全国高中数学联赛与各省市预赛历届（2009-2019）试题汇编三角函数与解三角形（解析版）.doc

1、 专题专题 04 三角函数与解三角形真题汇编与预赛典型例题三角函数与解三角形真题汇编与预赛典型例题 1【2019 年全国联赛】 对任意闭区间 I， 用表示函数 y=sinx 在 I 上的最大值.若正数 a 满足， 则 a 的值为 . 【答案】或 【解析】由图像分析得或. 2 【2017 年全国联赛】已知 x、y 满足.则的取值范围是_。 【答案】 【解析】 由于. 由,知 因此,当时, 有最小值-1,此吋,y 可以取 ; 当时, 有最大值此时，y 可以取 由的值域为,知的取值范围是。 故答案为： 3 【2016 年全国联赛】设函数.若对任意实数 a，均有 ，则 k 的最小值为_. 【答案】16

2、 【解析】 由条件知 ， 当且仅当时，取到最大值. 根据条件，知任意一个长为 1 的开区间至少包含一个最大值点.从而，. 反之，当时，任意一个开区间均包含的一个完整周期，此时， . 综上，k 的最小值为，其中，表示不超过实数 x 的最大整数. 4 【2015 年全国联赛】若tancos，则 4 1 cos sin _ 【答案】2 【解析】 由tancos有 2 sin cos ,sincos cos ， 而 22 sincos1， 求出 15 cos 2 （负 值舍去） ，所以 2 44 2 11215 coscos2 sincos215 。 5 【2015 年全国联赛】设 为正实数.若存在，

3、使得，则 的取值范 围是_. 【答案】 【解析】 由. 而，故已知条件等价于：存在整数，使得 . 当时，区间的长度不小于，故必存在满足式. 当时，注意到，. 故只要考虑如下几种情形： （1），此时，且，无解； （2），此时，； （3），此时，. 综上，并注意到也满足条件，知. 故答案为： 6 【2013 年全国联赛】在中，已知，则_. 【答案】11 【解析】 由 . 7 【2012 年全国联赛】设的内角的对边分别为，且满足.则 _. 【答案】4 【解析】 解法 1 有题设及余弦定理得 . 故. 解法 2 如图 4，过点，垂足为 .则 . 由题设得.又，联立解得 .故. 解法 3 由射影定理得.

4、 又，与上式联立解得 .故. 8 【2012 年全国联赛】满足的所有正整数 的和是_. 【答案】33. 【解析】 由正弦函数的凸性，知当时，. 故， . 因此，满足的正整数 的所有值分别为 10、11、12，其和为 33. 9 【2011 年全国联赛】若，则 的取值范围为_. 【答案】 【解析】 题设不等式等价于. 设，所以， 所以上的增函数，所以，. 故. 由，知 的取值范围是. 故答案为： 10 【2010 年全国联赛】已知函数的最小值为.则实数 的取值范围是_. 【答案】 【解析】 令.于是，原函数化为. 由内的最小值为，即.故 . 当，时，式总成立； 当时，； 当时，. 从而，. 11

5、 【2019 年全国联赛】在ABC 中，BC=a，CA=b，AB=c.若 b 是 a 与 c 的等比中项，且 sinA 是 sin（B-A） 与 sinC 的等差中项，求 cosB 的值. 【答案】 【解析】由题意 ac=b2， ， 整理即 sin B=tan A. 对 ac=b2利用正弦定理并结合三项的等差数列得. 即. 于是. 即. . 令，则，解得. 12 【2012 年全国联赛】已知函数，其中，且. (1)若对任意，都有，求 的取值范围. (2)若，且存在，使，求 的取值范围. 【答案】 （1）（2） 【解析】 （1）. 令.则. 由题设知 解得 的取值范围为. （2）因为，所以，.故

6、. 从而，.由题设知. 解得.故 的取值范围是. 1 【2018 年浙江预赛】已知，得，所 以_ 【答案】 【解析】 . 2 【2018 年浙江预赛】在ABC 中，AB+AC=7,且三角形的面积为 4,则 sinA 的最小值为_. 【答案】 【解析】 由, 又时取等号. 3 【2018 年浙江预赛】设满足，则 x 的取值范围为_. 【答案】 【解析】 由. 令， ， 所以. 4 【2018 年山西预赛】计算的值为_. 【答案】 【解析】 记，则 ， 所以，. 5 【2018 年江苏预赛】函数的值域是_. 【答案】 【解析】 ，因为，所以. 故答案为： 6 【2018 年贵州预赛】 如图， 在A

7、BD 中， 点 C 在 AD 上， AB=CD=1 则 AC=_ 【答案】 【解析】 在ABD 中，（其中 AD=x） 在BCD 中， 由得 ，因为 x+20，x3=2即 故答案为： 7 【2018 年贵州预赛】若边长为 6 的正ABC 的三个顶点到平面 的距离分别为 1， 2，3，则ABC 的重 心 G 到平面 的距离为_ 【答案】 【解析】 （1）当ABC 的三个顶点在平面 的同侧时，由公式求得重心 G 到平面 的距离为 2 （2）当ABC 的三个顶点中，其中一点与另两点分别在平面 的异侧时，求得重心 G 到平面 的距离分别 为 0， 故答案为： 8 【2018 年贵州预赛】函数的所有零点

8、之和等于_ 【答案】60 【解析】 函数 的零点即为方程 2(5x)sinx 在区间0，10上的解函数 y=2sinx 的图像与函数的图像在区间0， 10上的交点的横坐标 因为函数 y=2sinx 的图像与函数的图 像均关于点(5，0)对称，且在区间0，10上共有 12 个交点（6 组对称点)每组对称点的横坐标之和为 10， 即这 12 个点横坐标之和为 60 所以函数 y=2(5x)sin1(0x10)的所有零点之和等于 60 故答案为：60 9 【2018 年重庆预赛】在ABC 中，则_ 【答案】 【解析】 因为 所以 注意到： 故 故答案为： 10 【2018 年陕西预赛】设的内角所对的

9、边分别为，且成等差数列，则 _. 【答案】 【解析】 分析：根据三角形内角和定理及其关系，用C 表示A 与B；根据成等差，得到，利 用正弦定理实现边角转化。得到关于C 的等式；由即可得到最后的值。 详解： ; 所以 , 同取正弦值，得 因为成等差，所以 ，由正弦定理，边化角 ，根据倍角公式展开 所以 ，等式两边同时平方得 ，化简 ，即 而 点睛：本题考查了三角函数正弦定理的应用，三角函数求值中各个边角转化和角的形式变化，需要熟练掌 握各个式子的相互转化，属于难题。 11 【2018 年陕西预赛】设的内角所对的边分别为，且成等差数列，则 _. 【答案】 【解析】 分析：根据三角形内角和定理及其关

10、系，用C 表示A 与B；根据成等差，得到，利 用正弦定理实现边角转化。得到关于C 的等式；由即可得到最后的值。 详解： ; 所以 , 同取正弦值，得 因为成等差，所以 ，由正弦定理，边化角 ，根据倍角公式展开 所以 ，等式两边同时平方得 ，化简 ，即 而 点睛：本题考查了三角函数正弦定理的应用，三角函数求值中各个边角转化和角的形式变化，需要熟练掌 握各个式子的相互转化，属于难题。 12 【2018 年陕西预赛】设的内角所对的边分别为，且成等差数列，则 _. 【答案】 【解析】 分析：根据三角形内角和定理及其关系，用C 表示A 与B；根据成等差，得到，利 用正弦定理实现边角转化。得到关于C 的等

11、式；由即可得到最后的值。 详解： ; 所以 , 同取正弦值，得 因为成等差，所以 ，由正弦定理，边化角 ，根据倍角公式展开 所以 ，等式两边同时平方得 ，化简 ，即 而 点睛：本题考查了三角函数正弦定理的应用，三角函数求值中各个边角转化和角的形式变化，需要熟练掌 握各个式子的相互转化，属于难题。 13 【2018 年贵州预赛】函数的所有零点之和等于_. 【答案】60 【解析】 函数的零点，即为方程在区间上的解.等价 于函数的图象与函数的图象， 在区间上的交点的横坐标.因为函数的图象 与函数的图象，均关于点（5，0）对称，且在区间上共有 12 个交点（6 组对称点） ，每组对称 点的横坐标之和为

12、 10， 即这 12 个点横坐标之和为 60.所以函数的所有零 点之和等于 60. 14 【2018 年广西预赛】设.则_. 【答案】 【解析】 由 . 15 【2018 年安徽预赛】函数的最小正周期=_. 【答案】 【解析】 ，其中的最小正周期是的最小正周期是 . 故答案为： 16【2018 年湖南预赛】 函数的图象与直线 y=k 有且仅有两个不同的交点， 则 k 的取值范围是_. 【答案】 【解析】 作出其图像，可只有两个交点时 k 的范围为. 故答案为： 17 【2018 年广东预赛】已知ABC 的三个角 A、B、C 成等差数列，对应的三边为 a、b、c，且 a、c、 成等比数列，则_.

13、 【答案】 【解析】 因为 A、B、C 成等差数列，因此. 又因为 a、c、成等比数列，所以. 由正弦定理， 整理得. 所以. 故，所以. 故答案为： 18 【2018 年贵州预赛】 如图， 在ABD 中， 点 C 在 AD 上， AB=CD=1 则 AC=_ 【答案】 【解析】 在ABD 中，（其中 AD=x） 在BCD 中， 由得 ，因为 x+20，x3=2即 故答案为： 19 【2018 年湖北预赛】若对任意的，不等式恒成立，则实数 的最小值为_. 【答案】4 【解析】 设，则 . 当时，可得. 不等式，即，所以 . 当时，函数单调递减，可得 . 故实数 的最小值为 4. 20 【201

14、8 年湖北预赛】设的重心，若，则的最大值为_. 【答案】 【解析】 设的中点为 ，因为，故是直角三角形，所以. 又因为的重心，所以. 由三角形的中线长公式可得，所以 . 所以，当且仅当时等号成立. 故的最大值为. 21 【2016 年四川预赛】在ABC 中，A、B、C 的对边长分别为 a、b、c.命题， 且 b+c=2a；命题为正三角形.则命题 P 是命题 q 的（）条件. A充分必要 B充分但不必要 C必要但不充分 D既不充分又不必要 【答案】A 【解析】 若命题 q 成立，显然，命题 p 成立. 若命题 p 成立，则A=60 . 由余弦定理知 故. 从而，ABC 为正三角形，即命题 q 成

15、立.综上，命题 p 是命题 q 的充分必要条件. 22 【2016 年辽宁预赛】设 A、B、C 为抛物线上不同的点，R 为ABC 外接圆的半径求 R 的取值 范围 【答案】 【解析】 对于任意的 a0,取, ,O(0,0).则OAB 外接圆的圆心在 y 轴上,设为 C(0,b). 由于 OA 的垂直平分线为. 令 x=0,得 故OAB 的外接圆的半径可取遍区间上的所有值. 设 A、B、C 为抛物线上不同的点,R 为ABC 外接圆的半径,(a,b)为其圆心则 . 有三个不同的实根.因此,必有四个实根,设其为. 整理方程得 又 . 23 【2016 年甘肃预赛】在非等腰中，的对边分别为 a、b、c

16、，且满足 . （1）求的大小； （2）若，求面积的取值范围. 【答案】 （1）； （2） 【解析】 （1）注意到 又因为不是等腰三角形，所以，. 则 . （2）由正弦定理得 . 又，故. 24 【2016 年陕西预赛】设xy、均为非零实数，且满足 sincos 9 55 tan 20 cossin 55 xy xy . （）求 y x 的值； （）在ABC中，若tan y C x ，求sin22cosAB的最大值. 【答案】 （）1； （） 2 3 . 【解析】 （）先对已知条件左右两边同除以x，得到 tan 9 5 tan 20 1tan 5 y x y x ，再令tan y x ，即可得到

17、 9 tan()tan 520 ，从而得到的表达式，进而可求出 y x 的值； （）由（）可求出C的值，从而可 得到)(BA的值，用B表示A，代入到sin22cosAB中，最终式子变成了一个二次函数的形式，利用 三角函数的有界性可求出最值. 试题分析： （）由已知得 tan 9 5 tan 20 1tan 5 y x y x ， 令tan x y ，则 tantan 9 5 tan 20 1tantan 5 ，即 9 tan()tan 520 所以 9 520 k ，即 () 4 kkZ . 故 tantan()1 4 y k x . （）由（）得tan 1C ，因为0 C ， 所以 4 C

18、，从而 3 4 AB ，则 3 22 2 AB . 所以 3 sin22cossin(2 )2cos 2 ABBB 2 cos22cos2cos2cos1BBBB 2 13 2(cos) 22 B 故当 1 cos 2 B ，即 3 B 时，sin2 2cosAB 取得最大值为 3 2. 考点：1.三角函数恒等变换；2.二倍角公式的应用；3.二次函数求最值；4.观察能力. 【方法点晴】本题主要考查的是三角函数恒等变换,二倍角公式的应用,二次函数求最值，属于难题，此类首 先不要被其形式吓倒，注意观察其形式特点，发现要求 x y 的值，给出的条件中并未体现，因此需要对等式 的左右两边同除以x，即可得到 x y 的形式，变形之后观察发现，这又是正切的和差公式的形式，因此用换 元法将 x y 用tan替换掉，从而可求出 x y 的值，总结起来，这类题目考查学生的观察，变形能力，同时对 三角函数的恒等变换公式的熟练掌握是解决问题的关键. 25【2016 年吉林预赛】 在中， a、 b、 c 分别为的对边， 且. 求（1）； （2）的最大值. 【答案】 （1）； （2） 【解析】 （1）由已知得 又为ABC 的内角，故. （2）将代入. 当时，取到最大值.