§4函数项级数和函数的性质学习培训模板课件.ppt
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- 关 键 词:
- 函数 级数 性质 学习 培训 模板 课件
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1、4 4 函数项级数函数项级数 和函数的性质和函数的性质一、连续性一、连续性定理定理4.14.1(函数列的极限函数的连续性函数列的极限函数的连续性)定理定理4.24.2(函数项级数的和函数的连续性函数项级数的和函数的连续性)设设函函数数列列(),1 2()nnfx n,.IfxI ,在在 上上连连续续,且且在在 上上一一致致收收敛敛(),().f xf xI于于则则在在 上上连连续续设设级级数数1()(),(),nnInuxIS xuxC 在在 上上一一致致收收敛敛于于且且若若则则I.().()IIS xCC 表表示示 上上的的连连续续函函数数的的集集合合连续性连续性定理定理4.14.1的证明的
2、证明:由于由于定理得证定理得证.0()()f xf x 0 xI,000()()()()()()nnnnf xfxfxfxfxf x ()(),nfxf x又又因因为为一一致致收收敛敛到到0,Ns.t.nNxI 有有0033()(),()()nnfxf xfxf x 成成立立,0,(),nInNfxCxx 取取定定一一个个由由则则当当时时 有有03()()nnfxfx,0()().f xf x 例例1 1(1)(1)证明:证明:(2)(2)解:解:02cos(),()(,).nnxS xS xn 设设证证明明在在上上连连续续220coscos(,)nnxnxnn 由由于于在在上上一一致致收收敛
3、敛,且且(,)()(,).S x 在在上上连连续续,所所以以在在上上连连续续2103()cos,lim()nnxnxS xn xS x 已已知知求求3()nnxux 因因为为,所所以以2|x|当当时时,23(),nnux 12()2,nnux 在在上上一一致致收收敛敛,2()2,S x于于是是在在上上连连续续,1013134()lim()().nnxnS xS 例例2.2.(内闭一致收敛)内闭一致收敛)证明:证明:内闭一致收敛内闭一致收敛10(1)()().nxnS xne,证证明明在在上上连连续续10()()nxnS xne,虽虽然然在在上上不不一一致致收收敛敛,),在在上上连连续续。0)(
4、),S x 但但任任取取,它它在在上上一一致致收收敛敛。因因此此()S x 由由于于 的的任任意意性性,因因此此在在(0).,上上连连续续).,()(,CxSM任意性任意性由由.),()ln()()2(2上连续上连续在在证明:证明:nnnxxS证明:证明:虽然虽然上不一致收敛,上不一致收敛,在在),()ln()(2 nnnxxS上一致收敛,上一致收敛,但在但在MM,上连续,上连续,在在因此因此)(MM,xS 二、逐项积分二、逐项积分定理定理4.34.3极限与积分交换极限与积分交换证明:证明:由定理由定理4.14.1知,知,于是有,于是有,一致收敛函数列的积分性质一致收敛函数列的积分性质1 2(
5、),()(),uninnfxC a b n,.fxf x 设设,且且(),lim()d()d.bbnaanf xR a bfxxf xx 则则,且且(),.f xC a b,(),f xR a b。()(),0,nfxa,bf x 由由于于在在上上一一致致收收敛敛于于因因此此()0,|()()|.nNs.t.nN,xa,bfxf x ,有有nN 所所以以当当时时,()()()()().bbbnnaaa|fx dx-f x dx|fx-f x dx|ba lim()d()d.bbnaanfxxf xx 定理定理4.34.3与定理与定理4.34.3的连续条件改为可积,的连续条件改为可积,结论仍然成
6、立结论仍然成立.注:注:1(),()nnuxa bS x 若若在在上上一一致致收收于于,敛定理定理4.44.4,.,nbaCxun21,)(,且且,且,且则则)(a,bRxS ba11()d()d()dbbnnaannS xxuxxuxx。基本要求基本要求:一致收敛一致收敛+可积可积可逐项积分可逐项积分一致收敛函数项级数的逐项积分性质一致收敛函数项级数的逐项积分性质例例3 3.d)(,cos)(012 xxfnnxxfn求求设设解解:.0dcosd)(1020 nxnnxxxf 上一致收敛,上一致收敛,在在由于级数由于级数,0cos12 nnnx,.,nCnnx21,0cos2 且且0,故故在
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