2.5矩阵的秩学习培训模板课件.ppt

1、2.5 矩阵的秩矩阵的秩矩阵秩的概念矩阵秩的概念利用初等变换求矩阵的秩利用初等变换求矩阵的秩小结小结 思考题思考题.,数数是是唯唯一一确确定定的的梯梯形形矩矩阵阵中中非非零零行行的的行行梯梯形形，行行阶阶把把它它变变为为行行阶阶变变换换总总可可经经过过有有限限次次初初等等行行任任何何矩矩阵阵nmA 阶子式.阶子式.的的阶行列式，称为矩阵阶行列式，称为矩阵的的中所处的位置次序而得中所处的位置次序而得不改变它们在不改变它们在元素,元素,个个处的处的），位于这些行列交叉），位于这些行列交叉（列列行行中任取中任取矩阵矩阵在在定义1定义1kAkAknm,kkkkAnm2一、矩阵秩的概念一、矩阵秩的概念矩

2、阵的秩矩阵的秩.个个阶子式共有阶子式共有的的矩阵矩阵knkmCCkAnm .)(子子式式的的最最高高阶阶数数中中不不等等于于零零的的是是的的秩秩矩矩阵阵AARAnm，对于对于TA).()(ARART 显有显有的秩等于零.的秩等于零.并规定零矩阵.并规定零矩阵的秩，记作的秩，记作称为矩阵称为矩阵数数的最高阶非零子式，的最高阶非零子式，称为矩阵称为矩阵，那末，那末全等于全等于）阶子式（如果存在的话阶子式（如果存在的话，且所有，且所有阶子式阶子式的的中有一个不等于中有一个不等于设在矩阵设在矩阵定义15定义15R(A)ArAD01rDk0A 定义2例例1.174532321的秩的秩求矩阵求矩阵 A解解

3、中中，在在 A，阶阶子子式式只只有有一一个个的的又又AA3.03221，且且0 A.2)(AR例例2的秩的秩求矩阵求矩阵121232211B解解因为因为B的唯一的最高三阶子式的唯一的最高三阶子式01121232211 B所以所以 R(B)=3.例例3解解行行，其其非非零零行行有有是是一一个个行行阶阶梯梯形形矩矩阵阵，3B.4阶子式全为零阶子式全为零的所有的所有B,0400230312 而而.3)(BR.00000340005213023012的秩的秩求矩阵求矩阵 B ,.m nA因为对于任何矩阵总可经过有限次初等行变换把它变为行阶梯形问题：问题：经过变换矩阵的秩变吗？经过变换矩阵的秩变吗？.,

4、1 BRARBA 则则若若定定理理二、用初等变换求矩阵的秩二、用初等变换求矩阵的秩初等变换求矩阵秩的方法：初等变换求矩阵秩的方法：把矩阵用初等行变换变成为行阶梯形矩阵，把矩阵用初等行变换变成为行阶梯形矩阵，行阶梯形矩阵中非零行的行数就是矩阵的秩行阶梯形矩阵中非零行的行数就是矩阵的秩.例例4秩的求矩阵设AA,41461351021632305023 阶梯形矩阵：阶梯形矩阵：作初等行变换，变成行作初等行变换，变成行对对A解解 41461351021632305023 A 0502335102163234146141rr 41461351021632305023 A 0502335102113404

5、14614241rrrr 1281216011791201134041461 41461351021632305023 A 1281216011791201134041461 84000840001134041461 84000840001134041461 00000840001134041461.3)(AR，阶阶可可逆逆矩矩阵阵设设An,0 A,AA的的最最高高阶阶非非零零子子式式为为,)(nAR.,EAEA的的标标准准形形为为单单位位阵阵故故.为为满满秩秩矩矩阵阵，故故称称可可逆逆矩矩阵阵可可逆逆矩矩阵阵的的秩秩等等于于阶阶数数三、矩阵秩的性质：;,min)(0).1(nmAR);()(

6、).2(ARART).()(,).4(ARPAQRQP可逆，则若);()(,).3(BRARBA则若;1)(),()().5(ARbARAR例书P85例例5 5 4321,6063324208421221bA设设解解),(bABB 的的行行阶阶梯梯形形矩矩阵阵为为设设分析：分析：的行阶梯形矩阵，的行阶梯形矩阵，就是就是则则AA).()(),(BRARbAB及及中中可可同同时时看看出出故故从从 的秩的秩 .及矩阵及矩阵求矩阵求矩阵 AB=(A b)46063332422084211221B 13600512000240011221 10000500000120011221 00000100000

7、120011221.3)(,2)(BRAR(2)(2)初等变换法初等变换法1.矩阵秩的概念矩阵秩的概念2.求矩阵秩的方法求矩阵秩的方法(1)(1)利用定义利用定义 (把矩阵用初等行变换变成为行阶梯形矩阵，把矩阵用初等行变换变成为行阶梯形矩阵，行阶梯形矩阵中非零行的行数就是矩阵的秩行阶梯形矩阵中非零行的行数就是矩阵的秩).(即寻找矩阵中非零子式的最高阶数即寻找矩阵中非零子式的最高阶数);?)()(,是是否否相相等等与与为为任任一一实实矩矩阵阵设设ARAARAT相等相等.,0 x因因为为对对于于任任一一实实向向量量,0时时当当 Ax,0 AxAT必必有有有有时时反之当反之当,0 AxAT0 AxAxTT 即即 0 AxAxT;0 Ax由此可知由此可知,00同解同解与与 AxAAxT .ARAART 故故