紧致空间课件学习培训模板课件.ppt

1、7.1 紧致空间7.2 紧致性与分离性公理7.4 几种紧致性以及其间的关系7.3 n维欧氏空间Rn 中的紧致子集7.5 度量空间中的紧致性7.6 局部紧致空间，仿紧致空间7.1 紧致空间紧致空间 定义定义7.1.1 设设X是一个拓扑空是一个拓扑空间如果间如果X的每一个开覆盖有一个的每一个开覆盖有一个有限子覆盖，则称拓扑空间有限子覆盖，则称拓扑空间X是一是一个紧致空间个紧致空间每一个紧致空间都是每一个紧致空间都是Lindelff空间空间.但反之不然，但反之不然，例如包含着无限但可数个例如包含着无限但可数个点的离散空间是一个点的离散空间是一个Lindelff空间空间,但它不是一个紧致空间但它不是一

2、个紧致空间 定义定义7.1.2 设设X是一个拓扑是一个拓扑空间，空间，Y是是X中的一个子集中的一个子集.如果如果Y作为作为X的子空间是一个紧致空的子空间是一个紧致空间，则称间，则称Y是拓扑空间是拓扑空间X的一个的一个紧致子集紧致子集 定理定理7.1.1 设设X是一个拓扑是一个拓扑空间，空间，Y是是X中的一个子集中的一个子集则则Y是是X的一个紧致子集当且仅的一个紧致子集当且仅当每一个由当每一个由X中的开集构成的中的开集构成的Y的覆盖都有有限子覆盖的覆盖都有有限子覆盖YX证明：必要性证明：必要性 设设Y是拓扑空间是拓扑空间X中中的一个紧致子集，的一个紧致子集，A 是是Y的一个覆盖，的一个覆盖，它由

3、它由X中的开集构成中的开集构成则则 也是也是Y的一个覆的一个覆盖且由盖且由Y中的开集构成中的开集构成.由于由于Y是是X的一的一个紧致子集个紧致子集,从而从而 有一个有限子覆有一个有限子覆盖盖,设为设为 .|A =A AY AA 12,nAY AYAY故A 有限子族 覆盖Y.充分性充分性 设每一个由X的开集构成的Y的覆盖都有一个有限子覆盖.12,nA AAYXA设设A 是是Y的一个开覆盖，则对于的一个开覆盖，则对于每一个每一个 存在存在X中的一个开中的一个开集集 ,使得使得 .从而从而 是由是由X中的开中的开集集构成的构成的Y的一个覆盖的一个覆盖,所以有一个所以有一个有限子覆盖，设为有限子覆盖，

4、设为易见易见A 的子族的子族 覆盖覆盖Y.AAAUAAUYA =|AAUA1,nAAUU1,nAA 定义定义7.1.3 设设A 是一个集是一个集族如果族如果A 的每一个有限子族的每一个有限子族都有非空的交都有非空的交(即如果即如果 是是A 的的一个有限子族一个有限子族,则则 )，则称则称A 是一个是一个具有有限交性质具有有限交性质的集族的集族1 A1 AAA 定理定理7.1.2 设设X是一个拓扑是一个拓扑空间则空间则X是一个紧致空间当是一个紧致空间当且仅当且仅当X中的每一个具有有限中的每一个具有有限交性质的闭集族都有非空的交交性质的闭集族都有非空的交.定理定理7.1.3 设设B 是拓扑空间是拓

5、扑空间X的一个基，并且的一个基，并且X的由的由B 中的中的元素构成的每一个覆盖有一个元素构成的每一个覆盖有一个有限子覆盖则有限子覆盖则X是一个紧致空是一个紧致空间间 定理定理7.1.4 设设X 和和Y是两个是两个拓扑空间，拓扑空间，是一个连是一个连续映射如果续映射如果A是是X的一个紧致的一个紧致子集，则子集，则 是是Y 的一个紧致子的一个紧致子集集.:fXY()f A 定理定理7.1.6 每一个拓扑空间每一个拓扑空间必定是某一个紧致空间的开子空必定是某一个紧致空间的开子空间间紧致空间常见问题：有限个紧致子集的并集是否紧致子集？两个紧致子集的交是不是紧致子集？任何一族紧致闭子集的交是否紧致子集？（习题（习题4）（习题（习题5）作业:4，10