5.3实对称矩阵的相似对角化学习培训模板课件.ppt
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1、5.3 实对称矩阵的相似对角化实对称矩阵的相似对角化 5.3.1 5.3.1 向量的内积与施密特正交化方法向量的内积与施密特正交化方法 5.3.2 5.3.2 实对称矩阵的特征值与特征向量实对称矩阵的特征值与特征向量 5.3.3 5.3.3 实对称矩阵的相似对角化实对称矩阵的相似对角化5.3.1 5.3.1 向量的内积与施密特正交化方法向量的内积与施密特正交化方法在解析几何中知道,三维向量空间中的向量可定义数量积运算.设 是三维向量空间中互相垂直的单位向量,若 kji,321321kbjbi bkajaia则与的数量积 332211bababa向量的许多性质如长度、夹角、垂直关系都可由此来表示
2、.受此启发,可以在n维向量空间中引入类似运算,并由此描述向量之间的所谓“正交”关系.在本节中只限于在n维实向量空间上讨论.定义5.3.1 5.3.1 设 向量,令Tnaaa),(21Tnbbb),(21是实n维向量空间 中任二nnbababa2211,称实数为向量与的内积.向量的内积具有以下性质:1.对称性=nR3.恒正性,0当0时.,kk2.线性性 ,,;定义5.3.2 若=0,称向量与正交.易见向量的正交是三维空间中向量互相垂直关系的自然推广.由定义,零向量与任何向量正交.定义5.3.3 5.3.3 设设是n维向量,称 ,为的长,记为|.若|=1,称为单位向量.易见|=0当且仅当为零向量.
3、对任何0,有|0,且有 kkkkk,2任给非零向量,1的长 11,即 是单位向量.称为的单位化公式.定义5.3.4 5.3.4 设1,2,s 是一组非零向量.若其中任两个向量都是正交的,则称其为正交向量组.仅由一个非零向量组成的向量组也称为正交向量组.若正交向量组中每个向量都是单位向量,则称其为标准正交组.例5.3.1 5.3.1 设 )1,1,2,1(1,)1,0,1,1(2)2,3,1,1(3321,,则 ,1是R4中正交向量组,但不是标准正交组.因为 01021,2102321,3102011,32321,是正交组.又 故 7114113101121549113,从而1,2,3都不是单位
4、向量.把它们单位化,令 71,71,72,71711131,0,31,313122 152,153,151,15115133则1,2,3是标准正交组.正交向量有下列性质.定理5.3.1 5.3.1 设1,2,m是Rn中的向量组,则(1)若与1,2,m的每一个向量正交,则必与1,2,m的任一线性组合正交.(2)若1,2,m是正交组,它们必线性无关.证 (1)若=0,i=1,2,m,设=k11+k22+kmm是1,2,m任一的线性组合,由内积的线性性,有 ,0,22112211mmmmkkkkkk故与正交.(2)设k11+k22+kmm=0,用1与其两边作内积运算,得 00,11212111mmk
5、kk由于当j1时,=0.于是 k1=0,因此k1=0.用i替代 1重复以上论证,可得ki=0,i=2,m,这就证明了1,2,m线性无关.证毕.定理5.3.1表明,在Rn中正交向量组至多含有n个向量,这是因为在Rn中至多有n个线性无关的向量.下面讨论,任给Rn中线性无关向量组 1,2,m(mn),如何找到Rn中的标准正交组1,2,m,使每个 i都是1,2,i,(i=1,2,m)的线性组合.这就是所谓的施密特(Schmidt)正交化方法.它的意义为,把任一组线性无关向量转化为标准正交向量组,而它们之间是等价的.定理5.3.2 (施密特正交化定理)设 1,2,m(mn)是Rn中线性无关向量组,则必存
6、在标准正交组1,2,m,使j可由1,2,j,(i=1,2,m)的线性表出。由于1,2线性无关,故2 0,且=0,2是1,2的线性组合,从而是1,2的线性组合.这样1,2是正交向量组,且可由 1,2线性表出.证 首先,令1=1,显然1 可由1 线性表出。令 1111222,一般地,若1,2,i已作成正交向量组且可由1,2,i,(i=1,2,m)线性表出,令 1111111111111,iiiiiiiiiiiii(5.3.1)则=0,j=1,2,i.这样 1,2,i,i+1成为正交向量组,且 i+1可由1,2,i,i+1线性表出.由于j,(j=1,2,i)皆可由1,2,i线性表出,故j+1可由1,
7、2,i,i+1 线性表示出.继续上述过程直到i+1=m时,时,1,2,m就成为正交向量组.此时,只要再令 jjj1 (5.3.2)则1,2,m 成为标准正交组,且i可由 1,2,i,(i=1,2,m)线性表出.证毕.定理5.3.2的证明过程实际上就是标准正交化的具体实施过程.式(5.3.1),(5.3.2)就是具体实行的计算公式.(5.3.1)式实行正交化,(5.3.2)式实行单位化.例5.3.2 设 )0,0,1,1(1)0,1,0,1(2 是R4中的向量组,用施密)1,0,0,1(3特正交化方法把它们化为标准正交组.解:易验证 1,2,3线性无关,从而可通过施密特正交化方法把其化为标准正交
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