没有刻画按任何方式变化时的却没有刻画按任何方式变化时的整体性质整体性质,而函数沿任意指定方向的变化率问题是属于方向导而函数沿任意指定方向的变化率问题是属于方向导数问题数问题,再次不做赘述再次不做赘述,有兴趣的读者可参考其他相关资料有兴趣的读者可参考其他相关资料 事实上事实上,由于二元函数的偏导数只是刻画了函数沿由于二元函数的偏导数只是刻画了函数沿x 轴或轴或y 轴特定方向变化时的性质轴特定方向变化时的性质,却没有刻画按任何方式变化时的却没有刻画按任何方式变化时的整体性质整体性质,而函数沿任意指定方向的变化率问题是属于方向导而函数沿任意指定方向的变化率问题是属于方向导数问题

12、数问题,再次不做赘述再次不做赘述,有兴趣的读者可参考其他相关资料有兴趣的读者可参考其他相关资料 15机动 目录 上页 下页 返回 结束 下面我们给出二元函数可微下面我们给出二元函数可微(即全微分存在即全微分存在)的一个充分条的一个充分条件件.定理定理6(可微的充分条件可微的充分条件)如果函数如果函数 z=f(x,y)在在点点 P(x,y)处的某邻域处的某邻域 U(P)内可偏导内可偏导,且偏导数且偏导数 (,),(,)xyfx yfx y都在都在点点(x,y)处连续处连续,则函数则函数 f(x,y)在在点点(x,y)处可微处可微.证证 由题设知由题设知,函数的偏导数函数的偏导数(,),(,)xy

13、fx yfx y在在点点 P(x,y)处的某邻域处的某邻域U(P)内存在内存在,设点设点(,)xx yy 为这邻域内任一为这邻域内任一16(,)(,(,)(,)f x yyf x yyf xx yyf x y (,)(,)zf xx yyf x y 由拉格朗日中值定理由拉格朗日中值定理,得得(,)(,)xyzfx yxfx yy 0000(lim0,lim0)xxyy 机动 目录 上页 下页 返回 结束 点点,则函数的全增量为则函数的全增量为 12(,)(,)xyzfxx yyxfx yyy 1201(,)再由再由偏导数偏导数(,),(,)xyfx yfx y在点在点(x,y)处的连续性处的连

14、续性,有有17(,)(,)()xyzfx yxfx yyo 所以函数所以函数 f(x,y)在点在点(x,y)处可微处可微.xy ,则有则有(,)(,)xyzfx yxfx yy 0000(lim0,lim0)xxyy (,)(,)xyfx yxfx yyxy 0 xy 而而综上所述综上所述,二元函数二元函数 z=f(x,y)在点在点(x,y)处的全微分、偏导处的全微分、偏导 数、连续及极限之间的关系如下所示数、连续及极限之间的关系如下所示(表示表示“不一定不一定”):机动 目录 上页 下页 返回 结束 18机动 目录 上页 下页 返回 结束 偏导数连续偏导数连续 可微分可微分 连续连续 极限存

15、在极限存在偏导数存在偏导数存在以上关于二元函数全微分的定义及相关的结论均可推广到以上关于二元函数全微分的定义及相关的结论均可推广到 二元以上的多元函数二元以上的多元函数.(,)uf x y z 例如例如,三元函数三元函数 的全微分是的全微分是 d(,)d(,)d(,)dxyzufx y zxfx y zyfx y zz192(),yxzyexx 1yxzeyx 1122110.20.2dddxxyyxxyyzzzxyxy 解解 因为因为则则 yxze 时的全时的全例例2 求函数求函数 在点在点(1,2)处当处当 1,0.2xy 机动 目录 上页 下页 返回 结束 所以所以 22(1,2)(1,

16、2)2,.zzeexy 微分微分.22221(0.2)2.2.eee 20(1),xyzxyzuxzxz exzey (1),xyzxyzuyzyz eyzex (1)xyzxyzuxyxy exyez 机动 目录 上页 下页 返回 结束 所以所以()()xyzdu=1+eyzdx+xzdy+xydz例例3求函数求函数 xyzuxyze的全微分的全微分.解解 因为因为21三三*.全微分在近似计算中的应用全微分在近似计算中的应用由由全微分的定义可知全微分的定义可知,若函数若函数 z=f(x,y)在在点点(x,y)处可微处可微,都很小时都很小时,有有();z dzo y 和和并且当改变量并且当改变

17、量x 故可用故可用全微分全微分 dz 近似表示函数的全增量近似表示函数的全增量,z 即即 0000(,)(,)zf xx yyf x y 由此由此,我们就可得到两个近似计算公式我们就可得到两个近似计算公式:机动 目录 上页 下页 返回 结束 0000d(,)(,)xxzf x yxf x yy 0000(,)(,)xyfxyxfxyy zdz (7.4.4)(可用于近似计算可用于近似计算;误差分析误差分析)2200000000(,)(,)(,)(,)xxf xx yyf x yf x yxf x yy 和和(7.4.5)(可用于近似计算可用于近似计算)例例4 计算计算 1.98(1.01)的近

18、似值的近似值 解解 这是求函数值的近似值问题这是求函数值的近似值问题.2 0.02(1.01,1.98)(10.01)f 的近似值的近似值.(),yf x,yx 设函数设函数则该问题等价于求则该问题等价于求 机动 目录 上页 下页 返回 结束 取取 001,2,0.01,0.02,xyxy 因为因为 231(1,2)(1,2)2,yxfyx (1,2)(1,2)ln0,yyfxx (1,2)1f(1.01,1.98)(1,2)(1,2)(1,2)xyfffxfy 所以所以1 2 0.01 0(0.02)1.02 机动 目录 上页 下页 返回 结束 即即 1.98(1.01)1.02 例例5 一

19、圆柱形的封闭铁桶一圆柱形的封闭铁桶,内半径为内半径为5cm,内髙为内髙为12cm,壁壁厚均为厚均为0.2cm,计算制作这个铁桶所需材料的体积大约是多少计算制作这个铁桶所需材料的体积大约是多少?24 解解 这是求函数的全增量问题这是求函数的全增量问题.设圆柱体的半径为设圆柱体的半径为r,高为高为 h,则体积为则体积为2Vr h 机动 目录 上页 下页 返回 结束 且且 22,VVrhrrh 则则 dVVVrhrh 下面用全微分求全增量下面用全微分求全增量 V 的近似值的近似值.23(2 5 12 0.2 50.4)34106.8VdVcm 故制作这个铁桶所需材料的体积大约为故制作这个铁桶所需材料

20、的体积大约为 3106.8.cm22 rh rrh 25机动 目录 上页 下页 返回 结束 内容小结内容小结1.微分定义微分定义:),(yxfz zyyxfxyxfyx),(),(zdyyxfxyxfyxd),(d),(22)()(yx2.重要关系重要关系:)(o函数可导函数可导函数可微函数可微偏导数连续偏导数连续函数连续函数连续26机动 目录 上页 下页 返回 结束 3.微分应用微分应用 近似计算近似计算*估计误差估计误差zyyxfxyxfyx),(),(),(yyxxfyyxfxyxfyx),(),(),(yxf(可用于近似计算可用于近似计算;误差分析误差分析)(可用于近似计算可用于近似计

21、算)27机动 目录 上页 下页 返回 结束 思考练习思考练习1.函数函数 z=f(x,y)在在点点),(00yx可微的充分条件是可微的充分条件是()在在(x0,y0)的某邻域内存在的某邻域内存在;(,)(,)xyzfx yxfx yy 22(,)(,)()()xyzfx yxfx yyxy D(A)函数函数 f(x,y)在在(x0,y0)处连续处连续.(,),(,)xyfx yfx y(B)(C)220()()xy 时时当当是无穷小量是无穷小量;(D)220()()xy 时时当当是无穷小量是无穷小量;280 0 00 0 00 0 00 0 0(,)d(,)d(,)d(,)dyyzffxfyfz 2.设设,coscoscos1coscoscos),(zyxxzzyyxzyxf.d)0,0,0(f求解解 因因0 03(,)cosxf xx 0 0 003(,)cosxxfxx 41利用轮换对称性利用轮换对称性,可得可得41)0,0,0()0,0,0(zyff)dd(d41zyx注意注意:x,y,z 具有具有 轮换对称性轮换对称性 机动 目录 上页 下页 返回 结束