全国高中数学联赛与各省市预赛历届（2009-2019）试题汇编三角函数与解三角形小题强化训练（解析版）.doc

1、 专题专题 05 三角函数与解三角形小题强化训练三角函数与解三角形小题强化训练(省赛试题汇编省赛试题汇编) 1 【2018 年河北预赛】在ABC 中，则ABC 的面积最大值为_. 【答案】3 【解析】 由正弦定理将变形为，其中. 以线段 AC 所在直线为 x 轴，以 AC 的中点 O 为坐标原点建立平面直角坐标系，则 ，由 两边平方整理得 因为，所以上述方程可化为为 由此可知点 B 的轨迹是以为圆心，以为半径的圆.所以当点 B 在圆上运动时，点 B 到 x 轴的最大距离为半径，所以的面积上单调递减，所 以. 2 【2018 年河北预赛】已知则的取值范围是_ 【答案】 【解析】 由条件知点表示单

2、位圆上的动点与点连线的斜率大于 作图可得点 P 在圆弧上运动， 含点和点， 不含点和点 如 图： 而表示原点与点 P 连线的斜率，由图计算得 故答案为： 3 【2018 年河北预赛】在ABC 中，则ABC 的面积最大值为_. 【答案】3 【解析】 由正弦定理将变形为，其中. 以线段 AC 所在直线为 x 轴，以 AC 的中点 O 为坐标原点建立平面直角坐标系，则 ，由 两边平方整理得 因为，所以上述方程可化为为 由此可知点 B 的轨迹是以为圆心，以为半径的圆.所以当点 B 在圆上运动时，点 B 到 x 轴的最大距离为半径，所以的面积上单调递减，所 以. 4 【2018 年四川预赛】在中，则的最

3、小值为_. 【答案】 【解析】 由，知 于是 注意到 ， 当且仅当时等号成立.于是， ， 所以，所求的最小值是. 故答案为： 5 【2018 年浙江预赛】已知，则_. 【答案】 【解析】 由，得， 所以. 故答案为： 6 【2018 年浙江预赛】在ABC 中，AB+AC=7,且三角形的面积为 4,则 sinA 的最小值为_. 【答案】 【解析】 由, 又时取等号. 7【2018 年辽宁预赛】 在ABC 中， 角 A、 B、 C 的对边分别为 、 b、 c.若， 则=_. 【答案】1009 【解析】 由题得. 故答案为：1009 8【2018 年江西预赛】 若三个角成等差数列， 公差为 ， 则_

4、 【答案】 【解析】 根据， 则 所以 则 故答案为：-3 9 【2018 年山西预赛】计算的值为_. 【答案】 【解析】 记，则 ， 所以，. 10【2018 年湖南预赛】 如果函数的图象关于点中心对称， 那么的最小值为_. 【答案】 【解析】 由得图象关于点中心对称知， ，即， 即.因此，的最小值为 . 故答案为： 11 【2018 年湖南预赛】若，则的值为_. 【答案】1 【解析】 首先由可知，必有，否则，矛盾. 又由， 因此有， 解得.因此有以及，故有 . 故答案为：1 12 【2018 年福建预赛】在中，内角所对的边分别是若， 则_ 【答案】 【解析】 由，知 结合正弦定理，得 由，

5、及余弦定理，得 所以故 13【2016 年上海预赛】 给定正实数 a、 b(a b)， 两点到直线 的距离乘积为_。 【答案】 【解析】 直线方程可写成 则 14 【2016 年浙江预赛】若关于的方程组有实数解，则正实数的取值范围是 _。 【答案】 【解析】 两式平方，消去.反之，当时，也存在满足 方程.因此，正实数. 15 【2016 年上海预赛】关于 x 的方程的解为_ 【答案】 【解析】 在已知方程两边同取正切得 又，故 16 【2016 年上海预赛】已知函数若存在，使 成立，则实数 a 的取值范围是_ 【答案】 【解析】 设 F、G 分别为定义在区间上的值域 则， 存在，使得， 故 a

6、 的取值范围是 17 【2016 年新疆预赛】函数的最大值为_. 【答案】 【解析】 依题意知 . 又，故当时，取得最大值 . 18 【2016 年新疆预赛】设的对边分别为，且满足. 则 _. 【答案】9 【解析】 由余弦定理得 . 从而，由正弦定理得 . 19 【2016 年四川预赛】若实数构成以 2 为公比的等比数列，sin、sin、sin 构成等比数列，则 cosa=_. 【答案】 【解析】 设. 由 或 1. 若，则（舍去）. 从而，. 20 【2016 年江西预赛】如图,P 为正方形 ABCD 内切圆上的一点,记则 _. 【答案】8 【解析】 如图,建立直角坐标系. 设圆方程为 则正

7、方形顶点坐标分别为 若,则直线 PA、PB、PC、PD 的斜率分别为, , , . 故 因此. 21 【2016 年江西预赛】设 x 为锐角.则函数的最大值为_. 【答案】 【解析】 由 当时,以上各式等号成立. 22 【2016 年湖南预赛】方程的解集为_. 【答案】. 【解析】 当时， ，当且仅当时，上式等号成立. 又， 当且仅当时，式等号成立. 于是，当时，方程只有解. 由奇函数的性质，知为另一解. 故方程的解集为. 23 【2016 年甘肃预赛】已知函数,若函数在区间内单调递 增,且函数的图像关于直线对称,则 的值为 【答案】 【解析】由在区间内单调递增,且的图像关于直线对称,可得,且

8、 ,所以 考点:本题主要考查三角函数的性质. 视频 24 【2016 年福建预赛】若函数 的最小正周期为 ，则 f(x)在区 间上的最大值为_. 【答案】 【解析】 注意到， ， 且 f(x)的最小正周期为 . 则 =2，. 又时，. 故当 2x+ =，即 x=0 时，f(x)在区间上取最大值 2. 25 【2016 年山东预赛】若实数 x 满足，则关系式的取值范 围是 _. 【答案】 【解析】 若，则 . 此时，不符合条件. 故，此时， . 而在区间上为增函数，由条件得 . 又. 由 . 因此，. 从而，关系式的取值为. 26 【2016 年山东预赛】 _. 【答案】 【解析】 显然， .

9、故 . 令. 则， ，且 . 故. 27 【2016 年安徽预赛】设.则_. 【答案】 【解析】 由 . 28 【2016 年新疆预赛】设直角三角形的三边依次为 (c 为斜边),周长为 .则 的最小值为_. 【答案】 【解析】 设直角三角形中边 a 所对的角为 a.则， 故， 又， ， ， ， 因为时取得最大值 1,所以,当时,c 取得最小值. 29 【2016 年新疆预赛】计算_. 【答案】 【解析】 注意到, 由 ， ， ， ， . 30 【2016 年新疆预赛】在中,的对边分别为.则_. 【答案】 【解析】 由余弦定理得， 将上两式代入条件得： . 则， (或). 31 【2016 年天津预赛】已知的周长为 20,内切圆的半径为.则的值为_. 【答案】 【解析】 设 由已知得 . 由三角形面积公式及余弦定理得 , . 由,得 代人式得：. 得. 32 【2016 年山西预赛】若函数处取得最大值，则 tan的值为_. 【答案】 【解析】 设为锐角）. 故. 故 . 当时，上式等号成立，此时，