全国高中数学联赛与各省市预赛历届（2009-2019）试题汇编数列小题（解析版）.doc

1、 专题专题 02 数列小题强化训练数列小题强化训练(省赛试题汇编省赛试题汇编) 1 【2018 年浙江预赛】设数列满足 ， (n=1，2，） ，则 _. 【答案】 【解析】 由， 所以. 2 【2018 年山西预赛】将全体正整数按自小到大的顺序排列，然后这样分段，使得第一段有 1 个数，第二 段有 3 个数，第 n 段有 2n-1 个数；那么，第 20 段中的第 18 个数是_. 【答案】379 【解析】 显然，前 n 段共有个数，即第 n 段中最大数为；于是第 19 段中的最大数为 ，则第 20 段中第 18 个数为 361+18=379. 3【2018 年江苏预赛】 已知等差数列的前 12

2、 项的和为， 则的最小值为_. 【答案】60 【解析】 ，当且仅当时等号成立， 故的最小值为 60. 故答案为：60 4 【2018 年湖北预赛】设数列满足：，则_. 【答案】 【解析】 由可得 . 设，则有.又，故. 一般地，有，于是 ， 所以. 5 【2018 年湖北预赛】设数列的通项公式为，将该数列中个位数字为 0 的项，按从 小到大的顺序排列构成数列，则被 7 除所得的余数为_. 【答案】4 【解析】 因为，于是可知当且仅当 的个位数字为 1、4、5、6、9、0 时，的个位数 字为 0.所以，数列的连续 10 项中，个位数字为 0 的项有六个. 而，余数 2 所对应的满足条件的项的个位

3、数字为 4，因此， . 所以，被 7 除所得余数为 4. 6 【2016 年新疆预赛】已知数列满足，则_. 【答案】 【解析】 由 . 因此，是以为首项、2 为公差的等差数列. 故. 7 【2016 年辽宁预赛】已知数列共有 100 项,满足, . 则符合条件的不同数列有_个. 【答案】4851 【解析】 注意到,ak+1-ak=5 或-5, . 设 99 个差中有 x 个 5,99-x 个-5.故 于是,所求数列的 99 个差中,有 97 个 5,2 个-5. 由于这 97 个 5、2 个-5 的每一个排列均唯一对应一个满足条件的数列, 从而,所求数列的个数为. 8【2016年江西预赛】 已

4、知数列满足,则正整数m、 n的一组解为m,n=_. 【答案】 【解析】 由 . 若 9【2016 年江西预赛】 等差数列 2,5,8,2015与 4,9,14,2014 的公共项(具有相同数值的项)的个数为_. 【答案】134 【解析】 将两个数列中的各项均加 1,则问题等价于求等差数列 3,6,9,2016 与等差数列 5,10,15,2015 的公共项个 数.注意到,前者是 M=1,2,2016中全部能被 3 整除的数,后者是集合 M 中全部能被 5 整除的数. 故公共项是集合 M 中全部能被 15 整除的数,这种数有 (x表示不超过实数 x 的最大整数)个. 10 【2016 年河南预赛

5、】定义数列为 1+2+ 的末位数字，为数列的前 项之和，则 =_。 【答案】7066 【解析】 由题意知 则末位数相同，即. 于是，. 又 ， ， 故. 11 【2016 年甘肃预赛】数列满足，其中，表示不超过实数 x 的最 大整数，.则_. 【答案】 【解析】 由已知得 ， ， . 故， . 从而，. 12 【2016 年陕西预赛】在数列 中，a4=1，a11=9，且任意连续三项的和均为 15.则 a2016=_. 【答案】5 【解析】 依题意，对任意 nZ+，有 an+an+1+an+2=an+1+an+2+an+3=15an+3=an. 则 a1=a4=1，a2=a11=9，a3=15-

6、a1-a2=5. 故 a2016=a3 672=a3=5. 13 【2016 年吉林预赛】在公差不为 0 的等差数列中，且成等比数列则数列 的通项公式为_. 【答案】 【解析】 设等差数列的公差为. 由已知得. 故. 14 【2016 年安徽预赛】已知等差数列的前 100 项之和为 100，最后 100 项之和为 1000.则 _. 【答案】0.505 【解析】 设等差数列的公差 d，则 ， . 故. 15 【2016 年新疆预赛】设数列满足,且.则 _. 【答案】 【解析】 由 ， ， 则， ， 故. 16 【2016 年山西预赛】设集合,若将集合的元素 按自小到大的顺序排成一个数列，则数列的通项公式_. 【答案】 【解析】 易知，. 若 . 于是，4m-l 为某个奇平方数的 3 倍 设.则 . 故. 17 【2016 年山西预赛】设，令.则_. 【答案】 【解析】 注意到，对于任何大于 1 的数 m，均有 . 上式两边乘以 2k，并取，得 . 在式中分别令后=O，1，9，然后相加得 . 又记， 则. 由式、得