电工电子技术基础第3章-课件.ppt

1、第3章 单相正弦交流电路3.1 正弦交流电的基本概念 在正弦电源激励下，电路中电压和电流均按正弦规律变化，这样的电路称为正弦交流电路。正弦电压或电流其大小与方向均随时间而周期性变化，如图3-1所示。图3-1 正弦波波形 正弦波的特征表现在变化的快慢、大小及初始值三个方面，因此，正弦交流电包含三个要素，即频率、幅值和初相位。u(i)t(a)正弦波形(a)正弦波形 RUi(b)正半周(b)正半周 RUi(c)负半周(c)负半周 而且 频率 ,单位 Hz或KHz,MHz 相位 周期 2 ffT1)()(tSinUtum3.1.1 频率与周期u(t)t正弦波三要素正弦波三要素UmT(t)图3-2图3-

2、2所示正弦波可写成如下三角函数表示式Srad式中 Um 幅值，又称峰值 角频率,单位 初相位 t 瞬时值正弦量在任一瞬时的值；一般用小写表示，如i,u,e。幅值 瞬时值中最大的值，又称为最大值，或称峰值。一般用带下标m的大写字母表示，如 Um,Im,Em。有效值有效值是正弦交流电的一个等效电压(电流)值。它是指当正弦交流电通过某电阻R产生的热量，如果与直流电I通过同一电阻产生的热量相等时，则这个直流电流 I 称为该交流电 i 的有效值，如图3-3所示。3.1.2 幅值与有效值IREiRu图3-3第（19）页由于正弦交流电i在一个周期T中产生的电阻热量为直流电流I在一个周期中产生的热量为根据上述

3、定义，当两者热量相等时，可得到该正弦交流电的电流有效值为由于 则代入上式同理，正弦电压的有效值为 按规定有效值都用大写字母表示，如市电220V或工业用电380V，都是电力电压的有效值。TRdti02RTIPT2 tSinIim 2mUU TdtiTI0212212022mmTmITTItdtSinITI 3.1.3 初相位、相位差例3-1 已知 电力电压220V,50Hz,写出它的瞬时电压表示式。VVUUm31022022 Sradf 1002 tSintSinUum 100310 则 正弦量的相位 记时起点t=0,这时的相位角称为初相位。例如图3-4中有三个正弦波，波形初相位 ；以波形为参考

4、，波形的初相位 (超前)；而波形的初相位 (滞后)。图3-4正弦波的初相位正弦波的初相位 ti3 2 由于t010203 在图3-5中电压的表达式 初相位为零,电流 i1 初相位 ，电流 i2 初相位 ，两个电流之间的相位差tSinUum 2121 tt如果，i1 和 i2 相位相同，简称同相；如果 180，i1和i2相位相反，简称反相；如果 90，称 i1 和 i2 正交。注意：相位是一个相对的量。因此讨论相位问题必须设定相位的 参考。一般常以激励信号 为参考相位，令其初相位为零。由于正弦稳态分析时，电路中的激励和响应是同频率的正 弦时间函数，因此分析电路时，表示各正弦电流(或电压)特征的是

5、其有效值和初相位。正弦波的相位差正弦波的相位差 t u,ii1i2u图3-512用一个旋转矢量表示正弦量用一个旋转矢量表示正弦量 1.1.正弦交流电表示方法正弦交流电表示方法-相量图法相量图法矢量长度矢量长度 =幅值幅值 mU矢量逆转角速度矢量逆转角速度=角频率角频率mUt （1 1）旋转矢量）旋转矢量 tUum sint=0 0时矢量与横轴正方向的夹角时矢量与横轴正方向的夹角=初相位初相位 oo三要素三要素mU相位：相位：)(t矢量任意时刻与横轴正方向的夹角矢量任意时刻与横轴正方向的夹角瞬时值：瞬时值：)sin(tUm矢量任意时刻对纵轴的投影值矢量任意时刻对纵轴的投影值)(t图3-6频率的正

6、弦量，正弦量对时间的导数 或积分 也仍为同一频率的正弦量，它们之间的差别仅在于幅值与初相位不同。因此,通常只用初始位置(t=0)的有向线段来表示一个正弦量，它的长度等于正弦量的幅值，它与横轴正方向间的夹角等于正弦量的初相位，如图3-7所示。但是我们应该具有这样的某时刻的瞬时值就可以由这个旋转有向线段于该瞬时在纵轴上的投影表示出来。例如，在t=0时，,在t=t1时，.照图3-6的方法 画旋转有向线段来表示正弦量是繁琐的。事实上，在正弦信号的激励下，电路的响应电流(或电压)总是同频率的正弦量，其次，在分析电路时常遇到加、减、求导及积分的问题,而由于同一频率的正弦量之和或差仍为同一 idt dtdi

7、 SinUum 0 11tSinUum则 式(3-1)式(3-1)实际是一种数学变换，即对于任何正弦时间函数，都可以找到如式(3-1)中括号内所表示的与其对应的复指数函数，且该复指数函数完全确定地表征了正弦时间函数的有效值(或最大值)、角频率、初相位三个要素。如前所述，在分析电路激励与响应时,各电量 的频率均相同，因此频率不必表示出来，概念：这个有向线段是以正弦量的角频率作逆时针方向旋转的，它在纵轴上的投影表示正弦 量的瞬时值。图3-7二.用相量(复数)表示正弦电流、正弦电压的含义及方法 iimtISintSinIi 2正弦电流U 正弦量的向量表示正弦量的向量表示 mU设一复指数函数 iitj

8、tISinjtICosIei 222 itjmtISinIeIii 22mI中符号 表示取复数的虚部。(3-1)同理，正弦电压 ，用相量表示为 上式中 不仅是一个复数，而且表示了一个正弦量，所以给它一个专有名称相量。代表正弦电流的相量称之为电流相量，用 表示。要注意相量 与正弦电流 i只存在对应关系对应关系,而不是相等关系，它们之间的对应关系由式(3-1)确定。幅值与初相位两个要素就足以表示各电压 与电流之间的关系，因此我们约定：用式(3-1)中的复常数 表示正弦电流 ，并用下列记法 utUSinu2ijIe mI itISini 2ijIIeIi (3-2)I IujUUeUu (3-3)只

9、要有求表示i，u的相量 ，及相位差 ，并作出相量图。I Uiu 例3-1 已知正弦电流、正弦电压分别为解：相量图如图3-8所示，在相量图上可以很直观地看出相互之间的相位关系。向量图向量图+j+16 3 U I图3-8 331414.14 tSiniA 63141.311 tSinuV,263iu3103214.14 iIIA6220621.311 uUUVi 超前u90度角第（21）页小 结一、正弦量常用的表示方法:三角函数式,旋转矢量,复数表示。二、正弦量为什么必须用矢量或复数(即相量)表示?因为正弦交流量不仅有大小而且有相位参数,要同 时表示出这二个参数必须采用矢量或复数。三、这种表示方法

10、的优点是什么?可以简化正弦交流电路的分析3.2 简单交流电路的特性本节所讨论的元件，假定都是理想的元件。在直流电路中，电压、电流、功率以及由此产生的电场或磁场都不变。电感元件不存在电动势，电容元件不能通过电流，因此，电感视作短路，电容视作开路。但在交流电路中却不然。电源是交变的，各电量是交变的，因此，电感元件上存在感应电动势，电容元件上将流过电流。3.2.1 纯电阻交流电路根据欧姆定律，线性电阻上的电压与电流成正比关系，即当电压和电流均用相量表示时，欧姆定律的相量表示式为图3-9iuR电电阻阻元元件件Rui RUI tUSinu2 tISini222122tCosUItUISinuipRURI

11、UIpdtTPT2201 上式表明，电阻元件上电压和电流的相位相同，如图3-10所示。设 电阻元件吸收的瞬时功率为在一个周期内吸收的平均功率为图3-10UI t ui电阻元件上电压电流向量图及波形图电阻元件上电压电流向量图及波形图图3-11是0时,电阻上电压、电流与瞬时功率的波形。tuiu,i 0(a)0(b)p tP电阻元件的交流电路电阻元件的交流电路(a)电压与电流的正弦波形(a)电压与电流的正弦波形(b)功率波形(b)功率波形 图3-113.2.2 纯电容交流电路图3-12(a)是一个线性电容元件与正弦电源联结的电路，电路中的电流i和电容器两端的电压 u 的正方向如图中所示。当电压发生变

12、化时，电容器极板上的电荷量也要随着变化，在电路中就引起电流 tui 00p ti放放电电 i充充电电 i放放电电 i充充电电-u,i(b)(a)(c)(d)iuCUI(a)电路图(a)电路图(b)电压与电流的正弦波形(b)电压与电流的正弦波形(c)电压与电流的向量图(c)电压与电流的向量图(d)功率波形(d)功率波形电容元件的交流电电容元件的交流电路路 图3-12dtduCdtdqi 如果在电容器的两端加一正弦电压 则电流tSinUum tCCosUdttSinUdCimm 9090 tSinItCSinUmm (3-8)CUImmCIUIUmm 1 也是一个正弦量。比较上两式可知，在电容元件

13、电路中，在相位上电流比电压越前90(=-90)。表示电压和电流的正弦波形如图3-15(b)所示。在式(3-8)中由此可知，在电容元件电路中，电压的幅值(或有效值)与电流 的幅值(或有效值)之比值为 ,当电压一定时，愈大，则电流愈小。可见它具有对电流起阻碍作用的物理性质，所以称为容抗，用XC代表，即 C 1C 1(3-10)容抗XC与电容C、频率 f 成反比。这是因为电容愈大时，在同样电压下，电容器所容纳的电荷量也就愈大，因而电流愈大。fCXc 21 显然，它的单位是欧姆.或 (3-9)瞬时功率 90 ttSinSinIUuippmmC tUISintSinIUttCosSinIUmmmm 22

14、2 (3-12)由上式可见，p是一个以 的角频率随时间而变化的交变量，它的幅值为UI。p 的波形如图3-15(d)所示。在第一个和第三个 周期内,电压值在增高，就是电容元件在充电。这时,电容元件从电源取用电能而储存在它的电场中，所以p 是正的。在第二个和第四个周期内，电压 值在降低，就是电容元件在放电。这时，电容元件放出在充电时所储存的能量，把它归还 给电源，所以p 是负的。在电容元件电路中，平均功率这说明电容元件是不消耗能量的，在电源与电容元件之间只发生能量的互换。能量互换的规模，用无功功率来衡量，它等于瞬时功率pc的幅值，即021100 TTtdtUISinTpdtTP 41 2(3-13

15、)CXIUIQ2 例3-4 把一个 的电容元件接到频率为50Hz、电压有效值为10V的正弦电源上，问电流是多少？如果保持电压值不变，而电源频率改为5000Hz，这时电流将为多少？可见，在电压值一定时，频率愈高，则通过电容元件的电流愈大。解：当f=50Hz时，4.12710255014.321216fCXC mAAXUIC78078.04.12710 当f=5000Hz时，AI8.7274.110 274.11025500014.321216fCXC f25二.电感元件现在来分析一个线性电感元件与正弦电源连接后，这个电感元件电路中电压与电流之间的关系，并讨论该电路中能量的转换和功率问题。假定这个

16、线圈只具有电感L,而电阻R极小，可以忽略不计。当电感线圈中通过交流 i 时，其中产生自感电动势 。设电流 i、电动势 和电压 u的正方向如图3-13(a)所示。根据楞次定律得出 tui 00p ti+-储储能能i+-放放能能i+-储储能能i+-放放能能+-+-u,i(b)(a)(c)(d)iu eLLUI(a)电路图(a)电路图(b)电压与电流的正弦波形(b)电压与电流的正弦波形(c)电压与电流的向量图(c)电压与电流的向量图(d)功率波形(d)功率波形电感元件的交流电路电感元件的交流电路图3-13dtdiLeuL (3-3)设电流为 则电压tSinIim LeLe比较上列两式可知，在电感元件

17、电路中，在相位上电流比电压滞后90(相位差90)。电压u为什么比电流 I 越前90？,这是因为u与i成导数的关系，可由数学推导而得。也可以根据式(3-3)和图3-13(b)这样来理解：电流变化率 大，则电压u也大，小，则u也小；时，u为正，时，u为负。dtdidtdi0 dtdi0 dtdi也是一个正弦量。表示电压u和电流i的正弦波形如图3-13(b)所示。我们规定：当电流比电压滞后时，其相位差为正；当电流比电压越前时，其相位差为负。(3-4)tLCosIdttSinIdLumm 9090 tSinUtLSinImm 瞬时值之比，即 。与上述电阻电路关系不一样，在这里电压与电流之间成导数关系，

18、而不是成正比关系。如用相量表示电压与电流的关系，则为 90jUeU 0jIeI 或(3-7)式(3-7)表示电压的有效值等于电流的有效值与感抗的乘积，在相位上电压比电流越前90。因电流相量 乘上算子j后，即向前(逆时针方向)旋转90。电压和电流的相量图如图3-13(c)所示。I电感元件上瞬时功率为 90 ttSinSinIUuippmmL tUISintSinIUttCosSinIUmmmm 222 LjjXeIUIU 90 ILjIjXUL LXiu 在电感元件电路中的平均功率 021100 TTtdtUISinTpdtTP 由上式可见，p是一个幅值为UI、并以角频率2 随时间而变化的交变量

19、，其变化波形如图3-13(d)所示。说明：在电感元件的交流电路中，没有能量消耗，只有电源与电感之间的能量互换。瞬时功率的正负可以这样解释：在第一个和第三个 周期内，电流值在增大，即 磁场在建立，电感线圈从电源取用电能，并转换为磁能而存储在线圈的磁场内；在第二个和第四个 周期内，电流值在减小，即磁场在消失，线圈放出原先储存的能量并 转换为电能而归还给电源。这是一种可逆的能量转换过程。对于理想电感而言，线 圈从电源取用的能量一定等于它归还给电源的能量，故平均功率为零。电源与4141应当指出，电感元件和后面要讲的电容元件都是储能元件,它们与电源间进行能量互换是工作所需。这对电源来说,也是一种负担。但

20、对储能元件本身来说，没有消耗能量,故命名为无功功率。因此，平均功率也可称为有功功率。电感 元件之间这种能量互换的规模，我们用无功功率Q来衡量。我们规定无功功率等于瞬时功率pL的幅值，即无功功率的单位是乏(var)或千乏(kvar)。LXIUIQ2 例3-3 把一个0.1H的电感元件接到频率为50Hz、电压有效值为 10V的正弦电源上，问电流是多少？如保持电压值不变，而电源频率改变为5000Hz，这时电流为多少？解：当 f=50Hz时，当 f=5000Hz时，mAAXUIfLXLL318318.04.31104.311.05014.322 mAAXUIXLL18.300318.031401031

21、401.0500014.32 第（25）页图图3-3-1414用用正正弦弦波波形形和和旋旋转转向向量量来来表表示示正正弦弦量量 t u u00 t1 t1u1 xy mU yxu mU mIu i 电压瞬时值电压瞬时值 ummtSinUSinUu 小结单一参数正弦交流电路小结单一参数正弦交流电路小结电路电路参数参数电电 路路电压、电流关系电压、电流关系解析式解析式有效值有效值相量图相量图相量式相量式电功率电功率RiuiRu tUu sin2tIi sin2IRU RIU UIu、i 同相同相RIUIP2 LiudtdiLu CiudtduCi tIi sin2)90sin(2 tUutIi s

22、in2)90sin(2 tUuLXIXULL CXIXUCC 1UIu超前超前 i 90UIu滞后滞后i 90IjXUL IjXUC LXIUIQ2 CXIUIQ2 基本关系基本关系瓦（瓦（W）乏（乏（Var）乏（乏（Var）耗能元件耗能元件储能元件储能元件储能元件储能元件3.3 电阻、电感与电容的串联电路如图3-15所示电路中各元件通过同一电流，电流与电压的正方向如图中所示。ui(a)(b)(a)电路图电路图(b)相量图相量图uRuLuCRLC LU RU CU CU U LU CU I电阻、电感与电容元件串联的交流电路电阻、电感与电容元件串联的交流电路图3-15根据基尔霍夫电压定律，可列出

23、 CLRuuuu idtCdtdiLiR1(3-14)(3-15)假设以电流为参考量，tSinIim 90909090 tSinUtSinCIutSinUtLSinIutSinUtRSinIuCmmCLmmLRmmR 同频率的电压相加仍然为同频率的正弦量，故总电压u可以写成 tSinUuuuumCLR(3-16)为了求出合成电压的幅值与相位，我们借助于相量法。与公式(3-14)及(3-15)对应的相量形式为 或写成 令CLCLRjXIjXIRIUUUU CLXXjRI CLXXjRIU CLXXjRZ 称为该电路的复数阻抗(它不是一个相量，而是一个复数计算量)，则 IZU(3-18)(3-17

24、)jeZZ 复数阻抗又可写成 22CLXXRZ 式中，复数阻抗的模 及RXXarctgCL 复数阻抗的辐角 (3-19)式(3-18)又可写为 jeZIU 由于以电流为相位参考，故总电压的有效值ZIU ZIZIUmm 2幅值以上相量关系表示于图3-17(b)。应该注意几点：1.在分析与计算交流电路时必须时刻具有交流的概念，特别是 相位的概念。上述电阻、电容与电感的串联，总的电压应等 于三个元件上电压的相量和，如果直接写成 那就不对了。CLRUUUU 2.式(3-18)表明,复数阻抗的实部为“阻”，虚部为“抗”，它表示了串联电路的电压与电流之间的关系，模|Z|反映大小关系，辐角反映相位关系。如果

25、XLXC，电流i比电压u滞后 角,这种电路是电感性的；如果XLXC，电流i 比电压u 超前角，这种电路是电容性的；如果XL=XC，电流 i 与电压u同相，这种电路是电阻性的。*下面讨论功率问题。瞬时功率这里，平均功率不为零的原因是电阻元件上要消耗电能。平均功率 UICospdtTPT 01 tSintSinIUuipmm tCosCosUI2根据图1-17(b)相量图IRUUCosR 于是 UICosRIIUPR 2（3-20）000无功功率 UISinXXIIUUQCLCL 2 上式中括号内取负号是考虑到 LU CU平均功率又称“有功功率”，而式(3-20)称为“功率因数”。乘积UI 称为“

26、视在功率”，用符号S表示，即UIS (3-22)解:(1)40101273143LXL 现将几种串联电路中交流电压与电流的关系列于表3-1。例3-5 在电阻、电感、电容元件相串联的电路中，已知电源电压 R=30,L=127mH,C=40F。(1)求感抗、容抗和 阻抗；(2)求电流的有效值I与瞬时值i的表示式；(3)求各部分电压的有效值与瞬时值的表示式；(4)作相量图；(5)求功率P和Q。20t314Sin2220u V（3-21）相位相反.COS(2)AZUI4.450220 AtSintSiniarctgRXXarctgCL7331424.4532031424.4)(53308040 电电容

27、容性性(3)VtSintSinuVIXUVtSintSinuVIXUVtSinuVIRUCCCLLLRR17314235290733142352352804.4163314217690733142176176404.4733142132132304.4 508040308010403141122226CLCXXRZCX(4)相量图如图3-16所示。LU RU CU U LU CU172073 I图3-16(5)534.4220 CosUICosP W8.5806.04.4220 534.4220 SinUISinQ)(4.774)8.0(4.4220电电容容性性Var 例3-6 试用相量(复数

28、)计算上例中的电流 。I解：220 UV20 504030804030 jjXXjRZCL 534.4535020220 ZUIA73CLRUUUU 显然 谐振电路在无线电工程、电子测量技术等许多谐振电路在无线电工程、电子测量技术等许多电路中应用非常广泛。电路中应用非常广泛。L C 电路电路中中 u、i 同相同相1.1.串联谐振串联谐振3.3.2 谐振电路谐振电路uRLCRuLuCui（1）串联谐振的条件）串联谐振的条件谐振的条件：谐振的条件：谐振频率：谐振频率：LCfo 21CULUI&UUR CLUU 由由CLoo 1CLXX LCo1 2.串联谐振的特点串联谐振的特点 ，RXXRZCLo

29、 22UUUURCL ；0U、I 同相同相RUZUIoo 阻抗最小、电流最大阻抗最小、电流最大RXXCL 若若则则UUUCL 串联谐振时，部分电压有可能很大于串联谐振时，部分电压有可能很大于电源电压，故称为电源电压，故称为电压谐振电压谐振。品质因数（品质因数（Q 值）值）反映电路处于串联谐振时，电感电压或电容反映电路处于串联谐振时，电感电压或电容电压与信号源电压的倍数。电压与信号源电压的倍数。RCRLUUUUQCL001 LC10 CLRQ1 可见可见Q 值由电路参数确定。通常值由电路参数确定。通常R QQUUUCL 收音机接收电路为串联谐振电路收音机接收电路为串联谐振电路1LLRC1f2f3fCLR1e2e3e1f2f3fR=5，设在，设在频率频率f1时，时，XL=XC=50 。V5.41E ，试求电容两端的电压。，试求电容两端的电压。例：例：V455.45501ERXXIUCCoC无线电通信中可利用串联谐振将微弱信号放大，得到较无线电通信中可利用串联谐振将微弱信号放大，得到较大的信号大的信号3.串联谐振的应用