高考数学尖子生辅导专题 圆锥曲线中的最值与范围.doc

1、 圆锥曲线中的最值与范围“以能力立意命题”是考试大纲总的要求，也是高考命题总的方向对学生能力的考察离不开思想方法的考察，在圆锥曲线的背景下讨论最值或范围问题，能系统的将函数与方程的思想、数形结合思想等多种数学思想结合在一起，更利于综合考察学生的能力模块1 整理方法 提升能力圆锥曲线中的最值与范围问题的类型较多，解法灵活多变，但总体上主要有以下3种方法：方法1：几何法若题目的条件或结论能明显体现几何特征及意义，则考虑利用曲线的定义、几何性质以及平面几何中的定理、性质等进行求解方法2：代数法把所求的量表示为某个（某些）参数的函数解析式，然后利用函数方法、不等式方法等进行求解对于大多数题目来说，主要

2、是选择一个参数去表示所求的量，从而把问题转化为求函数的值域问题由于引进的参数往往不只一个，所以解题时通常涉及到消参问题如果用两个参数去表示所求的量（不能通过消参留下一个未知数），则往往考虑使用均值不等式方法3：不等式（组）法由题目所给的条件寻找所求量满足的不等式（组），通过该不等式（组）的求解得到所求量的最值或取值范围上述三种方法中，方法主要在小题中体现，解答题中以方法2最为常见例1已知抛物线的顶点为，焦点为（1）求抛物线的方程；（2）过点作直线交抛物线于、两点，若直线、分别交直线：于、两点，求的最小值【解析】（1）由题意可设抛物线的方程为（），则，即，所以抛物线的方程为（2）设，直线的方程为

3、由，消去，可得，从而，由，解得点的横坐标为，同理可得点的横坐标为由弦长公式可得，于是，其中法1：令，则，所以，所以，令，则，当，即，时，有最小值，所以有最小值法2：，令，则，所以，所以当时，取负数时，有，所以于是当，即，有最小值，所以有最小值 【点评】利用代数法求最值或范围问题，其难点在于选用一个（或两个）参数去表示目标函数我们常常可以从直线的斜率、截距、点的坐标等角度引进参数，然后根据题目所给的条件消去参数，直至剩下一个参数或两个参数（以一个参数的情况占绝大多数）本题总共引进了7个参数：、和，最终是用参数表示，而其余的6个参数只是中间过渡的量，要注意体会如何利用“设而不求”的思想消去这6个中

4、间过渡的参数的表达式有两个特点：一是分式，二是分子和分母的最高次数一致求这种特点的函数最值的常见方法有两种，一是将分子或分母看成一个整体，最多经历两次换元得到一个二次函数；二是分离参数，再使用基本不等式法2在分离参数后，需要换元才能使用基本不等式，因此法2比法1的二次函数法要复杂很多例2设椭圆（）的右焦点为，右顶点为已知，其中为原点，为椭圆的离心率（1）求椭圆的方程；（2）设过点的直线与椭圆交于点（不在轴上），垂直于的直线与交于点，与轴交于点若，且，求直线的斜率的取值范围【解析】（1）设，由，即，又，所以，因此，所以椭圆的方程为（2）设直线的斜率为（），则直线的方程为设，在中，即，化简得由方程

5、组，消去，整理得于是，从而由（1）知，所以，由，得，所以，解得，因此直线的方程为由方程组，消去，解得于是，解得或，所以直线的斜率的取值范围为【点评】由，可得到不等式，此时只要用去表示，就能得到有关的不等式，这也是需要满足的唯一一个不等式，解这个不等式就能求出的取值范围例3已知椭圆：的焦点在轴上，是的左顶点，斜率为（）的直线交于、两点，点在上，（1）当，时，求的面积；（2）当时，求的取值范围【解析】（1）当时，椭圆的方程为，直线的方程为联立，消去可得，于是，所以同理，由可得，化简可得，即，解得（2）直线的方程为联立，消去可得，于是，所以同理，由可得，整理可得因为椭圆的焦点在轴上，所以，即，整理可

6、得，解得【点评】对于第（2）问，我们能找到的不等式只有如果能用去表示，就可以通过代数法求出的取值范围；如果能用去表示，就可以通过不等式法求出的取值范围模块2 练习巩固 整合提升练习1：如图，设抛物线（）的焦点为，抛物线上的点到轴的距离等于（1）求的值；（2）若直线交抛物线于另一点，过与轴平行的直线和过与垂直的直线交于点，与轴交于点，求的横坐标的取值范围【解析】（1）依题意，抛物线上的点到轴的距离等于点到焦点的距离，由抛物线的定义可得（2）由（1）可知抛物线的方程为，设点（，），因为直线不垂直于轴，所以可设直线的方程为（），其中联立，消去可得，所以，直线的方程为，直线的方程为，所以点的坐标为因为

7、、三点共线，而，所以，解得因为，所以的横坐标的取值范围是练习2：椭圆：（）的离心率为，直线和所围成的矩形的面积为（1）求椭圆的标准方程；（2）设直线：（）与椭圆有两个不同的交点、，与矩形有两个不同的交点、，求的最大值及取得最大值时的值【解析】（1），所以因为矩形面积为，所以由解得，所以椭圆的标准方程是（2）联立，消去可得设，由得参数的取值范围是由弦长公式可得当过点时，；当过点时，当时，有，所以，于是，令，则当，即时（此时），取得最大值由对称性可知，当时，则当时，取得最大值当时，所以当时，取得最大值综上所述，的最大值为，此时的值为和练习3：如图，点是椭圆：（）的一个顶点，的长轴是圆：的直径、是过

8、点且互相垂直的两条直线，其中交圆于、两点，交椭圆于另一点（1）求椭圆的方程；（2）求面积取最大值时直线的方程【解析】（1）由题意得，所以椭圆的方程为（2）由题意知直线的斜率存在，设为，则直线的方程为因为圆：，所以圆心到直线的距离为，所以因为，所以直线的方程为由消去，整理得，于是点的横坐标为，所以于是的面积令，则，于是，当且仅当，即时等号成立，所以直线的方程为【点评】与都是弦长，但是其计算的方法不相同是圆当中的弦长，用垂径定理进行计算；是椭圆当中的弦长，用弦长公式进行计算对于的表达式，其特点有两个，一是分式，二是分母的最高次数是分子的最高次数的两倍具有这种特点的分式，其常用的方法是将分子看成一个

9、整体进行换元，再利用均值不等式求最值或利用对勾函数求取值范围练习4：如图，为坐标原点，椭圆：（）的左右焦点分别为、，离心率为；双曲线：的左右焦点分别为、，离心率为，已知，且（1）求、的方程；（2）过点作的不垂直于轴的弦，为的中点，当直线与交于、两点时，求四边形面积的最小值【解析】（1）依题意，且，因为，且，所以，由此解得，所以椭圆的方程为，双曲线的方程为（2）由（1）可得，因为直线不垂直于轴，所以设直线的方程为联立直线与椭圆方程，可得，则，即因为在直线上，所以，于是直线的方程为，即联立直线与双曲线可得，解得，于是，所以而设点到直线的距离为，则点到直线的距离也为，于是因为、在直线两侧，所以，于是又因为、在直线上，所以，所以四边形面积，令，则且，于是，由此可知在上单调递减，所以当，即时，四边形面积取到最小值