2020年河南省高考数学模拟试卷（理科）（3月份）.docx

1、 第 1 页（共 19 页） 2020 年河南省高考数学模拟试卷（理科） （年河南省高考数学模拟试卷（理科） （3 月份）月份） 一、选择题：本大题共一、选择题：本大题共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只分在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的有一项是符合题目要求的 1 （5 分）若(3)(2 )()zi ai aR为纯虚数，则(z ) A16 3 i B6i C 20 3 i D20 2 （5 分）已知集合 2 |8 AxN xx，2B ，3，6，2C ，3，7，则()( A BC ) A.2，3，4，5 B.2，3，4，5

2、，6 C.1，2，3，4，5，6 D ，1，3， 4，5，6，7 3 （5 分）已知向量a，b满足| 1a ，| 2b ，且a与b的夹角为120，则|3 | (ab ) A11 B37 C2 10 D43 4 （5 分）若双曲线 2 2 :1 x Cy m 的一条渐近线方程为320xy，则(m ) A 4 9 B 9 4 C 2 3 D 3 2 5 （5 分）已知底面是等腰直角三角形的三棱锥PABC的三视图如图所示，俯视图中的两 个小三角形全等，则( ) APA，PB，PC两两垂直 B三棱锥PABC的体积为 8 3 C| | |6PAPBPC D三棱锥PABC的侧面积为3 5 6 （5 分）山

3、东烟台苹果因“果形端正、色泽艳丽、果肉甜脆、香气浓郁”享誉国内外据 统计，烟台苹果（把苹果近似看成球体）的直径（单位：)mm服从正态分布(80N， 2 5 )， 第 2 页（共 19 页） 则直径在(75，90内的概率为( ) 附：若 2 ( ,)XN ，则()0.6826PX，(22 )0.9544PX A0.6826 B0.8413 C0.8185 D0.9544 7（5 分） 已知函数( )2sin()(0)y xxb，()() 88 fxfx ， 且( ) 5 8 f ， 则(b ) A3 B3 或 7 C5 D5 或 8 8 （5 分）函数 2 | ( ) | ln x f xx x

4、 的图象大致为( ) A B C D 9 （5 分）设不等式组 0 30 xy xy 表示的平面区域为，若从圆 22 :4C xy的内部随机 选取一点P，则P取自的概率为( ) A 5 24 B 7 24 C 11 24 D 17 24 10 （5 分）已知函数 2 9 43,0 ( ) 2log9,0 x x x f x xx ，则函数( ( )yf f x的零点所在区间为( ) A 7 (3, ) 2 B( 1,0) C 7 ( ,4) 2 D(4,5) 11 （5 分）已知直线(1)yk x与抛物线 2 :4C yx交于A，B两点，直线2 (2)yk x与 抛物线 2 :8D yx交于M

5、，N两点，设| 2|ABMN，则( ) A16 B16 C120 D12 12 （5 分） “中国剩余定理”又称“孙子定理” ，最早可见于中国南北朝时期的数学著作孙 第 3 页（共 19 页） 子算经卷下第二十六题，叫做“物不知数” ，原文如下：今有物不知其数，三三数之剩二， 五五数之剩三，七七数之剩二问物几何？现有这样一个相关的问题：将 1 到 2020 这 2020 个自然数中被 5 除余 3 且被 7 除余 2 的数按照从小到大的顺序排成一列， 构成一个数列， 则 该数列各项之和为( ) A56383 B57171 C59189 D61242 二二、填空题：本大题共、填空题：本大题共 4

6、 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分.把答案填在答题卡中的横线上把答案填在答题卡中的横线上. 13 （5 分） 8 1 (2) 2 x x 展开式的第 5 项的系数为 14 （5 分）函数( )(4)1f xxxx的值域为 15 （5 分）在数列 n a中， 1 1a ，0 n a ，曲线 3 yx在点 3 (,) nn a a处的切线经过点 1 ( n a ， 0)，下列四个结论： 2 2 3 a ； 3 1 3 a ； 4 1 65 27 i i a ；数列 n a是等比数列 其中所有正确结论的编号是 16 （5 分）在矩形ABCD中，4BC ，M为BC的中点，将ABM

7、和DCM分别沿AM， DM翻折，使点B与C重合于点P若150APD，则三棱锥MPAD的外接球的表面 积为 三、解答题：本大题共三、解答题：本大题共 5 小题，共小题，共 70 分分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步 骤骤.1721 题为必考题，每个试题考生都必须作答题为必考题，每个试题考生都必须作答.第第 22，23 题为选考题，考生根据要求作题为选考题，考生根据要求作 答答.（一）必考题：共（一）必考题：共 60 分分. 17（12 分）a，b，c分别为ABC内角A，B，C的对边 已知3a ，sinsinsincCaAbB， 且60B （1

8、）求ABC的面积； （2）若D，E是BC边上的三等分点，求sinDAE 18 （12 分）如图，四棱锥EABCD的侧棱DE与四棱锥FABCD的侧棱BF都与底面 ABCD垂直，ADCD，/ /ABCD，3AB ，4ADCD，5AE ，3 2AF （1）证明：/ /DF平面BCE （2）设平面ABF与平面CDF所成的二面角为，求cos2 第 4 页（共 19 页） 19 （12 分）追求人类与生存环境的和谐发展是中国特色社会主义生态文明的价值取向为 了改善空气质量， 某城市环保局随机抽取了一年内 100 天的空气质量指数()AQI的检测数据， 结果统计如表： AQI 0，50 (50，100 (1

9、00，150 (150，200 (200，250 (250，300 空气质量 优 良 轻度污染 中度污染 重度污染 重度污染 天数 6 14 18 27 25 10 （1）从空气质量指数属于0，50，(50，100的天数中任取 3 天，求这 3 天中空气质量 至少有 2 天为优的概率； （2）已知某企业每天因空气质量造成的经济损失y（单位：元）与空气质量指数x的关系 式为 0,9100 220,100250 1480,250300 x yx x 剟 ，假设该企业所在地 7 月与 8 月每天空气质量为优、良、轻度污 染、中度污染、重度污染、严重污染的概率分别为 1 1 1111 , 6 3 6

10、12 12 6 9 月每天的空气质量对 应的概率以表中 100 天的空气质量的频率代替 ( ) i记该企业 9 月每天因空气质量造成的经济损失为X元，求X的分布列； ( )ii试问该企业 7 月、8 月、9 月这三个月因空气质量造成的经济损失总额的数学期望是否 会超过 2.88 万元？说明你的理由 20 （12 分）已知椭圆 22 22 :1(0) xy Cab ab 过点 3 (1, ) 2 ，过坐标原点O作两条互相垂直的 射线与椭圆C分别交于M，N两点 （1）证明：当 22 9ab取得最小值时，椭圆C的离心 率为 2 2 （2）若椭圆C的焦距为 2，是否存在定圆与直线MN总相切？若存在，求

11、定圆的方程；若 不存在，请说明理由 21 （12 分）已知函数( )2 (1)sin1f xln xx，函数( )1(g xaxblnx a ，bR，0)ab （1）讨论( )g x的单调性； 第 5 页（共 19 页） （2）证明：当0x时，( ) 31f xx （3）证明：当1x 时， 2sin ( )(22) x f xxxe （二）选考题：共（二）选考题：共 10 分分.请考生从第请考生从第 22，23 两题中任选一题作答两题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第如果多做，则按所做的第 一个题目计分一个题目计分.选修选修 4-4：坐标系与参数方程：坐标系与参数方程 22 （10 分）在

12、直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为 12cos ( 2sin x y 为参数） 以坐 标原点为极点，x轴正半轴为极轴，建立极坐标系已知点P的直角坐标为( 2,0)，过P的 直线l与曲线C相交于M，N两点 （1）若l的斜率为 2，求l的极坐标方程和曲线C的普通方程； （2）求PM PN的值 选修选修 4-5：不等式选讲：不等式选讲（10 分）分） 23已知函数( ) |21|21|f xxx，记不等式( )4f x 的解集为M （1）求M； （2）设a，bM，证明：| 10abab 第 6 页（共 19 页） 2020 年河南省高考数学模拟试卷（理科） （年河南省高考数学模拟试卷（理科） （

13、3 月份）月份） 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题：本大题共一、选择题：本大题共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只分在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的有一项是符合题目要求的 1 （5 分）若(3)(2 )()zi ai aR为纯虚数，则(z ) A16 3 i B6i C 20 3 i D20 【解答】解：(3)(2 )32(6)zi aiaa i， (3)(2 )()zi ai aR为纯虚数， 320a，且60a， 得 2 3 a ，此时 20 3 zi， 故选：C 2 （5 分）已知集合 2 |8 Ax

14、N xx，2B ，3，6，2C ，3，7，则()( A BC ) A.2，3，4，5 B.2，3，4，5，6 C.1，2，3，4，5，6 D ，1，3， 4，5，6，7 【解答】解：集合 2 |8 |081AxN xxxNx，2，3，4，5，6，7， 2B ，3，6，2C ，3，7， ()1 AC ，4，5，6， 所以()1 A BC ，2，3，4，5，6 故选：C 3 （5 分）已知向量a，b满足| 1a ，| 2b ，且a与b的夹角为120，则|3 | (ab ) A11 B37 C2 10 D43 【解答】解：由题意可得： 1 |cos1201 2()1 2 a ba b ； 222 (

15、3 )69163643abaa bb ； 则|3 |43ab 第 7 页（共 19 页） 故选：D 4 （5 分）若双曲线 2 2 :1 x Cy m 的一条渐近线方程为320xy，则(m ) A 4 9 B 9 4 C 2 3 D 3 2 【解答】解：由题意知双曲线的渐近线方程为 1 (0)yx m m ， 320xy可化为 3 2 yx ，则 13 2m ， 解得 4 9 m 故选：A 5 （5 分）已知底面是等腰直角三角形的三棱锥PABC的三视图如图所示，俯视图中的两 个小三角形全等，则( ) APA，PB，PC两两垂直 B三棱锥PABC的体积为 8 3 C| | |6PAPBPC D三

16、棱锥PABC的侧面积为3 5 【解答】解：根据三视图，可得三棱锥PABC的直观图如图所示， 其中D为AB的中点，PD 底面ABC 所以三棱锥PABC的体积为 114 222 323 ，| | |6PAPBPC， PA，PB，PC不可能两两垂直，三棱锥PABC的侧面积为2 52 2 第 8 页（共 19 页） 故选：C 6 （5 分）山东烟台苹果因“果形端正、色泽艳丽、果肉甜脆、香气浓郁”享誉国内外据 统计，烟台苹果（把苹果近似看成球体）的直径（单位：)mm服从正态分布(80N， 2 5 )， 则直径在(75，90内的概率为( ) 附：若 2 ( ,)XN ，则()0.6826PX，(22 )0

17、.9544PX A0.6826 B0.8413 C0.8185 D0.9544 【解答】解：烟台苹果（把苹果近似看成球体）的直径（单位：)mm服从正态分布(80N， 2 5 )，可得：80，5 则直径在(75，90内的概率 1 (22 ) (22 )() 2 PXPXPX剟? 11 (22 )()(0.68260.9544)0.8185 22 PXPX剟 故选：C 7（5 分） 已知函数( )2sin()(0)y xxb，()() 88 fxfx ， 且( ) 5 8 f ， 则(b ) A3 B3 或 7 C5 D5 或 8 【解答】解：函数( )2sin()(0)f xxb， 若()()

18、88 fxfx ，则( )f x的图象关于 8 x 对称， 又()5 8 f ，所以25b ，解得52b ， 所以b的值是 7 或 3 故选：B 8 （5 分）函数 2 | ( ) | ln x f xx x 的图象大致为( ) A B 第 9 页（共 19 页） C D 【解答】解：因为()( )fxf x，所以( )f x是偶函数，排除C和D 当0x 时， 2 ( ) lnx f xx x ， 3 3 21 ( ) xlnx fx x ，令( )0fx，得01x；令( )0fx， 得1x 所以( )f x在1x 处取得极小值，排除B， 故选：A 9 （5 分）设不等式组 0 30 xy x

19、y 表示的平面区域为，若从圆 22 :4C xy的内部随机 选取一点P，则P取自的概率为( ) A 5 24 B 7 24 C 11 24 D 17 24 【解答】解：作出中在圆C内部的区域，如图所示， 因为直线0xy，30xy的倾斜角分别为 3 4 ， 6 ， 所以由图可得P取自的概率为 3 7 46 224 故选：B 10 （5 分）已知函数 2 9 43,0 ( ) 2log9,0 x x x f x xx ，则函数( ( )yf f x的零点所在区间为( ) A 7 (3, ) 2 B( 1,0) C 7 ( ,4) 2 D(4,5) 【解答】解：当0x时，( )(3f x ，4，此时

20、，( )f x无零点； 第 10 页（共 19 页） 当0x时， 2 93 ( )2log92log9 xx f xxx为增函数，且f（3）0 令( ( )0f f x， 得 3 () 2l o g9 3 x f xx ， 因为f（3）03， 3 77 ( )8 2log93 22 f， 所以函数( ( )yf f x的零点所在区间为 7 (3, ) 2 故选：A 11 （5 分）已知直线(1)yk x与抛物线 2 :4C yx交于A，B两点，直线2 (2)yk x与 抛物线 2 :8D yx交于M，N两点，设| 2|ABMN，则( ) A16 B16 C120 D12 【解答】解：设 1 (

21、A x， 1) y， 2 (B x， 2) y，联立 2 (1) 4 yk x yx ， 得 2222 (24)0k xkxk，则 2 12 22 244 2 k xx kk ， 因为直线(1)yk x经过C的焦点， 所以 12 2 4 |4ABxxp k 同理可得 2 2 | 8MN k ， 所以41612 故选：D 12 （5 分） “中国剩余定理”又称“孙子定理” ，最早可见于中国南北朝时期的数学著作孙 子算经卷下第二十六题，叫做“物不知数” ，原文如下：今有物不知其数，三三数之剩二， 五五数之剩三，七七数之剩二问物几何？现有这样一个相关的问题：将 1 到 2020 这 2020 个自然

22、数中被 5 除余 3 且被 7 除余 2 的数按照从小到大的顺序排成一列， 构成一个数列， 则 该数列各项之和为( ) A56383 B57171 C59189 D61242 【解答】解：被 5 除余 3 且被 7 除余 2 的正整数构成首项为 23，公差为5735的等差数 列，记数列 n a 则2335(1)3512 n ann， 令3512 2020 n an，解得 2 58 35 n 故该数列各项之和为 5857 58233559189 2 第 11 页（共 19 页） 故选：C 二、填空题：本大题共二、填空题：本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分.把答案

23、填在答题卡中的横线上把答案填在答题卡中的横线上. 13 （5 分） 8 1 (2) 2 x x 展开式的第 5 项的系数为 70 【解答】解： 8 1 (2) 2 x x 展开式的第 5 项为 4442 58 1 () 2 2 TCx，故第 5 项的的系数为 444 8 1 () 270 2 C， 故答案为：70 14 （5 分）函数( )(4)1f xxxx的值域为 3，) 【解答】解：函数的定义域为0，) 2 ( )(4)12412(1)33f xxxxxxx ， 所以函数的值域为 3，) 故答案为： 3，) 15 （5 分）在数列 n a中， 1 1a ，0 n a ，曲线 3 yx在点

24、 3 (,) nn a a处的切线经过点 1 ( n a ， 0)，下列四个结论： 2 2 3 a ； 3 1 3 a ； 4 1 65 27 i i a ；数列 n a是等比数列 其中所有正确结论的编号是 【解答】解： 2 3yx ，曲线 3 yx在点 3 (,) nn a a处的切线方程为 32 3() nnn yaaxa， 则 32 1 3() nnnn aaaa 0 n a ， 1 2 3 nn aa ，则 n a是首项为 1，公比为 2 3 的等比数列， 从而 2 2 3 a ， 3 4 9 a ， 4 4 1 2 1( ) 65 3 2 27 1 3 i i a 故所有正确结论的编

25、号是 故答案为： 16 （5 分）在矩形ABCD中，4BC ，M为BC的中点，将ABM和DCM分别沿AM， DM翻折，使点B与C重合于点P若150APD，则三棱锥MPAD的外接球的表面 积为 68 【解答】解：由题意可知，MPPA，MPPD，PMPAA， 所以可得PM 面PAD， 第 12 页（共 19 页） 设ADP外接圆的半径为r， 由正弦定理可得2 sin AD r APD ， 即 4 2 s i n1 5 0 r ， 所以4r ， 设三棱锥MPAD外接球的半径R， 因 为 外 接 球 的 球 心 为 过 底 面 圆 心 垂 直 于 底 面 的 直 线 与 中 截 面 的 交 点 ， 则

26、 222 ()1 1617 2 AM Rr ， 所以外接球的表面积为 2 468SR 故答案为：68 三、解答题：三、解答题：本大题共本大题共 5 小题，共小题，共 70 分分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步 骤骤.1721 题为必考题，每个试题考生都必须作答题为必考题，每个试题考生都必须作答.第第 22，23 题为选考题，考生根据要求作题为选考题，考生根据要求作 答答.（一）必考题：共（一）必考题：共 60 分分. 17（12 分）a，b，c分别为ABC内角A，B，C的对边 已知3a ，sinsinsincCaAbB， 且60B （1）求

27、ABC的面积； （2）若D，E是BC边上的三等分点，求sinDAE 【解答】解： （1）ABC中，由sinsinsincCaAbB， 利用正弦定理得 222 cab 所以ABC是直角三角形， 又3a ，60B ， 所以30A ，6c ； 所以ABC的面积为 1139 3 sin3 6 2222 SacB （2）设D靠近点B，则1BDDEEC 建立排名直角坐标系，如图所示； 第 13 页（共 19 页） 则(0,0)C，( 3,0)B ，( 2,0)D ，( 1,0)E ，(0A，3 3)； 所以( 2, 3 3)AD ，( 1, 3 3)AE ， 所以 22729 cos |31282 217

28、 AD AE DAE ADAE ， 所以 2 293 651 sin1() 4342 217 DAE 18 （12 分）如图，四棱锥EABCD的侧棱DE与四棱锥FABCD的侧棱BF都与底面 ABCD垂直，ADCD，/ /ABCD，3AB ，4ADCD，5AE ，3 2AF （1）证明：/ /DF平面BCE （2）设平面ABF与平面CDF所成的二面角为，求cos2 【解答】解： （1）证明：因为DE 平面ABCD，所以DE垂直AD， 因为4AD ，5AE ，3DE ， 同理3BF ， 又DE 平面ABCD，BF 平面ABCD，所以/ /DEBF， 又BFDE，所以平行四边形BEDF，故/ /DF

29、BE， 因为BE 平面BCE，DF 平面BCE所以/ /DF平面BCE； （2）以D为原点，AD，DC，DE所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系， 则(0D，0，0)，(4A，0，0)，(0C，4，0)，(4F，3，3)， (0,4,0),(4,3, 3)DCDF， 设平面CDF的法向量为( , , )mx y z， 由 40 4330 m DCy m DFxyz ，令3x ，得(3,0,4)m ， 易知平面ABF的一个法向量为(1,0,0)n ， 所以 3 cos, 5 m n， 第 14 页（共 19 页） 故 2 7 cos22cos1 25 ， 19 （12 分）追求人类与生存环境

30、的和谐发展是中国特色社会主义生态文明的价值取向为 了改善空气质量， 某城市环保局随机抽取了一年内 100 天的空气质量指数()AQI的检测数据， 结果统计如表： AQI 0，50 (50，100 (100，150 (150，200 (200，250 (250，300 空气质量 优 良 轻度污染 中度污染 重度污染 重度污染 天数 6 14 18 27 25 10 （1）从空气质量指数属于0，50，(50，100的天数中任取 3 天，求这 3 天中空气质量 至少有 2 天为优的概率； （2）已知某企业每天因空气质量造成的经济损失y（单位：元）与空气质量指数x的关系 式为 0,9100 220,1

31、00250 1480,250300 x yx x 剟 ，假设该企业所在地 7 月与 8 月每天空气质量为优、良、轻度污 染、中度污染、重度污染、严重污染的概率分别为 1 1 1111 , 6 3 6 12 12 6 9 月每天的空气质量对 应的概率以表中 100 天的空气质量的频率代替 ( ) i记该企业 9 月每天因空气质量造成的经济损失为X元，求X的分布列； ( )ii试问该企业 7 月、8 月、9 月这三个月因空气质量造成的经济损失总额的数学期望是否 会超过 2.88 万元？说明你的理由 【解答】解： （1）设为选取的 3 天中空气质量为优的天数， 第 15 页（共 19 页） 则 21

32、 614 3 20 7 (2) 38 C C P C ， 3 6 3 20 1 (3) 57 C P C ， 则这 3 天中空气质量至少有 2 天为优的概率为 7123 3857114 ； （2） 201 ( ) (0)(0100) 1005 i P XPx剟， 707 (220)(100250) 10010 P XPx， 101 (1480)(250300) 10010 P XPx， X的分布列如下： X 0 220 1480 P 1 5 7 10 1 10 ( )ii由( ) i可得 171 ()02201480302 51010 E X （元)， 所以该企业 9 月的经济损失的数学期望为

33、30 ()9060E X 元， 设该企业 7 月、8 月每天因空气质量造成的经济损失为Y元， 可得 111 (0) 632 P Y ， 1111 (220) 612123 P Y ， 1 (1480) 6 P Y ， 111 ( )02201480320 636 E Y （元)， 所以该企业 7 月、8 月这两个月因空气质量造成的经济损失总额的数学期望为 320(3131)19840（元)， 由1984090602890028800， 即 7 月、8 月、9 月这三个月因空气质量造成的经济损失总额的数学期望会超过 2.88 万元 20 （12 分）已知椭圆 22 22 :1(0) xy Cab

34、 ab 过点 3 (1, ) 2 ，过坐标原点O作两条互相垂直的 射线与椭圆C分别交于M，N两点 （1）证明：当 22 9ab取得最小值时，椭圆C的离心 率为 2 2 （2）若椭圆C的焦距为 2，是否存在定圆与直线MN总相切？若存在，求定圆的方程；若 不存在，请说明理由 【解答】解： （1）方法一：由椭圆过点 3 (1, ) 2 ，则 22 19 1 4ab ， 2222 2222 222222 1999819981121 9(9)()12 444444 abab abab abbaba ， 当 且 仅 当 第 16 页（共 19 页） 22 22 99 4 ab ba 时，即2ab， 22

35、9ab取得最小值， 所以椭圆的离心率 2 2 2 1 2 cb e aa ， 方法二：由方法一可知： 22 19 1 4ab ，则 2 2222 819 (1) 1 42 1 99abab ，所以 22 121 9 4 ab，当且 仅当 22 9 1 2 9ab ，即2ab， 22 9ab取得最小值， 所以椭圆的离心率 2 2 2 1 2 cb e aa ， （2）存在定圆 22 12 7 xy，使得定圆与直线MN总相切，理由如下： 椭圆的焦距为 2，所以 22 1ab，所以由（1）可知 22 19 1 4ab ，解得： 2 4a ， 2 3b ， 当直线MN的斜率不存在时，由对称性，设 0

36、(M x， 0) x， 0 (M x， 0) x， 因为M，N在椭圆上，解得 2 0 12 7 x ， 所以O到直线MN的距离 0 2 21 | 7 dx， 当直线MN的斜率存在时，设直线MN的方程为ykxm， 联立方程组 22 1 43 ykxm xy ，消去y，整理得 222 (34)84120kxkmxm， 由 222 (8)4(34)(412)0kmkm， 设 1 (M x， 1) y， 2 (N x， 2) y，则 12 2 8 34 km xx k ， 2 12 2 412 34 m x x k ， 因为OMON，所以 1212 0x xy y， 22 121212121212 (

37、)()(1)()0x xy yx xkxm kxmkx xkm xxm， 所以 2 22 22 4128 (1)()()0 3434 mkm kkmm kk ，即 22 712(1)mk， 所以O到直线MN的距离 2 |2 21 7 1 m d k ， 综上可知，O到直线MN的距离为定值，且定值为 2 21 7 ， 第 17 页（共 19 页） 故存在定圆 22 12 : 7 O xy 21 （12 分）已知函数( )2 (1)sin1f xln xx，函数( )1(g xaxblnx a ，bR，0)ab （1）讨论( )g x的单调性； （2）证明：当0x时，( ) 31f xx （3）证

38、明：当1x 时， 2sin ( )(22) x f xxxe 【解答】解： （1）( )g x的定义域为(0,)，( ) axb g x x ， 当0a ，0b 时，( )0g x，则( )g x在(0,)上单调递增； 当0a ，0b 时，令( )0g x，得 b x a ， 令( )0g x，得0 b x a ，则( )g x在(0,) b a 上单调递减，在(,) b a 上单调递增； 当0a ，0b 时，( )0g x，则( )g x在(0,)上单调递减； 当0a ，0b 时，令( )0g x，得0 b x a ， 令( )0g x，得 b x a ，则( )g x在(0,) b a 上

39、单调递增，在(,) b a 上单调递减； （2）证明：设函数( )( )(31)h xf xx，则 2 ( )cos3 1 h xx x 0x， 2 (0,2 1x ，cos 1x ，1， 则( ) 0h x，从而( )h x在0，)上单调递减， ( )( )(31)(0)0h xf xxh，即( ) 31f xx （3）证明：当1ab时，( )1g xxlnx 由（1）知，( )ming xg（1）0，( )10g xxlnx ，即1xlnx 当1x 时， 2 (1)0x ， 2sin (1)0 x xe，则 2sin2sin (1)1(1) xx xeln xe， 即 2sin (1)2

40、(1)sin1 x xeln xx，又 2sin2sin (22)(1) xx xxexe， 2sin (22)2 (1)sin1 x xxeln xx， 即 2sin ( )(22) x f xxxe （二）选考题：共（二）选考题：共 10 分分.请考生从第请考生从第 22，23 两题中任选一题作答两题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第如果多做，则按所做的第 一个题目计分一个题目计分.选修选修 4-4：坐标系与参数方程：坐标系与参数方程 第 18 页（共 19 页） 22 （10 分）在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为 12cos ( 2sin x y 为参数） 以坐 标原点为极点

41、，x轴正半轴为极轴，建立极坐标系已知点P的直角坐标为( 2,0)，过P的 直线l与曲线C相交于M，N两点 （1）若l的斜率为 2，求l的极坐标方程和曲线C的普通方程； （2）求PM PN的值 【解答】解： （1）曲线C的参数方程为 12cos ( 2sin x y 为参数） 转换为直角坐标方程为 22 (1)4xy 点P的直角坐标为( 2,0)，过P的直线l的斜率为 2， 故直线的方程为2(2)yx，整理得2 cossin40 （2）直线的方程为2(2)yx，转换为参数方程为： 5 2 5 ( 2 5 5 xt t yt 为参数）代入圆的 方程得到： 2 2 5 30 5 tt， 所以： 1

42、2 3t t 故：PM PN的值 1 2 3t t 选修选修 4-5：不等式选讲：不等式选讲（10 分）分） 23已知函数( ) |21|21|f xxx，记不等式( )4f x 的解集为M （1）求M； （2）设a，bM，证明：| 10abab 【解答】解： （1）( ) |21|21|f xxx， 可得 1 2 x时，( )4f x 即21214xx ，解得 1 1 2 x ； 当 1 2 x时，( )4f x 即12214xx ，解得 1 1 2 x ； 当 11 22 x时，( )4f x 即12214xx ，解得 11 22 x； 则( 1,1)M ； （2）证明：要证| 10abab ，即证(| 1)(| 1)0ab， 第 19 页（共 19 页） 由a，bM，即11a ，11b ， 可得| 1a ，| 1b ，即| 10a ，| 10b ， 可得(| 1)(| 1)0ab， 故| 10abab 成立