实验设计与数据分析-方差分析课件.ppt
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1、第二章 正交试验设计的方差分析2022-11-11第二章第二章 正交试验设计的方差分析正交试验设计的方差分析一、试验设计的基本原则一、试验设计的基本原则二、正交试验的方差分析二、正交试验的方差分析三、重复试验的方差分析三、重复试验的方差分析四、误差分析与试验水平四、误差分析与试验水平一、实验设计的基本原则1.随机化原则:每个处理以概率均等的原则,随机地选择实验单元。2.重复原则:独立重复实验、重复测量3.对照原则:空白、安慰剂、实验条件、标准、历史或中外对照。4.区组原则:人为划分的时间、空间、设备等实验条件称为区组(block)。(3,4合称为局部控制原则)n方差分析(方差分析(analys
2、is of variance,简称,简称ANOVA)检验试验中有关因素对试验结果影响的显著性检验试验中有关因素对试验结果影响的显著性n试验指标试验指标(experimental index)衡量或考核试验效果的参数衡量或考核试验效果的参数 n因素因素(experimental factor)影响试验指标的条件影响试验指标的条件 可控因素可控因素(controllable factor)n水平水平(level of factor)因素的不同状态或内容因素的不同状态或内容 方差分析的必要性方差分析的必要性n 极差分析极差分析不能估计试验中以及试验结果测定中不能估计试验中以及试验结果测定中必然存在的
3、误差大小。为了弥补这个缺点,可必然存在的误差大小。为了弥补这个缺点,可采用方差分析的方法。采用方差分析的方法。n 方差分析法方差分析法是将因素水平(或交互作用)的变是将因素水平(或交互作用)的变化所引起的试验结果间的差异与误差波动所引化所引起的试验结果间的差异与误差波动所引起的试验结果间的差异区分开来的一种数学方起的试验结果间的差异区分开来的一种数学方法。法。n 所谓所谓方差分析方差分析,就是给出离散度的各种因素将就是给出离散度的各种因素将总变差平方和进行分解,然后进行统计检验的总变差平方和进行分解,然后进行统计检验的一种数学方法。一种数学方法。方差分析法的基本思路:(1)由数据中的总偏差平方
4、和中分出组内偏差平方和、组间偏差平方和,并赋予它们的数量表示;(2)用组间偏差平方和与组内偏差平方和在一定意义下进行比较,如两者相差不大,说明因素水平的变化对指标影响不大;如两者相差较大,组间偏差平方和比组内偏差平方和大得多,说明因素水平的变化影响很大,不可忽视;(3)构造F统计量,作F检验,即可判断因素作用是否显著。空列(误差)因素SSSSSST空列(误列(因素Tdfdfdf误差误差误差因素因素因素dfSSMSdfSSMS ,误差因素因素MSMSF由于进行F检验时,要用误差偏差平方和SSe及其自由度dfe,因此,为进行方差分析,所选正交表应留出一定空列。当无空列时,应进行重复试验,以估计试验
5、误差。误差自由度一般不应小于2,dfe很小,F检验灵敏度很低,有时即使因素对试验指标有影响,用F检验也判断不出来。为了增大dfe,提高F检验的灵敏度,在进行显著性检验之前,先将各因素和交互作用的方差与误差方差比较,若MS因(MS交)2MSe,可将这些因素或交互作用的偏差平方和、自由度并入误差的偏差平方和、自由度,这样使误差的偏差平方和和自由度增大,提高了F检验的灵敏度。9T-KKK31 9y9.y2y1y9y8y7y6y5y4y3y2y131SS22322212222A)(修正项)()()()(2.1 单因素试验的方差分析单因素试验的方差分析(one-way analysis of varia
6、nce)2.1.1 单因素试验方差分析基本问题单因素试验方差分析基本问题(1)目的:检验一个因素对试验结果的影响是否显著性)目的:检验一个因素对试验结果的影响是否显著性(2)基本命题:)基本命题:n设某单因素设某单因素A有有r种水平:种水平:A1,A2,Ar,在每种水平,在每种水平下的试验结果服从正态分布下的试验结果服从正态分布n在各水平下分别做了在各水平下分别做了ni(i1,2,r)次试验)次试验n判断因素判断因素A对试验结果是否有显著影响对试验结果是否有显著影响 (3)单因素试验数据表单因素试验数据表 2.1.2 单因素试验方差分析基本步骤单因素试验方差分析基本步骤(1)计算平均值)计算平
7、均值n组内平均值组内平均值:111inrijijxxn11iniijjixxnn 总平均:(2)计算偏差平方和)计算偏差平方和总偏差平方和总偏差平方和SST(sum of squares for total)211()inrTijijSSxxn 表示了各试验值与总平均值的偏差的平方和n 反映了试验结果之间存在的总差异 组间偏差平方和 SSA(sum of square for factor A)22111()()inrriiAiijiSSxxn xxn 反映了各组内平均值之间的差异程度n 由于因素A不同水平的不同作用造成的 组内偏差平方和组内偏差平方和 SSe(sum of square fo
8、r error)n反映了在各水平内,各试验值之间的差异程度反映了在各水平内,各试验值之间的差异程度 n由于随机误差的作用产生由于随机误差的作用产生 211()inrieijijSSxx三种偏差平方和之间关系:TAeSSSSSS(3)计算自由度)计算自由度(degree of freedom)n总自由度总自由度:dfTn1n组间自由度组间自由度:dfA r1n组内自由度组内自由度:dfe nr 三者关系三者关系:dfT dfA dfe(4)计算平均平方)计算平均平方n均方偏差平方和除以对应的自由度均方偏差平方和除以对应的自由度/AAAMSSSdf/eeeMSSSdfMSA组间均方MSe组内均方/
9、误差的均方(5)F检验检验n服从自由度为(服从自由度为(dfA,dfe)的)的F分布(分布(F distribution)n对于给定的显著性水平对于给定的显著性水平,从,从F分布表查得临界值分布表查得临界值F(dfA,dfe)n如果如果FA F(dfA,dfe),则认为因素,则认为因素A对试验结果有对试验结果有显著影响否则认为因素显著影响否则认为因素A对试验结果没有显著影响对试验结果没有显著影响 AAeMSFMS组间均方组内均方(6)方差分析表)方差分析表 n若若 FA F0.01(dfA,dfe),称因素,称因素A对试验结果有对试验结果有非常显著非常显著的的影响,用影响,用“*”号表示;号表
10、示;n若若 F0.05(dfA,dfe)FA F0.01(dfA,dfe),则因素,则因素A对试验对试验结果有结果有显著显著的影响,用的影响,用“*”号表示;号表示;n若若 FA F0.05(dfA,dfe),则因素,则因素A对试验结果的影响对试验结果的影响不显著不显著单因素试验的方差分析表 2.1.3 Excel在单因素试验方差分析中的应用在单因素试验方差分析中的应用n利用利用Excel“分析工具库分析工具库”中的中的“单因素方差分析单因素方差分析”工具工具 小结:根据偏差平方和的加和性,总偏差平方和可以分解成为组间偏差平方和与组内偏差平方和,前者反映了因素对试验结果的影响,后者反映了误差对
11、试验结果的影响。根据数学原理对组间偏差平方和与组内偏差平方和进行合理的比较,就能分析出因素对试验结果的影响程度、性质。若 F0.05(dfA,dfe)FA F0.01(dfA,dfe),由于F0.05(dfA,dfe)FA出现的概率只有5,是一个小概率事件,当其出现时,说明试验条件的改变对试验结果有显著性影响。若 FA F0.01(dfA,dfe),由于若 FA F0.01(dfA,dfe)出现的概率只有1,是一个更小概率事件,当其出现时,当然更说明试验条件的改变对试验结果有高度显著性影响。2.2 双因素试验的方差分析双因素试验的方差分析n讨论两个因素对试验结果影响的显著性,又称讨论两个因素对
12、试验结果影响的显著性,又称“二二元方差分析元方差分析”2.2.1 双因素无重复试验的方差分析双因素无重复试验的方差分析(1)双因素无重复试验)双因素无重复试验(2)双因素无重复试验方差分析的基本步骤)双因素无重复试验方差分析的基本步骤 计算平均值计算平均值 n总平均总平均:111rsijijxxrs 11siijjxxs11rjijixxrn Ai水平时:n Bj水平时:计算偏差平方和计算偏差平方和 n总偏差平方和:总偏差平方和:n因素因素A引起偏差的平方和:引起偏差的平方和:n因素因素B引起偏差的平方和:引起偏差的平方和:n误差平方和:误差平方和:211rsTijABeijSSxxSSSSS
13、S22111()()srriiAjiiSSxxsxx22111()()rssjjBijjSSxxrxx211()rsijeijijSSxxxx计算自由度计算自由度 nSSA的自由度:的自由度:dfA r1nSSB的自由度:的自由度:dfBs1 nSSe的自由度:的自由度:dfe(r1)()(s1)nSST的自由度:的自由度:dfTn1rs1 ndfT dfA dfB dfe计算均方计算均方 1AAAASSSSMSdfr1BBBBSSSSMSdfs(1)(1)eeeeSSSSMSdfrsF检验检验 nFA服从自由度为(服从自由度为(dfA,dfe)的的F分布;分布;nFB服从自由度为(服从自由度
14、为(dfB,dfe)的的F分布;分布;n对于给定的显著性水平对于给定的显著性水平 ,查,查F分布表:分布表:F(dfA,dfe),F(dfB,dfe)n若若FAF (dfA,dfe),则因素,则因素A对试验结果有显著影响,否对试验结果有显著影响,否则无显著影响;则无显著影响;n若若FBF (dfB,dfe),则因素,则因素B对试验结果有显著影响,否对试验结果有显著影响,否则无显著影响;则无显著影响;BBeMSFMSAAeMSFMS无重复试验双因素方差分析表无重复试验双因素方差分析表 1AASSMSrAAeMSFMS1BBSSMSsBBeMSFMS(1)(1)rs(1)(1)eeSSMSrs无重
15、复试验双因素方差分析表2.2.2 双因素重复试验的方差分析双因素重复试验的方差分析(1)双因素重复试验方差分析试验表)双因素重复试验方差分析试验表 11111211,.,cxxx12112212,.,cxxx1 11 21,.,ssscxxx21121221,.,cxxx22122222,.,cxxx2 12 22,.,ssscxxx11121,.,rrr cxxx21222,.,rrr cxxx12,.,rsrsrscxxx双因素重复试验方差分析试验表(2)双因素重复试验方差分析的基本步骤)双因素重复试验方差分析的基本步骤计算平均值计算平均值n总平均总平均:n任一组合水平(任一组合水平(Ai
16、,Bj)上)上:nAi水平时水平时:nBj水平时水平时:1111rscijkijkxxrsc 11cijijkkxxc11siijkjxxsc11rjijkixxrc计算偏差平方和计算偏差平方和n总偏差平方和:总偏差平方和:n因素因素A引起偏差的平方和:引起偏差的平方和:n因素因素B引起偏差的平方和:引起偏差的平方和:n交互作用交互作用AB引起偏差的平方和:引起偏差的平方和:n误差平方和:误差平方和:2111()rscTijkABABeijkSSxxSSSSSSSS 21()riAiSSscxx21()sjBjSSrcxx 211()rsijijA BijSScxxxx 2111()rscij
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