全国高中数学联赛与各省市预赛历届（2009-2019）试题汇编立体几何与空间向量（解析版）.doc

1、 全国高中数学历届全国高中数学历届(2009-2019)联赛与各省市预赛试题汇编联赛与各省市预赛试题汇编 专题专题 16 立体几何与空间向量真题汇编与预赛典型例题立体几何与空间向量真题汇编与预赛典型例题 1 【2019 年全国联赛】如图，正方体的一个截面经过顶点 A，C 及棱 EF 上一点 K，且将正 方体分成体积比为 3：1 的两部分，则的值为 . 【答案】 【解析】设.截面与 FG 交于 J . ，解得（舍去） 故. 2 【2018 年全国联赛】设点 P 到平面 的距离为 3，点 Q 在平面 上，使得直线 PQ 与 所成角不小于 30 且不大于 60 ，则这样的点 Q 所构成的区域的面积为

2、 . 【答案】 【解析】设点 P 在平面 上的射影为 O.由条件知，. 即 OQ1，3，故所求的区域面积为. 3 【2017 年全国联赛】 在正三棱锥中,过 AB的平面 将其体积平分.则棱与平面 所成角的余弦值为_。 【答案】 【解析】 设的中点分別为，则易证平面 ABM 即为平面 由平行四边形的性质知, 所以， 又直线 PC 在平面 上的射影为直线 MK,由得 因此，棱 PC 与平面 所成角的余弦值为. 故答案为： 4 【2016 年全国联赛】设 P 为一圆锥的顶点，A、B、C 为其底面圆周上的三点，满足ABC=90，M 为 AP 的中点若 AB =1，AC=2，AP=，则二面角 M-BC-

3、A 的大小为_. 【答案】 【解析】 由，知 AC 为底面圆的直径.如图所示，设底面中心为 O. 于是，平面 ABC. 故. 设 H 为 M 在底面上的射影.则 H 为 AO 的中点.在底面中作于点 K. 由三垂线定理知. 从而，为二面角 M-BC-A 的平面角. 由，结合得:. 故二面角 M-BC-A 的大小为. 5 【2014 年全国联赛】四棱锥 P-ABCD 中，已知侧面是边长为 1 的正三角形，M、N 分别为边 AB、BC 的中点. 则异面直线 MN 与 PC 之间的距离为_. 【答案】 【解析】 如图，设底面对角线 AC 与 BD 交于点 O， 过点 C 作直线 MN 的垂线， 与

4、MN 交于点 H. 由于 PO 为底面的垂线，故 POCH.又 ACCH，于是，CH 与平面 POC 垂直.从而，CHPC. 因此，CH 为直线 MN 与 PC 的公垂线段.注意到，. 故异面直线 MN 与 PC 之间的距离为. 6 【2013 年全国联赛】已知正三棱锥底面边长为 1，高为.则其内切球半径为_. 【答案】 【解析】 如图，设球心在平面与平面内的射影分别为，边的中点为，内切球半径为 .则 分别三点共线，且 . 故. 解得. 7 【2012 年全国联赛】 设同底的两个正三棱锥内接于同一个球.若正三棱锥的侧 面与底面所成的角为，则正三棱锥的侧面与底面所成角的正切值是_. 【答案】4

5、【解析】 如图 6，联结.则，垂足 为正的中心，且过球心 . 联结并延长与交于点.则为边的中点，且. 易知，分别为正三棱锥、正三棱锥的侧面与底面所成二面角的平面角. 则. 由 .故. 8 【2011 年全国联赛】在四面体中，已知.则 四面体的外接球的半径为_. 【答案】 【解析】 易知，为正三角形，且 CA=CB. 如图，设 P、M 分别为 AB、CD 的中点，联结 PD、PC. 则平面平面 PDC. 设的外心为 N，四面体 ABCD 的外接球的球心为 O. 则. 可求得 由题意知. 在中， 由余弦定理得 又因为 D、M、O、N 四点在以 DO 为直径的圆上 所以 故外接球的体积. 9 【20

6、10 年全国联赛】已知正三棱柱的 9 条棱长都相等， 是边的中点，二面角 .则_. 【答案】 【解析】 解法 1 如图，以所在直线为 轴、线段的中点为 原点、所在直线为 轴建立空间直角坐标系. 设正三棱柱的棱长为 2.则. 故. 设分别与平面、平面垂直的向量为. 则 由此可设. 所以，即. 因此，. 解法 2 如图 设交于点 .则平面. 又，则平面. 过点 在平面上作，垂足为 ，联结.则为二面角的平面角. 设.易求得. 在中，. 又，则. 故 . 1 【2018 年浙江】四面体 P-ABC，,则该四面体外接球的半 径为_. 【答案】 【解析】 将四面体还原到一个长方体中，设该长方体的长、宽、高

7、分别为 a，b，c， 则，所以四面体外接球的半径为. 2 【2018 年山西】四面体 ABCD 中，有一条棱长为 3，其余五条棱长皆为 2，则其外接球的半径为_. 【答案】 【解析】 解:设 BC=3,AB=AC=AD=BD=CD=2,E,F 分别是 BC,AD 的中点，D 在面 ABC 上的射影 H 应是ABC 的外心，由于 DH 上的任一点到 A,B,C 等距，则外接球心 O 在 DH 上，因，所以 AE=DE,于是 ED 为 AD 的中垂 线是，顒球心 O 是 DH，EF 的交点，且是等腰EAD 的垂心，记球半径为 r，由DOFEAF，得. 而,所以. 3 【2018 年福建】如图，在四

8、棱锥 PABCD中，PA平面 ABCD，底面 ABCD为正方形，PA=AB.E、F分 别为 PD、BC 的中点，则二面角 EFDA的正切值为_. 【答案】 【解析】 如图，作 EHAD于 H，连 HF. 由 PA面 ABCD，知 PAAD，EHPA，EHABCD. 作 HGDF于 G，连 EG，则 EGFD，EGH 为二面角 EFDA的平面角. ABCD为正方形，E、F分别为 PD、BC的中点， H 为 AD中点，FHAD. 设 PA=AB=2，则，FH=2，HD=4，. . 二面角 EFDA 的正切值为. 4 【2018 年江苏】已知正四面体内切球的半径是 1，则该正四面体的体积为_. 【答

9、案】 【解析】 设正四面体的棱长为 . 则该正四面体的体积为，全面积为， 所以，解得. 从而正四面体的体积为. 故答案为： 5 【2018 年湖南】正方体 AC1棱长是 1，点 E、F 是线段 DD1，BC1上的动点，则三棱锥 E 一 AA1F 体积为_. 【答案】 【解析】 因 为F是BC1上 的 动 点 ， 所 以 在 正 方 体 中 有， 利 用 等 体 积 转 化 有 . 故答案为 . 6 【2018 年重庆】顶点为 P 的圆锥的轴截面是等腰直角三角形，A 是底面圆周上的点，B是底面圆内的点， O 为底面圆圆心，ABOB，垂足为 B，OHHB，垂足为 H，且 PA=4，C为 PA的中点

10、，则当三棱锥 O-HPC 的体积最大时，OB的长为_ 【答案】 【解析】 法一：ABOB，PBAB，AB面 POB，面 PAB面 POBOHPB，OH面 PAB，OHHC， OHPC，又，PCOC，PC面 OCHPC 是三棱锥 P-OCH 的高PC=OC=2而OCH 的面积在 时取得最大值（斜边=2 的直角三角形） 当时，由，知OPB=30 ， 法二：由 C为 PA 中点，故， 而 记 则， 令，得， . 故答案为： 7 【2018 年广西】如图，在正三棱柱中，AB=2，D、F分别是棱 AB、的中 点，E 为棱 AC 上的动点，则DEF周长的最小值为_. 【答案】 【解析】 由正三棱锥可得底面

11、 ABC，所以AB，AC.在 RtADF中， .如图，把底面 ABC与侧面在同一个平面内展开，展开图中只有当 D、E、 F三点在同一条直线上时，DE+EF取得最小值.如图，在ADF中，由余弦定 理可得. 所以DEF周长的最小值为. 8 【2018 年安徽】在边长为 1的长方体内部有一小球，该小球与正方体的对角线段相 切，则小球半径的最大值=_. 【答案】 【解析】 当半径最大时，小球与正方体的三个面相切.不妨设小球与过点的三个面相切.以为原点， 分别为 x、y、z 轴正方向，建立空间直角坐标系.设 A（0，1，1） ，（1，0，0） ，小球 圆心 P（r，r，r） ，则 P 到的距离. 再由，

12、得. 故答案为： 9 【2018 年湖南】正方体中，E 为 AB的中点，F为的中点.异面直线 EF与所成角 的余弦值是_. 【答案】 【解析】 设正方体棱长为 1，以 DA为 x轴，DC为 y轴，为 z轴建立空间直角坐标系，则 . 故有. 所以. 故答案为： 10 【2018 年湖南】在半径为 R的球内作内接圆柱，则内接圆柱全面积的最大值是_. 【答案】 【解析】 设内接圆柱底面半径为，则高位， 那么全面积为 . 其中，等号成立的条件是. 故最大值为. 故答案为： 11 【2018 年甘肃】已知空间四点满足，且是三 棱锥的外接球上的一个动点，则点 到平面的最大距离是_ 【答案】 【解析】 将三

13、棱锥补全为正方体，则两者的外接球相同 球心就是正方体的中心，记为 ，半径为正方体对 角线的一半，即为 在正方体里，可求得点 到平面的距离为，则点 到平面的最大距离是 12 【2018 年山东】在正四核锥中，已知二面角的正弦值为，则异面直线所 成的角为_ 【答案】 【解析】 如图，设的交点为上的射影为 ，则 又因为，因此，所以，则 因此即为二面角的平面角，从而 设，则 在中， 由此得，因此，解得 从而四棱锥各侧面均为正三角形，则异面直线所成的角为 13【2018 年天津】 半径分别为 6、 6、 6、 7的四个球两两外切.它们都内切于一个大球， 则大球的半径是_ 【答案】14 【解析】 设四个球

14、的球心分别为 A、B、C、D，则 AB=BC=CA=12，DA=DB=DC=13， 即 A、B、C、D两两连结可构成正三棱锥. 设待求的球心为 X，半径为 r.，则由对称性可知 DX 平面 ABC. 也就是说，X在平面 ABC上的射影是正三角形 ABC的中心 O. 易知. 设 OX=x，则 由于球 A 内切于球 X，所以 AX=r-6 即 又 DX=OD-OX=11-x，且由球 D内切于球 X可知 DX=r-7 于是 从两式可解得 即大球的半径为 14. 故答案为：14 14 【2018 年河南】一个棱长为 6 的正四面体纸盒内放一个小正四面体，若小正四面体可以在纸盒内任意转 动，则小正四面体

15、棱长的最大值为_ 【答案】2 【解析】 因为小正四面体可以在纸盒内任意转动， 所以小正四面体的棱长最大时，为大正四面体内切球的内接正四面体 记大正四面体的外接球半径为 ，小正四面体的外接球（大正四面体的内切球）半径为 ， 易知，故小正四面体棱长的最大值为 15 【2018 年河北】已知棱长的正方体内部有一圆柱，此圆柱恰好以直线为轴，则 该圆柱体积的最大值为_. 【答案】 【解析】 由题意知只需考虑圆柱的底面与正方体的表面相切的情况.由图形的对称性可知，圆柱的上底面必与过 A点 的三个面相切， 且切点分别在、 AC、上.设线段上的切点为 E， 圆柱上底面中心为， 半径. 由，则圆柱的高为，由导数法或 均值不等式得.