全国高中数学联赛与各省市预赛历届（2009-2019）试题汇编 三角函数与解三角形大题强化训练（解析版）.doc

1、 专题专题 06 三角函数与解三角形大题强化训练三角函数与解三角形大题强化训练(省赛试题汇编省赛试题汇编) 1 【2018 年陕西预赛】已知函数. （1）求函数的单调递增区间； （2）设点都在函数的图象上，且满足.求 的值. 【答案】 （1）； （2）0 【解析】 （1），故的单调增区间为. （2）设. . 2 【2018 年陕西预赛】已知函数. （1）求函数的单调递增区间； （2）设点都在函数的图象上，且满足.求 的值. 【答案】 （1）； （2）0 【解析】 （1），故的单调增区间为. （2）设. . 3 【2018 年陕西预赛】已知函数. （1）求函数的单调递增区间； （2）设点都在函数

2、的图象上，且满足.求 的值. 【答案】 （1）； （2）0 【解析】 （1），故的单调增区间为. （2）设. . 4 【2018 年甘肃预赛】已知函数 22 31 sin2cossin1 22 f xxxx，xR，将函数 f x向左平移 6 个单位后得函数 g x，设三角形ABC 三个角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c. ()若 c7，f C0，sin B3sin A，求 a、b 的值； ()若 g B0 且cos ,cos,1,sincos tanmABnAAB，求m n的取值范围 【答案】() a1，b3；() (0，1. 【解析】试题分析： （1）利用二倍角的余弦公式以及两角差的正

3、弦公式化简 f x为21 6 sinx ，由 0f C ，求得 3 C ，由余弦定理及正弦定理可得关于, a b的方程解方程可得, a b的值； （2）先求得 21 6 g xsinx ， 由 0g B ， 求得21 6 sinB ， 故2 62 B ， 化简 6 m nsin A ， 根据 6 A 的范围，求得m n的取值范围. 试题解析： （） 22 31 sin2cossin1 22 f xxxx 31 sin2cos21sin 21 226 xxx ， sin 210 6 f CC ，所以sin 21 6 C ， 因为 11 2, 666 C ，所以2 62 C ，所以 3 C ， 由

4、余弦定理知： 22 2cos7 3 abab ， 因为sin3sinBA，由余弦定理知： 3ba， 解得： 1,3ab. （）由条件知 sin 21 6 g xx ，所以 sin 210 6 g BB ， 所以sin 21 6 B ， 因为 13 2, 666 B ，所以2 62 B ，即 6 B ， cos ,cosmAB， 3 1,sincos 3 nAA ， 于是 33 cossincos 23 m nAAA 13 cossinsin 226 AAA ， 6 B ， 5 0, 6 A ，得, 66 A ， 0,1 6 sin A ，即0,1m n . 5 【2018 年吉林预赛】已知函数

5、的最大值为 2. 求 的值及的最小正周期； 求的单调递减区间. 【答案】 （1）（2）. 【解析】 因此，当时，取得最大值. 又因为的最大值为 2，所以，即的最小正周期为. 由得，令. 得. 因此，的单调递减区间为. 6 【2018 年山东预赛】已知数列满足：求证： 【答案】见解析 【解析】 设，则 从而在区间上单调递增，在上单调递减当时， 下面用数学归纳法证明结论 当时，； 当，3，4 时， 假设当时结论成立，即有， 则当时， 由在区间上单调递增， 因此 下证 因为，所以，即 所以 从而结论对成立 由数学归纳法知，结论对任意正整数 均成立 7 【2018 年天津预赛】设是方程的三个根，. 求

6、的整数部分； 求的值. 【答案】 （1）-2（2） 【解析】 由于是方程的根，我们有. 比较两端的系数可得： ， ， . 由可知. 注意满足. 所以在区间上有一个根，即.因此的整数部分为-2. 设，i=1，2，3.由知，且 . 因此. 注意 从而 . 这表明，即. 8 【2018 年河南预赛】已知，试求的最大值 【答案】 【解析】 由题意得， 则 记点，直线， 则点 的轨迹方程为单位圆：，且 从而圆心到直线 的距离 整理得 解得，故的最大值为 9 【2018 年河南预赛】已知的三边长分别为，且满足，是否 存在边长均为整数的？若存在，求出三边长；若不存在，说明理由 【答案】存在边长均为整数的满足

7、条件的，其三边长分别为 3、7、8 或 4、5、6 【解析】 不妨设，显然 若，此时有， 由可得，矛盾 故 只能取 2、3、4 若，则，得，又，故无解 若，则，即， 又因为，从而 解得 其中能够构成三角形的只有 若，则，即， 又因为，从而 解得 其中能够构成三角形的只有 综上，存在边长均为整数的满足条件的，其三边长分别为 3、7、8 或 4、5、6 10 【2018 年河北预赛】 已知将函数的图象上所有点的纵坐标伸长到原来的 2 倍 （横坐标不变） ， 再将所得到的图象向右平移 个单位长度得到函数的图象，且关于 x 的方程 内有两个不同的解. （1）求满足题意的实数 m 的取值范围； （2）求

8、（用含 m 的式子表示）. 【答案】 （1）（2） 【解析】 （1）将的图象上所有点的纵坐标伸长为原来的 2 倍（横坐标不变） ，得到的图象.再 将的图象向右平移 个单位长度后，得到的图象.故 .依题意 在区间内有两个不同的解，当且仅当.故 m 的取值范围是. （2）因为是方程内的两个不同的解， 所以. 当时，即. 当，即. 所以. 11 【2018 年河北预赛】设，证明： 【答案】见解析 【解析】 因为 当且仅当，即时等号成立，故原不等式得证. 12【2016 年吉林预赛】 在中， a、 b、 c 分别为的对边， 且. 求（1）； （2）的最大值. 【答案】 （1）； （2） 【解析】 （1）由已知得 又为ABC 的内角，故. （2）将代入. 当时，取到最大值. 13 【2016 年上海预赛】如图，五边形内接于边长为 1 的正五边形 ABCDE证明：五边形 中至少有一条边的长度不小于 【答案】见解析 【解析】 设的长分别为 则 由平均数原理，知，中必有一个不小于 1，不妨设 故， （注意） ，