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1、第第5 5章章 坐标变换与电机统一理论坐标变换与电机统一理论 -1-第第5 5章章 坐标变换与电机统一理论坐标变换与电机统一理论 5.1 5.1 坐标变换理论坐标变换理论5.2 5.2 电机统一理论电机统一理论5.3 5.3 直流电动机模型直流电动机模型5.4 5.4 交流异步电动机模型交流异步电动机模型5.5 5.5 交流同步电动机模型交流同步电动机模型第第5 5章章 坐标变换与电机统一理论坐标变换与电机统一理论 -2-电机种类很多，普通的就有电机种类很多，普通的就有直流电机直流电机、交流异步电机交流异步电机和和交流同步电机交流同步电机，还，还有许许多多的有许许多多的特种电机特种电机或或控制

2、电机控制电机。这些电机虽然结构各异，但在电磁本质上。这些电机虽然结构各异，但在电磁本质上却都是一种具有却都是一种具有相对运动相对运动的的耦合电路耦合电路，因此其数学模型的建立应具有相似性或，因此其数学模型的建立应具有相似性或统一性。统一性。坐标变换理论和电机统一理论就是建立电机通用数学模型的基础。坐标变换理论和电机统一理论就是建立电机通用数学模型的基础。第第5 5章章 坐标变换与电机统一理论坐标变换与电机统一理论 -3-5.1 5.1 坐标变换理论坐标变换理论 坐标变换是一种坐标变换是一种线性变换（线性代数）线性变换（线性代数），在高等数学里已初步涉及到这些，在高等数学里已初步涉及到这些内容，

3、不过那里只限于内容，不过那里只限于平面坐标平面坐标的变换，并且变换也只在同一平面内进行，的变换，并且变换也只在同一平面内进行，原原坐标系与新坐标系之间无相对运动坐标系与新坐标系之间无相对运动，问题比较简单，内容容易理解。，问题比较简单，内容容易理解。对电动机做系统分析时，所用的坐标变换，对电动机做系统分析时，所用的坐标变换，其内容就十分丰富，不仅可其内容就十分丰富，不仅可以将坐标系统扩展为以将坐标系统扩展为n维空间，还可以将原坐标变换到另一个维空间，还可以将原坐标变换到另一个旋转平面上的坐旋转平面上的坐标标，或者由笛卡儿平面坐标变换到或者由笛卡儿平面坐标变换到复平面坐标复平面坐标。这些理论与方

4、法都是针对电这些理论与方法都是针对电动机这种复杂机电系统的实情所做出的对策，动机这种复杂机电系统的实情所做出的对策，在电机学科的发展史上具有在电机学科的发展史上具有划划时代的重要意义时代的重要意义。第第5 5章章 坐标变换与电机统一理论坐标变换与电机统一理论 -4-5.1.1 线性变换简介线性变换简介 线性变换的定义是：对于某一组变量线性变换的定义是：对于某一组变量 ，用另一组新的变量，用另一组新的变量 去代替，这些新变量与原变量之间有着线性的关系，表现为一组线性方程，即去代替，这些新变量与原变量之间有着线性的关系，表现为一组线性方程，即 nxxx,21nxxx,21（5-1）11111221

5、221122221122nnnnnnnnnnxc xc xc xxc xc xcxxc xcxc x第第5 5章章 坐标变换与电机统一理论坐标变换与电机统一理论 -5-矩阵形式矩阵形式CXX 向量形式向量形式1111211221222212nnnnnnnnxcccxxcccxxcccx 第第5 5章章 坐标变换与电机统一理论坐标变换与电机统一理论 -6-在引入这些新的变量之后，新变量就成为待求的未知数，需要求解新的在引入这些新的变量之后，新变量就成为待求的未知数，需要求解新的方程。如有必要，可将新的变量求得之后，再变换成原变量。为了使新变量和方程。如有必要，可将新的变量求得之后，再变换成原变量

6、。为了使新变量和原来的变量之间有单值的联系，要求由线性变换系数所组成的行列式原来的变量之间有单值的联系，要求由线性变换系数所组成的行列式 不等于零，或者说矩阵不等于零，或者说矩阵C 是非奇异的。是非奇异的。线性变换实质上是以适应某种需要而创建的线性变换实质上是以适应某种需要而创建的 一种十分有效的数学方法，一种十分有效的数学方法，在对电力电子与交流传动系统进行分析与设计时，具有特殊的应用价值。事实在对电力电子与交流传动系统进行分析与设计时，具有特殊的应用价值。事实上，上，第第4章在讨论章在讨论SVPWM逆变器时已对空间矢量及坐标变换的基本概念有所逆变器时已对空间矢量及坐标变换的基本概念有所涉及

7、。涉及。nnccc,1211第第5 5章章 坐标变换与电机统一理论坐标变换与电机统一理论 -7-5.1.2 坐标空间的确定坐标空间的确定 以三相交流电机为例，用以三相交流电机为例，用正交三维空间中的坐标系正交三维空间中的坐标系来表征电机各相的瞬时来表征电机各相的瞬时值，如电流值，如电流 ，电压，电压 ，磁链，磁链 等。等。为了便于讨论问题，可设交流电机一组对称三相稳态电流的瞬时值为为了便于讨论问题，可设交流电机一组对称三相稳态电流的瞬时值为 cbaiii、cbauuu、cba、)32cos()32cos(cos1mc1mb1matIitIitIi（5-4）同步角速度（角频率）同步角速度（角频率

8、）第第5 5章章 坐标变换与电机统一理论坐标变换与电机统一理论 -8-这组对称三相稳态电流的瞬时值可用正交三维空间这组对称三相稳态电流的瞬时值可用正交三维空间A、B、C坐标系中的坐标系中的旋转向量旋转向量I 在各轴上的投影表示，即旋转向量在各轴上的投影表示，即旋转向量I 每一瞬间在三维空间每一瞬间在三维空间A、B、C坐标轴上的投影为坐标轴上的投影为 ，用向量形式表示如下：，用向量形式表示如下：（5-5）轴线轴线单位向量单位向量cbaiii、)32cos()32cos(cos1m1m1mcbatItItIiiiCBACBAI第第5 5章章 坐标变换与电机统一理论坐标变换与电机统一理论 -9-向量

9、向量I的长度为的长度为（5-6）m121212m2c2b2a23)32(cos)32(coscosItttIiiiI 由此可知，由此可知，旋转向量旋转向量I 在过原点在过原点O的平面的平面P内，以同步角速度旋转，其大小内，以同步角速度旋转，其大小是恒定的，向量端头的运动轨迹是一个圆，是恒定的，向量端头的运动轨迹是一个圆，如图如图5-1所示。为了易于建立旋转所示。为了易于建立旋转向量运动轨迹的概念，表向量运动轨迹的概念，表5-1列出了旋转向量运动时所经过的特定点的值。列出了旋转向量运动时所经过的特定点的值。22cos1cos112tt第第5 5章章 坐标变换与电机统一理论坐标变换与电机统一理论

10、-10-第第5 5章章 坐标变换与电机统一理论坐标变换与电机统一理论 -11-如图如图5-2所示，所示，A、B、C轴线在轴线在P平面上的投影分别为平面上的投影分别为a、b、c 轴线，它们轴线，它们互差互差120电角度。由于电角度。由于a 轴与轴与A 轴之间的夹角为轴之间的夹角为（5-7）若若A、B、C轴线上的坐标轴线上的坐标直接直接用用a、b、c 轴线上的投影来表示，则需将该投轴线上的投影来表示，则需将该投影乘以一个系数影乘以一个系数“”。下面我。下面我们就用们就用a、b、c 轴线上的投影值来表示轴线上的投影值来表示三相电流三相电流 。32arccos23arccosmmII23cbaiii、

11、媒介坐标系统媒介坐标系统a-b-cm32ImI第第5 5章章 坐标变换与电机统一理论坐标变换与电机统一理论 -12-5.1.3 坐标变换的一般方法坐标变换的一般方法 在静止的正交三维空间在静止的正交三维空间A、B、C系统中，系统中，所表征的电磁量经坐标变换，所表征的电磁量经坐标变换，可变换到可变换到旋转正交三维空间旋转正交三维空间x、y、z系统系统。该坐标系统中由互相垂直的。该坐标系统中由互相垂直的x轴与轴与y轴所组成的平面，与旋转向量轴所组成的平面，与旋转向量I 所在的所在的P平面重合，平面重合，且以同步角速度绕垂直于且以同步角速度绕垂直于 x、y 轴的第三轴线轴的第三轴线z 旋转旋转。y轴

12、超前轴超前x轴轴90电角度。该电角度。该x、y、z旋转坐标系统与旋转坐标系统与A、B、C静止坐标系统均表示在图静止坐标系统均表示在图5-3中，可见中，可见旋转向量旋转向量I 相对于相对于x、y、z旋转坐标旋转坐标系统是静止的系统是静止的。由于旋转向量由于旋转向量I 的线速度可表示为其角速度的线速度可表示为其角速度 与与I 的向量积，即的向量积，即 IIv1ddt（5-8）1第第5 5章章 坐标变换与电机统一理论坐标变换与电机统一理论 -13-1 1是旋转向量是旋转向量I 相对于静止的相对于静止的A、B、C系统的角速度，其向量的表示式为系统的角速度，其向量的表示式为（5-9）z11z z 轴轴单

13、位向量单位向量第第5 5章章 坐标变换与电机统一理论坐标变换与电机统一理论 -14-设设t=0时，时，I与与a轴重合，则任何时刻轴重合，则任何时刻I与与a轴的夹角轴的夹角 （也就是（也就是x轴与轴与a轴的夹角）轴的夹角）。由于向量由于向量I与与a、b、c轴线在同一平面轴线在同一平面P之内，从空间向量的基本关系可知之内，从空间向量的基本关系可知 1tabcm2322 coscos()cos(3233)IabcabciiiI（5-10）由式（由式（5-6）可知，向量）可知，向量I方向上的单位向量应为方向上的单位向量应为 m23IIII（5-11）第第5 5章章 坐标变换与电机统一理论坐标变换与电机

14、统一理论 -15-该单位向量就是该单位向量就是x轴的单位向量轴的单位向量 ，它与单位向量，它与单位向量 的关系为的关系为（5-12）y轴的单位向量轴的单位向量可定义为可定义为 xcba、)32cos()32cos(cos3223mcbaIxIttddddIIy)32sin()32sin(sin32)32sin()32sin(sin23m1m1cbacbayII（5-10）（5-14）第第5 5章章 坐标变换与电机统一理论坐标变换与电机统一理论 -16-根据线性变换的基本原理，静止的根据线性变换的基本原理，静止的a、b、c系统三个单位向量系统三个单位向量 与旋转的与旋转的x、y、z系统三个单位向

15、量系统三个单位向量 互做变换时，需要三个关系互做变换时，需要三个关系式。式。与与 之间的关系式已定，即式之间的关系式已定，即式（5-12）和式和式（5-14），可，可再定义再定义 与与 之间的关系式如下：之间的关系式如下：cba、zyx、yx、cba、cba、z)(31cbaz（5-15）第第5 5章章 坐标变换与电机统一理论坐标变换与电机统一理论 -17-cbazyx212121)32sin()32sin(sin)32cos()32cos(cos32zyxcba21)32sin()32cos(21)32sin()32cos(21sincos32（5-16）（5-17）第第5 5章章 坐标变换

16、与电机统一理论坐标变换与电机统一理论 -18-将上式代入式（将上式代入式（5-10），得），得 zyxI)(31)32sin()32sin(sin32)32cos()32cos(cos32cbacbacbaiiiiiiiii（5-18）)(31)32sin()32sin(sin32)32cos()32cos(cos32cbazcbaycbaxiiiiiiiiiiii第第5 5章章 坐标变换与电机统一理论坐标变换与电机统一理论 -19-写成矩阵形式写成矩阵形式 （5-20）cbazyx212121)32sin()32sin(sin)32cos()32cos(cos32iiiiiizyxcba21

17、)32sin()32cos(21)32sin()32cos(21sincos32iiiiii（5-21）第第5 5章章 坐标变换与电机统一理论坐标变换与电机统一理论 -20-式（式（5-20）与式（）与式（5-21）为一般的）为一般的静止坐标系统静止坐标系统A、B、C与与旋转坐标系统旋转坐标系统x、y、z之间的变换关系式。由于之间的变换关系式。由于 和和 分别为旋转向量分别为旋转向量I 在静止坐标系统与旋转坐标系统中各轴线上的投在静止坐标系统与旋转坐标系统中各轴线上的投影，且影，且 之瞬时值可通过与旋转坐标系统同一平面之瞬时值可通过与旋转坐标系统同一平面P的的“媒介坐标系统媒介坐标系统a、b、

18、c”去表征，旋转坐标系统的转速，若从与去表征，旋转坐标系统的转速，若从与a、b、c系统的相对转速去理系统的相对转速去理解，显然不一定是同步转速，可以是任意转速，解，显然不一定是同步转速，可以是任意转速，即式（即式（5-20）与式（）与式（5-21）可）可适用于任意转速的旋转坐标系统。适用于任意转速的旋转坐标系统。cbaiii、zyxiii、cbaiii、转速问题？转速问题？第第5 5章章 坐标变换与电机统一理论坐标变换与电机统一理论 -21-另外，旋转向量的大小也不一定是恒定的，可为时间另外，旋转向量的大小也不一定是恒定的，可为时间t 的函数。设的函数。设 为一不对称的三相系统的电流量，其中含

19、有正序、负序和零序三个分量，即为一不对称的三相系统的电流量，其中含有正序、负序和零序三个分量，即 大小问题？大小问题？cbaiii、（5-22）c0c2c1cb02bb1ba02aa1aiiiiiiiiiiii第第5 5章章 坐标变换与电机统一理论坐标变换与电机统一理论 -22-（5-23）c0c2cc1b0b2bb1a0a2aa1iiiiiiiiiiii，x1aa2bb2cc2a0222()cos()cos()()cos()333222coscos()cos()333iiiiiiii（5-19）)32cos()32cos(cos32)32cos()32cos(cos32cbac2b2a2x1

20、iiiiiii0)32cos()32cos(cos（5-24）第第5 5章章 坐标变换与电机统一理论坐标变换与电机统一理论 -23-由于正序系统与负序系统从坐标变换来说是一样的，所以上式可写成由于正序系统与负序系统从坐标变换来说是一样的，所以上式可写成)32cos()32cos(cos32cbax21iiiiiixx（5-25）同理可得同理可得)32sin()32sin(sin32cbay21iiiiiiyy（5-26）由此可知，式（由此可知，式（5-20）与式（）与式（5-21）无论三相系统的量对称与否都适用。）无论三相系统的量对称与否都适用。第第5 5章章 坐标变换与电机统一理论坐标变换与

21、电机统一理论 -24-5.1.4 坐标变换的性质及约束坐标变换的性质及约束 坐标变换是一种线性变换，如无约束，变换就不是唯一的。在电机的系统坐标变换是一种线性变换，如无约束，变换就不是唯一的。在电机的系统分析中，所应用的坐标变换可有两种约束：分析中，所应用的坐标变换可有两种约束：1)功率不变约束功率不变约束，即变换前后功率保持不变。，即变换前后功率保持不变。2)合成磁动势不变约束合成磁动势不变约束，即变换前后合成磁动势保持不变。，即变换前后合成磁动势保持不变。下面首先介绍功率不变约束及其坐标变换的性质。下面首先介绍功率不变约束及其坐标变换的性质。两个约束两个约束同时满足？同时满足？第第5 5章

22、章 坐标变换与电机统一理论坐标变换与电机统一理论 -25-设在某坐标系统中各绕组的电压和电流向量分别为设在某坐标系统中各绕组的电压和电流向量分别为 和和 ，在新的坐标系统中电压和电流向量变为，在新的坐标系统中电压和电流向量变为 和和 。新向量与原向量的坐标变换关。新向量与原向量的坐标变换关系为系为 T21nuuu，uT21niii，iT21nuuu，uT21niii，iiCiuCuiu（5-27）电压变换阵电压变换阵 电流变换阵电流变换阵 功率不变功率不变TTuiui)()(TTTTuCCiuCiCuiuiuiECCuiT（5-30）第第5 5章章 坐标变换与电机统一理论坐标变换与电机统一理论

23、 -26-其中其中E 为单位矩阵。式（为单位矩阵。式（5-30）就是功率不变约束下坐标变换阵和需要满足的）就是功率不变约束下坐标变换阵和需要满足的关系式。关系式。在一般情况下，在一般情况下，电压变换阵电压变换阵与与电流变换阵电流变换阵可以取为同一矩阵，即可以取为同一矩阵，即令令 ，则式（，则式（5-30）成为）成为（5-32）CCCiuECCT1T CC 由此可知，由此可知，在功率不变约束下，在功率不变约束下，当电压向量和电流向量选取相同的变换当电压向量和电流向量选取相同的变换阵时，阵时，变换阵的转置与其逆矩阵相等，变换阵的转置与其逆矩阵相等，这样的坐标变换属于正交变换。这样的坐标变换属于正交

24、变换。容易容易证明，式（证明，式（5-20）与式（）与式（5-21）所示的坐标变换就属于正交变换，满足功率不）所示的坐标变换就属于正交变换，满足功率不变约束。变约束。第第5 5章章 坐标变换与电机统一理论坐标变换与电机统一理论 -27-至于至于合成磁动势不变约束合成磁动势不变约束，因为绕组电流与磁动势成正比，只要把电流因为绕组电流与磁动势成正比，只要把电流的合成向量分别在新坐标系和原坐标系进行投影，就可以确定新向量与原向量的合成向量分别在新坐标系和原坐标系进行投影，就可以确定新向量与原向量之间的坐标变换关系，式（之间的坐标变换关系，式（4-28）和式（）和式（4-29）就是一种满足合成磁动势不

25、变）就是一种满足合成磁动势不变约束的坐标变换式。约束的坐标变换式。a0b0c0111222333022UUUUUa0b0c01013221322 UUUUU第第5 5章章 坐标变换与电机统一理论坐标变换与电机统一理论 -28-5.1.5 常用的坐标系统常用的坐标系统 进行电机系统分析时，进行电机系统分析时，所应用的坐标变换可分为两大类：所应用的坐标变换可分为两大类：1)坐标轴旋转的坐标系统。其旋转速度可以是电机转子的转速或同步转坐标轴旋转的坐标系统。其旋转速度可以是电机转子的转速或同步转速，也可以是任意转速。速，也可以是任意转速。这类系统的典型代表是这类系统的典型代表是d-q-0坐标系统坐标系

26、统；2)坐标轴静止的坐标系统。这类系统除坐标轴静止的坐标系统。这类系统除a-b-c相坐标系统外，比较典型的相坐标系统外，比较典型的是是-0坐标系统坐标系统。下面分别介绍下面分别介绍d-q-0坐标系统和坐标系统和-0坐标系统。坐标系统。第第5 5章章 坐标变换与电机统一理论坐标变换与电机统一理论 -29-1.d-q-0坐标系统坐标系统 电机转子上总认为有两条轴线，如旋转磁极式的同步电机，一条是和磁电机转子上总认为有两条轴线，如旋转磁极式的同步电机，一条是和磁极轴线方向一致的轴线，称为直轴，以极轴线方向一致的轴线，称为直轴，以“d”表征；另一条是与直轴正交，且表征；另一条是与直轴正交，且按顺时针方

27、向滞后直轴按顺时针方向滞后直轴90电角度，称为交轴，电角度，称为交轴，以以“q”表征。表征。如上述所选如上述所选x-y-z坐标系，以转子转坐标系，以转子转速旋转，将速旋转，将x轴放在轴放在d轴上，轴上，y轴放轴放在在q轴上，轴上，z轴则垂直通过轴则垂直通过d-q平面，平面，为为0轴，并且轴，并且d、q轴绕轴绕0轴旋转。这轴旋转。这样的坐标系统称为样的坐标系统称为d-q-0坐标系，如坐标系，如图图5-4所示。所示。第第5 5章章 坐标变换与电机统一理论坐标变换与电机统一理论 -30-在式（在式（5-20）与式（）与式（5-21）x-y-z坐标系与坐标系与a-b-c坐标系的变换关系式中，将坐标系的

28、变换关系式中，将x、y、z下标分别换以下标分别换以d、q、0，即得，即得d-q-0坐标系与坐标系与a-b-c坐标系的变换关系式坐标系的变换关系式 cba0qd212121)32sin()32sin(sin)32cos()32cos(cos32iiiiii0qdcba21)32sin()32cos(21)32sin()32cos(21sincos32iiiiii第第5 5章章 坐标变换与电机统一理论坐标变换与电机统一理论 -31-若用若用C表示变换矩阵，上标表示新坐标系，下标表示原坐标系，则相应的变换表示变换矩阵，上标表示新坐标系，下标表示原坐标系，则相应的变换矩阵可表示为矩阵可表示为 2121

29、21)32sin()32sin(sin)32cos()32cos(cos32dq0abcC21)32sin()32cos(21)32sin()32cos(21sincos32abcdq0C第第5 5章章 坐标变换与电机统一理论坐标变换与电机统一理论 -32-2.-0坐标系统坐标系统 -0坐标系统是一种静止的坐标系统，坐标系统是一种静止的坐标系统，其其轴与轴与a轴重合，轴重合，轴按顺时针轴按顺时针方向滞后方向滞后轴轴90电角度，电角度，0轴垂直于轴垂直于、轴所组成的平面，如图轴所组成的平面，如图5-5所示。所示。第第5 5章章 坐标变换与电机统一理论坐标变换与电机统一理论 -33-在式（在式（5

30、-20）与式（）与式（5-21）x-y-z坐标系与坐标系与a-b-c坐标系的变换关系式中，将坐标系的变换关系式中，将=0 代入，即得代入，即得-0坐标系与坐标系与a-b-c坐标系的变换关系式坐标系的变换关系式 cba0212121232302121132iiiiii0cba212321212321210132iiiiii第第5 5章章 坐标变换与电机统一理论坐标变换与电机统一理论 -34-相应的变换矩阵可表示为相应的变换矩阵可表示为 2121212323021211320abcC212321212321210132abc0C第第5 5章章 坐标变换与电机统一理论坐标变换与电机统一理论 -35-

31、图图5-4所示的所示的d-q平面与图平面与图5-5所示的所示的-平面是重合的，只不过前者旋转，平面是重合的，只不过前者旋转，后者静止。将两者画在一起，可得图后者静止。将两者画在一起，可得图5-6。根据向量的投影关系，可以得到。根据向量的投影关系，可以得到-0坐标系与坐标系与d-q-0坐标系的变换关系式坐标系的变换关系式 0qd01000cossin0sincosiiiiii00qd1000cossin0sincosiiiiii第第5 5章章 坐标变换与电机统一理论坐标变换与电机统一理论 -36-相应的变换矩阵可表示为相应的变换矩阵可表示为 1000cossin0sincos0dq0C1000c

32、ossin0sincosdq00C 上述变换均由式（上述变换均由式（5-20）与式（）与式（5-21）演变而来，显然满足功率不变约束。）演变而来，显然满足功率不变约束。另外，为简便计，另外，为简便计，d-q-0坐标系与坐标系与-0坐标系的坐标系的0轴分量往往不予考虑，轴分量往往不予考虑，这样，这样，上述变换实际上可以完成静止三相坐标系与静止两相坐标系、上述变换实际上可以完成静止三相坐标系与静止两相坐标系、以及静止两相以及静止两相坐标系与旋转两相坐标系之间的坐标变换。坐标系与旋转两相坐标系之间的坐标变换。第第5 5章章 坐标变换与电机统一理论坐标变换与电机统一理论 -37-5.2 5.2 电机统

33、一理论电机统一理论5.2.1 统一理论的要点统一理论的要点 旋转电机形式各异，但就其本质而言，都是由若干具有相对运动的电磁耦旋转电机形式各异，但就其本质而言，都是由若干具有相对运动的电磁耦合线圈所组成的，因此各种电机的电磁关系和运动方程应具有统一性。能否在合线圈所组成的，因此各种电机的电磁关系和运动方程应具有统一性。能否在共性问题的基础上，建立统一的数学模型，并推导出不同电机的基本方程呢？共性问题的基础上，建立统一的数学模型，并推导出不同电机的基本方程呢？上世纪三十年代，上世纪三十年代，克朗（克朗（G.Kron）提出了原型电机的概念，分析了原型电机的提出了原型电机的概念，分析了原型电机的基本电

34、磁关系，并研究了基本电磁关系，并研究了原型电机原型电机与其它各种电机之间的联系。研究结果表明，与其它各种电机之间的联系。研究结果表明，任何电机的数学模型都可以从原型电机中导出，并用统一的方法求解。原型电任何电机的数学模型都可以从原型电机中导出，并用统一的方法求解。原型电机又称为一般化电机，这一理论就称为电机统一理论或机又称为一般化电机，这一理论就称为电机统一理论或一般化理论（一般化理论（General Theory），它是电机理论的一个重大发展。，它是电机理论的一个重大发展。第第5 5章章 坐标变换与电机统一理论坐标变换与电机统一理论 -38-电机统一理论的要点：电机统一理论的要点：1）运用电

35、磁学和力学的基本定律，建立原型电机的基本方程；）运用电磁学和力学的基本定律，建立原型电机的基本方程；2）提出所研究电机的动态电路模型；）提出所研究电机的动态电路模型；3）把所研究的电机和具有相应数量线圈的原型电机加以对比，建立联系矩）把所研究的电机和具有相应数量线圈的原型电机加以对比，建立联系矩阵；阵；4）通过联系矩阵，从原型电机的基本方程出发，导出所研究电机的数学模）通过联系矩阵，从原型电机的基本方程出发，导出所研究电机的数学模型；型；5）再通过特定的坐标变换，把数学模型进一步变换成易于求解的形式，然）再通过特定的坐标变换，把数学模型进一步变换成易于求解的形式，然后求解。后求解。这样，这样，

36、分析各种电机时，分析各种电机时，不再需要从基本电磁定律出发，而可以通过统一不再需要从基本电磁定律出发，而可以通过统一的原型电机模型，经过一定的坐标变换，直接建立所研究电机的数学模型。的原型电机模型，经过一定的坐标变换，直接建立所研究电机的数学模型。第第5 5章章 坐标变换与电机统一理论坐标变换与电机统一理论 -39-克朗所提出的原型电机有两种：克朗所提出的原型电机有两种：一种是定、转子绕组的轴线在空间均为一种是定、转子绕组的轴线在空间均为固定不动的固定不动的d-q原型电机，另一种是转子绕组轴线在空间旋转的原型电机，另一种是转子绕组轴线在空间旋转的-原型电机，原型电机，下面分别予以介绍。下面分别

37、予以介绍。5.2.2 d-q原型电机原型电机 1.基本结构基本结构 d-q原型电机也称为第一种原型电机，它是从一般的直流电机抽象得出的，原型电机也称为第一种原型电机，它是从一般的直流电机抽象得出的，是一种具有是一种具有d、q轴线的装有换向器的理想电机，轴线的装有换向器的理想电机，其特点就是定、转子绕组的其特点就是定、转子绕组的轴线在空间均是固定不动的，如图轴线在空间均是固定不动的，如图5-7a所示。所示。第第5 5章章 坐标变换与电机统一理论坐标变换与电机统一理论 -40-SNn交轴交轴直轴直轴电刷电刷励磁线圈励磁线圈电枢线圈电枢线圈第第5 5章章 坐标变换与电机统一理论坐标变换与电机统一理论

38、 -41-第第5 5章章 坐标变换与电机统一理论坐标变换与电机统一理论 -42-通常采用图通常采用图5-7b的形式，即把转子的换向器绕组用两个等效线圈的形式，即把转子的换向器绕组用两个等效线圈d和和q来代来代替，这两个线圈不同于普通的线圈，它们虽然放置在转子上，替，这两个线圈不同于普通的线圈，它们虽然放置在转子上，其导体随转子一其导体随转子一起以转速相对于定子旋转，但其轴线却被直轴和交轴的电刷所限定，固定在静起以转速相对于定子旋转，但其轴线却被直轴和交轴的电刷所限定，固定在静止的直轴和交轴上。止的直轴和交轴上。这种导体旋转、轴线静止的线圈，称为这种导体旋转、轴线静止的线圈，称为“伪静止线圈伪静

39、止线圈”。伪静止线圈的基本特点是：伪静止线圈的基本特点是：1）线圈中的电流产生沿相应轴线方向的在空间静止的磁场；）线圈中的电流产生沿相应轴线方向的在空间静止的磁场；2）除了因磁场变化而在线圈中产生变压器电动势外，由于转子旋转，线）除了因磁场变化而在线圈中产生变压器电动势外，由于转子旋转，线圈中还会产生运动电动势。圈中还会产生运动电动势。第第5 5章章 坐标变换与电机统一理论坐标变换与电机统一理论 -43-2.基本方程基本方程 电机的基本方程由定、转子各线圈的电机的基本方程由定、转子各线圈的电压平衡方程电压平衡方程（包括包括磁链方程磁链方程）和）和转子运动方程转子运动方程（包括（包括转矩方程转矩

40、方程）组成，下面按照电动机惯例来列）组成，下面按照电动机惯例来列写写d-q原型电机的基本方程。原型电机的基本方程。第第5 5章章 坐标变换与电机统一理论坐标变换与电机统一理论 -44-2.基本方程基本方程 电机的基本方程由定、转子各线圈的电机的基本方程由定、转子各线圈的电压平衡方程电压平衡方程（包括包括磁链方程磁链方程）和）和转子运动方程转子运动方程（包括（包括转矩方程转矩方程）组成，下面按照电动机惯例来列）组成，下面按照电动机惯例来列写写d-q原型电机的基本方程。原型电机的基本方程。(1)电压平衡方程电压平衡方程 定子的两个线圈定子的两个线圈D和和Q是普通线圈，其中只有变压器电动势，其电压平

41、衡是普通线圈，其中只有变压器电动势，其电压平衡方程为方程为 tiRutiRuddddQQQQDDDD（5-45）（5-46）qQqQQQdDdDDDiMiLiMiL磁链方程磁链方程第第5 5章章 坐标变换与电机统一理论坐标变换与电机统一理论 -45-转子的两个线圈转子的两个线圈d和和q是伪静止线圈，其中除变压器电动势外，还有运动是伪静止线圈，其中除变压器电动势外，还有运动电动势，其电压平衡方程为电动势，其电压平衡方程为 dqdDqDqqqqdqQdQddddddddiGiGtiRuiGiGtiRuq（5-47）dqdQGG、qdqDGG、线圈线圈d d在在q q轴磁场中旋转而产生的运动电动势的

42、系数轴磁场中旋转而产生的运动电动势的系数 线圈线圈q q在在d d轴磁场中旋转而产生的运动电动势的系数轴磁场中旋转而产生的运动电动势的系数 QqQqqqDdDdddiMiLiMiL磁链方程磁链方程（5-48）第第5 5章章 坐标变换与电机统一理论坐标变换与电机统一理论 -46-运动电动势的方向可由运动电动势的方向可由右手定则右手定则来确定，即如果运动电动势的实际方向与来确定，即如果运动电动势的实际方向与电流的规定正方向相反，取电流的规定正方向相反，取负值负值（图（图5-8a），运动电压则取），运动电压则取正号正号，如式（，如式（5-47）的第一式；如果运动电动势的实际方向与电流的规定正方向相同

43、，取的第一式；如果运动电动势的实际方向与电流的规定正方向相同，取正值正值（图（图5-8b），运动电压则取），运动电压则取负号负号，如式（，如式（5-47）的第二式。）的第二式。第第5 5章章 坐标变换与电机统一理论坐标变换与电机统一理论 -47-若用矩阵形式表示电压平衡方程，则式（若用矩阵形式表示电压平衡方程，则式（5-45）、式（）、式（5-47）可写为）可写为（5-49）iZiGLRu）（p（5-50）电阻矩阵、电感矩阵、运动电动势系数矩阵、阻抗矩阵电阻矩阵、电感矩阵、运动电动势系数矩阵、阻抗矩阵 qdQDqqqdqQqDdqdddQdDQqQQDdDDqdQDppppp0p00p0pii

44、iiLRGMGGLRGMMLRMLRuuuu第第5 5章章 坐标变换与电机统一理论坐标变换与电机统一理论 -48-电阻矩阵、电感矩阵、运动电动势系数矩阵、阻抗矩阵电阻矩阵、电感矩阵、运动电动势系数矩阵、阻抗矩阵 qdQD000000000000RRRRRqqQddDQqQDdD00000000LMLMMLMLL000000000000qdqDdqdQGGGGGppppp0p00p0pqqqdqQqDdqdddQdDQqQQDdDDLRGMGGLRGMMLRMLRZ第第5 5章章 坐标变换与电机统一理论坐标变换与电机统一理论 -49-当磁通密度沿电机气隙圆周作正弦分布时，研究表明当磁通密度沿电机

45、气隙圆周作正弦分布时，研究表明 d0qddD0qDq0dqqQ0dQLpGMpGLpGMpG（5-51）电机极对数电机极对数 把式（把式（5-51）代入式（）代入式（5-47），并利用式（），并利用式（5-48），可得），可得 dqqqqqddddppiRuiRu（5-52）电角速度电角速度0p 第第5 5章章 坐标变换与电机统一理论坐标变换与电机统一理论 -50-综上分析，在普通的静止线圈中只有变压器电动势，没有运动电动势，故综上分析，在普通的静止线圈中只有变压器电动势，没有运动电动势，故G 矩阵的有关各项都为零。矩阵的有关各项都为零。只有在伪静止线圈中，既有变压器电动势，又有只有在伪静止线

46、圈中，既有变压器电动势，又有运动电动势，运动电动势，该运动电动势是由与伪静止线圈轴线正交方向上的磁场产生的。该运动电动势是由与伪静止线圈轴线正交方向上的磁场产生的。(2)转子运动方程转子运动方程 根据式（根据式（5-50），由外部电源输入电机的电功率为），由外部电源输入电机的电功率为 iGiiLiiRiuiTTTTp（5-53）电阻损耗电阻损耗 磁场储能的增长率磁场储能的增长率 转换功率转换功率 第第5 5章章 坐标变换与电机统一理论坐标变换与电机统一理论 -51-于是电磁转矩为于是电磁转矩为 iGiTemT（5-54）转换矩阵转换矩阵)(qddq0emiipT（5-55）d-q原型电机的转子

47、运动方程原型电机的转子运动方程 LemddRtJTT（5-56）负载转矩负载转矩转动惯量转动惯量阻尼系数阻尼系数第第5 5章章 坐标变换与电机统一理论坐标变换与电机统一理论 -52-5.2.3-原型电机原型电机 1.基本结构基本结构 d-q原型电机的电枢绕组是换向器绕组，它与大多数交流电机的结构不同，原型电机的电枢绕组是换向器绕组，它与大多数交流电机的结构不同，不能直接从它导出交流电机的基本方程。不能直接从它导出交流电机的基本方程。为此，克朗提出了为此，克朗提出了第二种原型电第二种原型电机机，这是一种通过集电环向转子回路输入或输出电能的电机，即转子具有旋转，这是一种通过集电环向转子回路输入或输

48、出电能的电机，即转子具有旋转轴线，称为轴线，称为-原型电机。原型电机。图图5-9是是-原型电机的模型，其定子与原型电机的模型，其定子与d-q原型电机完全一样，转子上装原型电机完全一样，转子上装有两个轴线相互正交的线圈有两个轴线相互正交的线圈、，它们通过集电环接到外部电源。由于转子，它们通过集电环接到外部电源。由于转子电流是通过集电环引入的，所以当转子旋转时，电流是通过集电环引入的，所以当转子旋转时，、线圈电流所产生磁动势线圈电流所产生磁动势的轴线将随转子一起旋转。的轴线将随转子一起旋转。第第5 5章章 坐标变换与电机统一理论坐标变换与电机统一理论 -53-第第5 5章章 坐标变换与电机统一理论

49、坐标变换与电机统一理论 -54-2.基本方程基本方程 (1)电压平衡方程电压平衡方程 根据电磁感应定律和基尔霍夫电压定律，根据电磁感应定律和基尔霍夫电压定律，-原型电机的电压平衡方程为原型电机的电压平衡方程为）（iLiRup（5-57）TQDuuuuuTQDiiiiiQD000000000000RRRRRQDQDQQQDDD00LMMMMLMMMMLMMLL第第5 5章章 坐标变换与电机统一理论坐标变换与电机统一理论 -55-由于由于-原型电机的定子为原型电机的定子为凸极凸极，故除定子线圈，故除定子线圈D、Q的自感的自感LD、LQ为常为常值外，转子线圈值外，转子线圈、的自感和互感，的自感和互感

50、，以及定、转子线圈之间的互感都与转角以及定、转子线圈之间的互感都与转角有关。当气隙磁场为正弦分布时，转子线圈有关。当气隙磁场为正弦分布时，转子线圈、的自感近似为的自感近似为（5-58）)2(2cos2cosr2r0r2r0LLLLLL转子线圈转子线圈、的互感近似为的互感近似为 2sinr2LMM（5-59）第第5 5章章 坐标变换与电机统一理论坐标变换与电机统一理论 -56-定、转子线圈之间的互感为定、转子线圈之间的互感为（5-60）式中，式中，分别是定、转子线圈轴线重合时，相应线圈分别是定、转子线圈轴线重合时，相应线圈之间互感的最大值，并且之间互感的最大值，并且 cos)2cos()2cos