2023初中数学培优竞赛例题+练习：一元一次方程（共5个专题）（学生版+解析版） .docx

1、专题8 一元一次方程的解法一、解含参的一元一次方程【学霸笔记】系数含字母的一元一次方程可以化为的形式，当字母的取值范围未给出时，则要分类讨论解的情况，当时，方程有唯一解；当时，方程有无数个解；当时，方程无解.系数含字母的方程可以根据已知条件讨论解的个数，如解分别是正数、负数时需要满足的条件是什么等.【典例】解关于x的方程：13m（xn）=14（x+2m）【解答】解：去分母得：4m（xn）3（x+2m），去括号得：4mx4mn3x+6m，移项合并得：（4m3）x4mn+6m，当4m30时，解得：x=4mn+6m4m-3，当4m30，4mn+6m0时，方程有无数个解，当4m30，4mn+6m0时，

2、方程无解【巩固】已知关于x的一元一次方程kx+a6-x-bk3=2，其中a，b，k为常数（1）当k3，a1，b1时，求该方程的解；（2）试说明当k2时，原方程有无数多个解，并求出此时a+4b的值；（3）若无论k为何值时，该方程的解总是x3，求ab的值二、解含有绝对值的方程【学霸笔记】解绝对值方程的基本方法是去掉绝对值符号，转化为一般方程求解，常见的转化思路如下：（1）简单的绝对值方程：形如的形式，可以将此类方程转化为两个一元一次方程，即和；（2）含多重或多个绝对值符号的绝对值方程，可采用“零点分段法”，解此类方程的步骤如下：求出各个临界点；根据未知数的取值范围进行分类讨论；去绝对值符号，化为一

3、般方程求解.【典例】解方程|x2|+|2x+1|7【解答】解：当x0.5时，2x12x7，解得x2；当0.5x2时，2x+2x+17，解得x4（不符合题意的解要舍去）；当x2时，x2+2x+17，解得x=83，综上所述：x2，x=83【巩固】关于x的方程|x2|1|a有三个整数解，求a的值巩固练习1已知关于x的方程|x|axa有正根且没有负根，则a的取值范围是（）Aa1Ba1Ca2或a2Da1或a12方程x3+x15+x35+x20052007=1的解是x（）A20062007B20072006C20071003D100320073方程|x|+|x2002|x1001|+|x3003|的整数解

4、共有（）A1002个B1001个C1000个D2002个4已知方程x36x100有一根x0满足kx0k+1，k为正整数，则k3520个质量分别为1，2，3，19，20克的砝码放在天平两边，正好达到平衡（1）试将砝码，（，分别代表1克，2克，的砝码）分别放在天平两边，使之达到平衡，且可从每边各取下同样多的偶数个砝码，仍能使天平保持平衡 ；（2）试将砝码，（，分别代表1克，2克，的砝码）分别放在天平两边，使之达到平衡，且从每边无论怎样取下同样多个砝码，都不能再使天平保持平衡 6解下列方程：（1）|x+3|x1|x+1（2）|x1|+|x5|47解关于x的方程|12x2|3a8当a满足什么条件时，关

5、于x的方程|x2|x5|a有一解？有无数多个解？无解？9已知p、q都是质数，并且以x为未知数的一元一次方程px+5q97的解是1，求代数式40p+101q+4的值10已知关于x的方程2x-2(x-a4)=3x和x+a9-1-3x12=1有相同的解，求a与方程的解专题8 一元一次方程的解法一、解含参的一元一次方程【学霸笔记】系数含字母的一元一次方程可以化为的形式，当字母的取值范围未给出时，则要分类讨论解的情况，当时，方程有唯一解；当时，方程有无数个解；当时，方程无解.系数含字母的方程可以根据已知条件讨论解的个数，如解分别是正数、负数时需要满足的条件是什么等.【典例】解关于x的方程：13m（xn）

6、=14（x+2m）【解答】解：去分母得：4m（xn）3（x+2m），去括号得：4mx4mn3x+6m，移项合并得：（4m3）x4mn+6m，当4m30时，解得：x=4mn+6m4m-3，当4m30，4mn+6m0时，方程有无数个解，当4m30，4mn+6m0时，方程无解【巩固】已知关于x的一元一次方程kx+a6-x-bk3=2，其中a，b，k为常数（1）当k3，a1，b1时，求该方程的解；（2）试说明当k2时，原方程有无数多个解，并求出此时a+4b的值；（3）若无论k为何值时，该方程的解总是x3，求ab的值【解答】解：（1）由题意得：3x-16-x-33=23x12x+612x7（2）当k2时

7、，方程为：2x+a6-x-2b3=22x+a2x+4b120x12a4b方程有无数解，12a4b0a+4b12（3）该方程化为：kx+a2x+2bk12当x3时，（2b3）k12a6（2b3）k6a无论k为何值，等式恒成立，2b30，6a0a6，b=32ab632=9二、解含有绝对值的方程【学霸笔记】解绝对值方程的基本方法是去掉绝对值符号，转化为一般方程求解，常见的转化思路如下：（1）简单的绝对值方程：形如的形式，可以将此类方程转化为两个一元一次方程，即和；（2）含多重或多个绝对值符号的绝对值方程，可采用“零点分段法”，解此类方程的步骤如下：求出各个临界点；根据未知数的取值范围进行分类讨论；去

8、绝对值符号，化为一般方程求解.【典例】解方程|x2|+|2x+1|7【解答】解：当x0.5时，2x12x7，解得x2；当0.5x2时，2x+2x+17，解得x4（不符合题意的解要舍去）；当x2时，x2+2x+17，解得x=83，综上所述：x2，x=83【巩固】关于x的方程|x2|1|a有三个整数解，求a的值【解答】解：若|x2|1a，当x2时，x21a，解得：xa+3，a1；当x2时，2x1a，解得：x1a；a1；若|x2|1a，当x2时，x21a，解得：xa+3，a1；当x2时，2x1a，解得：xa+1，a1；又方程有三个整数解，可得：a1或1，根据绝对值的非负性可得：a0即a只能取1巩固练

9、习1已知关于x的方程|x|axa有正根且没有负根，则a的取值范围是（）Aa1Ba1Ca2或a2Da1或a1【解答】解：方法一：当axa0，a（x1）0，解得：x1 且 a0，或者 x1且a0，正根条件：x0，xaxa，即x=aa-10，解得：a1 或a0， 由，即得正根条件：a1 且x1，或者a0，0x1，负根条件：x0，得：xaxa，解得：x=aa+10，即1a0， 由，即得负根条件：1a0，x0，根据条件：只有正根，没有负根，因此只能取 a1（此时x1，没负根），或者a1（ 此时0x1，没负根）综合可得，a1或a1故选：D方法二：解：如图直线y|x|，yaxa的图象如图所示：观察图象可知：

10、当直线yaxa与直线yx平行时，a1，当直线yaxa与直线yx平行时，a1，直线yaxa与直线y|x|的交点在第一象限时，方程|x|axa有正根且没有负根，a1或a1满足条件故选：D2方程x3+x15+x35+x20052007=1的解是x（）A20062007B20072006C20071003D10032007【解答】解：x3+x15+x35+x20052007=1，提取公因式，得x （13+115+135+120052007）1，将方程变形，得x12（1-13）+12（13-15）+12（15-17）+12（12005-12007）1，提取公因式，得x2（1-13+13-15+15-17

11、+12005-12007）1，移项，合并同类项，得x2（1-12007）1，系数化为1，得x=20071003故选：C3方程|x|+|x2002|x1001|+|x3003|的整数解共有（）A1002个B1001个C1000个D2002个【解答】解：|x|+|x2002|是数轴上点x到0和2002的距离的之和，记为d显然，当0x2002时，d2002；当x0或x2002时，d2002同理，|x1001|+|x3003|是数轴上的点x到两点1001和3003的距离之和，记为d，显然当1001x3003时，d2002；当x1001或x3003时，d2002因此，如果，1001x2002，则dd20

12、02；如果2002x3003，则d2002d；如果0x1001，则d2002d；如果x3003，则dx+（x2002）（x1001）+（x3003）d；如果x0，则dx+（2002x）（1001x）+（3003x）d所以题设方程是符合1001x2002的所有整数，共有1002个故选：A4已知方程x36x100有一根x0满足kx0k+1，k为正整数，则k3【解答】解：x36x100，x（x26）10，方程有一根，x2-60x2-610，x0满足kx0k+1，k为正整数，x只能取正整数部分，2x4，方程有一根x0满足kx0k+1，k为正整数，k3；故答案为：3520个质量分别为1，2，3，19，2

13、0克的砝码放在天平两边，正好达到平衡（1）试将砝码，（，分别代表1克，2克，的砝码）分别放在天平两边，使之达到平衡，且可从每边各取下同样多的偶数个砝码，仍能使天平保持平衡 ；（2）试将砝码，（，分别代表1克，2克，的砝码）分别放在天平两边，使之达到平衡，且从每边无论怎样取下同样多个砝码，都不能再使天平保持平衡 【解答】解：（1）天平一边是砝码，天平另一边是砝码，19克，两边每次取质量和为21克的偶数个砝码；（2）天平一边是砝码，14克，天平另一边是砝码15克，16克，17克，18克，19克，从每边无论怎样取下同样多个砝码，都不能再使天平保持平衡6解下列方程：（1）|x+3|x1|x+1（2）|

14、x1|+|x5|4【解答】解：（1）当x1时，原方程可化为：x+3（x1）x+1，解得：x3；当x3时，原方程可化为：x3（1x）x+1，解得：x5；当3x1时，原方程可化为：x+3+x1x+1，解得：x1综上可得：方程的解为：x3或x5或x1；（2）方程可理解为一个点到1和5两点的距离和，由此可得方程的解为：1x57解关于x的方程|12x2|3a【解答】解：|12x2|3a，|12x2|3+a，当a3时，则12x23+a或12x23a，解得：x10+2a或x22a当a3时，此方程无解8当a满足什么条件时，关于x的方程|x2|x5|a有一解？有无数多个解？无解？【解答】解：x5时，x2（x5）

15、x2x+53，当a3时，有无数多解；当a3时，无论a取何值均无解；x2时，2x（5x）2x5+x3，当a3时，有无数解；当a3时，无解；2x5时，x2（5x）x25+x2x7，42x10，472x7107即：32x73所以当3a3时，有一解；当a3或a3时，无解综上所述，当a3时，方程有无数个解，当a3或a3时，无解；当3a3时，有一解9已知p、q都是质数，并且以x为未知数的一元一次方程px+5q97的解是1，求代数式40p+101q+4的值【解答】解：把x1代入方程px+5q97可得：p+5q97，故p与5q中必有一个为偶数，若p2，则5q95，q19，40p+101q+42003若5q为偶

16、数，则q为2，p87，而87不是质数，与题意矛盾综上可得：40p+101q+42003故答案为：200310已知关于x的方程2x-2(x-a4)=3x和x+a9-1-3x12=1有相同的解，求a与方程的解【解答】解：由第一个方程得：x=a5由第二个方程得：x=39-4a13所以a5=39-4a13，解得a=6511，所以x=1311专题09 方程中常见设元方法技巧一、直接设元法【学霸笔记】“直接设元”就是题目中要求的量是什么，就设这个量为未知数，是最常用的设元法.【典例】中国古代问题：有甲、乙两个牧童，甲对乙说：“把你的羊给我一只，我的羊数就是你的羊数的2倍”乙回答说：“最好还是把你的羊给我一

17、只，我们羊数就一样了”若设甲有x只羊，则下列方程正确的是（）Ax+12（x2）Bx+32（x1）Cx+12（x3）Dx-1=x+12+1【解答】解：甲对乙说：“把你的羊给我1只，我的羊数就是你的羊数的两倍”甲有x只羊，乙有x+12+1只，乙回答说：“最好还是把你的羊给我1只，我们的羊数就一样了”，x+12+1+1x1，即x+12（x3）故选：C【巩固】10个人围成一个圆圈做游戏，游戏的规则是：每个人心里都想好一个数，并把自己想好的数如实地告诉与他相邻的两个人，然后每个人将与他相邻的两个人告诉他的数的平均数报出来，若报出来的数如图所示，则报2的人心里想的数是 二、间接设元法【学霸笔记】所设的量是

18、不需要求的，但能够更容易找出题中的等量关系，对于一些采用直接设元法列方程比较困难的问题，可以采用间接设元法会比较容易.（所设未知量与所求未知量要有一定联系）解绝对值方程的基本方法是去掉绝对值符号，转化为一般方程求解，常见的转化思路如下：（1）简单的绝对值方程：形如的形式，可以将此类方程转化为两个一元一次方程，即和；（2）含多重或多个绝对值符号的绝对值方程，可采用“零点分段法”，解此类方程的步骤如下：求出各个临界点；根据未知数的取值范围进行分类讨论；去绝对值符号，化为一般方程求解.【典例】如图是一个长方形色块图，由6个大小不完全相同的正方形组成，设中间最小的一个正方形边长为1，则这个长方形的面积

19、为 【解答】解：设右下角正方形的边长为x，则其余正方形的边长依次为x+1，x+2，x+3，2x+53x+1，解得x4，矩形的边长为13，11，矩形的面积为1311143故答案为143【巩固】小明家的电话号码是八位数，它的前四位数字相同，后五位数字是连续的自然数，电话号码的数字和等于它的最后两位数问：小明家的电话号码是多少？三、辅助设元法【学霸笔记】对于一些较为复杂的问题，往往数量之间关系交错复杂，可采用增设未知数，在已知条件和所求结论之间架起一座“桥梁”，从而理清各个数量间的关系，这种设元方法叫做辅助设元法，也叫参数法或设而不求法.【典例】有一片牧场，草每天都在匀速地生长（即草每天增长的量相等

20、），如果放牧24头牛，则6天吃完牧草；如果放牧21头牛，则8天吃完牧草设每头牛每天吃草的量是相等的，问：（1）如果放牧16头牛，几天可以吃完牧草？（2）要使牧草永远吃不完，至多放牧几头牛？【解答】解：设牧场原有草量为a，每天生长的草量为b，每头牛每天吃草量为c，16头牛x天吃完草（1）由题意得：a+6b=246ca+8b=218ca+bx=16cx由得 b12c由得 （x8）b（16x168）c将代入得 （x8）12c（16x168）c，解得 x18（2）设至多放牧y头牛，牧草才永远吃不完，则有cyb，即每天吃的草不能多于生长的草，ybc=12答：（1）如果放牧16头牛，18天可以吃完牧草；（

21、2）要使牧草永远吃不完，至多放牧12头牛【巩固】有两块锌铜合金的质量分别为10千克、15千克，这两块合金的含铜的质量分数不同，现分别从这两块合金中各切下一块质量相同的合金，交换后分别与另一块合在一起熔化，冷却后测得这两块合金含铜的质量分数相同，求切下的一块合金的质量四、整体设元法【学霸笔记】有些问题未知量较多，已知关系又少，若未知数的某一部分存在一个整体关系，可设这一部分为一个未知数，从而减少元的个数，这种设元的方法叫做整体设元法.【典例】以下算式中，每个汉字代表1个数字，不同的汉字代表不同的数字，已知“神”3，那么被乘数是 【解答】解：设“神舟五号“A，“飞天”B，则3（100A+B）100

22、00B+A，300A+3B10000B+A，299A9997B，23A769B，而23和769互质，故B23n，A769n（n是自然数），2n4但A的首位数字为3只可能n4，从而A3076，B92所以被乘数是307692故答案为307692【巩固】一个六位数2abcde的3倍等于abcde9，则这个六位数是 巩固练习1一列“动车组”高速列车和一列普通列车的车身长分别为80米与100米，它们相向行驶在平行的轨道上，若坐在高速列车上的旅客看见普通列车驶过窗口的时间是5秒，则坐在普通列车上的旅客看见高速列车驶过窗口的时间是（）A7.5秒B6秒C5秒D4秒2古希腊数学家帕普斯是丢番图是最得意的一个学生

23、，有一天他向老师请教一个问题：有4个数，把其中每3个相加，其和分别是22，24，27，20，则这个四个数是（）A3，8，9，10B10，7，3，12C9，7，4，11D9，6，5，113一天晚上停电了，小明同时点上两支粗细不同的蜡烛看书，若干分钟后电来了，小明将两支蜡烛同时熄灭，已知粗的新蜡烛可燃烧2小时，细的新蜡烛可燃烧1小时，开始时两根蜡烛一样长，熄灭时粗蜡烛长是细蜡烛长的2倍，则停电时间为 分钟4如图，一个啤酒瓶的高度为30cm，瓶中装有高度12cm的水，将瓶盖盖好后倒置，这时瓶中水面高度20cm，则瓶中水的体积和瓶子的容积之比为 （瓶底的厚度不计）5甲从A地到B地，去时步行，返回时坐车

24、，共用x小时，若他往返都坐车，则全程只需x3小时，若他往返都步行，则需 小时6某人从家到学校时，13的路程走路，23的路程骑车；从学校回家时，前38的时间走路，后58的时间骑车，结果去学校的时间比回家所用的时间多0.5小时，已知他走路每小时行8千米，骑车每小时行16千米，则此人从家到学校的距离是多少千米？7山脚下有一池塘，山泉以固定的流量（即单位时间里流人池中的水量相同）不停地向池塘内流淌，现池塘中有一定深度的水，若用一台A型抽水机则1小时后正好能把池塘中的水抽完，若用两台A型抽水机则20分钟正好把池塘中的水抽完，问若用三台A型抽水机同时抽，则需要多长时间恰好把池塘中的水抽完？8自行车轮胎，安

25、装在后轮上，只能行驶3000km就要报废，安装在前轮上，则行驶5000km才报废为使一对轮胎能在行驶尽可能多的路程后才报废，在自定车行驶一定路程后，就将前后轮胎调整，这样安装在自行车上的一对轮胎最多可驶多少千米？9大数学家欧拉的数学名著代数基础中记录了一个有趣的问题：有一位父亲，临终时嘱咐他的儿子这样来分他的财产：第一个儿子分得100克朗和剩下财产的十分之一；第二个儿子分得200克朗和剩下财产的十分之一；第三个儿子分得300克朗和剩下财产的十分之一；第四个儿子分得400克朗和剩下财产的十分之一；，按这种方法一直分下去，最后，每一个儿子所得财产一样多问：这位父亲共有几个儿子？每个儿子分得多少财产

26、？10梅林中学租用两辆小汽车（设速度相同）同时送1名带队老师及7名九年级的学生到县城参加数学竞赛，每辆限坐4人（不包括司机）其中一辆小汽车在距离考场15km的地方出现故障，此时离截止进考场的时刻还有42分钟，这时唯一可利用的交通工具是另一辆小汽车，且这辆车的平均速度是60km/h，人步行的速度是5km/h（上、下车时间忽略不计）（1）若小汽车送4人到达考场，然后再回到出故障处接其他人，请你通过计算说明他们能否在截止进考场的时刻前到达考场；（2）假如你是带队的老师，请你设计一种运送方案，使他们能在截止进考场的时刻前到达考场，并通过计算说明方案的可行性专09 方程中常见设元方法技巧一、直接设元法【

27、学霸笔记】“直接设元”就是题目中要求的量是什么，就设这个量为未知数，是最常用的设元法.【典例】中国古代问题：有甲、乙两个牧童，甲对乙说：“把你的羊给我一只，我的羊数就是你的羊数的2倍”乙回答说：“最好还是把你的羊给我一只，我们羊数就一样了”若设甲有x只羊，则下列方程正确的是（）Ax+12（x2）Bx+32（x1）Cx+12（x3）Dx-1=x+12+1【解答】解：甲对乙说：“把你的羊给我1只，我的羊数就是你的羊数的两倍”甲有x只羊，乙有x+12+1只，乙回答说：“最好还是把你的羊给我1只，我们的羊数就一样了”，x+12+1+1x1，即x+12（x3）故选：C【巩固】10个人围成一个圆圈做游戏，

28、游戏的规则是：每个人心里都想好一个数，并把自己想好的数如实地告诉与他相邻的两个人，然后每个人将与他相邻的两个人告诉他的数的平均数报出来，若报出来的数如图所示，则报2的人心里想的数是 【解答】解：设报2的人心里想的数是x，则报4的人心里想的数应该是6x，于是报6的人心里想的数是10（6x）4+x，报8的人心里想的数是14（4+x）10x，报10的人心里想的数是18（10x）8+x，报2的人心里想的数是2（8+x）6x，x6x，解得x3故答案为：3二、间接设元法【学霸笔记】所设的量是不需要求的，但能够更容易找出题中的等量关系，对于一些采用直接设元法列方程比较困难的问题，可以采用间接设元法会比较容易

29、.（所设未知量与所求未知量要有一定联系）解绝对值方程的基本方法是去掉绝对值符号，转化为一般方程求解，常见的转化思路如下：（1）简单的绝对值方程：形如的形式，可以将此类方程转化为两个一元一次方程，即和；（2）含多重或多个绝对值符号的绝对值方程，可采用“零点分段法”，解此类方程的步骤如下：求出各个临界点；根据未知数的取值范围进行分类讨论；去绝对值符号，化为一般方程求解.【典例】如图是一个长方形色块图，由6个大小不完全相同的正方形组成，设中间最小的一个正方形边长为1，则这个长方形的面积为 【解答】解：设右下角正方形的边长为x，则其余正方形的边长依次为x+1，x+2，x+3，2x+53x+1，解得x4

30、，矩形的边长为13，11，矩形的面积为1311143故答案为143【巩固】小明家的电话号码是八位数，它的前四位数字相同，后五位数字是连续的自然数，电话号码的数字和等于它的最后两位数问：小明家的电话号码是多少？【解答】解：后五位数是依次增加的数设前四位数字均为x，则后四位数字依次为x+1，x+2，x+3，x+4，根据题意，得：4x+（x+1）+（x+2）+（x+3）+（x+4）10（x+3）+（x+4），解得：x8 不符合实际意义后五位数是依次减小的数设前四位数字均为x，则后四位数字依次为x1，x2，x3，x4，根据题意得：4x+（x1）+（x2）+（x3）+（x4）10（x3）+（x4），解得

31、：x8所以后四位数为7654，因此小明家的电话号码为 88887654答：小明家的电话号码是88887654三、辅助设元法【学霸笔记】对于一些较为复杂的问题，往往数量之间关系交错复杂，可采用增设未知数，在已知条件和所求结论之间架起一座“桥梁”，从而理清各个数量间的关系，这种设元方法叫做辅助设元法，也叫参数法或设而不求法.【典例】有一片牧场，草每天都在匀速地生长（即草每天增长的量相等），如果放牧24头牛，则6天吃完牧草；如果放牧21头牛，则8天吃完牧草设每头牛每天吃草的量是相等的，问：（1）如果放牧16头牛，几天可以吃完牧草？（2）要使牧草永远吃不完，至多放牧几头牛？【解答】解：设牧场原有草量为

32、a，每天生长的草量为b，每头牛每天吃草量为c，16头牛x天吃完草（1）由题意得：a+6b=246ca+8b=218ca+bx=16cx由得 b12c由得 （x8）b（16x168）c将代入得 （x8）12c（16x168）c，解得 x18（2）设至多放牧y头牛，牧草才永远吃不完，则有cyb，即每天吃的草不能多于生长的草，ybc=12答：（1）如果放牧16头牛，18天可以吃完牧草；（2）要使牧草永远吃不完，至多放牧12头牛【巩固】有两块锌铜合金的质量分别为10千克、15千克，这两块合金的含铜的质量分数不同，现分别从这两块合金中各切下一块质量相同的合金，交换后分别与另一块合在一起熔化，冷却后测得这

33、两块合金含铜的质量分数相同，求切下的一块合金的质量【解答】解：设切下的一块重量是x千克，设10千克和15千克的合金的含铜的百分比为a，b，则交换后第一块合金含铜的质量为（10x）a+xb，第二块合金含铜量为（15x）b+xa，由题意得：(10-x)a+xb10=(15-x)b+xa15，整理得：（ba）x6（ba），解得：x6答：切下的一块合金的质量为6千克四、整体设元法【学霸笔记】有些问题未知量较多，已知关系又少，若未知数的某一部分存在一个整体关系，可设这一部分为一个未知数，从而减少元的个数，这种设元的方法叫做整体设元法.【典例】以下算式中，每个汉字代表1个数字，不同的汉字代表不同的数字，已

34、知“神”3，那么被乘数是 【解答】解：设“神舟五号“A，“飞天”B，则3（100A+B）10000B+A，300A+3B10000B+A，299A9997B，23A769B，而23和769互质，故B23n，A769n（n是自然数），2n4但A的首位数字为3只可能n4，从而A3076，B92所以被乘数是307692故答案为307692【巩固】一个六位数2abcde的3倍等于abcde9，则这个六位数是 【解答】解：设abcde为x，2abcde中的2在十万位上，六位数2abcde可表示为2100000+x，同理可得abcde9可表示为10x+9，（2100000+x）310x+9，解得x8571

35、3这个6位数为2100000+x285713，故答案是285713巩固练习1一列“动车组”高速列车和一列普通列车的车身长分别为80米与100米，它们相向行驶在平行的轨道上，若坐在高速列车上的旅客看见普通列车驶过窗口的时间是5秒，则坐在普通列车上的旅客看见高速列车驶过窗口的时间是（）A7.5秒B6秒C5秒D4秒【解答】解：设坐在普通列车上的旅客看见高速列车驶过窗口的时间是x秒，则1005x80，解得x4故选：D2古希腊数学家帕普斯是丢番图是最得意的一个学生，有一天他向老师请教一个问题：有4个数，把其中每3个相加，其和分别是22，24，27，20，则这个四个数是（）A3，8，9，10B10，7，3

36、，12C9，7，4，11D9，6，5，11【解答】解：设a、b、c、d为这4个数，且abcd，则有a+b+c=27a+b+d=24a+c+d=22b+c+d=20，解得：a11，b9，c7，d4故选：C3一天晚上停电了，小明同时点上两支粗细不同的蜡烛看书，若干分钟后电来了，小明将两支蜡烛同时熄灭，已知粗的新蜡烛可燃烧2小时，细的新蜡烛可燃烧1小时，开始时两根蜡烛一样长，熄灭时粗蜡烛长是细蜡烛长的2倍，则停电时间为 分钟【解答】解：设停电x分钟，依题意得：1-1120x=2(1-160x)，解得x40分钟答：停电40分钟故答案为：404如图，一个啤酒瓶的高度为30cm，瓶中装有高度12cm的水，

37、将瓶盖盖好后倒置，这时瓶中水面高度20cm，则瓶中水的体积和瓶子的容积之比为 （瓶底的厚度不计）【解答】解：设瓶的底面积为Scm2，则左图V水12Scm3，右图V空10Scm3，V瓶V水+V空22Scm3，V水：V瓶6：11故答案为6115甲从A地到B地，去时步行，返回时坐车，共用x小时，若他往返都坐车，则全程只需x3小时，若他往返都步行，则需 小时【解答】解：往返都坐车，全程只需x3小时，坐车一趟用的时间为16x小时，去时步行，返回时坐车，用x小时，步行一趟用x-16x=56x小时，往返都步行，需要56x2=53x小时，故答案为53x6某人从家到学校时，13的路程走路，23的路程骑车；从学校

38、回家时，前38的时间走路，后58的时间骑车，结果去学校的时间比回家所用的时间多0.5小时，已知他走路每小时行8千米，骑车每小时行16千米，则此人从家到学校的距离是多少千米？【解答】解：设此人从家到学校的距离是x千米，依题意，得：13x8+23x16-x388+5816=0.5，解得：x78答：此人从家到学校的距离是78千米7山脚下有一池塘，山泉以固定的流量（即单位时间里流人池中的水量相同）不停地向池塘内流淌，现池塘中有一定深度的水，若用一台A型抽水机则1小时后正好能把池塘中的水抽完，若用两台A型抽水机则20分钟正好把池塘中的水抽完，问若用三台A型抽水机同时抽，则需要多长时间恰好把池塘中的水抽完

39、？【解答】解：设池塘中的水有a，山泉每小时的流量是b，一台A型抽水机每小时抽水量是x根据题意，得x=a+b132x=a+13b，解得b=12x，a=12x设若用三台A型抽水机同时抽，则需要t小时恰好把池塘中的水抽完3txa+bt，t=a3x-b=15即t12分钟答：若用三台A型抽水机同时抽，则需要12分钟恰好把池塘中的水抽完8自行车轮胎，安装在后轮上，只能行驶3000km就要报废，安装在前轮上，则行驶5000km才报废为使一对轮胎能在行驶尽可能多的路程后才报废，在自定车行驶一定路程后，就将前后轮胎调整，这样安装在自行车上的一对轮胎最多可驶多少千米？【解答】解：设自行车行驶了xkm后，互换前后轮

40、胎再行驶，致使两只轮胎同时报废，因此，前轮胎还可行驶（5000x）km，后轮胎还可行驶（3000x）km则有（5000x）35=（3000x）53（53-35）x2000解得：x1875（km）（50001875）35=1875（km）1875+18753750（km）安装在自行车上的一对轮胎最多可驶3750千米9大数学家欧拉的数学名著代数基础中记录了一个有趣的问题：有一位父亲，临终时嘱咐他的儿子这样来分他的财产：第一个儿子分得100克朗和剩下财产的十分之一；第二个儿子分得200克朗和剩下财产的十分之一；第三个儿子分得300克朗和剩下财产的十分之一；第四个儿子分得400克朗和剩下财产的十分之一

41、；，按这种方法一直分下去，最后，每一个儿子所得财产一样多问：这位父亲共有几个儿子？每个儿子分得多少财产？【解答】解：设遗产总数为x克朗，则老大分得100+110（x100），老二分得200+110x100-110（x100）200，根据题意可得100+110（x100）200+110x100-110（x100）200，解得x8100，则老大分得100+110（x100）900，81009009（人）答：这位父亲共有共有孩子9人，每个孩子分得遗产900克朗10梅林中学租用两辆小汽车（设速度相同）同时送1名带队老师及7名九年级的学生到县城参加数学竞赛，每辆限坐4人（不包括司机）其中一辆小汽车在距离考场15km的地方出现故障，此时离截止进考场的时刻还有42分钟，这时唯一可利用的交通工具是另一辆小汽车，且这辆车的平均速度是60km/h，人步行的速度是5km/h（上、下车时间忽略不计）（1）若小汽车送4人到达考场，然后再回到出故障处接其他人，请你通过计算说明他们能否在截止进考场的时刻前到达考场；（2）假如你是带队的老师，请你设计一种运送方案，使他们能在截止进考场的时刻前到达考场，