不可压缩理想流体的平面运动学习培训模板课件.ppt

1、17 7不可压缩理想流体的平面运动 基本内容基本内容：l掌握有旋运动与无旋运动掌握有旋运动与无旋运动l掌握势函数与流函数及其存在的条件掌握势函数与流函数及其存在的条件l熟悉势函数和流函数的求法熟悉势函数和流函数的求法2 平面运动平面运动是指整个流场中流体速度都平行于某一平面，且流体各物理量在与该平面垂直的方向上没有变化的流动。例如空气横向绕过塔设备、高楼等的流。例如空气横向绕过塔设备、高楼等的流动动,可视为垂直于柱体的平面流动。在工程实际中，可视为垂直于柱体的平面流动。在工程实际中，常见的是不可压缩理想流体的平面运动常见的是不可压缩理想流体的平面运动。研究不可压缩理想流体的平面流动，首先要建立

2、运动微分方程，然后结合边界条件求解。37.17.1流体微团的运动分析流体微团的运动分析 在流体流动时，流体微团除了平动和转动之外，在流体流动时，流体微团除了平动和转动之外，还伴有变形运动。还伴有变形运动。在对流体微团进行变形运动分析时，不是看其变形量的大小，而是看其变形速度的大小。分析流体微团运动的基本量：分析流体微团运动的基本量：l线变形速度线变形速度l剪变形速度剪变形速度l平均旋转角速度平均旋转角速度4一、线变形速度一、线变形速度 首先看一维情首先看一维情况。况。t时刻，在时刻，在x轴上取一微小流轴上取一微小流体线段体线段AB=x，A点的速度为点的速度为vx，按泰勒级数展开，按泰勒级数展开

3、，B点的速点的速度可表示为度可表示为xdxdvvxxABA?B?xxvxt(vx+(dvx/dx)x)ttt+t5经过经过t时间后，时间后，AB运动到运动到A?B?，其长度的改变量为，其长度的改变量为：txdxdvtvtxdxdvvABBAxxxx)(ABA?B?xxvxt(vx+(dvx/dx)x)ttt+t6则单位长度在单位时间内长度的改变量为：则单位长度在单位时间内长度的改变量为：dxdvtxABBAxtx0lim把把x叫做线段叫做线段AB在在x轴轴的线变形速度的线变形速度。7zvyvxvzzyyxx,对于三维问题则有对于三维问题则有下标下标x,y,z表示变形发生的方向。表示变形发生的方

4、向。00zvyvxvzyxzyx这就是这就是不可压缩流体的连续方程不可压缩流体的连续方程。对于不可压缩流体，在变形过程中，体积不对于不可压缩流体，在变形过程中，体积不发生改变发生改变，则有，则有8二、剪变形角速度二、剪变形角速度ABCDvxvyvxtyyvvxxxxvvyytyyvvxx)(xy9 经经t时间后，流体微团发生变形，时间后，流体微团发生变形，AB边转过边转过的角度为的角度为，BC边转过的角度为边转过的角度为。则。则txvtyvytvyyvvyxxxx)(tan10则定义剪变形角速度为则定义剪变形角速度为)(2121lim0yvxvtxytz即单位时间内直角改变量的一半。即单位时间

5、内直角改变量的一半。同理对三维空间可写出同理对三维空间可写出)(21xvzvzxy)(21zvyvyzx 剪变形角速度是流体微团中某一直角的减小速度的一半。11三、平均旋转角速度三、平均旋转角速度yxI(+)/)/2 2D?C?B?DCBAI?虚线是初始位置，经过虚线是初始位置，经过t时间后，流体微团运动到时间后，流体微团运动到AB?C?D?。由几何关系。由几何关系tyvxvIIAxy)(21)(2112则单位时间内角平分线转过的角度为则单位时间内角平分线转过的角度为)(21lim0yvxvtIIAxytz对于三维问题同理可得出对于三维问题同理可得出)(21)(21xvzvzvyvzxyyzx

6、yxI(+)/)/2 2D?C?B?DCBAI?13矢量式为矢量式为zyxvvvzyxkjiv2121147.27.2有旋运动和无旋运动有旋运动和无旋运动 一般来说，粘性流体的流动是有旋的，而理想一般来说，粘性流体的流动是有旋的，而理想流体的流动可能是无旋的，也可能是有旋的。流动流体的流动可能是无旋的，也可能是有旋的。流动究竟是有旋还是无旋，是根据流体究竟是有旋还是无旋，是根据流体微团本身是否旋微团本身是否旋转转来确定的，而不是根据流体质点的运动轨迹是否来确定的，而不是根据流体质点的运动轨迹是否弯曲来判定。弯曲来判定。zyxvvvzyxkjivrot根据旋度的概念根据旋度的概念：15速度场的旋

7、度与平均旋转角速度相比较速度场的旋度与平均旋转角速度相比较:vrot21 所以所以平均旋转角速度平均旋转角速度不仅是分析流体微团在运动过程中旋转运动的特征量，同时也是判断流体是判断流体的运动是有旋运动还是无旋运动的标准的运动是有旋运动还是无旋运动的标准。运动是有旋的运动是无旋的0000vrotvrot16例：例：如图一维剪切流动中，流体速度分布为如图一维剪切流动中，流体速度分布为0,yxvcyv其中其中c为常数。判断流动是否无旋？为常数。判断流动是否无旋？v0vxyx17由判断条件由判断条件021)(21cyvxvxyz故运动是有旋的。故运动是有旋的。18例：例：图示为流体质点绕某一圆心的旋转

8、运动。已知图示为流体质点绕某一圆心的旋转运动。已知流体速度分布为流体速度分布为0,rvrcv其中其中c为常数，试判断为常数，试判断流动有旋还是无旋？流动有旋还是无旋？r 19在极坐标系下的判断条件为在极坐标系下的判断条件为)vr1)rv(rr1(21rz代入速度分布可得代入速度分布可得0z故该流动是无旋的。故该流动是无旋的。0,rvrcv207.37.3不可压缩理想流体平面势流的基本方程不可压缩理想流体平面势流的基本方程 工程上有许多问题可简化为理想流体的工程上有许多问题可简化为理想流体的无旋流动问题，如流体机械内的流动。利无旋流动问题，如流体机械内的流动。利用无旋流动的特性，可建立线性运动方

9、程用无旋流动的特性，可建立线性运动方程来求解流体的速度分布，从而避开求解欧来求解流体的速度分布，从而避开求解欧拉方程的困难。拉方程的困难。217.3.17.3.1速度势函数速度势函数 对于无旋流动，速度的旋度为零，即对于无旋流动，速度的旋度为零，即02v此时流体质点都要满足以下条件此时流体质点都要满足以下条件yvzvzvxvxvyvzyxzyx,22由数学分析，上面的三个方程是由数学分析，上面的三个方程是dzvdyvdxvzyx成为某一函数的全微分的充分必要条件，该函数记成为某一函数的全微分的充分必要条件，该函数记为为(x,y,z,t)。当以当以t为参数时，该函数的全微分是为参数时，该函数的全

10、微分是dzzdyydxxd23所以有所以有zyxvzvyvx,按矢量分析有按矢量分析有kzjyixv函数函数称为速度势函数称为速度势函数，简称，简称速度势速度势。速度势的。速度势的梯度就是流场中的速度。梯度就是流场中的速度。24 当流体作当流体作无旋流动无旋流动时，不论其是否可压缩，总时，不论其是否可压缩，总有速度势存在，所以无旋流动又称为有势流动。有速度势存在，所以无旋流动又称为有势流动。对于不可压缩流体，有下式存在对于不可压缩流体，有下式存在02222222zyx称为拉普拉斯方程。称为拉普拉斯方程。2称为拉普拉斯算子称为拉普拉斯算子。25在平面极坐标中，速度和速度势之间的关系是在平面极坐标

11、中，速度和速度势之间的关系是rvrvr,拉普拉斯方程为拉普拉斯方程为012222rrrr26速度势函数的意义速度势函数的意义：在势流中，如果已知速度势函数，则可根据速度与速度势之间的关系很容易地计算出速度矢量分量，从而将求解速度场的问题转化为求解速度势函数的问题。27例题例题：已知一个平面不可压缩定常有势流动的速度：已知一个平面不可压缩定常有势流动的速度 势函数为势函数为22yx 求在点求在点(2.0,1.5)处速度的大小。处速度的大小。28smvvVsmyyvsmxxvyxyx/5/0.32/4222解：29：不可压缩流体平面流动的势函数不可压缩流体平面流动的势函数xyx22试确定：试确定：

12、1.1.该平面流动的速度场。该平面流动的速度场。2.2.该流动有旋还是无旋该流动有旋还是无旋？3.3.该流动是否满足连续性方程该流动是否满足连续性方程?vx=2x+1,vy=-2y无旋满足30 在平面流动中，对不可压缩流体，由微分形式在平面流动中，对不可压缩流体，由微分形式的连续性方程的连续性方程0yvxvyx得得yvxvyx31该式是该式是 dxvdyvyx成为某一函数成为某一函数(x,y)全微分的充要条件，即全微分的充要条件，即dxvdyvdyydxxdyx因此有因此有xvyvyx,32平面流动的流线方程为平面流动的流线方程为0dxvdyvyx所以在流线上有所以在流线上有constd或0在

13、每条流线上函数在每条流线上函数 都有不同的值，故都有不同的值，故 被称为被称为流流函数函数。在引出流函数时，并未涉及到流体的粘性和。在引出流函数时，并未涉及到流体的粘性和是否为有势流动，是否为有势流动，只要是不可压缩流体的平面流动，只要是不可压缩流体的平面流动，就必然存在流函数就必然存在流函数。在。在三维流动中一般不存在流函三维流动中一般不存在流函数数。33关于流函数的物理意义关于流函数的物理意义 经经A、B两点的实线为两点的实线为流场中的两条流线，虚线流场中的两条流线，虚线AB与流场中的所有的流线与流场中的所有的流线正交，现求通过虚线正交，现求通过虚线AB的的流量。流量。oIIIvyvxdy

14、dxBAyx流线流线dl 在虚线在虚线AB上取一微元弧段上取一微元弧段dl，显然，显然，vxdy是经是经dl从区从区I进入区进入区II的流量，的流量，vydx是经是经dl从从II区区 进入进入I区区的流量，那么经的流量，那么经dl从从I区进入区进入II区的净流量为区的净流量为34dxvdyvdqyx对虚线积分可得到两条流线之间的总流量对虚线积分可得到两条流线之间的总流量ABBABAyxBAddxvdyvdqq 流函数的物理意义是：平面流动中两条流线之间通过的流体流量，等于两条流线上流函数的差。而且，沿流线全长两流线之间的流量保持不变。350,yyxxxyyx与与 的关系的关系：由速度与速度势及

15、流函数的关系可得由速度与速度势及流函数的关系可得 上式表明，等势线与流线相互正交。上式表明，等势线与流线相互正交。367.3.37.3.3流函数和势函数的求解方法流函数和势函数的求解方法例：设平面流动的速度分布为例：设平面流动的速度分布为yxyxyvxxyyxvyx32322222 求求:(1)是否满足连续性方程是否满足连续性方程 (2)势函数势函数 (3)流函数流函数37解：解：(1)0322322xyyxyvxvyx所以满足连续性方程。所以满足连续性方程。（2）0)2222(21)(21xyyxyvxvxyz是无旋流是无旋流动，存在动，存在势函数势函数38dyyxvdxxvdyvdxvyy

16、BAxxyx00),()0,(积分路径如图。所以积分路径如图。所以o(x,y)(x,0)yx)()(23)(31)32()3(223302202yxxyyxyxdyyxyxydxxxyx39(3)因为满足连续方程，所以存在流函数因为满足连续方程，所以存在流函数dyvdxvxy积分路径同上，则积分路径同上，则)3()(31)32(),()0,(330220200yxxyyxdyxxyyxdxxdyyxvdxxvyxyxxyo(x,y)(x,0)yx40练练 习习 试求下面不可压缩流场的试求下面不可压缩流场的流函数流函数及及速度势速度势：其中其中k为常数。为常数。CkxyCyxk+=+)(21=2

17、20,wkyvkxu417.4 7.4 简单的平面势流及其叠加简单的平面势流及其叠加一、直均流一、直均流 所谓直均流，就是流体质点以相同的速度相互平所谓直均流，就是流体质点以相同的速度相互平行地作等速直线运动。如图，流动方向为行地作等速直线运动。如图，流动方向为x轴。其速轴。其速度分布为度分布为xyv000yxvvv42因为因为0)(21yvxvxyz所以是无旋运动，存在速度势所以是无旋运动，存在速度势xvdyvdxvyx0在极坐标系中在极坐标系中cos0rv43将速度分布函数带入连续性方程，因为满足将速度分布函数带入连续性方程，因为满足0yvxvyx所以存在流函数所以存在流函数 yvdyvd

18、xvxy0在极坐标系中在极坐标系中sin0rv44二、源或汇二、源或汇 流体从平面一点均匀地向四周流出，一直流向无流体从平面一点均匀地向四周流出，一直流向无穷远处，这样的流动称为穷远处，这样的流动称为平面点源平面点源。流体流出的点称。流体流出的点称为源点，单位时间流出的体积流量称为源强，用为源点，单位时间流出的体积流量称为源强，用qv表表示。将坐标原点取在源点处，得极坐标系中速度分布示。将坐标原点取在源点处，得极坐标系中速度分布yx02vrqvvr45 满足势函数和流函数的存在条件的证明：满足势函数和流函数的存在条件的证明：势函数存在的条件为势函数存在的条件为无旋流动无旋流动，在该平面流场中，

19、在该平面流场中0)1)(1(21rzvrrvrr所以存在势函数。所以存在势函数。而流函数存在的条件为而流函数存在的条件为连续性方程只有两项的平连续性方程只有两项的平面流面流。4601)(1vrrrvrr极坐标系下连续性方程为极坐标系下连续性方程为该流场显然满足要求，因此存在流函数。该流场显然满足要求，因此存在流函数。势函数为势函数为22ln2ln22yxqrqrdrqrdvdrvvvvr47流函数为流函数为)arctan(222xyqqdqrdvdrvvvvr 流函数的等值线是流函数的等值线是为常数的射线族。为常数的射线族。48汇是流体从无穷远处均匀地流向一点。汇是流体从无穷远处均匀地流向一点

20、。00vq，是源，是源，是汇，是汇yx49三、简单平面势流的叠加三、简单平面势流的叠加 在势流理论中，经常通过解拉普拉斯方程或利用在势流理论中，经常通过解拉普拉斯方程或利用流场叠加的方法得到速度势，再利用速度势求速度和流场叠加的方法得到速度势，再利用速度势求速度和压强场，最后求得流体对物体的作用力。压强场，最后求得流体对物体的作用力。用用叠加法求速度势的基本点是要保证满足所求问叠加法求速度势的基本点是要保证满足所求问题的内外边界条件题的内外边界条件。要满足内边界条件，就必须形成。要满足内边界条件，就必须形成一条流线与物体表面完全重合。这条流线的作用与物一条流线与物体表面完全重合。这条流线的作用

21、与物体表面完全相同。下面举例说明叠加法的基本思想。体表面完全相同。下面举例说明叠加法的基本思想。50例例1：如图为理想流体在宽为：如图为理想流体在宽为H的渠道中流动，求流的渠道中流动，求流场的速度势。场的速度势。Hvyx 显然这是直均流，在该流显然这是直均流，在该流场中，相距为场中，相距为H的两条流线的的两条流线的作用与渠道两壁的作用完全相作用与渠道两壁的作用完全相同，因此所求的速度势就是直同，因此所求的速度势就是直均流的速度势。即均流的速度势。即直均流51例例2：一个直均流绕一个卵形柱体流动，求流场的速一个直均流绕一个卵形柱体流动，求流场的速度势。度势。52 在这个流场中，物体对直均流的影响

22、是一个在这个流场中，物体对直均流的影响是一个近场效应近场效应，即，即在物面附近对直均流影响较大，在无穷远处仍然是直均流。在物面附近对直均流影响较大，在无穷远处仍然是直均流。该流场可认为是一个直均流与一对等强度的源汇叠加后形该流场可认为是一个直均流与一对等强度的源汇叠加后形成的流场成的流场。要形成图中的卵形流线。要形成图中的卵形流线C，可通过调整源汇强度以，可通过调整源汇强度以及源汇间的距离，使流线及源汇间的距离，使流线C的形状与物体表面的形状完全相同。的形状与物体表面的形状完全相同。这时流线这时流线C的作用与物体表面的作用完全相同。的作用与物体表面的作用完全相同。在无穷远处的边界条件是直均流的边界条件。这样就满足在无穷远处的边界条件是直均流的边界条件。这样就满足了外边界条件。了外边界条件。CC53于是所求流场的速度势是于是所求流场的速度势是汇源直均流