大学解析几何课件.ppt

1、第一章第一章 向量与坐标向量与坐标1.1 向量的概念向量的概念1.3 数乘向量数乘向量1.2 向量的加法向量的加法1.4 向量的线性关系与向量的分解向量的线性关系与向量的分解1.6 向量在轴上的射影向量在轴上的射影 1.5 标架与坐标标架与坐标1.7 向量的数量积向量的数量积1.9 三向量的混合积三向量的混合积1.8 两向量的向量积两向量的向量积1.10 三向量的双重向量积三向量的双重向量积 量的分类：标量、向量（矢量）、张量等1.1 1.1 向量的概念向量的概念定义 集合 相互关系 定义定义1.1.1 既有大小又有方向的量叫做既有大小又有方向的量叫做向量向量，或称，或称矢量矢量.向量的几何表

2、示：向量的几何表示：|a21MM|向量的模：向量的模：向量的大小向量的大小.或或以以1M为为起起点点，2M为为终终点点的的有有向向线线段段.a21MM或或有向线段有向线段有向线段的方向表示向量的方向有向线段的方向表示向量的方向.有向线段的长度表示向量的大小有向线段的长度表示向量的大小,1M2M a1.1 1.1 向量的概念向量的概念返回下一页所有的零向量都相等所有的零向量都相等.ab模为模为1 1的向量的向量.零向量：零向量：模为模为0 0的向量的向量.0单位向量：单位向量：120 M Meaae或或 定义定义1.1.21.1.2 如果两个向量的模相等且方向相同，那么如果两个向量的模相等且方向

3、相同，那么叫做叫做相等向量相等向量.记为记为ba 定义定义1.1.31.1.3 两个模相等，方向相反的向量叫做互为两个模相等，方向相反的向量叫做互为反向量反向量.BA.AB 与互为反向量aa的反向量记为a a上一页下一页返回自由向量自由向量.固定向量固定向量零向量与任何共线的向量组共线零向量与任何共线的向量组共线.定义定义1.1.41.1.4 平行于同一直线的一组向量叫做平行于同一直线的一组向量叫做共线共线向量向量.定义定义1.1.5 1.1.5 平行于同一平面的一组向量叫做平行于同一平面的一组向量叫做共面共面向量向量.零向量与任何共面的向量组共面零向量与任何共面的向量组共面.上一页返回注：并

4、不是所有的有向线段都表示向量，注：并不是所有的有向线段都表示向量，如刚体的有限转动。如刚体的有限转动。注：在不作声明的前提下注：在不作声明的前提下,所说的向量都是自由向量所说的向量都是自由向量./abxzyxzyO间点为点以以 空空任任 意意 一一始始,OAaABbOAB 连，线，接接作作向向量量得得一一折折 aab ab设，义、已已知知向向量量定定1 1.2 2.1 1 .abcab两记叫叫做做向向量量的的和和，做做与 ,OOBc 从线点点折折的的端端到到另另一一端端B B的的向向量量 bc1.2 1.2 向量的加法向量的加法为什么是这样定义，而不是其它的？.abba cbacba )().

5、(cba .0)(aaa+0=a.abababcabcabc12,na aa 个则广有有限限向向量量相相加加可可由由向向量量的的三三角角形形求求和和法法推推:O点开自自任任意意始始，111221,nnnOAaA AaAAa 依依次次引引,12 nOA AA线由此得一折,12 ,nnOAanaaa 个于于是是向向量量就就是是向向量量的的和和，1121.nnOAOAA AAA 即即1a4a 2a 1nac3a 义定定1 1.2 2.2 2 bcabca当时向向量量与与向向量量的的和和等等于于向向量量，即即，cab们我我把把向向量量叫叫做做向向量量与与的的差差，.cab记并并做做)(baba aba

6、-bOBBAOA a bab，已已知知向向量量，如如何何作作出出？OOAa OBb 间点，自自空空任任意意引引向向量量BAOAOB abBAab 为那那么么向向量量即即所所作作.a bababab 对两，于于任任意意的的向向量量，有有下下列列不不等等式式 abb b cbabac )(ba ba ab上一页下一页返回这个不等式还这个不等式还可以推广到任意这个不等式还这个不等式还可以推广到任意有限多个向量的情况：有限多个向量的情况：1212.nnaaaaaa.a bababab 对两，于于任任意意的的向向量量，有有下下列列不不等等式式 1,.a bc 例设互不共线的三矢量与，试证明顺次将它们的终

7、点与始点相连而成一个三角形的充要条件是它们的和是零矢量,0,0a b cABCABaBCb CAcABBCCAAAabc 证 必要性 设三矢量，可以构成三角形，即有，那么即0,0,.abcABa BCbACabACccACcCAa b cABC 充分性 设，作那么所以从而 是的反矢量，因此，所以，可构成一个三角形ABC上一页返回,0)1(a 与与a同同向向，|aa ,0)2(0 a,0)3(a 与与a反反向向，|aa aa2a21 1.3.1,00.定义实数 与向量 的乘积是一个向量，记做它的模是；的方向，当时与 相同，当时与相反我们把这种运算叫做数量与向量的乘法，简称为数乘aaaaaaa1.

8、3 1.3 数乘向量数乘向量下一页返回定理定理1.3.1 数与向量的乘积符合下列运算规律：数与向量的乘积符合下列运算规律：（2 2）结合律：）结合律：)()(aa a)(（3 3）第一分配律：）第一分配律：aaa )(baba )(0.ababa设向量，那么向量平行于的充分必要条件是：存在唯一的实数，使定定理理两个向量的平行关系两个向量的平行关系（4 4）第二分配律：）第二分配律：上一页下一页返回1 aa证证充分性显然；充分性显然；必要性必要性ab设设,ab 取取取取正正值值，同同向向时时与与当当 ab取取负负值值，反反向向时时与与当当 ab.ab 即即有有.同同向向与与此此时时ab aa 且

9、且aab.b.的的唯唯一一性性，设设ab ，又又设设ab 两式相减，得两式相减，得，0)(a ，即即0 a ，0 a，故故0 .即即上一页下一页返回同同方方向向的的单单位位向向量量，表表示示与与非非零零向向量量设设aea按照向量与数的乘积的规定，按照向量与数的乘积的规定，aeaa|.|aeaa 上式表明：一个非零向量除以它的模的结果是一个与上式表明：一个非零向量除以它的模的结果是一个与原向量同方向的单位向量原向量同方向的单位向量.上一页下一页返回0.aaa 单单记与与 同同方方向向的的位位向向量量叫叫做做的的位位向向量量，做做证明方法证明方法,是根据可能出现的情况是根据可能出现的情况,证明等式

10、两边的向量长度相等证明等式两边的向量长度相等与方向相同与方向相同.1)设设a与与b为共线向量：为共线向量：2)设设a与与b不共线不共线.空间解析几何空间解析几何090610.pdf我们对规律我们对规律4 给出证明给出证明.baba )(例例1 1 设设AM是三角形是三角形ABC的中线，求证的中线，求证:证证 1()2AMABAC 如图如图 因为,AMABBM AMACCM 2()(),AMABACBMCM 所以 但 0,BMCMBMMB 因而 2AMABAC 即 1()2AMABAC ABCM(图1.11)上一页下一页返回例例2 2 用向量方法证明：联结三角形两边中点的线段平用向量方法证明：联

11、结三角形两边中点的线段平行于第三边且等于第三边的一半行于第三边且等于第三边的一半.证证设设ABC两边两边AB，AC之中点分别为之中点分别为M，N，那么，那么MNANAM 1122ACAB 1()2ACAB 12BC 所以所以/MNBC 且且12MNBC 上一页返回BCMNA12,nA AAM120;nMAMAMA O12nOAOAOAnOM 1、对于任意取定的点组、对于任意取定的点组证明：（证明：（1）存在唯一的点）存在唯一的点，使得，使得（2）对于任意的点）对于任意的点 有有，.1.4 1.4 向量的线性关系与向量的分解向量的线性关系与向量的分解1e2e r3e2e 1er 0 10 1 O

12、ABOA=a OB=bMNOAOBOM=aON=bANBMPOP=pab 、别，两边点设试、线组 已 已知知三三角角形形，其其中中,而,而 分分是是三三角角形形上上的的，且且有有，与与相相交交于于，把把向向量量 分分解解成成的的例例性性1 1合合.,ONBPAMap bba 例例2 证明四面体对边中点的连线交于一点，且互相平分证明四面体对边中点的连线交于一点，且互相平分.ABCDEFP1e1e2e3.,.,3211321321321关系式关系式线性表示的线性表示的，用用先求先求取不共面的三向量取不共面的三向量就可以了就可以了三点重合三点重合下只需证下只需证两组对边中点分别为两组对边中点分别为其

13、余其余它的中点为它的中点为线为线为的连的连的中点的中点对边对边一组一组设四面体设四面体证证eeeAPeADeACeABPPPPPPEFFECDABABCD 上一页下一页返回),(211AFAEAP 连接连接AF，因为，因为AP1是是AEF AEF 的中线，所以有的中线，所以有 又因为又因为AF1是是ACD ACD 的中线，所以又有的中线，所以又有),(21)(2132eeADACAF ,21211eABAE 而而),(41)(2121213213211eeeeeeAP 从从而而得得)3,2(),(41321 ieeeAPi同同理理可可得得321APAPAP所所以以.,321三三点点重重合合，命

14、命题题得得证证从从而而知知PPP上一页下一页返回例例4 4 设设 为两不共线向量，证明为两不共线向量，证明 ,a b bbaau11bbaav22共线的充要条件是共线的充要条件是 02121bbaa上一页下一页返回证证 共线 vu,vu,线性相关，即存在不全为0的实数,使 0vu即 0)()(2121bbbaaa又因为 不共线 ,a b,a b 线性无关 002121bbaa有唯一零解 02121bbaa上一页返回例例3 3 1231231 12 23 31231,2,3,0,=0.设试证三点共线的充要条件是存在不全为零的实数使得且 iiOPr iP P Prrr上一页下一页返回1 rO2P3

15、P1P2r3r定理定理 设设A,B是不同的两点是不同的两点,则点则点C在直线在直线AB上的充要条件是对空间上的充要条件是对空间中任取不在直线上的点中任取不在直线上的点O,存在惟一的一对实数存在惟一的一对实数m,n,使得使得且且m+n=1.而而C在线段在线段AB上的充要条件是上的充要条件是 且上述关系成且上述关系成立立.空间解析几何空间解析几何090610.pdfOCmOAnOB 0,0,mn3e2e 1e3e2e 1er3e2e 1e 1.5 1.5 标架与坐标标架与坐标1e3e2e 1e3e2e 3e2e 1erkjOix3e2e O1eyzxyozxoy面面yoz面面zox面面坐标系共分坐

16、标系共分八个卦限八个卦限xyoz 卦限坐标xyz 卦限坐标xyz 卦限坐标xyz 卦限坐标xyz 卦限坐标xyz 卦限坐标xyz 卦限坐标xyz 卦限坐标xyz 卦限坐标xyz 卦限坐标xyz 卦限坐标xyz 卦限坐标xyz 卦限坐标xyz 卦限坐标xyz 卦限坐标xyz 卦限坐标xyz 卦限坐标xyz 卦限坐标xyz 卦限坐标xyz 卦限坐标xyz 卦限坐标xyz 卦限坐标xyz 卦限坐标xyz 卦限坐标xyz 卦限坐标xyz空间的点空间的点有序数组有序数组),(zyx 11),(zyxM xyzo)0,0,(xP)0,0(yQ),0,0(zR)0,(yxA),0(zyB0C(x,z)点点M

17、 的坐标，记为的坐标，记为 (,)M x y zxyzo)0,0,(xP)0,0(yQ),0,0(zR),(zyxM xyzoijkrOMr kzj yixr 称为向量称为向量 的的坐标分解式坐标分解式.rN.,kzORj yOQixOP 设设NMPNOPOROQOP),(zyxaaaa ),(zyxbbbb ),(zzyyxxbabababa ),(zzyyxxbabababa ),(zyxaaaa ;)()()(kbajbaibazzyyxx ;)()()(kbajbaibazzyyxx .)()()(kajaiazyx 上一页下一页返回定理定理1.5.4 已知两个非零向量111,a xy

18、z222,b xyz则则,a b 共线的充要条件是共线的充要条件是 111222xyzxyz定理定理1.5.5 已知三个非零向量111,a xyz222,b xyz，则，则,a b c 共面的充要条件是共面的充要条件是 333,c xyz1112223330 xyzxyzxyz上一页返回三点共线的充要条件是三点共线的充要条件是？四点共面的充要条件是四点共面的充要条件是？空间解析几何空间解析几何090610.pdf解解),(111zzyyxxOAOMAM ),(222zzyyxxOMOBMB 设设),(zyxM为直线上的点，为直线上的点，定理定理 1.5.6 设设),(111zyxA和和),(2

19、22zyxB为两已知点，而在为两已知点，而在AB直线上的点直线上的点M分有向线段分有向线段AB为两部分为两部分AM、MB，使它们的值的比等于某，使它们的值的比等于某数数)1(，即，即 MBAM，求分点坐标，求分点坐标.ABMxyzo线段的定比分点坐标线段的定比分点坐标上一页下一页返回由题意知：由题意知：MBAM ),(111zzyyxx ),(222zzyyxx 1xx )(2xx 1yy )(2yy 1zz )(2zz ,121 xxx,121 yyy,121 zzzM为为有有向向线线段段AB的的定定比比分分点点.M为为中中点点时时，,221xxx ,221yyy .221zzz 上一页下一

20、页返回1ezxy1P3P2P2e3e2M1M3MG123,1,2,3iiiiPxyziPP P顶点为，条线点标 已已知知三三角角形形三三求求的的重重心心（即即三三角角形形三三中中的的公公共共 ）的的坐坐例例.AA 1.6 1.6 向量在轴上的射（投）影向量在轴上的射（投）影ABA B ePrlxj AB 或 lABA B 1B向量间夹角的向量间夹角的规定规定定理定理1.6.11.6.1的说明：的说明：射影为正；射影为正；射影为负；射影为负；射影为零；射影为零；uabc(4)相等向量在同一轴上射影相等；相等向量在同一轴上射影相等；(1)0,2(2)2,(3),2 上一页下一页返回AA BB CC

21、 lab例例 设设kjim853 ，kjin742 ，kjip45 ，求向量，求向量pnma 34在在x轴轴上的上的射射影及在影及在y轴上的分向量轴上的分向量.解解pnma 34)853(4kji )742(3kji )45(kji ,15713kji 在在y轴轴上上的的分分向向量量为为j7.上一页返回xyzoP aNijk 一一物物体体在在常常力力F作作用用下下沿沿直直线线从从点点1M移移动动到到点点2M，以以s表表示示位位移移，则则力力F所所作作的的功功为为 cos|sFW(其其中中 为为F与与s的的夹夹角角)启示启示实例实例两向量作这样的运算两向量作这样的运算,结果是一个数量结果是一个数

22、量.FM1M2s 1.7 1.7 两矢量的数量（性）积两矢量的数量（性）积下一页返回ab,Prcos|bjba ,Prcos|ajab ajbbabPr|.Pr|bjaa 数量积也称为数量积也称为“点积点积”、“内积内积”.结论结论 两向量的数量积等于其中一个向量的模和另一两向量的数量积等于其中一个向量的模和另一个向量在这向量的方向上的投影的乘积个向量在这向量的方向上的投影的乘积.向向量量a与与b的的数数量量积积记记为为ba cos|baba 定义定义上一页下一页返回关于数量积的说明：关于数量积的说明：0)2(ba.ba)(,0 ba,0|a,0|b,0cos .ba.|)1(2aaa )(,

23、ba ,0cos .0cos|baba,0 .|cos|2aaaaa 证证证证 ,2,2 )0,0(ba上一页下一页返回数量积符合下列运算规律：数量积符合下列运算规律：（1 1）交换律）交换律：;abba （2 2）分配律）分配律：;)(cbcacba ),()()(bababa 若若 、为数为数：).()()(baba （3 3）若）若 为数为数：上一页下一页返回P39-40 例例1、2、3空间解析几何空间解析几何090610.pdf,kajaiaazyx kbjbibbzyx 设设 ba)(kajaiazyx )(kbjbibzyx ,kji ,0 ikkjji,1|kji.1 kkjji

24、izzyyxxbabababa 数量积的坐标表达式数量积的坐标表达式上一页下一页返回 cos|baba ,|cosbaba 222222coszyxzyxzzyyxxbbbaaabababa 两向量夹角余弦的坐标表示式两向量夹角余弦的坐标表示式 ba0 zzyyxxbababa由此可知两向量垂直的充要条件为：由此可知两向量垂直的充要条件为：上一页下一页返回解解ba)1(2)4()2(111 .9 222222cos)2(zyxzyxzzyyxxbbbaaabababa ,21 ajbbabPr|)3(.3|Pr bbaajb .43 上一页下一页返回证证cacbbca )()()()(cacb

25、cbca )(cacabc 0 cacbbca )()(上一页下一页返回xyzo)0,0,(xP)0,0(yQ),0,0(zR),(zyxM rNOMr 由勾股定理由勾股定理rOM 222OROQOP.,kzORj yOQixOP 由由,zORyOQxOP 有有222zyxr 向量模的坐标表示式向量模的坐标表示式OROQOP向量的模与空间两点间距离公式向量的模与空间两点间距离公式上一页下一页返回xyzo),(222zyxB),(111zyxA),(111zyxA设设),(222zyxB为空间两点为空间两点.?ABdOAOBAB 由由),(),(111222zyxzyx ),(121212zzy

26、yxx 212212212zzyyxxAB 空间两点间距离公式空间两点间距离公式ABd 上一页下一页返回空间两向量的夹角的概念：空间两向量的夹角的概念：,0 a,0 bab),(ba ),(ab 类似地，可定义类似地，可定义向量与一轴向量与一轴或或空间两轴空间两轴的夹角的夹角.特殊地，当两个向量中有一个零向量时，规定它们的特殊地，当两个向量中有一个零向量时，规定它们的夹角可在夹角可在0与与 之间任意取值之间任意取值.0()方向角与方向余弦的坐标表示式上一页下一页返回非零向量非零向量 的的方向角方向角：r非零向量与三条坐标轴的正向的夹角称为非零向量与三条坐标轴的正向的夹角称为方向角方向角.、,0

27、 ,0 .0 xyzo M 上一页下一页返回由图分析可知由图分析可知 cos|rx cos|ry cos|rz向量的方向余弦向量的方向余弦方向余弦通常用来表示向量的方向方向余弦通常用来表示向量的方向.),(zyxOMr 设设xyzo),(zyxM 上一页下一页返回0222 zyx当当 时，时，,cos222zyxx ,cos222zyxy .cos222zyxz 向量方向余弦的坐标表示式向量方向余弦的坐标表示式上一页下一页返回1coscoscos222 方向余弦的特征方向余弦的特征re|rr).cos,cos,(cos 上式表明，以向量上式表明，以向量 的方向余弦为坐标的向量就是与的方向余弦为

28、坐标的向量就是与 同方向的单位向量同方向的单位向量 rr.re rzryrx,上一页返回有向角的概念有向角的概念P35,（P32）空间解析几何空间解析几何090610.pdf例例5,P45(P19)空间解析几何空间解析几何090610.pdf1.引例引例 设设O点为一杠杆的支点点为一杠杆的支点,力力F作用于杠杆上作用于杠杆上点点P处处,求力求力 F对支点对支点O的力矩的力矩.根据物理学知识根据物理学知识,力力F对点对点 O的力矩是向量的力矩是向量M,其大其大小为小为|sinMdOP FF|sinF dFOP.其中其中d为支点为支点O到力到力F的作用线距的作用线距离离,为矢量为矢量F与与OP 的

29、夹角的夹角.力矩力矩M的方向规定为：的方向规定为：OP,F,M依次符合依次符合右手螺旋法则右手螺旋法则.O F d P 1.8 1.8 两向量的向量积两向量的向量积下一页返回因此因此,力矩力矩 M是一个与向量是一个与向量OP和向量和向量 F有关的有关的向量向量,其大小为其大小为|sinOPF,其方向满足：（其方向满足：（1 1）同时垂）同时垂直于向量直于向量OP和和 F；（；（2 2）向量）向量 OP,F,M依次符合右依次符合右手螺旋法则手螺旋法则.2 2 向量积的定义向量积的定义 定义定义1 1 两个向量两个向量a和和b的叉积（也称为向量积）的叉积（也称为向量积）是一个向量是一个向量,记作记

30、作 ab,并由下述规则确定：并由下述规则确定：（1 1）sin(,)aba ba b （2 2）ab的方向规定为的方向规定为:注：注：ab既垂直于既垂直于 a又垂又垂 直于直于b,并且按顺序并且按顺序 ,a b ab符符 合右手螺旋法则合右手螺旋法则.b a c=a b 上一页下一页返回若把若把a,b的起点放在一起的起点放在一起,并以并以a,b为邻边作平行四边形为邻边作平行四边形,则向量则向量a与与b叉积的模叉积的模 sinaba b 即为该平行四边形的面积即为该平行四边形的面积.（1 1）abba （反交换律）（反交换律）;（2 2）()abcbaca（左分配律）（左分配律）;（3 3）()

31、abcacbc（右分配律）（右分配律）;证明证明P49P49 （4 4）abab 向量向量积的运算规律：积的运算规律：a b a b 上一页下一页返回P21空间解析几何空间解析几何090610.pdfca1a c0a2c0ca baa+b1b11ba 0cb 0)(cba (a+b)ca c1a11ba 1a1bc0.b c例例 试证试证:0iijjkkaa.证证 只证只证0aa，因为，因为 a与与a平行（即共线）平行（即共线）,所以其夹角所以其夹角0或或 ,从而从而sin0,因此因此|sin0aaaa,而模为而模为0的向量为零向量的向量为零向量,所以所以 0aa.定理定理 两个非零向量平行的

32、充分必要条件是它们的两个非零向量平行的充分必要条件是它们的向向量量积为零向量积为零向量.上一页下一页返回例例2 证明证明2222 aba bab为了便于记忆为了便于记忆,可将可将 ab表示成一个三阶行列式表示成一个三阶行列式,计计算时算时,只需将其按第一行展开即可，只需将其按第一行展开即可，即即 123113abaaabbbijk.上一页返回 23323 11 31 22 1()()()a ba ba ba ba ba babijk.设设123aaaaijk,123bbbbijk,注意到注意到 0i ijjkkaa,ijk,jki,kij 应用应用向量向量积的运算规律可得积的运算规律可得 向量

33、积的坐标表示向量积的坐标表示 1.9 1.9 三向量的混合积三向量的混合积bc a baS=|a b|hh ac a bb.h ac a bb.其混合积（其混合积（abc）=0三矢三矢 a,b,c共面共面因此，因此，P25空间解析几何空间解析几何090610.pdf 已已知知2 cba，计计算算)()()(accbba .解解)()()(accbba )()accbbbcaba ccbcccacba )(0)()(acbaacaaba )(0)()(0 0 0 0 cba )(cba )(22cba.4 例例上一页下一页返回解解由由立立体体几几何何知知，四四面面体体的的体体积积等等于于以以向向

34、量量AB、AC、AD为为棱棱的的平平行行六六面面体体的的体体积积的的六六分分之之一一.61ADACABV ,121212zzyyxxAB 上一页下一页返回,131313zzyyxxAC ,141414zzyyxxAD 14141413131312121261zzyyxxzzyyxxzzyyxxV 式中正负号的选择必须和行列式的符号一致式中正负号的选择必须和行列式的符号一致.上一页返回定义定义1.10.1.对空间中的三个向量对空间中的三个向量,先作其中两个向量的外积得一向量先作其中两个向量的外积得一向量,再将再将所得向量与第三个向量作外积所得向量与第三个向量作外积,那么最后的结果仍然是一向量那么

35、最后的结果仍然是一向量,该向量叫做该向量叫做所给三个向量的双重外积所给三个向量的双重外积.证证:如果如果a,b,c中有一个为零向量中有一个为零向量,或或a与与b共线共线,定理显然成立定理显然成立.1.10-1 1.10 1.10 三向量的双重向量积三向量的双重向量积以下假设以下假设a,b,c都是非零向量都是非零向量,且且a与与b不共线不共线.我们首先证明我们首先证明(1)可设可设解得解得下面我们证明公式下面我们证明公式1.10-1成立成立.对空间中的任意向量对空间中的任意向量c,总有总有从而有从而有即公式成立即公式成立,证毕证毕.abca c bb c a abcabcabcabc?abc a

36、bc0abcbcacab abababbaababaa bbba ba (5.15)(5.16)则式则式(5.15)及式及式(5.16)是方程组有解的必要条件是方程组有解的必要条件.下面再证它们也是充分条件下面再证它们也是充分条件,并求解并求解.令令(5.20)(5.21)1222acbdxc ac bab 将式将式(5.20)和式和式(5.21)代入第一式左端得代入第一式左端得:若式若式(5.15)和式和式(5.16)成立成立,则左端则左端 c=右端右端.由此可以看出由此可以看出,对于任意对于任意的的 和和 ,上述结论均成立上述结论均成立.类似地类似地,对于第二式也是这样对于第二式也是这样.因此式因此式(5.15)和式和式(5.16)也是方程组有解的充分条件也是方程组有解的充分条件,且解由式且解由式(5.20)和式和式(5.21)给出给出,其中其中 和和 和任意常数和任意常数.1c2c2c1c