2020年湖南省邵阳市高考数学一模试卷（理科）.docx

1、2020年湖南省邵阳市高考数学一模试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1（5分）在复平面内，复数是虚数单位）对应的点位于A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限2（5分）设，则“”是“”成立的A充要不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充要也不必要条件3（5分）在中，则的面积为ABC5D104（5分）若、满足约束条件，则的取值范围是A，B，C，D，5（5分）一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为ABCD6（5分）函数与在同一直角坐标系下的图象大致是ABCD7（5分）已知奇函数在上是增函数，若，则，的大小关

2、系为ABCD8（5分）设为正整数，展开式的二项式系数的最大值为，展开式的二项式系数的最大值为，若，则A5B6C7D89（5分）已知点是直线上的动点，过点引圆的两条切线，为切点，当的最大值为时，则的值为ABCD110（5分）英国统计学家辛普森1951年提出了著名的辛普森悖论，下面这个案例可以让我们感受到这个悖论有甲乙两名法官，他们都在民事庭和行政庭主持审理案件，他们审理的部分案件被提出上诉记录这些被上述案件的终审结果如表所示（单位：件）法官甲法官乙终审结果民事庭行政庭合计终审结果民事庭行政庭合计维持29100129维持9020110推翻31821推翻10515合计32118150合计100251

3、25记甲法官在民事庭、行政庭以及所有审理的案件被维持原判的比率分别为，和，记乙法官在民事庭、行政庭以及所有审理的案件被维持原判的比率分别为，和，则下面说法正确的是A ，B ，C，D，11（5分）已知双曲线的右顶点为，抛物线的焦点为若在的渐近线上存在点，使得，则的离心率的取值范围是AB，CD12（5分）在正四棱锥中，已知异面直线与所成的角为，给出下面三个命题，：若，则此四棱锥的侧面积为；：若，分别为，的中点，则平面；：若，都在球的表面上，则球的表面积是四边形面积的倍在下列命题中，为真命题的是ABCD二、填空题：本大题有4个小题，每小题5分，满分20分13（5分）已知为三角形内角，则14（5分）已

4、知函数，若存在四个不同的实数，满足，且，则15（5分）为了解某地区的“微信健步走”活动情况，现用分层抽样的方法从中抽取老、中、青三个年龄段人员进行问卷调查已知抽取的样本同时满足以下三个条件：老年人的人数多于中年人的人数；中年人的人数多于青年人的人数；（）青年人的人数的两倍多于老年人的人数若青年人的人数为4，则中年人的人数的最大值为；抽取的总人数的最小值为16（5分）太极图是由黑白两个鱼形纹组成的图案，俗称阴阳鱼，太极图展现了一种互相转化，相对统一的和谐美定义：能够将圆的周长和面积同时等分成两个部分的函数称为圆的一个“太极函数”则下列有关说法中：对于圆的所有非常数函数的太极函数中，一定不能为偶函

5、数；函数是圆的一个太极函数；存在圆，使得是圆的一个太极函数；直线所对应的函数一定是圆的太极函数；若函数是圆的太极函数，则所有正确的是 三、解答题：本大题有6个小题，满分70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17（10分）在中，角，所对的边为，且（1）求角的大小；（2）若，求的取值范围18（12分）已知正项数列中，（1）求数列的通项公式；（2）若数列是等差数列，且，求数列的前项和19（12分）已知菱形的边长为4，将菱形沿对角线折起，使，得到三棱锥，如图所示（1）当时，求证：平面；（2）当二面角的大小为时，求直线与平面所成角的正切值20（12分）半圆的直径两端点为，点在半圆及直径上运动，若将

6、点的纵坐标伸长到原来的2倍（横坐标不变）得到点，记点的轨迹为曲线（1）求曲线的方程；（2）若称封闭曲线上任意两点距离的最大值为该曲线的“直径”，求曲线的“直径”21（12分）某地政府为了帮助当地农民脱贫致富，开发了一种新型水果类食品，该食品生产成本为每件8元，当天生产当天销售时，销售价为每件12元，当天未卖出的则只能卖给水果罐头厂，每件只能卖5元每天的销售量与当天的气温有关，根据市场调查，若气温不低于，则销售5000件；若气温位于，则销售3500件；若气温低于，则销售2000件，为制定今年8月份的生产计划，统计了前三年8月份的气温范围数据，得到下面的频数分布表：气温范围（单位：，天数41436

7、2115以气温范围位于各区间的频率代替气温范围位于该区间的概率（1）求今年8月份这种食品一天销售量（单位：件）的分布列和数学期望值；（2）设8月份一天销售这种食品的利润为（单位：元），当8月份这种食品一天生产量（单位：件）为多少时，的数学期望值最大，最大值为多少？22（12分）已知函数为反比例函数，曲线在处的切线方程为（1）求的解析式；（2）判断函数在区间，内的零点的个数，并证明2020年湖南省邵阳市高考数学一模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1（5分）在复平面内，复数是虚数单位）对应的点位于A

8、第一象限B第二象限C第三象限D第四象限【解答】解：，对应的点在第二象限故选2（5分）设，则“”是“”成立的A充要不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充要也不必要条件【解答】解：设，如图示：则函数为增函数，则当，则“”是“”的充分必要条件而，故“”是“”成立的充要条件，故选：3（5分）在中，则的面积为ABC5D10【解答】解：中，则，；又，所以，所以的面积为故选：4（5分）若、满足约束条件，则的取值范围是A，B，C，D，【解答】解：、满足约束条件，表示的可行域如图：目标函数经过点时，函数取得最小值，由解得，目标函数的最小值为：4目标函数的范围是，故选：5（5分）一个几何体的三视图如图所示，

9、则该几何体的体积为ABCD【解答】解：由题意可知，几何体是半个圆柱，所以几何体的体积为：故选：6（5分）函数与在同一直角坐标系下的图象大致是ABCD【解答】解：，为减函数，且经过点，排除，；为增函数，且经过点，排除；故选：7（5分）已知奇函数在上是增函数，若，则，的大小关系为ABCD【解答】解：根据题意，在上的奇函数，则，又由，且在上为增函数，则有；故选：8（5分）设为正整数，展开式的二项式系数的最大值为，展开式的二项式系数的最大值为，若，则A5B6C7D8【解答】解：为正整数，由展开式的二项式系数的最大值为，以及二项式系数的性质可得，同理，由展开式的二项式系数的最大值为，可得再由，可得，即，

10、即，即，解得，故选：9（5分）已知点是直线上的动点，过点引圆的两条切线，为切点，当的最大值为时，则的值为ABCD1【解答】解：由题意如图，由圆的性质可得，则，所以，当时，最小，即为圆心到直线的距离，所以，这时，故选：10（5分）英国统计学家辛普森1951年提出了著名的辛普森悖论，下面这个案例可以让我们感受到这个悖论有甲乙两名法官，他们都在民事庭和行政庭主持审理案件，他们审理的部分案件被提出上诉记录这些被上述案件的终审结果如表所示（单位：件）法官甲法官乙终审结果民事庭行政庭合计终审结果民事庭行政庭合计维持29100129维持9020110推翻31821推翻10515合计32118150合计100

11、25125记甲法官在民事庭、行政庭以及所有审理的案件被维持原判的比率分别为，和，记乙法官在民事庭、行政庭以及所有审理的案件被维持原判的比率分别为，和，则下面说法正确的是A ，B ，C，D，【解答】解：由图表可知：，90625，9，即，即，即，即，故选：11（5分）已知双曲线的右顶点为，抛物线的焦点为若在的渐近线上存在点，使得，则的离心率的取值范围是AB，CD【解答】解：双曲线的右顶点为，抛物线的焦点为，双曲线的渐近线方程为，可设，即有，由，可得，即为，化为，由题意可得，即有，即，则由，可得故选：12（5分）在正四棱锥中，已知异面直线与所成的角为，给出下面三个命题，：若，则此四棱锥的侧面积为；：

12、若，分别为，的中点，则平面；：若，都在球的表面上，则球的表面积是四边形面积的倍在下列命题中，为真命题的是ABCD【解答】解：在正四棱锥中，已知异面直线与所成的角为，正四棱锥中各棱相等 对于：若，则此四棱锥的侧面都是边长为2的等边三角形其侧面积为，故为假命题；对于：若，分别为，的中点，取中点，可得面面，则平面，故为真命题；对于：若，都在球的表面上，设正四棱锥中各棱为2，则球的半径，满足，球的表面积球的表面积是四边形面积的倍故为真命题为真命题，故选：二、填空题：本大题有4个小题，每小题5分，满分20分13（5分）已知为三角形内角，则【解答】解：因为为三角形内角，又因为，所以，解得，所以，负值舍去，

13、可得所以故答案为：14（5分）已知函数，若存在四个不同的实数，满足，且，则8【解答】解：作出函数的图象如图，由图可知，则故答案为815（5分）为了解某地区的“微信健步走”活动情况，现用分层抽样的方法从中抽取老、中、青三个年龄段人员进行问卷调查已知抽取的样本同时满足以下三个条件：老年人的人数多于中年人的人数；中年人的人数多于青年人的人数；（）青年人的人数的两倍多于老年人的人数若青年人的人数为4，则中年人的人数的最大值为6；抽取的总人数的最小值为【解答】解：若青年人的人数为4，则老年人数小于，故老年人数最多为7，老年人的人数多于中年人的人数，故中年人的人数对多为6由题意，青年人的人数最少为3，故中

14、年人的人数最少为4，老年人的人数最少为5，抽取的总人数的最小值为，故答案为：6；1216（5分）太极图是由黑白两个鱼形纹组成的图案，俗称阴阳鱼，太极图展现了一种互相转化，相对统一的和谐美定义：能够将圆的周长和面积同时等分成两个部分的函数称为圆的一个“太极函数”则下列有关说法中：对于圆的所有非常数函数的太极函数中，一定不能为偶函数；函数是圆的一个太极函数；存在圆，使得是圆的一个太极函数；直线所对应的函数一定是圆的太极函数；若函数是圆的太极函数，则所有正确的是【解答】解：对显然错误，如图对，点均为两曲线的对称中心，且能把圆一分为二，正对，函数为奇函数，当时，当时，函数递减；当时，当时，函数关于中心

15、对称，有三条渐近线，可知，函数的对称中心为间断点，故不存在圆使得满足题干条件对于直线恒过定点，满足题意对于函数为奇函数，与圆的交点恒坐标为，令，得，即得即；对，当时显然无解，即时也无解，即时两曲线仅有两个交点，函数能把圆一分为二，且周长和面积均等分若时，函数图象与圆有4个交点，若时，函数图象与圆有6个交点，均不能把圆一分为二，故所有正确的是故答案为：三、解答题：本大题有6个小题，满分70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17（10分）在中，角，所对的边为，且（1）求角的大小；（2）若，求的取值范围【解答】解：（1）由正弦定理可得，所以，（2），（A）的范围为18（12分）已知正项数列中，

16、（1）求数列的通项公式；（2）若数列是等差数列，且，求数列的前项和【解答】解：（1）正项数列中，数列为等比数列（2）设等差数列的公差为，且，解得数列的前项和19（12分）已知菱形的边长为4，将菱形沿对角线折起，使，得到三棱锥，如图所示（1）当时，求证：平面；（2）当二面角的大小为时，求直线与平面所成角的正切值【解答】解：（1）证明：在中，即，且，平面；（2）由（1）知，以为坐标原点，所在直线分别为轴，轴建立如图的空间直角坐标系，则，为二面角的平面角，设平面的一个法向量为，则，可取，设直线与平面所成角为，则，20（12分）半圆的直径两端点为，点在半圆及直径上运动，若将点的纵坐标伸长到原来的2倍（

17、横坐标不变）得到点，记点的轨迹为曲线（1）求曲线的方程；（2）若称封闭曲线上任意两点距离的最大值为该曲线的“直径”，求曲线的“直径”【解答】解：（1）设，则，由题意可得当在直径上运动时，显然；当在半圆上时，所以曲线的方程为或；（2）设曲线上两动点，显然，至少有一点在椭圆上时才能取得最大，不妨设，则，等号成立时，或，由两点的距离公式可得，故曲线的“直径”为21（12分）某地政府为了帮助当地农民脱贫致富，开发了一种新型水果类食品，该食品生产成本为每件8元，当天生产当天销售时，销售价为每件12元，当天未卖出的则只能卖给水果罐头厂，每件只能卖5元每天的销售量与当天的气温有关，根据市场调查，若气温不低于

18、，则销售5000件；若气温位于，则销售3500件；若气温低于，则销售2000件，为制定今年8月份的生产计划，统计了前三年8月份的气温范围数据，得到下面的频数分布表：气温范围（单位：，天数414362115以气温范围位于各区间的频率代替气温范围位于该区间的概率（1）求今年8月份这种食品一天销售量（单位：件）的分布列和数学期望值；（2）设8月份一天销售这种食品的利润为（单位：元），当8月份这种食品一天生产量（单位：件）为多少时，的数学期望值最大，最大值为多少？【解答】解：（1）今年8月份，这种食品一天的销售量的可能取值为2000、3500、5000件，于是的分布列为： 2000 3500 5000

19、 0.2 0.4 0.4的数学期望为（2）由题意知，这种食品一天的需求量至多为5000件，至少为2000件，因此只需要考虑，当时，若气温不低于30度，则，若气温在，之间，则，若气温低于25度，则，此时，当时，若气温不低于25度，则，若气温低于25度，则，此时，所以时，的数学期望达到最大值，最大值为1190022（12分）已知函数为反比例函数，曲线在处的切线方程为（1）求的解析式；（2）判断函数在区间，内的零点的个数，并证明【解答】解：（1）设，则，又直线的斜率为，过点，又，（2）函数在，上有3个零点，证明如下：证明：，则，又，在上至少有一个零点，在上单调递减，在上有一个零点当时，故，函数在上无零点；当时，令，在上单调递增，又，使得在上单调递增，在，上单调递减，在上有2个零点，综上，函数在，上有3个零点第23页（共23页）