圆的有关性质课件.ppt

1、24.1圆的有关性质24.1.1圆1阅读材料 引入新知古代人最早是从太阳，阴历十五的月亮得到圆的概念的那么是什么人做出第一个圆的呢？18 000 年前的山顶洞人用一种尖状的石器来钻孔，一面钻不透，再从另一面钻，石器的尖是圆心，它的宽度的一半就是半径，这样以同一个半径和圆心一圈圈地转，就可以钻出一个圆的孔到了陶器时代，许多陶器都是圆的，圆的陶器是将泥土放在一个转盘上制成的我国古代，半坡人就已经会造圆形的房顶了大约在同一时代，美索不达米亚人做出了世界上第一个轮子圆的木轮很早之前，人们将圆的木轮固定在木架上，这样就成了最初的车子 2 000 多年前，墨子给出圆的定义“一中同长也”，意思是说，圆有一个

2、圆心，圆心到圆周的长都相等这个定义比古希腊数学家欧几里得给圆下的定义要早很多年1阅读材料 引入新知如图，在一个平面内，线段 OA 绕它固定的一个端点 O 旋转一周，另一个端点 A 所形成的图形叫做圆rOA固定的端点 O 叫做圆心；线段 OA 叫做半径；以点 O 为圆心的圆，记作O，读作“圆O”圆的概念2合作交流，学习新知同心圆 等圆圆心相同，半径不同确定一个圆的两个要素:一是圆心，二是半径半径相同，圆心不同2合作交流，学习新知O问题1：圆上各点到定点（圆心 O）的距离有什么规律？问题2：到定点的距离等于定长的点又有什么特点？rOA2合作交流，学习新知动态：在一个平面内，线段 OA 绕它固定的一

3、个端点 O 旋转一周，另一个端点 A 所形成的图形叫做圆静态：圆心为 O、半径为 r 的圆可以看成是所有到定点 O 的距离等于定长 r 的点的集合2合作交流，学习新知经过圆心的弦叫做直径，如图中的 AB连接圆上任意两点的线段叫做弦，如图中的 AC3与圆有关的概念弦COAB圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆COAB弧3与圆有关的概念圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧以 A、B 为端点的弧记作 ，读作“圆弧 AB”或“弧 AB”AB劣弧与优弧3与圆有关的概念小于半圆的弧（如图中的 ）叫做劣弧 AC大于半圆的弧（用三个字母表示，如图中的）叫做优弧ABCCOAB在同圆或等圆

4、中，能重合的弧叫等弧等弧3与圆有关的概念1判断下列说法的正误：（1）弦是直径；（2）半圆是弧；（3）过圆心的线段是直径；（5）圆心相同，半径相等的两个圆是同心圆；（4）半圆是最长的弧；（6）半径相等的两个半圆是等弧4应用拓展，培养能力问题问题：你知道赵洲桥吗：你知道赵洲桥吗?它是它是1300多年前我国隋代建造的石拱桥多年前我国隋代建造的石拱桥,是我国古代人民勤劳与智慧的结晶它的主桥是圆弧形是我国古代人民勤劳与智慧的结晶它的主桥是圆弧形,它的跨度它的跨度(弧弧所对的弦的长所对的弦的长)为为37.4m,拱高拱高(弧的中点到弦的距离弧的中点到弦的距离)为为7.2m，你你能求出赵洲桥主桥拱的半径吗？能

5、求出赵洲桥主桥拱的半径吗？赵洲桥的半径是多少赵洲桥的半径是多少？实践探究实践探究用纸剪一个圆，沿着圆的任意一条直径对折，用纸剪一个圆，沿着圆的任意一条直径对折，重复几次，你发现了什么？由此你能得到什么重复几次，你发现了什么？由此你能得到什么结论？结论？可以发现：圆是轴对称图形，任何一条可以发现：圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是它的对称轴直径所在直线都是它的对称轴如图，如图，AB是是 O的一条弦，做直径的一条弦，做直径CD，使，使CDAB，垂足为，垂足为E（1）圆是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？）圆是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？（2）你能发现图中有那些相等的线段和弧

6、？为什么？）你能发现图中有那些相等的线段和弧？为什么？OABCDE活活 动动 二二 （1）是轴对称图形直径）是轴对称图形直径CD所在所在的直线是它的对称轴的直线是它的对称轴（2）线段：线段：AE=BE弧弧：,ACBC ADBD把圆沿着直径把圆沿着直径CD折叠时，折叠时，CD两侧的两个半圆重合，两侧的两个半圆重合，点点A与点与点B重合，重合，AE与与BE重合，重合，分别与分别与 、重合重合ACADBCBDOABCDE我们还可以得到结论：我们还可以得到结论：我们就得到下面的定理：我们就得到下面的定理：AEBE，ACBCADBD即直径即直径CD平分弦平分弦AB，并且平分，并且平分及及ABACB垂直于

7、弦的直径平分弦，并且平垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧分弦所对的两条弧平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧这个定理也叫垂径定理，利用这这个定理也叫垂径定理，利用这个定理，你能平分一条弧吗？个定理，你能平分一条弧吗？解得：解得：R279（m）ODABCR解决求赵州桥拱半径的问题？解决求赵州桥拱半径的问题？在在RtOAD中，由勾股定理，得中，由勾股定理，得即即 R2=18.72+（R7.2）2因此，赵州桥的主桥拱半径约为因此，赵州桥的主桥拱半径约为27.9m.OA2=AD2+OD2,7.184.372121AB

8、ADAB=37.4，CD=7.2，OD=OCCD=R7.2在图中在图中AB如图，用如图，用 表示主桥拱，设表示主桥拱，设 所在圆的圆心为所在圆的圆心为O，半径为，半径为R 经过圆心经过圆心O作弦作弦AB的垂线的垂线OC，D为垂足，为垂足，OC与与AB相交于点相交于点C，根据前面，根据前面的结论，的结论，D是是 AB的中点，的中点，C是是 的中点，的中点，CD就是拱高就是拱高ABAB垂径定理的应用垂径定理的应用垂径定理垂径定理 垂直于弦的直径平分这条弦，并垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧且平分弦所对的两条弧.题设题设结论结论（1 1）直径）直径（2 2）垂直于弦）垂直于弦（3 3

9、）平分弦）平分弦（4 4）平分弦所对的优弧）平分弦所对的优弧（5 5）平分弦所对的劣弧）平分弦所对的劣弧MOACBN垂径定理垂径定理AM=MBAN=NBMOACBNAM=MBAN=NB垂径定理垂径定理推论推论1推论推论1.平分非直径的弦的直径垂直于弦，平分非直径的弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。并且平分弦所对的两条弧。1如图，在如图，在 O中，弦中，弦AB的的长为长为8cm，圆心，圆心O到到AB的距离的距离为为3cm，则，则 O的半径是的半径是_随堂训练随堂训练OBEA2如图，在如图，在 O中，中，CD是直径，是直径，EA=EB,请些出三个正确的结论请些出三个正确的结论_OBCADE

10、双基训练双基训练 2.已知已知AB=10cm,以以AB为直径作圆为直径作圆,那么在此那么在此 圆上到圆上到AB的距离等于的距离等于5的点共有的点共有()A.无数个无数个 B.1个个 C.2个个 D.4个个C3.下列说法中正确的个数是（下列说法中正确的个数是（）.直径是弦直径是弦 .半圆是弧半圆是弧 .平分弦的直径垂直于弦平分弦的直径垂直于弦.圆是轴对称图形，对称轴是直径圆是轴对称图形，对称轴是直径A.1个个 B.2个个 C.3个个 D.4个个B1.确定一个圆的条件是确定一个圆的条件是和和圆心圆心半径半径D4.4.下列命题中正确的是下列命题中正确的是()()A.A.弦的垂线平分弦所对的弧弦的垂线

11、平分弦所对的弧;B.B.平分弦的直径垂直于这条弦平分弦的直径垂直于这条弦;C.C.过弦的中点的直线必过圆心过弦的中点的直线必过圆心;D.D.弦所对的两条弧的中点连线垂直平分弦弦所对的两条弧的中点连线垂直平分弦且过圆心且过圆心;双基训练双基训练 5.如图如图,将半径为将半径为2cm的圆形纸片折叠后，圆弧的圆形纸片折叠后，圆弧恰好经过圆心，则折痕恰好经过圆心，则折痕AB的长为的长为()A.2cm B.cm C.cm D.cm33252C6.已知点已知点P是半径为是半径为5的的 O内内的一定点，且的一定点，且OP=4，则过，则过P点的所有弦中，弦长可能取点的所有弦中，弦长可能取的整数值为（的整数值为

12、（）A.5，4，3 B.10，9，8，7，6，5，4，3 C.10，9，8，7，6 D.10，9，8COBA7.7.已知已知:O:O中弦中弦ABCDABCD且且AB=9cm,CD=12cm,AB=9cm,CD=12cm,OO的直径为的直径为15cm,15cm,则弦则弦AB,CDAB,CD间的距离为间的距离为()()A.1.5cm B.10.5cm;A.1.5cm B.10.5cm;C.1.5cm C.1.5cm或或10.5cm D.10.5cm D.都不对都不对;CABCDO3cm8.已知已知P为为内一点，且内一点，且OP2cm，如果，如果的半径是的半径是，则过，则过P点的最长点的最长的弦等于

13、的弦等于.最短的弦等于最短的弦等于_。o o随堂训练随堂训练OAPBNM9.P9.P为为O O内一点内一点,且且OP=2cm,OP=2cm,若若O O的半径为的半径为3cm,3cm,则过则过P P点的最短弦长等于点的最短弦长等于()()A.1cm B.2cm C.cm D.A.1cm B.2cm C.cm D.5cm52DOBCADEOAPB10.10.同心圆中同心圆中,大圆的弦大圆的弦ABAB交小圆于交小圆于C,D,C,D,已知已知AB=4,CD=2,ABAB=4,CD=2,AB的弦心距为的弦心距为1,1,则两个同心圆的则两个同心圆的半径之比为半径之比为()()A.3:2 B.:C.:2 D

14、.5:4 A.3:2 B.:C.:2 D.5:4525B11.11.已知已知:和和 是是O O的两条弧的两条弧,且且 =2 ,=2 ,则则()()A.AB=2CD B.AB2CD A.AB=2CD B.AB2CD C.AB2CD D.C.AB2CD D.都不对都不对ABABCDCDABABCDCDC12.12.已知直径已知直径ABAB被弦被弦CDCD分成分成AE=4,AE=4,EB=8,CDEB=8,CD和和ABAB成成30300 0角角,则弦则弦CDCD的弦心距的弦心距OF=_;CD=_.OF=_;CD=_.1352EOABCDF在在a,d,r,ha,d,r,h中，已知其中任中，已知其中任意

15、两个量意两个量,可以求出其它可以求出其它两个量两个量.EOABDCd+h=rd+h=r222)2(adr13.已知：如图，直径已知：如图，直径CDAB，垂足为，垂足为E.若半径若半径R=2，AB=,求求OE、DE 的长的长.若半径若半径R=2，OE=1，求，求AB、DE 的长的长.由由、两题的启发，你还能编出什么其、两题的启发，你还能编出什么其他问题？他问题？32课前训练课前训练 1.到点到点A的距离为的距离为4cm的所有点组成的图形是的所有点组成的图形是_。以点以点A为圆心，为圆心，4cm为半径的圆为半径的圆2.（07广东模拟广东模拟）如图，）如图，AB是是 O的弦，半的弦，半径径OC、OD

16、分别交分别交AB于点于点E、F，AE=BF，请，请找出线段找出线段OE与与OF的数的数量关系，并给予证明。量关系，并给予证明。DCOFEBA3 3、如图为一圆弧形拱桥，半径、如图为一圆弧形拱桥，半径OA=OA=10m10m，拱高为，拱高为4m4m，求拱桥跨度，求拱桥跨度ABAB的长。的长。ACBDO4.某机械传动装置在静止状态时，连杆某机械传动装置在静止状态时，连杆PA与点与点A运动所形成的运动所形成的 O交于交于B点，现测得点，现测得PB=8cm，AB=10cm，O 的半径的半径R=9cm，求此时，求此时P到圆到圆心心O的距离。的距离。POBA5.如图，水平放置的一个油管的截面半径为如图，水

17、平放置的一个油管的截面半径为 13cm，其中有油部分油面宽，其中有油部分油面宽AB=24cm，则，则截截面上有油部分油面高面上有油部分油面高CD=双基训练双基训练 半径、弦长、弓形的高、半径、弦长、弓形的高、圆心到弦的距离圆心到弦的距离知二求二知二求二8cmO OD DC CB BA A6、为改善市民生活环境，市建设污水管网工程，、为改善市民生活环境，市建设污水管网工程，某圆柱型水管截面如图所示，管内水面宽某圆柱型水管截面如图所示，管内水面宽AB=8dm。若水管截面半径为若水管截面半径为5dm，则污水的最大深度为，则污水的最大深度为_ dm。若水深若水深1dm，则水管截面半径为，则水管截面半径

18、为_dm.OBA28.5弓形问题中：弓形问题中：半径、弦长、弦心距、弓形半径、弦长、弦心距、弓形高高“知二求二知二求二”随堂训练随堂训练变式：变式：为改善市民生活环境，市建设污水管网工为改善市民生活环境，市建设污水管网工程，某圆柱型水管截面管内水面宽程，某圆柱型水管截面管内水面宽AB=8dm，截，截面半径为面半径为5dm。则水深。则水深_dm.2或或8思维拓展思维拓展7.某居民小区一处圆柱形的输水管道破裂，维修某居民小区一处圆柱形的输水管道破裂，维修人员为更换管道，需确定管道圆形截面的半径，人员为更换管道，需确定管道圆形截面的半径，下图是水平放置的破裂管道有水部分的截面下图是水平放置的破裂管道

19、有水部分的截面（1）请你补全这个输水管道的圆形截面；）请你补全这个输水管道的圆形截面；（2）若这个输水管道有水部分的水面宽）若这个输水管道有水部分的水面宽AB16cm，水面最深地方的高度为，水面最深地方的高度为4cm，求这个圆形截，求这个圆形截面的半径面的半径BA链接中考链接中考 7.如图，点如图，点A、B是是 O上两点，上两点，AB=10，点，点P是是 O上的动点，（上的动点，（P与与A，B不重合），连接不重合），连接AP、PB，过点，过点O分别分别OEAP于于E，OFPB于于F，则，则EF=。5O OF FE EP PB BA A8 8、如图，在、如图，在O O中，中，ABAB为为O O的

20、弦，的弦，C C、D D是直线是直线ABAB上两点，且上两点，且ACACBD BD 求证：求证：OCDOCD为等腰三角形。为等腰三角形。EABCDO9.9.已知已知:AB:AB和和CDCD是是O O的两条等弦的两条等弦,点点E,FE,F分别在分别在ABAB和和CDCD的延长线上且的延长线上且BE=DF.BE=DF.求证求证:EF:EF的垂直平分线经过圆心的垂直平分线经过圆心O.O.OFDCEABKL10.10.在在O O中中,过圆周上一点过圆周上一点A A作弦作弦ABAB和和AC,AC,且且AB=ACAB=AC，M M和和N N分别为分别为ABAB及及ACAC弦的中点弦的中点.连连M M和和N

21、 N并反向延长交圆于并反向延长交圆于P P和和Q Q两点两点.求证求证:PM=NQ.:PM=NQ.OCABPQHMNl例例1 1 如图，一条公路的转变处是一段圆弧如图，一条公路的转变处是一段圆弧(即即图中弧图中弧CD,CD,点点O O是弧是弧CDCD的圆心的圆心),),其中其中CD=600m,ECD=600m,E为弧为弧CDCD上的一点上的一点,且且OECDOECD垂足为垂足为F,EF=90m.F,EF=90m.求这段弯路的半径求这段弯路的半径.n解解:连接连接OC.OC.OCDEF.)90(,mROFRm则设弯路的半径为,CDOE).(3006002121mCDCF得根据勾股定理,即,222

22、OFCFOC.90300222RR.545,R得解这个方程.545m这段弯路的半径约为随堂训练随堂训练8如图，公路如图，公路MN和公路和公路PQ在点在点P处交汇，且处交汇，且QPN=30，点，点A处有一所中学，处有一所中学，AP=160m，假设拖拉机行驶时，周围假设拖拉机行驶时，周围100m内会受到噪音的内会受到噪音的影响，那么拖拉机在公路影响，那么拖拉机在公路MN上沿上沿PN方向行驶方向行驶时，学校是否会受到噪音影响？试说明理由，时，学校是否会受到噪音影响？试说明理由，如果受影响，已知拖拉机的速度为如果受影响，已知拖拉机的速度为18km/h，那，那么学校受影响的时间为多少秒？么学校受影响的时

23、间为多少秒？QAPNM30 2.2.已知已知:AB:AB是是O O的直径的直径,CD,CD是弦是弦,AECD,AECD于于E,E,BFCD BFCD于于F.F.求证求证:EC=DF.:EC=DF.AOGBFCDEOACDEFBG垂径定理垂径定理的应用的应用G.AOBECDFOABCDGEF人教版九年级上册人教版九年级上册圆是中心对称图形吗圆是中心对称图形吗?它的对称中心在哪里它的对称中心在哪里?圆是中心对称图形，圆是中心对称图形，它的对称中心是圆心它的对称中心是圆心.圆心角圆心角：我们把：我们把 的角的角叫做叫做圆心角圆心角.OBAAOBAOB是圆心角吗？是圆心角吗？圆心角圆心角AOBAOB所

24、对所对的弦为的弦为ABAB，所对的弧，所对的弧为为ABAB。顶点在圆心顶点在圆心是是1 1、判别下列各图中的角是不是圆心角，并、判别下列各图中的角是不是圆心角，并说明理由。说明理由。对于下图中的三个量：对于下图中的三个量：圆心角圆心角弧弧弦弦OBA这三个量之间会有什么关系呢？这三个量之间会有什么关系呢？如图，将圆心角如图，将圆心角AOBAOB绕圆心绕圆心O O旋转到旋转到A A1 1OBOB1 1的位置，你能发现哪些等量关系？为什么？的位置，你能发现哪些等量关系？为什么？OABA1B1 AOB=AOB=A A1 1OBOB1 1AB=AAB=A1 1B B1 1，AB=AAB=A1 1B B1

25、 1.COAB探究一探究一 思考：如图，在等圆中，如果思考：如图，在等圆中，如果AOBAO B，你发现的等量关系是否依然成立？为什么？你发现的等量关系是否依然成立？为什么？O AB由由AOBAO B可得可得到：到：BOAAOBBAABOABA1 1B1 在在同圆同圆或或等圆等圆中，相等的圆心角所对的中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等弧相等，所对的弦相等.AOB=AOB=A A1 1OBOB1 1AB=AAB=A1 1B B1 1，AB=AAB=A1 1B B1 1.圆心角定理圆心角定理（1）、）、如果如果 那么那么AOBAOB，成立吗成立吗?探究二探究二在同圆中，在同圆中，（1）成成

26、立立（2）、）、如果如果 那么那么AOBAOB，成立吗成立吗?探究二探究二在同圆中，在同圆中，（2）成成 立立弧、弦与圆心角的关系定理弧、弦与圆心角的关系定理1、在同圆或等圆中，、在同圆或等圆中，相等的相等的圆心角圆心角所对的所对的弧弧相等，所对的相等，所对的弦弦也相等也相等小结小结圆心角圆心角相等相等弧弧相等相等弦弦相等相等2、在同圆或等圆中、在同圆或等圆中，相等的，相等的弧弧所对的所对的圆心角圆心角_，所对的所对的弦弦_；3、在同圆或等圆中、在同圆或等圆中，相等的相等的弦弦所对的所对的圆心角圆心角_，所对所对的的弧弧_相等相等相等相等相等相等相等相等在同圆或等圆中，两个在同圆或等圆中，两个

27、圆心角、两条弧、两条圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，它弦中有一组量相等，它们所对应的其余各组量们所对应的其余各组量也相等也相等(1)(1)圆心角圆心角(2)(2)弧弧(3)(3)弦弦知一得二知一得二等对等定理整体理解：等对等定理整体理解：OABA1 1B1 如图，如图，AB、CD是是 O的两条弦的两条弦（1）如果）如果AB=CD，那么，那么_，_（2）如果）如果 ，那么，那么_，_（3）如果）如果AOB=COD，那么，那么_，_（4）如果）如果AB=CD，OEAB于于E，OFCD于于F，OE与与OF相等吗？相等吗？为什么？为什么？CABDEFOAB=CDAB=CD练习练习CD=ABCD=

28、ABCD=AB OEOF证明：证明：AB=ACABC是等腰三角形是等腰三角形又又ACB=60，ABC是等边三角形是等边三角形,AB=BC=CA.AOBBOCAOC.ABCO例题例题AC=AB例例1 如图，在如图，在 O中，中，AB=AC,ACB=60,求证：求证：AOB=BOC=AOC60 1、如图，在、如图，在 O中，中，AB=AC，C=75，求，求A的度数。的度数。练习练习 2、如图，、如图，AB是是 O 的直径，的直径，COD=35，求，求AOE 的度数的度数AOBCDE解：解：练习练习=DECD=BC=DECD=BC练习练习3、如图，如图，AD=BC,比较比较AB与与CD的长度，并证明

29、你的结的长度，并证明你的结论。论。MNOBAC4、如图，已知、如图，已知OA、OB是是 O的半径，点的半径，点C为为AB的的中点，中点，M、N分别为分别为OA、OB的中点，求证：的中点，求证：MC=NC练习练习OBCAE5、如图，、如图，BC为为 O的直径，的直径，OA是是 O的半径，的半径，弦弦BEOA,求证：求证：AC=AE 练习练习6 6、如图、如图7 7所示，所示，CDCD为为OO的弦，在的弦，在CDCD上取上取CE=DFCE=DF，连结，连结OEOE、OFOF，并延长交，并延长交OO于点于点A A、B.B.（1 1）试判断）试判断OEFOEF的形状，并说明理由；的形状，并说明理由；（

30、2 2）求证：）求证：AC=BDAC=BD EFOABCDHG1 1、三个元素：、三个元素：圆心角、弦、弧圆心角、弦、弧2 2、三个相等关系：、三个相等关系：OABA1 1B1(1)(1)圆心角相等圆心角相等(2)(2)弧相等弧相等(3)(3)弦相等弦相等知一得二知一得二1.垂径定理的内容是什么垂径定理的内容是什么?画出适合题意的画出适合题意的图形图形,用符号语言表示出来用符号语言表示出来.垂直于弦垂直于弦的的直径直径平分弦平分弦,且平分弦所对的两条弧且平分弦所对的两条弧.OABCDECDAB,CD是直径是直径,AE=BE,AC=BC,AD=BD.符号语言符号语言图形语言图形语言温故而知新温故

31、而知新垂径定理推论垂径定理推论 平分弦平分弦（不是直径）（不是直径）的直径垂的直径垂直于弦直于弦,并且平分弦所对的两条弧。并且平分弦所对的两条弧。CDAB,CDAB,CD CD是直径，是直径，AE=BE AE=BE AC=BC,AC=BC,AD=BD.AD=BD.OABCDE（1 1）如何证明？）如何证明？OABCDE已知：已知：如图，如图，CDCD是是O O的直径，的直径，ABAB为弦为弦，且，且AE=BE.AE=BE.证明：证明：连接连接OAOA，OBOB，则，则OA=OBOA=OB AE=BE AE=BE CDAB CDAB AD=BD,AD=BD,求证：求证：CDABCDAB，且，且A

32、D=BD,AD=BD,AC=BC AC=BC AC=BC AC=BC（2 2）“不是直径不是直径”这个条件能去掉吗？如这个条件能去掉吗？如果不能，请举出反例。果不能，请举出反例。平分弦平分弦（不是直径）（不是直径）的直径垂直于的直径垂直于弦弦,并且平分弦所对的两条弧。并且平分弦所对的两条弧。OABCD CD CD是直径是直径,CDAB,CDAB,AM=BM AM=BM AC=BC,AC=BC,AD=BD.AD=BD.如果具备上面五个条件中的任何两个，那如果具备上面五个条件中的任何两个，那么一定可以得到其他三个结论吗？么一定可以得到其他三个结论吗？一条直线一条直线满足满足:(1):(1)过圆心过

33、圆心;(2);(2)垂直于弦垂直于弦;(3);(3)平分弦平分弦（不是直径）（不是直径）;(4);(4)平分弦所对优弧平分弦所对优弧;(5);(5)平分弦所对的劣弧平分弦所对的劣弧.OABCDM课堂讨论课堂讨论根据已知条件进行推导：根据已知条件进行推导：过圆心过圆心垂直于弦垂直于弦 平分弦平分弦 平分弦所对优弧平分弦所对优弧 平分弦所对劣弧平分弦所对劣弧（1 1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所 对的两条弧。对的两条弧。（3 3）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧。）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧。（2

34、2）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分 弦所对的另一条弧。弦所对的另一条弧。只要具备上述五个条件中任两个只要具备上述五个条件中任两个,就可以推出其余三个就可以推出其余三个.(4)若若 ，CD是直径是直径,则则 、.(1)若若CDAB,CD是直径是直径,则则 、.(2)若若AM=MB,CD是直径是直径,则则 、.(3)若若CDAB,AM=MB,则则 、.1.如图所示如图所示:练习练习OABCDMAM=BM AC=BC AD=BD CDAB AC=BC AD=BD CD是直径是直径 AC=BC AD=BD AC=BC CDABAM=BM

35、AD=BD 试一试试一试2.判断：判断：()(1)垂直于弦的直线平分这条弦垂直于弦的直线平分这条弦,并且平分并且平分 弦所对的两条弧弦所对的两条弧.()(2)平分弦所对的一条弧的直径一定平分平分弦所对的一条弧的直径一定平分 这条弦所对的另一条弧这条弦所对的另一条弧.()(3)经过弦的中点的直径一定垂直于弦经过弦的中点的直径一定垂直于弦.()(4)圆的两条弦所夹的弧相等圆的两条弦所夹的弧相等,则这两条弦平行则这两条弦平行.()(5)弦的垂直平分线一定平分这条弦所对的弧弦的垂直平分线一定平分这条弦所对的弧.3 3、如图，点、如图，点P P是半径为是半径为5cm5cm的的O O内一点，且内一点，且O

36、P=3cm,OP=3cm,则过则过P P点的弦中，点的弦中，（1 1）最长的弦）最长的弦=cmcm（2 2）最短的弦）最短的弦=cmcm（3 3）弦的长度为整数的共有（）弦的长度为整数的共有（）A A、2 2条条 b b、3 3条条 C C、4 4条条 D D、5 5条条 O PAOCD54P3B4 4、如图，点、如图，点A A、B B是是O O上两点，上两点，AB=8,AB=8,点点P P是是O O上的动点（上的动点（P P与与A A、B B不重合）不重合）,连接连接APAP、BP,BP,过点过点O O分别作分别作OEAPOEAP于于E,OFBPE,OFBP于于F,F,EFEF=。O A B

37、 P E F4船能过拱桥吗船能过拱桥吗?例例3.3.如图如图,某地有一圆弧形拱桥某地有一圆弧形拱桥,桥下水面宽为桥下水面宽为7.27.2米米,拱顶高出水面拱顶高出水面2.42.4米米.现有一艘宽现有一艘宽3 3米、米、船舱顶部为长方形并高出水面船舱顶部为长方形并高出水面2 2米的货船要经米的货船要经过这里过这里,此货船能顺利通过这座拱桥吗？此货船能顺利通过这座拱桥吗？船能过拱桥吗船能过拱桥吗解解:如图如图,用用 表示桥拱表示桥拱,所在圆的圆心为所在圆的圆心为O,O,半径为半径为Rm,Rm,经过圆心经过圆心O O作弦作弦ABAB的垂线的垂线OD,DOD,D为垂足为垂足,与与 相交于点相交于点C.

38、C.根根据垂径定理据垂径定理,D,D是是ABAB的中点的中点,C,C是是 的中点的中点,CD,CD就是拱高就是拱高.由题设得由题设得ABABABAB.5.121,4.2,2.7MNHNCDABABAD21,6.32.721DCOCOD.4.2 R在在RtOAD中，由勾股定理，得中，由勾股定理，得,222ODADOA.)4.2(6.3222RR即解得解得 R3.9（m）.在在RtONH中，由勾股定理，得中，由勾股定理，得,22HNONOH.6.35.19.322OH即.21.25.16.3DH此货船能顺利通过这座拱桥此货船能顺利通过这座拱桥.OABC 已知已知A、B、C是是 O上三点，且上三点，

39、且AB=AC，圆心圆心O到到BC的距离为的距离为3厘米，圆的半径为厘米，圆的半径为5厘厘米，求米，求AB长。长。DD试一试试一试OABCOABOAB 已知已知 O的半径为的半径为5厘米，弦厘米，弦AB的长为的长为8厘米，厘米，求此弦的中点到这条弦所对的弧的中点的距求此弦的中点到这条弦所对的弧的中点的距离。离。EEDD练习练习1.已知已知P为为 O内一点，且内一点，且OP2cm，如果如果 O的半径是的半径是3cm,那么过那么过P点的点的最最短的弦短的弦等于等于.EDCBAPO2 5cm2.过过 O内一点内一点M的最长弦长为的最长弦长为4厘米，最短厘米，最短弦长为弦长为2厘米，则厘米，则OM的长是

40、多少？的长是多少？OMA某圆直径是某圆直径是10,内有两条平行弦内有两条平行弦,长度长度分别为分别为6和和8求这两条平行弦间的距离求这两条平行弦间的距离.回顾与思考回顾与思考l这节课你有什么收获？这节课你有什么收获？l还有哪些疑问？还有哪些疑问？1.1.过过o o内一点内一点M M的最长的弦长为的最长的弦长为1010,最短弦长为最短弦长为8 8,那么那么o o的半径是的半径是2.2.已知已知o o的弦的弦AB=6AB=6,直径直径CD=10CD=10,且且ABCD,ABCD,那那么么C C到到ABAB的距离等于的距离等于3.3.已知已知O O的弦的弦AB=4AB=4,圆心圆心O O到到ABAB

41、的中点的中点C C的距离为的距离为1 1,那么那么O O的半径为的半径为4.4.如图如图,在在O O中弦中弦ABAC,ABAC,OMAB,ONAC,OMAB,ONAC,垂足分别为垂足分别为M,M,N,N,且且OM=2,0N=3,OM=2,0N=3,则则AB=,AB=,AC=,OA=AC=,OA=BAMCON51或或956413Cm5 5、如图，、如图，O O中中CDCD是弦，是弦，ABAB是直径，是直径，AECDAECD于于E E，BFCDBFCD于于F F，求证：，求证：CECEDFDF。MFEABDCO24.1.4 圆周角圆周角1、复习提问、复习提问:(2)圆心角，弧，弦，弦心圆心角，弧，

42、弦，弦心 距关系定理是什么？距关系定理是什么？(1)什么是圆心角？什么是圆心角？ACBACB与与 AOB AOB 有何异同点？有何异同点？你知道你知道ACBACB这一类的角名字吗？这一类的角名字吗？顶点在圆上，两边与圆相交的角顶点在圆上，两边与圆相交的角,叫圆周叫圆周角。角。圆周角的概念圆周角的概念 ：BACO判断下列各图形中的是不是圆周角判断下列各图形中的是不是圆周角,并说明理由并说明理由 归纳：归纳：一个角是圆周角的条件：顶点在圆上；一个角是圆周角的条件：顶点在圆上；两边都和圆相交两边都和圆相交.问题：同弧所对圆周角的度数与相应的圆心角问题：同弧所对圆周角的度数与相应的圆心角度数有什么关系

43、？度数有什么关系？问题：同弧所对圆周角的度数与相应的圆心角问题：同弧所对圆周角的度数与相应的圆心角度数有什么关系？度数有什么关系？(1)(1)当圆心在圆周角的一边上时当圆心在圆周角的一边上时,证明证明:(圆心在圆周角上圆心在圆周角上)结论：结论：在同圆或等圆中在同圆或等圆中,一条弧所对的圆周角等于它所对圆心角的一半一条弧所对的圆周角等于它所对圆心角的一半.COBACBACBOC 2.2.当圆心在圆周角内部时当圆心在圆周角内部时提示提示:能否转化为能否转化为1 1的情况的情况?n过点过点B B作直径作直径BD.BD.由由1 1可得可得:ABC=AOC.ABC=AOC.nABD=AOD,CBD=C

44、OD,ABD=AOD,CBD=COD,OABCD结论结论:在同圆或等圆中在同圆或等圆中,一条弧所对的圆周角等于它所对圆心角的一半一条弧所对的圆周角等于它所对圆心角的一半.3.3.当圆心在圆周角外部时当圆心在圆周角外部时结论结论:在同圆或等圆中在同圆或等圆中,一条弧所对的圆周角等于它所对圆心角的一半一条弧所对的圆周角等于它所对圆心角的一半.提示提示:能否转化为能否转化为1的情况的情况?n过点过点B B作直径作直径BD.BD.由由1 1可得可得:ABC=AOC.ABC=AOC.nABD=AOD,CBD=COD,ABD=AOD,CBD=COD,2121ODABC定理定理在同圆或等圆中，一条弧所对的圆

45、周在同圆或等圆中，一条弧所对的圆周角等于它所对圆心角的一半角等于它所对圆心角的一半.BACO圆周角定理圆周角定理在同圆或等圆中在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的，同弧或等弧所对的圆周角圆周角都相等，都相等，等于它所对的等于它所对的圆心角圆心角的一半。的一半。ABCOABCOABCO即即BAC=BOCBACDEFGO例例 在在O O中中,AB,AB是直径是直径,弦弦CGABCGAB于于D,D,交交BFBF于于E,E,求证求证:BE=EC:BE=ECCBCF=练一练练一练.1.1试找出下图中所有相等的圆周角。试找出下图中所有相等的圆周角。ABCD123456782=71=43=65=8如果如果A=4

46、4,则则BOC=_.如果如果BOC=44,则则A=_.如果如果A=35,则则BDC=_.OABCD半圆或直径所对的圆周角等于多少度？半圆或直径所对的圆周角等于多少度？OABC2.902.90的圆周角所对的弦是的圆周角所对的弦是否是直径？否是直径？问题问题3 3 在半径不等的圆中，相等的两个在半径不等的圆中，相等的两个圆周角所对的弧相等吗？圆周角所对的弧相等吗？CABBAC如图，如图，ABC=30，ABC=30，但是，但是CAAC在同圆或等圆中，如果两个圆周角相等，在同圆或等圆中，如果两个圆周角相等，它们所对的弧一定相等吗？为什么？它们所对的弧一定相等吗？为什么？ABBACCO结论结论l在同圆或

47、等圆中，如果两个圆在同圆或等圆中，如果两个圆周角相等，那么它们所对的弧周角相等，那么它们所对的弧一定相等一定相等例例.如图如图O O的直径的直径ABAB为为10cm,10cm,弦弦ACAC为为6cm,6cm,ACBACB的平分线交的平分线交O O于点于点D,D,求求BC,AD,BDBC,AD,BD的长的长.ACBDOABCO例例:已知已知,O,O的弦的弦ABAB长等于圆的半径长等于圆的半径,求该弦所对的圆心角和圆周角的度数求该弦所对的圆心角和圆周角的度数,OABC因此，在点B射门为好。如图，在足球比赛中，甲、乙两名队 员互相配合向对方球门MN进攻，当 甲带球冲到A点时，乙已跟随冲到B点，此时自

48、己直接射门好，还是迅速将球回传给乙，让乙射门好？(在射门时球员相对与球门的张角越大射门的成功率就越大。)解：过M、N、B作圆，则点A在圆外因为AMCN21 而MCN O=BAB连接M、C练习练习:1,:1,如图如图 ABAB是是O O的直径的直径,C,D,C,D是圆上是圆上的两点的两点,若若ABD=40ABD=40,则则BCD=BCD=.ABOCD405002.2.如图如图OAOA、OBOB、OCOC都是都是O O的半径，的半径，AOB=2BOCAOB=2BOC求证：求证：ABC=BACABC=BACCBOA3,3,如图所示，如图所示，ABAB，ACAC是是O O的弦，的弦，ADBCADBC于

49、于D D，交，交O O于于F F，AEAE与与O O的直径，试问两的直径，试问两弦弦BEBE与与CFCF的大小有何关系，说明理由的大小有何关系，说明理由 4,4,已知：已知：ABCABC的三个顶点在的三个顶点在O O上上,BAC=50BAC=50,ABC=47,ABC=47,求求AOBAOB解：有题意知：解：有题意知：A A、B B、C C是圆周角，是圆周角，AOBAOB是圆心角是圆心角又又BAC=50BAC=50，ABC=47ABC=47ACB=180ACB=180-(A-(AB)B)=180 =180-(50-(504747)=83 =83 AOB2ACB283166.BACO5,求证：如

50、果三角形一边上的中线等于这求证：如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形。边的一半，那么这个三角形是直角三角形。（提示：作出这条边为直径的圆）（提示：作出这条边为直径的圆）OABC6,6,如图，已知圆心角如图，已知圆心角AOB=100AOB=100,求圆周角求圆周角ACBACB、ADBADB的度数？的度数？7,7,一条弦分圆为一条弦分圆为1 1：4 4两部分，求这弦所对的两部分，求这弦所对的圆周角的度数？圆周角的度数？DAOCBCDABE补充例题补充例题:平分已知弧平分已知弧ABAB已知：弧已知：弧ABAB作法：作法：连结连结ABAB.作作ABAB的垂直平分线的垂直平分