大学物理课件-质点力学习题课.ppt
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- 大学物理 课件 质点 力学 习题
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1、质点运动的描述质点运动的描述(在直角坐标系(在直角坐标系和自然坐标系)和自然坐标系)运动学的两类问题运动学的两类问题新内容新内容新内容新内容avr,牛顿第二定律的牛顿第二定律的描述(在直角坐描述(在直角坐标系和自然坐标标系和自然坐标系)系)动力学的两类问题动力学的两类问题积分微分积分微分问题问题切向切向法向法向加速加速度度难难点点兼兼重重点点描述机械运动的物理量线量线量:位置矢量位置矢量:位移位移:速度速度:加速度加速度:()rr t21rrr drvdtdvadt角量角量:角位置角位置:角位移角位移:角速度角速度:角加速度角加速度:()t21 ddtddt角量和线量之间的角量和线量之间的关系
2、:关系:22tnSrdsvrdtdvadtvarr 质点动力学质点动力学牛顿第二定律牛顿第二定律F=ma质点动量定理质点动量定理Fdt=d(mv)1、力对时间的累积、力对时间的累积冲量冲量2、动量定义:、动量定义:P=mv质点系动量定理质点系动量定理Fdt=dP动量守恒定律动量守恒定律 F=0 P=C1、力对空间的累积、力对空间的累积功功2、动能定义、动能定义质点系动能定理质点系动能定理功能原理功能原理 A外+A非保守内力=E-E0机械能守恒定律机械能守恒定律质点运动学的基本题型 1、已知运动方程已知运动方程 求质点在任意时刻的速度、加速度、切向加速求质点在任意时刻的速度、加速度、切向加速度、
3、法向加速度、任意时刻的位置以及轨道方程度、法向加速度、任意时刻的位置以及轨道方程等。等。2、已知质点的加速度(或速度)随时间的变化、已知质点的加速度(或速度)随时间的变化规律和初始条件(规律和初始条件(t=0 s时刻的初位矢时刻的初位矢r0和初速和初速度度v0),求质点在任意时刻的速度和运动方程。),求质点在任意时刻的速度和运动方程。这是积分问题,根据加速度的表示有三种情况:这是积分问题,根据加速度的表示有三种情况:对每种情况有不同的积分方法。对每种情况有不同的积分方法。()rr t();();()aa taa vaa r22yxrtttvtttrddddddddddddvvrr、;、22dd
4、,ddtratrv加速度速度v,v,v,r,r,r (1)不正确,以圆周运动为例:不正确,以圆周运动为例:xyt Ryxr 220,022 dtrdadtdrv结果不正确,做圆周运动的物体的速度和加速度显结果不正确,做圆周运动的物体的速度和加速度显然不为零然不为零2222,;,)2(dtrddtvdadtrddtvdadtrdvdtrdv 仍以圆周运动为例,仍以圆周运动为例,j tRi tRr sincos Rvvj tRi tRdtrdv ,cossinRaRdtdRdtdvan2,tRytRx sincos P1)(trSrx y z 0(3)由图可见,由图可见,为做曲线运动的质点的速度;
5、为做曲线运动的质点的速度;dtrddtrd为速度的大小,即速率;而为速度的大小,即速率;而0 dtdr所以,在圆周运动中,所以,在圆周运动中,既不是速度也不是速率,它是速度沿径向分量既不是速度也不是速率,它是速度沿径向分量的大小。的大小。dtdr P2)(ttr r r 0)(tr)(ttr v v 为速度大小的增量,为速度大小的增量,所以,所以,dtdv为加速度在速度方向上的分量,即为加速度在速度方向上的分量,即切向加速度切向加速度d vdt为物体的加速度矢量为物体的加速度矢量是加速度的大小是加速度的大小 P1)(trx y z 0(3)P2)(ttr )(tv)(ttv )(tv)(ttv
6、 v dvdt例例2、一个质点在平面上作曲线运动,它的速度矢量和加、一个质点在平面上作曲线运动,它的速度矢量和加速度矢量的夹角速度矢量的夹角始终保持不变。试证明它的速度大小始终保持不变。试证明它的速度大小可以表示为可以表示为式中式中是速度是速度v与与x轴的夹角,并且当轴的夹角,并且当=0时,速度时,速度v=v00()cot0vv e OxyPva解:如图所示,题设的条件可以表解:如图所示,题设的条件可以表示为:示为:costaacottnaa从而从而:而:而:代入得到:代入得到:22tnd vd v d sd vavd td s d td svdavd s2c o t1c o td vvd s
7、dvd sd vvd即分离变量并积分:分离变量并积分:得到:得到:0()cot0vv e 00cotvvdvdv hlv1v2对于相对运动问题,在计算相对速度和相对加速度时,应当对于相对运动问题,在计算相对速度和相对加速度时,应当首先明确研究对象和参考系的关系,即谁相对与谁,然后根首先明确研究对象和参考系的关系,即谁相对与谁,然后根据相关的矢量式求解。也可以根据矢量式画出矢量图来求解,据相关的矢量式求解。也可以根据矢量式画出矢量图来求解,这是一种简明有效的解题方法。这是一种简明有效的解题方法。例例3 3、一辆汽车在雨中沿直线行驶,其速率为、一辆汽车在雨中沿直线行驶,其速率为v1,雨滴下,雨滴下
8、落的速度方向偏与垂直方向之前落的速度方向偏与垂直方向之前角,速率为角,速率为v2。若车后。若车后有一长方形物体,如图所示。问车速至少多大时,此物有一长方形物体,如图所示。问车速至少多大时,此物体正好不会被雨水淋湿?体正好不会被雨水淋湿?分析:这是一个相对运动问题,把雨点作为研究对象,取地面为静分析:这是一个相对运动问题,把雨点作为研究对象,取地面为静止参考系,汽车为运动参考系。要使物体不淋湿,在车上观察雨止参考系,汽车为运动参考系。要使物体不淋湿,在车上观察雨点下落的方向(雨点相对于汽车运动速度的方向)应当满足点下落的方向(雨点相对于汽车运动速度的方向)应当满足=arctanl/h。解:雨滴相
9、对速度的矢量关系如图解:雨滴相对速度的矢量关系如图:则根据:则根据:由矢量图可以得到:由矢量图可以得到:221vvvvvv雨 车雨 地车 地有:v1V2v2122sinarctancosvvvhlv1v2而要使而要使则则所以所以arctanlh122sincosvvlvh12cos(sin)lvvh 例例4、讨论讨论物体受下述变力作用时,求加速度的解题思物体受下述变力作用时,求加速度的解题思路路(1)力是时间的函数)力是时间的函数F=F(t):一质量为一质量为m的质点的质点A受周期性受周期性外力外力F=F0cos t 的作用沿的作用沿x轴运动轴运动,其中其中F0、均为常量,均为常量,且且t=0
10、时静止于坐标原点时静止于坐标原点,求位置、速度与时间的关系。求位置、速度与时间的关系。加速度是时间的函数加速度是时间的函数a=a(t):即即a=(F0/m)cos t,dd00 tvtav txtvx00dd(2)力是位置的函数力是位置的函数F=F(x):一质量为一质量为m的质点的质点B沿沿x轴轴运动受力运动受力F=F0+kx 的作用的作用,其中其中F0、k均为常量,且均为常量,且B在在x=0处的速度为处的速度为v0,求求B的速度与坐标间的关系。的速度与坐标间的关系。思路:思路:加速度是位置的函数加速度是位置的函数a=a(x):即即a=(F0/m)+(k/m)x,vvxvvxaxvvtxxvt
11、va0dd,dddddddd0(3)力是速度的函数力是速度的函数F=F(v):一质量为一质量为m的轮船的轮船C在停在停靠码头之前关闭发动机这时的速率为靠码头之前关闭发动机这时的速率为v0,设水的,设水的阻力与轮船的速率成正比阻力与轮船的速率成正比,比例常数为比例常数为k,求发动,求发动机停机后机停机后,C所能前进的最大距离。所能前进的最大距离。思路:思路:加速度是速度的函数加速度是速度的函数F=F(v):F=-kv,a=-(k/m)vtmkvvvmkvatvvvdd,)(dd0 例例5、路灯距离地面高度为路灯距离地面高度为H,一个身高为,一个身高为h的人,在灯的人,在灯下水平路面上以下水平路面
12、上以v0匀速度步行,如下图所示,试求当人匀速度步行,如下图所示,试求当人与灯的水平距离为与灯的水平距离为x时,他的头顶在地面上的影子移动时,他的头顶在地面上的影子移动的速度的大小。的速度的大小。Hxv0hHxhxv0yx 解:建立如图坐标系,解:建立如图坐标系,t时刻头顶影子的坐标为时刻头顶影子的坐标为x+x,设头顶影子的移动速度为设头顶影子的移动速度为v v,则,则 由图中可以看出由图中可以看出:则有则有 0()d xxdxdxdxvvdtdtdtdtHhxxxhxxHh0hvdxdtHh所以有所以有000hvHvvvHhHhHxhxv0yx例例6、两个质量均为、两个质量均为m 的小球的小球
13、A和和B,用长度为,用长度为l的两根绳的两根绳子相连,如图所示。它们始终保持在同一个铅直面内以子相连,如图所示。它们始终保持在同一个铅直面内以恒定的角速度旋转,成为两个连在一起的圆锥摆。证明恒定的角速度旋转,成为两个连在一起的圆锥摆。证明A摆的摆线与铅直线间的夹角摆的摆线与铅直线间的夹角 小于小于B摆的摆线与铅直摆的摆线与铅直线间的夹角线间的夹角 。如果摆线与铅直线间的夹角很小,求摆。如果摆线与铅直线间的夹角很小,求摆的旋转角速度。的旋转角速度。解:两个摆球的受力情况如图所示解:两个摆球的受力情况如图所示:对对A摆有摆有:T2anGAT1AanT2GBB21212sinsinsin(1)cos
14、cos0(2)nTTmam lTTmg 对对B摆有摆有:222sin(sinsin)(3)cos0(4)nTmamlTmg122;coscosmgmgTT代入式(代入式(1)、()、(3),可以消去),可以消去T1、T2,可以得到,可以得到:222 tantansin(5)tan(sinsin)(6)lglganT2GBB比较以上两个式子,可见比较以上两个式子,可见:2tantantan,tantan即 所以所以如果这两个夹角很小的话,则(如果这两个夹角很小的话,则(5 5)、()、(6 6)可以简)可以简化为:化为:这个系数行列式等于零。这个系数行列式等于零。222(2)0()0lggllg
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