全国高中数学联赛与各省市预赛历届（2009-2019）试题汇编平面解析几何小题强化训练（解析版）.doc

1、 专题专题 10 平面解析几何小题强化训练平面解析几何小题强化训练(省赛试题汇编省赛试题汇编) 1 【2018 年贵州预赛】函数 的最小值是_ 【答案】 【解析】 因为 此即为直线 y=x 上的点（x，y）到点（0，1）与到点（2，3）的距离之和，根据镜像原理，z 的最小值应为 点（1，0）到点（2，3）的距离 故答案为： 2 【2018 年湖北预赛】已知点 在离心率为的双曲线上，为双曲线的两个 焦点，且，则的内切圆半径 与外接圆半径 之比为_. 【答案】 【解析】 由， 知.设， 又， 则可得， ， . 设，则，即有 . 由可得，所以 ， 解得. 3 【2018 年甘肃预赛】已知点 为直线上

2、一动点，过点 作椭圆的两条切线，切点 分别为当点 运动时，直线过定点的坐标是_ 【答案】 【解析】 点的切点弦，又因为，对比系数可知切点弦过定点 4 【2018 年吉林预赛】已知圆 C 的方程为，若直线上至少存在一 点，使得以该点为圆心，1 为半径的圆与圆 C 有公共点，则 k 的最大值等于_. 【答案】 【解析】 因为圆 C 的方程可化为，所以圆 C 的圆心为（4，0） ，半径为 1. 若上至少存在一点 A（） ，以该点为圆心，1 为半径的圆与圆 C 有公共点，那么存在 ，使得成立，即有，又因为为点 C 到直线的距离 ，所以，解得，因此 k 的最大值是 . 故答案为： 5 【2018 年吉林

3、预赛】已知点 P 在直线上，点 Q 在直线上，PQ 的中点为 M （） ，且，则 的取值范围是_. 【答案】 （） 【解析】 注意到两直线是平行的，故点 M 的轨迹为与两直线的距离相等，且平行于两直线的直线，其方程为 ，即 M（）满足，而且满足不等式的点都在直线 的左上方. 问题转化为求射线） 上点 M （） 的 的取值范围， 而 的几何意义是 M （） 与原点连线的斜率，故）. 故答案为： （） 6【2018 年山东预赛】 若直线交椭圆， 且为整数） 于点 设 为椭圆的上顶点，而的重心为椭圆的右焦点，则椭圆的方程为_ 【答案】 【解析】 设， 由题意的重心为椭圆的右焦点，整理得 由在直线上，

4、得到 由在椭圆上，得到 两式相减并整理得， 整理得 因为在直线上， 所以有 将代入得， 整理得 联立，且注意到为整数，解得 故所求的椭圆方程为 7 【2018 年河南预赛】 设经过定点的直线 与抛物线相交于两点， 若为常数， 则 的值为_ 【答案】2 【解析】 设直线 的参数方程为是参数， 是倾斜角且， 代入抛物线方程得 设该方程的两根为，则， 则 为常数， 所以 8 【2018 年河北预赛】在平面直角坐标系中，若与点 A（2，2）的距离为 1，且与点 B（m，0）的距离为 3 的直线恰有三条，则实数 m 的取值集合是_. 【答案】 【解析】 以 A 为圆心，1 为半径的圆，和以 B 为圆心，

5、3 为半径的圆相外切时，恰有三条公切线.利用 AB=1+3，可得 ，即实数 m 的取值集合是. 9 【2018 年辽宁预赛】已知 A、B 分别为上的点，则的最小值 为_. 【答案】 【解析】 由于抛物线关于直线对称， 则 A、 B 也关于直线对称. （否则 A、 B 关于的对称点 也分别在另一条抛物线上，且.设 AB 交于点 M，则 ，故中必有一个小于，矛盾.）因此 只需求点 A 到直线的距离最小值的二倍， 则 A 为平行于的直线与的切点， 解得， 故的最小值为. 故答案为： 10 【2018 年江西预赛】若双曲线 的两个焦点恰是椭圆的两个顶点，而双曲线 的两个顶点恰 是椭圆 的两个焦点，则双

6、曲线 的方程为_ 【答案】 【解析】 据条件知，双曲线 的中心在原点，实对称轴为 轴 设其方程为，则其顶点为，焦点为 而椭圆的长轴顶点为，焦点为，于是 因此，故所求双曲线方程为 故答案为： 11 【2018 年山西预赛】若双曲线的两个焦点分别是椭圆的两个顶点，而双曲线的两条准 线分别通过椭圆的两个焦点，则双曲线的方程是：_. 【答案】 【解析】 椭圆的长轴顶点为，则其焦点在 X 轴上，用分别表示的半焦距，则，而 ；所以椭圆焦点为.所以双曲线的实轴为 X 轴，设其方程为 ，由，所以，因此双曲线的方程是. 12 【2018 年福建预赛】已知分别为双曲线的左、右焦点，点 在双曲线 上，分别 为的重心

7、、内心若轴，则的外接圆半径_ 【答案】5 【解析】 不妨设在第一象限， 依题意， 由分别为的重心、内心，轴，得的内切圆半径 所以 又所以 故，结合，得 由此得到，因此 所以的外接圆半径 13 【2016 年上海预赛】已知线段 AB、CD 的长分别为 a、b(a、b0)。若线段 AB、CD 分别在 x 轴、y 轴上 滑动，且使得 A、B、C、D 四点共圆，则这些圆的圆心轨迹方程为_。 【答案】 【解析】 设所求圆的圆心为.则 注意到，A、 B、C、D 四点共圆 14 【2016 年浙江预赛】在中，的中点为 。若长度为 3 的线段 （点 在点 的左侧）在直线上滑动，则的最小值为_。 【答案】 【解

8、析】 由已知得.过点 作直线，与交于点 .则.于是，四边形为平行四边形， 即.故问题转化为：在直线上找一点，使得最小.计算得的最小值为. 15 【2016 年新疆预赛】在中，的中点. 将折起， 使两点间的距离为. 则点 到平面的距离为_. 【答案】 【解析】 如图，取的中点 ，联结. 易知，. 在中，作交于点 ，联结，知. 则. 在中，由 . 又，由射影定理知 . 由于，于是，平面. 故点 到平面的距离为. 16 【2016 年辽宁预赛】如图,在ABC 中, 则过点 C 且以 A、H 为两焦点的双曲线的离心率为_. 【答案】2 【解析】 由. 由. 因为,所以, , .则. 在中,不妨设. 则

9、, . 故以 A、H 为焦点的双曲线的离心率为 17 【2016 年湖北预赛】已知ABC 为等边三角形，椭圆 的一个焦点为 A，另一个焦点 F 在线段 BC 上若 椭圆 恰经过 B、C 两点，则它的离心率为_. 【答案】 【解析】 设等边ABC 的边长为 x，椭圆 的长半轴长为 a，半焦距为 c. 依题意得 故 F 为 BC 的中点，有 . 在 RtACF 中，由勾股定理得 . 综上，椭圆 的离心率为. 18 【2016 年河南预赛】已知双曲线的左、右焦点分别为，过点作圆 的切线，与双曲线的右支交于点 ，且。则双曲线的离心率为_。 【答案】 【解析】 记.则. 设切点为.则在中， 在中，由正弦

10、定理得 故该双曲线的离心率为 . 19 【2016 年甘肃预赛】已知双曲线的焦距为 2c，直线 l 过点（a，0） 、 （b，0） ， 且点（1，0）到直线 l 的距离与点（-1，0）到直线 l 的距离之和.则双曲线离心率 e 的取值范围是 _. 【答案】 【解析】 设直线 l：，即. 由点到直线的距离公式，且，得点（1，0）到直线 l 的距离； 点（-1，0）到直线 l 的距离. 则. 由 . 20 【2016 年福建预赛】已知直线 l 过椭圆 C： 的左焦点 F 且与椭圆 C 交于 A、B 两点，O 为坐 标原点.若 OAOB，则点 O 到直线 AB 的距离为_. 【答案】. 【解析】 易

11、知，F(-1，0).设 lAB：x=ty-1. (t2+2)y2-2ty-1=0. 注意到，式的判别式大于 0. 设 A(x1，y1)，B(x2，y2). 则. 由 OAOB，得 -(t2+1)-2t2+t2+2=0. 故点 O 到直线 AB 的距离为 21 【2016 年安徽预赛】已知抛物线 C 以椭圆 E 的中心为焦点，抛物线 C 经过椭圆 E 的两个焦点，且与椭 圆 E 恰有三个交点.则椭圆 E 的离心率为_. 【答案】 【解析】 不妨设椭圆 E 的方程为 . 由抛物线 C 经过椭圆 E 的两个焦点，可得抛物线 C 的方程为 . 又抛物线 C 与椭圆 E 恰有三个交点，则. 因此，椭圆 E 的离心率. 22 【2016 年天津预赛】椭圆与双曲线有相同的准线.则 k=_. 【答案】 【解析】 双曲线的准线方程为 , 椭圆的准线方程为 则 23 【2016 年山西预赛】若椭圆两准线之间的距离为两焦点之间距离的两倍，则其离心率 e=_. 【答案】 【解析】 设椭圆方程为， 焦点为(-c，0)，(c，0)， 准线方程为, 两准线距离为,焦距为 2c. 据条件知.