全国高中数学联赛与各省市预赛历届（2009-2019）试题汇编 平面解析几何大题强化训练（解析版）.doc

1、 专题专题 11 平面解析几何大题强化训练平面解析几何大题强化训练(省赛试题汇编省赛试题汇编) 1 【2018 年广西预赛】已知中心在原点 O，焦点在 x 轴上，离心率为的椭圆过点设不过原点 O 的 直线 l 与该椭圆交于 P，Q 两点，且直线 OP，PQ，OQ 的斜率依次成等比数列，求面积的取值范围 【答案】 （0，1） 【解析】 设椭圆方程为） ，则， 解得，故椭圆方程为. 由题设可知直线 l 的斜率存在且不为 0，故可设直线 l 的方程为. 令 P（） ，Q（） ，则. 由消去 y 得. 则有， 且. . 由直线 OP、PQ、OQ 的斜率构成等比数列可得， 从而. 由. 由，可知. 设

2、d 为点 O 到直线 l 的距离，则 . 所以的取值范围为（0，1）. 2 【2018 年安徽预赛】设 O 是坐标原点，双曲线 C：上动点 M 处的切线，交 C 的两条渐近线于 A、B 两点. 求证：AOB 的面积 S 是定值； 求AOB 的外心 P 的轨迹方程. 【答案】 （1）见解析（2） 【解析】 双曲线在 M（）处的切线方程为，与渐近线方程联立， 得 A（）=，B（）=. 从而是定值. 由可设 A（） ，B（） ，P（x，y） ， 为非零常数. 由，得. 从而有. 上述两式相乘，得 P 的轨迹方程为. 3 【2018 年湖南预赛】已知抛物线的顶点，焦点，另一抛物线的方程为 在一个交点处

3、它们的切线互相垂直.试证必过定点，并求该点的坐标. 【答案】过定点，该定点的坐标为. 【解析】 中的，方程，即. 设交点为，则的切线方程为， 即. 同理可得，的切线方程为 ， 即. 由题意知二者垂直，从而可得 ， 整理得. 由，相加得 ， -，可得 . 代入得方程整理即可得 ， 即， 由方程组解得. 即对任何满足的 a、b，点在曲线上，即过定点，该定点的坐标为. 4 【2018 年湖南预赛】如图，在凸四边形 ABCD 中，M 为边 AB 的中点，且 MC=MD.分别过点 C、D 作边 BC、AD 的垂线，设两条垂线的交点为 P.过点 P 作与 Q.求证：. 【答案】见解析 【解析】 如图，连结

4、 PA、PB，分别取 PA、PB 的中点 E、F，连结 EM、ED、FM、FC，则四边形 PEMF 为平行四边 形，从而PEM=PFM. 由，MD=MC， 所以，即DEM=MFC，所以 PED=DEM-PEM= MFC-PFM=PFM. 又PED=2PAD, PFC=2PBC,得PAD=PBC. 由于PQA=PDA=90 ，POB=PCB=90 ， 则 P、Q、A、D 和 P、Q、B、C 分别四点共圆. 故PQD=PAD, PQC=PBC,所以PQC=PQD. 5 【2018 年湖北预赛】 已知 为坐标原点， 点为直线上的动点，的平分线与直线 交于点 ，记点 的轨迹为曲线 . （1）求曲线 的

5、方程； （2）过点作斜率为 的直线 ，若直线 与曲线 恰好有一个公共点，求 的取值范围. 【答案】 （1）（2） 【解析】 (1).设，易知. 因为平分，所以，所以 . 由可得，代入得到，化简即得曲线 的方程为. (2).记，则. 直线 的方程为，与抛物线方程联立，消去 得 当直线 与抛物线相切于点 时，解得. 当时，切点 在曲线 上； 当时，切点 不在曲线 上. 若直线 与曲线 恰好有一个公共点， 则有， 故所求 的取值范围为. 6 【2018 年甘肃预赛】已知椭圆过点，且右焦点为 （1）求椭圆 的方程； （2）过点 的直线 与椭圆 交于两点，交 轴于点 若，求证：为定值； （3）在（2）的

6、条件下，若点 不在椭圆 的内部，点 是点 关于原点 的对称点，试求三角形面积的 最小值 【答案】 （1）（2）见解析（3） 【解析】 （1）由题意 b=2，c=2，所以，椭圆 C 的方程为。 (2)设 A、B、P 的坐标分别为。 由。 又点 A 在椭圆 C 上，则 ， 整理得。 由，同理得到 。 由于 A、B 不重合，即，故 m、n 是二次方程 的两根，所以 m+n=-4，为定值。 （3）依题意，直线 l 的方程为，即，与椭圆 C 的方程联立，消去 y 并整理，得 ， ， 所以，而 。 由已知，点 P 不在椭圆 C 的内部，得，即，所以的最小值为，故三角形 QAB 面积的最小值为。 7 【20

7、18 年吉林预赛】如图，已知抛物线过点 P（-1，1） ，过点 Q（，0）作斜率大于 0 的直线 l 交抛物线与 M、N 两点（点 M 在 Q、N 之间） ，过点 M 作 x 轴的平行线，交 OP 于 A，交 ON 于 B.PMA 与OAB 的面积分别记为，比较与 3的大小，说明理由. 【答案】 【解析】 如图，抛物线过点 P（-1，1） ，得，所以抛物线的方程为. 设直线 l 的方程为（其中 k0） ，由. 设 M（） ，N（） ，那么有，A（） ，. 又 ON 的方程为，故 B（） ，所以， 有 可得 由题意知，故. 又因为，所以. 8 【2018 年山东预赛】 已知圆与曲线为曲 线 上的

8、两点，使得圆 上任意一点到点 的距离与到点 的距离之比为定值，求 的值 【答案】 【解析】 设为圆 上任意一点，则由题意知即， 于是， 整理得 因此点 的轨迹是一个圆因为为圆上任意一点， 所以此圆与圆必为同一个圆， 于是有， 整理得， 所以 因为，所以，从而 又因为，所以 因此将，代入，得 9 【2018 年天津预赛】如图，是双曲线的两个焦点，一条直线与双曲线的右支相切，且 分别交两条渐近线于 A、B.又设 O 为坐标原点，求证： （1）； 、A、B 四点 在同一个圆上. 【答案】 （1）见解析（2）见解析 【解析】 若直线 AB 的斜率不存在，即切点位于实轴的顶点，则 A、B 的坐标分别为（

9、1，2） 、 （1，-2）.这时 ，结论成立. 若直线 AB 的斜率存在，可设直线 AB 的方程为. 由于 AB 与双曲线相切，所以关于 x 的方程有两个相等的实根， 即. 整理得. 由于 A、B 的横坐标是方程的两个实根， 我们有. 注意 A、B 的坐标分别为（） ， （）. 可知， 因此. 在中，且， 所以.同理. 这样，我们有 . 即四边形中的一组对角之和等于另一组对角之和，从而对角之和为 180 ，该四边形内接于圆. 10 【2018 年河南预赛】已知方程平面上表示一椭圆试 求它的对称中心及对称轴 【答案】对称中心为，对称轴为 【解析】 易知点均在曲线上 设椭圆的对称中心为，则点均在曲

10、线上 故有， 化简得代入并化简得 解得从而，故对称中心为 又对称轴经过对称中心，故可设对称轴方程为 设点关于直线的对称点为，则有 又在曲线上，则有 将代入上式并化简得 不合题意，故 因此，对称轴方程为 11 【2018 年河北预赛】如图，椭圆（ab0）的左焦点为 F，过点 F 的直线交椭圆于 A、B 两点. 当直线 AB 经过椭圆的一个顶点时，其倾斜角恰为 60 . （1）求该椭圆的离心率； （2）设线段 AB 的中点为 G，AB 的中垂线与 x 轴、y 轴分别交于 D、E 两点.记GDF 的面积为，OED （O 坐标原点）的面积为.求 的取值范围. 【答案】 （1）（2） 【解析】 （1）

11、依题意， 当直线 AB 经过椭圆的顶点 （0， b） 时， 其倾斜角为 60 .设， 则.将 代入，得.所以椭圆的离心率. （2）由（1）知，椭圆方程可设为，设.依题意，直线 AB 不能与 x、y 轴垂 直，故设直线 AB 的方程为，将其代入，整理得 . 则. 所以. 因为，所以. 因为， 所以. 所以 的取值范围是. 12 【2018 年四川预赛】已知双曲线，设其实轴端点为，点 是双曲线上不同于的 一个动点，直线分别与直线交于两点.证明：以线段为直径的圆必经过定点. 【答案】见解析 【解析】 由已知可设，双曲线上的动点 的坐标为，则 因为直线的方程为直线的方程为 所以 设以线段为直径的圆 上

12、的任意一点，那么由得圆 的方程为 令，代入上述圆方程，得 由可得，因此有，解得. 所以，以线段为直径的圆必经过两定点 13 【2018 年浙江预赛】已知动直线 l 与圆 O：相切，与椭圆相交于不同的两点 A， B.求原点到 AB 的中垂线的最大距离. 【答案】 【解析】 依題意可设 l：. 因为直线 l 与圆 O 相切，所以，O 到直线 l 的距离为 1，即 这样的直线必与椭圆交于不同的两点，联立 ， 得,得到. 所以 AB 的中点坐标为 AB 的中垂线方程为，化简得， O 到直线中垂线的距离. 将代入， 由均值不等式，故，当且仅当时取等号. 所以，当时， 原点到 AB 的中垂线的最大距离为

13、. 14 【2018 年辽宁预赛】如图所示，在平面直角坐标系，设点是椭圆上一点，左 右焦点分别是，从原点 O 向圆 M：作两条切线分别与椭圆 C 交于点 P、Q，直线 OP、OQ 的斜率分别记为. (1)设直线分别与圆交于 A、B 两点，当，求点 A 的轨迹方程； (2)当为定值时，求的最大值. 【答案】 （1）（2） 【解析】 1.由椭圆定义： 所以，又， 则，故点的坐标满足方程. 因为，则点在椭圆内部，因此 . 综上，点 A 的轨迹方程为. 2.令直线 OP 的方程是，与圆 M 相切，则有， 即 又直线 OQ 与圆相切，设直线 OQ 的方程是，同理有 则是方程的两实根，因此， 又为定值，设

14、，则 即 由于 M 为椭圆上的点，且 c 为定值，因此必有，故，此时. 设点，联立，解得 . 同理，所以， . 故的最大值为 . 15 【2018 年江西预赛】若椭圆上不同的三点到椭圆右焦点的距离 顺次成等差数列，线段的中垂线轴于点 ，求直线的方程 【答案】 【解析】 用分别表示椭圆的半长轴、半短轴及半焦距之长度， 则，右焦点为，且准线方程为， 由，得， 根据等差性质，而，即， 所以 设线段的中点为 ，则其坐标为， 又设点 的坐标为，则的中垂线的方程为 因在此直线上，故有， 即 又根据在椭圆上，得， 所以， 据，即有 再据得，即点 的坐标为， 于是直线的方程为 16 【2018 年湖南预赛】设

15、曲线所围成的封闭区域为 D. （1）求区域 D 的面积； （2）设过点的直线与曲线 C 交于两点 P、Q，求的最大值. 【答案】 （1）512（2） 【解析】 （1）由题设，由，因此. 若，则当时， 此时，图象时两条直线段. 当时， ，对应于一段二次函数的图象. 若，则当时，类似于前面的推导得，对应于二次函数图象的一 段：. 当时， ，得到，无解. 综上所述，区域 D 的集合为：， 由区域 D 上函数图象性质，知区域 D 的面积为. （2）设过点的直线为 l，为了求的最大值，由区域 D 的对称性，只需考虑直线 l 与 D 在 y 轴 右侧图像相交部分即可.设过点的直线 l 方程为，易知此时 l

16、 与 D 相交时有. 17 【2018 年福建预赛】已知分别为椭圆的左、右焦点，点在椭圆 上，且的垂心为 （1）求椭圆 的方程； （2）设 为椭圆 的左顶点，过点的直线 交椭圆两点记直线的斜率分别为，若 ，求直线 的方程 【答案】 （1）（2） 【解析】 设由的垂心为，得 所以，解得 由点在椭圆 上，得结合，解得 所以椭圆 的方程为 （2）由（1）知 若 的斜率不存在，则由对称性，知，不符合要求 若 的存在，设为 ，则 的方程为 由，得 设，则 所以 又，因此，直线 的方程为 18 【2016 年吉林预赛】已知椭圆的右顶点为 C,A 为第一象限内的椭圆周上任意一点，点 A 关于 原点的对称点为

17、 B，过点 A 作 x 轴的垂线，与 BC 交于点 D，比较的大小，并给出证明. 【答案】见解析 【解析】 设.则 . 又，故， . 由三点共线知 .则： 故. 因此，. 19 【2016 年浙江预赛】已知椭圆，经过点，离心率为 。过椭圆 的右焦 点作斜率为 的直线 ，与椭圆 交于两点，记的斜率分别为。 （1）求椭圆的标准方程； （2）若，求实数 。 【答案】 （1）； （2） 【解析】 （1）由已知得.故椭圆方程为. （2）易知，椭圆右焦点坐标为. （i） 当时， 直线.与椭圆方程联立得. 设. 则. 又， 且 ，故. （ii）当时，.则，不符合题意. （iii）当 不存在时，均不存在，不符

18、合题意. 综上，. 20【2016 年新疆预赛】 设过原点且斜率为正值的直线与椭圆交于点， 点. 求 四边形面积的最大值. 【答案】 【解析】 易知. 设直线的斜率为 . 则. 设. 由点在椭圆上，知满足方程. 从而，. 由点到直线的距离公式，知点到直线的距离分别为 ， . 又，则四边形的面积为 . 当且仅当，即时，上式等号成立.从而， 取得最大值. 21 【2016 年四川预赛】已知拋物线过定点 C（l，2） ，在抛物线上任取不同于点 C 的一点 A，直 线 AC 与直线 y=x+3 交于点 P，过点 P 作 x 轴的平行线，与抛物线交于点 B. （1）证明：直线 AB 过定点； （2）求A

19、BC 面积的最小值. 【答案】 （1）见解析； （2） 【解析】 如图. （1）由抛物线过定点，得抛物线方程为. 设点. 则，即，与联立解得点 于是，. 当时，过定点 Q（3，2）. 当时， 易得，也过定点 Q（3，2）. （2）由（1）可设. 与抛物线方程联立得 则， . 当 m=1 时，ABC 面积的最小值为. 22 【2016 年江苏预赛】在平面直角坐标系 xOy 中，点在椭圆上，不经过坐标原点 O 的 直线 l 与椭圆 C 交于 A、B 两点，且线段 AB 的中点为 D，直线 OD 的斜率为 1记直线 PA、PB 的斜率分 别为，证明：为定值 【答案】见解析 【解析】 设则 依题意有

20、故 由点 A、B 在椭圆上得 联立式、解得 由，得 故 （定值） 23 【2016 年湖南预赛】设椭圆经过点，离心率为 ，直线 经过椭圆 的右 焦点 ，与椭圆 交于点在直线上的射影依次为. （1）求椭圆 的方程. （2）联结，当直线 的倾斜角变化时，直线是否交于定点？若是，求出定点的坐标并给予 证明；否则，说明理由. 【答案】(1) (2) 【解析】 （1）据椭圆经过点. 则由. 故椭圆. （2）当直线 的斜率不存在时，直线轴，则四边形为矩形. 由对称性，知直线交于的中点. 下面证明：当直线 的斜率存在时，直线交于定点. 如图. 设. 联立椭圆 的方程，消去 得关于 的方程 . 注意到，. 当

21、时， ，即点在直线上. 类似地，点在直线上. 从而，当直线 的倾斜角变化时，直线交于定点. 24 【2016 年湖北预赛】过抛物线外一点 P 向抛物线作两条切线，切点为 M、N，F 为抛物 线的焦点.证明： （1）； （2）. 【答案】 （1）见解析； （2）见解析 【解析】 设 P，M，N.易求得切线 PM：， 切线 PN：. 因为点 P 在两条切线上，所以， . 故点 M、N 均在直线上. 于是，. 联立 . 由韦达定理知 . （1）易知，F. 由抛物线的第二定义得 . 因此，. （2）由，知 又，则 类似地， 故 . 结合，得 25 【2016 年河南预赛】如图，已知为椭圆在左、右顶点，

22、直线 与椭圆 交于点。 设的斜率分别为，且=1：9。 （1）证明：直线 过定点； （2）记的面积分别为，求的最大值。 【答案】 （1）见解析； （2）15 【解析】 （1）如图. 引入伸缩变换. 则椭圆 在变换 下的像为圆： . 由. 设轴交于点. 则. 因此，点，直线 过定点 . （2）不妨设.则 ， 当且仅当时，上式等号成立. 因此，的最大值为 15. 26 【2016 年甘肃预赛】已知 F 为椭圆的右焦点，分别为 x 轴、y 轴 上的动点，且满足.设点 P 满足. （1）求点 P 的轨迹 C. （2）过点 F 任作一直线与轨迹 C 交于 A、B 两点，直线 OA、OB 与直线分别交于 S

23、、T（O 为坐标 原点） ，试判断是否为定值？若是，求出此定值；若不是，请说明理由. 【答案】 （1）； （2）见解析 【解析】 （1）由题意知 F（a，0）. 于是，. 又，由，得. 设点 P（x，y）. 由 . 代入，得. （2）设. 则. 由 类似地，. 故 . 由 （定值） 27 【2016 年福建预赛】如图，F1、F2为双曲线 C：的左、右焦点，动点 P(x0，y0)(y01)在双曲 线 C 的右支上.设F1PF2的平分线与 x 轴、y 轴分别交于点 M(m，0)、N. （1）求 m 的取值范围； （2）设过点 F1、N 的直线 l 与双曲线 C 交于 D、E 两点，求F2DE 面积

24、的最大值. 【答案】(1) (0，. (2) 4 【解析】 （1）依题意有 F1(-，0)，F2(，0). 则 ， . 由点 M 在F1PF2的平分线上知 . 由，y01 及 . 则， . 故. 结合 x02. 从而，m 的取值范围是(0，. （2）由（1）知 . 令 x=0 . 故点. 由 . 与双曲线方程联立消去 x 得 . 设 D(x1，y1)，E(x2，y2). 1 则 . 由 y01，知 . 设.于是，t1. 故. 当 t=1，即点 P(2，1)时，F2DE 面积取最大值 4 . 从而，F2DE 面积的最大值为 4. 28 【2016 年陕西预赛】已知直线 l：y=x+4，动圆O：x

25、2+y2=r2(1rr，所以，直线 l 与O 相离. 设 lCD:y=x-b. 则直线 l 与 CD 的距离 d=. 又圆心 O 到直线 CD 的距离为，故 由 因为 1r2，所以，3b2-2b+412-2b1 或 1b4. 又， 而函数 S 在区间(-2，1)、区间(1，4)内分别单调递减，故菱形 ABCD 的面积 S 的取值范围是 . 29 【2016 年吉林预赛】已知椭圆的右顶点为 C,A 为第一象限内的椭圆周上任意一点，点 A 关于 原点的对称点为 B，过点 A 作 x 轴的垂线，与 BC 交于点 D，比较的大小，并给出证明. 【答案】见解析 【解析】 设.则 . 又，故， . 由三点

26、共线知 .则： 故. 因此，. 30 【2016 年山东预赛】已知椭圆 E：，过椭圆左焦点 F（-c，0）的直线 l 与椭圆交于 A、B 两 点，线段 AB 的垂直平分线与椭圆交于 C、D 两点.若，求直线 l 的方程. 【答案】 【解析】 设直线 l：则 因为，且 CD 为线段 AB 的垂直平分线，所以， 因此，A、B、C、D 四点共圆 由此得过点 A、B、C、D 的曲线方程为 . 因为 A、B、C、D 四点共圆，所以，方程中没有 xy 项. 故 . 31 【2016 年天津预赛】设 a 为实数,两条抛物线有四个交点 (1)求 a 的取值范围; (2)证明这四个交点共圆,并求该圆圆心的坐标.

27、 【答案】 （1）； （2）证明见解析，圆心坐标为 【解析】 (1)已知两式相减整理得： . 由此知题中两条抛物线有四个交点当且仅当方程组 共有四组不同的实数解. 这又等价于两个方程组各有两组不同的实数解且没有公共解. 由前一个方程组得,其判别式大于 0,即. 由后一个方程组得, 其判别式大于 0,即： 因此,两个方程组各有两组不同的实数解当且仅当. 注意到,两个方程组有公共解当且仅当： 因此, (2)由,得： . 与相加并整理得： . 上式表明,这四个交点共圆,其圆心坐标为. 32 【2016 年山西预赛】设直线与椭圆交于点 M、N，且 OMON（O 为 原点）.若,求椭圆的方程 【答案】 【解析】 设点. 将代入椭圆方程并消去 y 得 因为点 M、N 在椭圆上，即为方程的两根，所以， . 由 OMON 结论代入上式得 . 于是，结论为 . 由，得 . 注意到，点 M、N 在直线上. 则 由结论得 由式、及得 . 故椭圆方程为.