全国高中数学联赛与各省市预赛历届（2009-2019）试题汇编数列 真题汇编与预赛典型例题（原卷版）.doc

1、 专题专题 01 数列真题汇编与预赛典型例题数列真题汇编与预赛典型例题 1 【2018 年全国联赛】设整数数列满足，且 ，则这样的数列的个数为 . 2 【2017 年全国联赛】设两个严格递增的正整数数列满足,对任意正整数 n,有 。则的所有可能值为_。 3 【2016 年全国联赛】设为 1，2，100 中的四个互不相同的数，满足 .则这样的有序数组的个数为_. 4 【2014 年全国联赛】已知数列满足.则_. 5【2013 年全国联赛】 已知数列共有九项， 其中， 且对每个， 均有. 则这样的数列的个数为_. 6 【2011 年全国联赛】已知.则数列中整数项的个数为_. 7 【2010 年全国

2、联赛】已知是公差不为 0 的等差数列，是等比数列，其中， ，且存在常数使得对每一个正整数 都有.则 _. 8 【2019 年全国联赛】设整数满足. 记. 求 f 的最小值.并确定使 f=f0成立的数组的个数. 9 【2018 年全国联赛】已知实数列满足：对任意正整数 n，有，其中 Sn表示数 列的前 n 项和，证明： （1）对任意正整数 n，有； （2）对任意正整数 n，有. 10 【2018 年全国联赛】数列定义如下：a1是任意正整数，对整数 n1，an+1是与互素，且不等 于的最小正整数.证明：每个正整数均在数列中出现. 11 【2017 年全国联赛】设数列定义为求满足 的正整数 r 的个

3、数。 12 【2016 年全国联赛】设 p 与 p + 2 均为素数，p 3.定义数列 ，其中，表示不小于实数 x 的最小整数.证明对 ，均有. 13 【2014 年全国联赛】已知数列满足.求正整数 m 使得 . 14 【2013 年全国联赛】给定正数数列满足， 其中，.证明： 存在常数，使得. 15 【2013 年全国联赛】给定正整数.数列定义如下：，对整数， .记.证明： 数列中有无穷多项是完全平 方数. 16 【2012 年全国联赛】已知数列的各项均为非零实数，且对于任意的正整数 都有 . (1)当时，求所有满足条件的三项组成的数列. (2)是否存在满足条件的无穷数列，使得若存在，求出这

4、样的无穷数列的一个通项公式； 若不存在，说明理由. 17 【2011 年全国联赛】 已知数列 n a满足： 1 23,1attR t ， 1 1 23211 21 nn n n n n tatt anN at . （1）求数列 n a的通项公式； （2）若0t ，试比较 1n a 与 n a的大小. 18【2011 年全国联赛】 证明： 对任意整数， 存在一个 次多项式 具体如下性质： （1）均为正整数； （2）对任意的正整数及任意个互不相同的正整数，均有. 19 【2011 年全国联赛】设是给定的正实数，.对任意正实数 ，满足 的三元数组的个数记为.证明：. 20 【2010 年全国联赛】证

5、明：方程恰有一个实数根 ，且存在唯一的严格递增正整数数列 ，使得. 21 【2010 年全国联赛】给定整数，设正实数满足，记 .求证：. 22 【2009 年全国联赛】已知是实数，方程有两个实根，数列满足 ） （1）求数列的通项公式（用表示） ； （2）若，求的前 项和 23 【2009 年全国联赛】在非负数构成的数表中，每行的数互不相同，前六列中每 列的三数之和为 1，均大于 1如果 的前三列构成的数表 满足下面的性质：对于数表 中的任意一列）均存在某个 使得 求证： （1）最小值）一定去自数表 的不同列； （2）存在数表 中唯一的一列）使得数表仍然具有性质（ ） 1 【2018 年湖南预赛

6、】如图，将一个边长为 1 的正三角形分成四个全等的正三角形，第一次挖去中间的一 个小三角形，将剩下的三个小正三角形，再分别从中间挖去一个小三角形，保留它们的边，重复操作以上 做法，得到的集合为谢尔宾斯基缕垫. 设是第 n 次挖去的小三角形面积之和（如是第 1 次挖去的中间小三角形面积，是第 2 次挖去的三个 小三角形面积之和） ，则前 n 次挖去的所有小三角形面积之和的值为_. 2 【2016 年吉林预赛】在公差不为 0 的等差数列中，且成等比数列则数列 的通项公式为_. 3 【2016 年上海预赛】数列定义如下:，则_ _。 4 【2016 年上海预赛】设为正整数 1，2， ，2014 的一

7、个排列。记 。则中奇数个数的最大值为_。 5【2016 年浙江预赛】 已知数列满足。 则_。 6 【2018 年甘肃预赛】已知数列满足，则数列的通项公式是_ 7 【2018 年吉林预赛】在数列中，若，则称为“等方差数列”. 下列是对“等方差数列”的判断： 数列是等方差数列； 若是等方差数列，则是等差数列； 若是等方差数列，则，k 为常数）也是等方差数列； 若既是等方差数列，又是等差数列，则该数列为常数列. 其中正确的命题序号为_.（将所有正确的命题序号填在横线上） 8 【2018 年河北预赛】欲登上 7 阶楼梯，某人可以每步跨上两阶楼梯，也可以每步跨上一阶楼梯，则共有_ _种上楼梯的方法. 9

8、 【2018 年浙江预赛】设数列满足 ， (n=1，2，） ，则 _. 10 【2018 年江西预赛】正整数数列满足满足在 中两数列的公共项的个数是_ 11 【2018 年浙江预赛】设实数 x1，x2，x2018满足(n=1，2，2016)和， 证明：. 12 【2018 年山西预赛】已知在正整数 n 的各位数字中，共含有个 1，个 2，个 n证明： 并确定使等号成立的条件 13 【2018 年浙江预赛】将 2n()个不同整数分成两组 a1，a2，an；b1，b2，bn.证明： 14 【2018 年贵州预赛】证明： （1）（k2，kN） ； （2）分别以 1， ，为边长的正方形能互不重叠地全部

9、放入一个边长为 的正方形内 15 【2018 年广西预赛】设，数列满足，求数 列的前 n 项和. 16 【2016 年河南预赛】定义数列. 证明： （1）为整数数列； （2）为完全平方数。 17 【2016 年甘肃预赛】设数列的前 n 项和为，点的图像上. （1）求数列的通项公式； （2） 求， 且对任意的正整数n， 均有.证明： 对任意， 总有. 18 【2016 年福建预赛】已知数列an的前 n 项和 Sn=2an-2(nZ+). （1）求通项公式 an； （2）设为数列bn的前 n 项和，求正整数 k，使得对任意的 nZ+，均有 T4Tn； （3）设，Rn为数列cn的前 n 项和，若对任意的 nZ+，均有 Rn，求 的最小值. 19 【2016 年山东预赛】已知数列满足.证明：在 中，最少可以找到 672 个无理数. 20 【2016 年安徽预赛】已知数列满足用数学归纳法证明： .