2023初中数学培优竞赛例题+练习：几何初步认识（共5个专题）（学生版+解析版）.docx

1、专题13 几何图形问题一、数正方体个数【典例】如图是由若干个大小相同的小正方体所搭成的几何体的三视图，则搭成这个几何体的小正方体的个数是（）A6个B7个C8个D9【解答】解：综合三视图可知，这个几何体的底层有4个小正方体，第二层有1个小正方体，第三层有1个小正方体，因此搭成这个几何体所用小正方体的个数是4+1+16个故选：A【巩固】由一些大小相同的小正方体搭成的几何体的左视图和俯视图，如图所示，则搭成该几何体的小正方体的个数最多是（）A7B8C9D10二、正方体的展开与折叠【学霸笔记】正方体的11种不同的展开图“一四一”型“一三二”型“阶梯”型【典例】如图，是一个几何体的表面展开图（1）该几何

2、体是 ；（2）依据图中数据求该几何体的体积【解答】解：（1）由展开图得这个几何体为长方体，故答案为：长方体（2）表面积：312+322+21222（米2），体积：3216（米3），答：该几何体的表面积是22平方米，体积是6立方米【巩固】如图是一个正方体的展开图，标注了字母A，C的面分别是正方体的正面和底面，其他面分别用字母B，D，E，F表示已知Akx+1，B3x2，C1，Dx1，E2x1，Fx（1）如果正方体的左面与右面所标注字母代表的代数式的值相等，求出x的值；（2）如果正面字母A代表的代数式与对面字母代表的代数式的值相等，且x为整数，求整数k的值三、叠放的几何体求表面积或体积【典例】棱长为

3、a的正方体，摆成如图所示的形状（1）如果这一物体摆放三层，试求该物体的表面积；（2）依图中摆放方法类推，如果该物体摆放了上下20层，求该物体的表面积（3）依图中摆放方法类推，如果该物体摆放了上下n层，求该物体的表面积【解答】解：（1）6（1+2+3）a236a2故该物体的表面积为36a2；（2）6（1+2+3+20）a21260a2故该物体的表面积为1260a2；（3）6（1+2+3+n）a23n（1+n）a2故该物体的表面积为3n（1+n）a2【巩固】将一个棱长为整数的正方体木块的表面涂红色，然后分割成棱长为1的小正方体，若各个面未染色的小正方体有2197个，则只有两个面染色的小正方体有 个

4、巩固练习1一个几何体由大小相同的小立方块搭成，从上面看到的几何体的形状图如图所示，其中小正方形中的数字表示在该位置的小正方块的个数，能正确表示该几何体的主视图的是（）ABCD2如图是一个几何体的三视图，根据图中所标数据计算这个几何体的体积为（）A12B18C24D303如图所示的正方体，如果把它展开，可以是下列图形中的（）ABCD4一个几何体由大小相同的小立方块搭成，从上面看到的几何体的形状如图所示，其中小正方形中的数字表示在该位置上的小正方块的个数，请你画出从正面与左面看到的这个几何体的形状图5（1）如图1，一个正方体纸盒的棱长为4厘米，将它的一些棱剪开展成一个平面图形，求这个平面图形的周长

5、（2）如图2，一个长方体纸盒的长、宽、高分别是a厘米、b厘米、c厘米（abc）将它的一些棱剪开展成一个平面图形，求这个平面图形的最大周长，画出周长最大的平面图形6请在下面的五个方框中画出5种不同的正方体的展开图（经过平移或旋转后能够重合的，算作一种）7如图，下列几何体是由若干棱长为1的小立方体按一定规律在地面上摆成的，若将露出的表面都涂上颜色（底面不涂色），观察该图，探究其中的规律（1）第1个几何体中只有2个面涂色的小立方体共有 个第3个几何体中只有2个面涂色的小立方体共有 个（2）设第n个几何体中只有2个面涂色的小立方体的块数为M，请用含字母n的代数式表示M；（3）求出前100个几何体中只有

6、2个面涂色的小立方体的块数的和8（1）在如图（1）所示的正方体表面展开图中的三个空白正方形内各填入一个质数，使该图复原成正方体后，三组对面上的两数之和都相等（2）图（2）是由四个如图（1）所示的正方体拼成的长方体，其中有阴影的面上为合数，无阴影的面上为质数，并且整个表面上任意两个相邻正方形内的数都不是图（1）所示的正方体相对面上的两数已知长方体正面上的四个数之和为质数，那么其左侧面上的数是 （填具体数）（3）如果把图（2）中的长方体从中间等分成左右两个小长方体，它们各自表面上的各数之和分别为S左和S右，那么S左与S右的大小关系是S左 S右9六盒磁带按“规则方式”打包，所谓“规则方式”是指每相邻

7、两盒必须以完全一样的面对接，最后得到的包装形状是一个长方形已知磁带盒的大小为abc1172（单位cm）（1）请画出示意图，给出一种打包方式，使其表面积最小；（2）若不给出a、b、c的具体尺寸，只假定abc，3问能否按照已知的方式打包，使其表面积最小？并说明理由10十八世纪瑞士数学家欧拉证明了简单多面体中顶点数（V）、面数（F）、棱数（E）之间存在的一个有趣的关系式，被称为欧拉公式请你观察下列几种简单多面体模型，解答下列问题：（1）根据上面多面体的模型及表格中的数据：多面体顶点数（V）面数（F）棱数（E）四面体446长方体8612正八面体6812你发现顶点数（V）、面数（F）、棱数（E）之间存在

8、的关系式是 ；（2）一个多面体每个顶点处都有3条棱，多面体的棱数比顶点数大10，则这个多面体的面数是 ；（3）某个玻璃饰品的外形是简单的多面体，它的外表面是由三角形和八边形两种多边形拼接而成，每个顶点处都有3条棱，共有棱36条若该多面体外表面三角形的个数比八边形的个数的2倍多2，求该多面体外表面三角形的个数专题13 几何图形问题一、数正方体个数【典例】如图是由若干个大小相同的小正方体所搭成的几何体的三视图，则搭成这个几何体的小正方体的个数是（）A6个B7个C8个D9【解答】解：综合三视图可知，这个几何体的底层有4个小正方体，第二层有1个小正方体，第三层有1个小正方体，因此搭成这个几何体所用小正

9、方体的个数是4+1+16个故选：A【巩固】由一些大小相同的小正方体搭成的几何体的左视图和俯视图，如图所示，则搭成该几何体的小正方体的个数最多是（）A7B8C9D10【解答】解：由俯视图易得最底层有6个小正方体，第二层最多有3个小正方体，那么搭成这个几何体的小正方体最多为3+69个故选：C二、正方体的展开与折叠【学霸笔记】正方体的11种不同的展开图“一四一”型“一三二”型“阶梯”型【典例】如图，是一个几何体的表面展开图（1）该几何体是 ；（2）依据图中数据求该几何体的体积【解答】解：（1）由展开图得这个几何体为长方体，故答案为：长方体（2）表面积：312+322+21222（米2），体积：321

10、6（米3），答：该几何体的表面积是22平方米，体积是6立方米【巩固】如图是一个正方体的展开图，标注了字母A，C的面分别是正方体的正面和底面，其他面分别用字母B，D，E，F表示已知Akx+1，B3x2，C1，Dx1，E2x1，Fx（1）如果正方体的左面与右面所标注字母代表的代数式的值相等，求出x的值；（2）如果正面字母A代表的代数式与对面字母代表的代数式的值相等，且x为整数，求整数k的值【解答】解：（1）正方体的左面B与右面D代表的代数式的值相等，x13x2，解得x=12；（2）正面字母A代表的代数式与对面F代表的代数式的值相等，kx+1x，（k1）x1，x为整数，x，k1为1的因数，k11，k

11、0或k2，综上所述，整数k的值为0或2三、叠放的几何体求表面积或体积【典例】棱长为a的正方体，摆成如图所示的形状（1）如果这一物体摆放三层，试求该物体的表面积；（2）依图中摆放方法类推，如果该物体摆放了上下20层，求该物体的表面积（3）依图中摆放方法类推，如果该物体摆放了上下n层，求该物体的表面积【解答】解：（1）6（1+2+3）a236a2故该物体的表面积为36a2；（2）6（1+2+3+20）a21260a2故该物体的表面积为1260a2；（3）6（1+2+3+n）a23n（1+n）a2故该物体的表面积为3n（1+n）a2【巩固】将一个棱长为整数的正方体木块的表面涂红色，然后分割成棱长为1

12、的小正方体，若各个面未染色的小正方体有2197个，则只有两个面染色的小正方体有 个【解答】解：1332197，在大正方体中未染色的部分是棱长为13的小立方体，因此大正方体的棱长为13+215，棱长为15的大正方体的每一条棱上有15213个只有两个面染色的小正方体，因此共有1312156个只有两个面染色的小正方体，故答案为：156巩固练习1一个几何体由大小相同的小立方块搭成，从上面看到的几何体的形状图如图所示，其中小正方形中的数字表示在该位置的小正方块的个数，能正确表示该几何体的主视图的是（）ABCD【解答】解：由所给图可知，这个几何体从正面看共有三列，左侧第一列最多有4块小正方体，中间一列最多

13、有2块小正方体，最右边一列有3块小正方体，所以主视图为B故选：B2如图是一个几何体的三视图，根据图中所标数据计算这个几何体的体积为（）A12B18C24D30【解答】解：由三视图可得，几何体是空心圆柱，其小圆半径是1，大圆半径是2，则大圆面积为：224，小圆面积为：12，故这个几何体的体积为：64624618故选：B3如图所示的正方体，如果把它展开，可以是下列图形中的（）ABCD【解答】解：由“相间Z端是对面”可知A、D不符合题意，而C折叠后，圆形在前面，正方形在上面，则三角形的面在右面，与原图不符，只有B折叠后符合，故选：B4一个几何体由大小相同的小立方块搭成，从上面看到的几何体的形状如图所

14、示，其中小正方形中的数字表示在该位置上的小正方块的个数，请你画出从正面与左面看到的这个几何体的形状图【解答】解：从正面看、左面看的图形如图所示：5（1）如图1，一个正方体纸盒的棱长为4厘米，将它的一些棱剪开展成一个平面图形，求这个平面图形的周长（2）如图2，一个长方体纸盒的长、宽、高分别是a厘米、b厘米、c厘米（abc）将它的一些棱剪开展成一个平面图形，求这个平面图形的最大周长，画出周长最大的平面图形【解答】解：（1）正方体有6个表面，12条棱，要展成一个平面图形必须5条棱连接，要剪1257条棱，4（72）41456（cm）答：这个平面图形的周长是56cm；（2）如图，这个平面图形的最大周长是

15、8a+4b+2c6请在下面的五个方框中画出5种不同的正方体的展开图（经过平移或旋转后能够重合的，算作一种）【解答】解：作图如下：（答案不唯一）7如图，下列几何体是由若干棱长为1的小立方体按一定规律在地面上摆成的，若将露出的表面都涂上颜色（底面不涂色），观察该图，探究其中的规律（1）第1个几何体中只有2个面涂色的小立方体共有 个第3个几何体中只有2个面涂色的小立方体共有 个（2）设第n个几何体中只有2个面涂色的小立方体的块数为M，请用含字母n的代数式表示M；（3）求出前100个几何体中只有2个面涂色的小立方体的块数的和【解答】解：（1）观察图形可得第1个几何体中最底层的4个角的小立方体只有2个面

16、涂色；第3个几何体中只有2个面涂色的小立方体共有5420个故答案为：4 20 （4分）（2）观察图形可知：图中，两面涂色的小立方体共有4个；图中，两面涂色的小立方体共有12个；图中，两面涂色的小立方体共有20个4，12，20都是4的倍数，可分别写成41，43，45的形式，因此，第n个图中两面涂色的小立方体共有4（2n1）8n4，M8n4 （n为正整数）（8分）（3）（814）+（824）+（834）+（844）+（854）+（81004）8（1+2+3+4+100）100440000故前100个图形的点数和为400008（1）在如图（1）所示的正方体表面展开图中的三个空白正方形内各填入一个质数

17、，使该图复原成正方体后，三组对面上的两数之和都相等（2）图（2）是由四个如图（1）所示的正方体拼成的长方体，其中有阴影的面上为合数，无阴影的面上为质数，并且整个表面上任意两个相邻正方形内的数都不是图（1）所示的正方体相对面上的两数已知长方体正面上的四个数之和为质数，那么其左侧面上的数是 （填具体数）（3）如果把图（2）中的长方体从中间等分成左右两个小长方体，它们各自表面上的各数之和分别为S左和S右，那么S左与S右的大小关系是S左 S右【解答】解：（1）如图（2）已知长方体正面上的四个数之和为质数，任意两个相邻正方形内的数都不是图（1）所示的正方体相对面上的两数那么可猜测正面上的四个数分别为：1

18、3，18，2，21，按照（1），13在正面，那么21应该在左侧；故答案为21同时第（2）小题中，如果正面的数从左到右依次是2，10，13，16与13，10，2，16，答案就不一样了同时即使左边一个正面的数为2，那上面的数可以是16，也可以是10，故此题答案不唯一（3）分开后，左侧表面的数的和为：2（13+21+10+16+7）134；右侧表面的数的和为：（2+16+21+7+13）+（21+10+13+2+7）112，S左S右9六盒磁带按“规则方式”打包，所谓“规则方式”是指每相邻两盒必须以完全一样的面对接，最后得到的包装形状是一个长方形已知磁带盒的大小为abc1172（单位cm）（1）请画出

19、示意图，给出一种打包方式，使其表面积最小；（2）若不给出a、b、c的具体尺寸，只假定abc，3问能否按照已知的方式打包，使其表面积最小？并说明理由【解答】解：（1）设：三个面的面积记为Abc，Bac，Cab，在16的方式下，打包方式如图乙，这时，表面积S乙2C+12B+12A2117+12112+1272586（cm2）；在23的方式下，打包方式如图丙，这时，表面积S丙4C+6B+12A4117+6112+1272608（cm2）；因为S乙S丙，所以最小表面积的打包方式是16（2）若abc，则单叠（即1*6方式）打包的最小表面积S2ab+12ac+12bc；双叠（即2*3方式）打包最小表面积S

20、4ab+6ac+12bc所以SS2a（3cb）所以：当ab，且cb3c时，最小表面积为双叠当ab3c时，最小表面积为单叠当ab3c时，两种方式一样大10十八世纪瑞士数学家欧拉证明了简单多面体中顶点数（V）、面数（F）、棱数（E）之间存在的一个有趣的关系式，被称为欧拉公式请你观察下列几种简单多面体模型，解答下列问题：（1）根据上面多面体的模型及表格中的数据：多面体顶点数（V）面数（F）棱数（E）四面体446长方体8612正八面体6812你发现顶点数（V）、面数（F）、棱数（E）之间存在的关系式是 ；（2）一个多面体每个顶点处都有3条棱，多面体的棱数比顶点数大10，则这个多面体的面数是 ；（3）某

21、个玻璃饰品的外形是简单的多面体，它的外表面是由三角形和八边形两种多边形拼接而成，每个顶点处都有3条棱，共有棱36条若该多面体外表面三角形的个数比八边形的个数的2倍多2，求该多面体外表面三角形的个数【解答】解：（1）4+462，8+6122，6+8122，顶点数（V）、面数（F）、棱数（E）之间存在的关系式是V+FE2；故答案为：V+FE2；（2）根据题意，可得E=V+102E=3V，解得V=20E=30，V+FE2，F2+EV2+302012，故答案为：12；（3）3V2=36E，V24，V+FE2，F14，设八边形的个数为y个，则三角形的个数为2y+2个，由题意得y+2y+214，解得：y4

22、，2y+210，答：该多面体外表面三角形的个数为10个专题14 直线、射线、线段一、线段的和、差、倍、分【典例】（1）如图，已知点C在线段AB上，且AC12cm，BC8cm，点M、N分别是AC、BC的中点，求线段MN的长度；（2）若点C是线段AB上任意一点，且ACa，BCb，点M、N分别是AC、BC的中点，求线段MN的长度；（用a、b的代数式表示）（3）在（2）中，把点C是线段AB上任意一点改为：点C是直线AB上任意一点，其他条件不变，则线段MN的长度会变化吗？若有变化，求出结果【解答】解：（1）由AC12（cm），M是AC的中点，得MC=12AC6（cm）由BC8（cm），N是CB的中点，得

23、CN=12CB4（cm）由线段的和差，得MNMC+NC6+410（cm）；（2）由ACa（cm），M是AC的中点，得MC=12AC=a2（cm）由BCb（cm），N是CB的中点，得CN=12CB=b2（cm）由线段的和差，得MNMC+NC=a2+b2=a+b2（cm）；（3）当点C在B点的右边时，ACa，BCb，点M、N分别是AC、BC的中点，得MC=12AC=a2，NC=12BC=b2（cm）由线段的和差，得MNMCNC=a2-b2=a-b2（cm）；当点C在A点的左边时，ACa，BCb，点M、N分别是AC、BC的中点，得MC=12AC=a2，NC=12BC=b2（cm）由线段的和差，得MN

24、NCMC=b2-a2=b-a2，点C在线段AB上时，MNMC+NC=a2+b2=a+b2（cm）【巩固】如图，已知线段ABm，CDn，线段CD在直线AB上运动（点A在点B的左侧，点C在点D的左侧），若|m12|+（6n）20（1）求线段AB，CD的长；（2）若点M，N分别为线段AC，BD的中点，BC4，求线段MN的长；（3）当CD运动到某一时刻时，点D与点B重合，点P是线段AB的延长线上任意一点，下列两个结论：PA-PBPC是定值，PA+PBPC是定值，请选择你认为正确的一个并加以说明二、计数类问题【学霸笔记】1.若平面内有两两相交的n条直线，其交点最少为1个，最多有个；2.若一条直线上有n个

25、点，那么这条直线上的线段总数有条，射线总数有条；3.过平面上任意三个不在同一条直线上的n个点中的两个点，可以画条直线；4.平面内n条直线两两相交，且任意三条直线都不共点时，这些直线可以将平面分成互不重叠的部分最多，有个.【典例】A、B、C、D、E五支球队进行单循环比赛（每两支球队间都要进行一场比赛），当比赛进行到一定阶段时，统计A、B、C、D四个球队已赛过的场数，依次为A队4场，B队3场，C队2场，D队1场，这时，E队已赛过的场数是（）A1B2C3D4【解答】解：A、B、C、D、E五支球队进行单循环比赛，已知A队赛过4场，所以A队必须和B、C、D、E这四个球队各赛一场，已知B队赛过3场，B队已

26、和A队赛过1场，那么B队只能和C、D、E中的两个队比赛，又知D队只赛过一场（也就是和A队赛过的一场），所以B队必须和C、E各赛1场，这样满足C队赛过2场，从而推断E队赛过2场故选：B【巩固】为了解决“经过平面上的100个点中的任意两点最多能画出多少条直线”这个问题，数学课外兴趣小组的同学们讨论得出如下方法：当n2，3，4时，画出最多直线的条数分别是：过两点画一条直线，三点在原来的基础上增加一个点，它与原来两点分别画一条直线，即增加两条直线，以此类推，平面上的10个点最多能画出1+2+3+945条直线请你比照上述方法，解决下列问题：（要求作图分析）（1）平面上的20条直线最多有多少个交点？（2）

27、平面上的100条直线最多可以把平面分成多少个部分？平面上n条直线最多可以把平面分成多少个部分？巩固练习1如图，王伟同学根据图形写出了四个结论：图中共有3条直线；图中共有7条射线；图中共有6条线段；图中射线BC与射线CD是同一条射线其中结论正确的有（）A1个B2个C3个D4个2如图，线段AF中，ABa，BCb，CDc，DEd，EFe则以A，B，C，D，E，F为端点的所有线段长度的和为（）A5a+8b+9c+8d+5eB5a+8b+10c+8d+5eC5a+9b+9c+9d+5eD10a+16b+18c+16d+10e3互不重合的A、B、C三点在同一直线上，已知AC2a+1，BCa+4，AB3a，

28、这三点的位置关系是（）A点A在B、C两点之间B点B在A、C两点之间C点C在A、B两点之间D无法确定4如图，在数轴上有A，B，C，D，E五个整数点（即各点均表示整数），且AB2BC3CD4DE，若A、E两点表示的数的分别为13和12，那么，该数轴上上述五个点所表示的整数中，离线段AE的中点最近的整数是（）A1B5C6D85如图，已知B是线段AC上的一点，M是线段AB的中点，N是线段AC的中点，P为NA的中点，Q是AM的中点，则MN：PQ等于（）A1B2C3D46平面内的9条直线任两条都相交，交点数最多有m个，最少有n个，则m+n等于（）A36B37C38D397某公司员工分别在A、B、C三个住宅

29、区，A区有30人，B区有15人，C区有10人，三个区在一条直线上，位置如图所示，该公司的接送车打算在此间只设一个停靠点，为使所有员工步行到停靠点的路程之和最小，那么停靠点的位置应设在（）AA区BB区CC区DA、B两区之间8如图，B，C，D是线段AE上的三个点，已知AE9，BD4，求图中以A、B、C、D、E这5个点为端点的所有线段的和为 9已知线段ABm（m为常数），点C为直线AB上一点，点P、Q分别在线段BC、AC上，且满足CQ2AQ，CP2BP（1）如图，若AB6，当点C恰好在线段AB中点时，则PQ ；（2）若点C为直线AB上任一点，则PQ长度是否为常数？若是，请求出这个常数；若不是，请说明

30、理由；（3）若点C在点A左侧，同时点P在线段AB上（不与端点重合），请判断2AP+CQ2PQ与1的大小关系，并说明理由10直线l上的三个点A、B、C，若满足BC=12AB，则称点C是点A关于点B的“半距点”如图1，BC=12AB，此时点C就是点A关于点B的一个“半距点”若M、N、P三个点在同一条直线m上，且点P是点M关于点N的“半距点”，MN6cm（1）MP cm；（2）若点G也是直线m上一点，且点G是线段MP的中点，求线段GN的长度专题14 直线、射线、线段一、线段的和、差、倍、分【典例】（1）如图，已知点C在线段AB上，且AC12cm，BC8cm，点M、N分别是AC、BC的中点，求线段MN

31、的长度；（2）若点C是线段AB上任意一点，且ACa，BCb，点M、N分别是AC、BC的中点，求线段MN的长度；（用a、b的代数式表示）（3）在（2）中，把点C是线段AB上任意一点改为：点C是直线AB上任意一点，其他条件不变，则线段MN的长度会变化吗？若有变化，求出结果【解答】解：（1）由AC12（cm），M是AC的中点，得MC=12AC6（cm）由BC8（cm），N是CB的中点，得CN=12CB4（cm）由线段的和差，得MNMC+NC6+410（cm）；（2）由ACa（cm），M是AC的中点，得MC=12AC=a2（cm）由BCb（cm），N是CB的中点，得CN=12CB=b2（cm）由线段的

32、和差，得MNMC+NC=a2+b2=a+b2（cm）；（3）当点C在B点的右边时，ACa，BCb，点M、N分别是AC、BC的中点，得MC=12AC=a2，NC=12BC=b2（cm）由线段的和差，得MNMCNC=a2-b2=a-b2（cm）；当点C在A点的左边时，ACa，BCb，点M、N分别是AC、BC的中点，得MC=12AC=a2，NC=12BC=b2（cm）由线段的和差，得MNNCMC=b2-a2=b-a2，点C在线段AB上时，MNMC+NC=a2+b2=a+b2（cm）【巩固】如图，已知线段ABm，CDn，线段CD在直线AB上运动（点A在点B的左侧，点C在点D的左侧），若|m12|+（6

33、n）20（1）求线段AB，CD的长；（2）若点M，N分别为线段AC，BD的中点，BC4，求线段MN的长；（3）当CD运动到某一时刻时，点D与点B重合，点P是线段AB的延长线上任意一点，下列两个结论：PA-PBPC是定值，PA+PBPC是定值，请选择你认为正确的一个并加以说明【解答】解：（1）|m12|+（6n）20，|m12|（6n）2，m120，6n0，n6，m12，AB12，CD6；（2）如图1，M、N分别为线段AC、BD的中点，AM=12AC=12（AB+BC）8，DN=12BD=12（CD+BC）5，MNADAMDN9；如图2，M、N分别为线段AC、BD的中点，AM=12AC=12（A

34、BBC）4，DN=12BD=12（CDBC）1，MNADAMDN12+64419；（3）正确理由如下：PA+PBPC=(PC+AC)+(PC-CB)PC=2PCPC=2，PA+PBPC是定值2二、计数类问题【学霸笔记】1.若平面内有两两相交的n条直线，其交点最少为1个，最多有个；2.若一条直线上有n个点，那么这条直线上的线段总数有条，射线总数有条；3.过平面上任意三个不在同一条直线上的n个点中的两个点，可以画条直线；4.平面内n条直线两两相交，且任意三条直线都不共点时，这些直线可以将平面分成互不重叠的部分最多，有个.【典例】A、B、C、D、E五支球队进行单循环比赛（每两支球队间都要进行一场比赛

35、），当比赛进行到一定阶段时，统计A、B、C、D四个球队已赛过的场数，依次为A队4场，B队3场，C队2场，D队1场，这时，E队已赛过的场数是（）A1B2C3D4【解答】解：A、B、C、D、E五支球队进行单循环比赛，已知A队赛过4场，所以A队必须和B、C、D、E这四个球队各赛一场，已知B队赛过3场，B队已和A队赛过1场，那么B队只能和C、D、E中的两个队比赛，又知D队只赛过一场（也就是和A队赛过的一场），所以B队必须和C、E各赛1场，这样满足C队赛过2场，从而推断E队赛过2场故选：B【巩固】为了解决“经过平面上的100个点中的任意两点最多能画出多少条直线”这个问题，数学课外兴趣小组的同学们讨论得出

36、如下方法：当n2，3，4时，画出最多直线的条数分别是：过两点画一条直线，三点在原来的基础上增加一个点，它与原来两点分别画一条直线，即增加两条直线，以此类推，平面上的10个点最多能画出1+2+3+945条直线请你比照上述方法，解决下列问题：（要求作图分析）（1）平面上的20条直线最多有多少个交点？（2）平面上的100条直线最多可以把平面分成多少个部分？平面上n条直线最多可以把平面分成多少个部分？【解答】解：（1）当有2，3，4条直线时最多交点的个数分别是：20条直线最多有1+2+3+19190个交点；（2）当有1，2，3条直线时最多可把平面分成的部分分别是：100条直线最多可把平面分成1+（1+

37、2+3+100）5051个部分，同理n条直线最多可把平面分成1+（1+2+3+n）1+n(n+1)2=n2+n+22巩固练习1如图，王伟同学根据图形写出了四个结论：图中共有3条直线；图中共有7条射线；图中共有6条线段；图中射线BC与射线CD是同一条射线其中结论正确的有（）A1个B2个C3个D4个【解答】解：图中只有BD1条直线，原来的说法错误；图中共有23+128条射线，原来的说法错误；图中共有6条线段的说法是正确的；图中射线BC与射线CD不是同一条射线，原来的说法错误故选：A2如图，线段AF中，ABa，BCb，CDc，DEd，EFe则以A，B，C，D，E，F为端点的所有线段长度的和为（）A5

38、a+8b+9c+8d+5eB5a+8b+10c+8d+5eC5a+9b+9c+9d+5eD10a+16b+18c+16d+10e【解答】解：以A为端点线段有AB、AC、AD、AE、AF，这些线段长度之和为5a+4b+3c+2d+e，以B为端点线段有BC、BD、BE、BF，这些线段长度之和为4b+3c+2d+e，以C为端点线段有CD、CE、CF，这些线段长度之和为3c+2d+e，以D为端点线段有DE、DF，这些线段长度之和为2d+e，以E为端点线段有EF，线段的长度为e，故这些线段的长度之和为5a+8b+9c+8d+5e，故选：A3互不重合的A、B、C三点在同一直线上，已知AC2a+1，BCa+

39、4，AB3a，这三点的位置关系是（）A点A在B、C两点之间B点B在A、C两点之间C点C在A、B两点之间D无法确定【解答】解：AC2a+1，BCa+4，AB3a，A、B、C三点互不重合a0，若点A在B、C之间，则AB+ACBC，即2a+1+3aa+4，解得a=34，故A情况存在，若点B在A、C之间，则BC+ABAC，即a+4+3a2a+1，解得a=-32，故B情况不存在，若点C在A、B之间，则BC+ACAB，即a+4+2a+13a，此时无解，故C情况不存在，互不重合的A、B、C三点在同一直线上，故选：A4如图，在数轴上有A，B，C，D，E五个整数点（即各点均表示整数），且AB2BC3CD4DE，

40、若A、E两点表示的数的分别为13和12，那么，该数轴上上述五个点所表示的整数中，离线段AE的中点最近的整数是（）A1B5C6D8【解答】解：由题意可设ABx，由AB2BC3CD4DE有BC=12x，CD=13xDE=14xA、E两点表示的数的分别为13和12，AE25x+12x+13x+14x25，解得x12AB12，BC6，CD4，DE3B、C、D三个点表示的数分别是1、5、9而A、E两点的中点表示的数应该是0.5，上述五个点所表示的整数中，离线段AE的中点最近的整数是1故选：A5如图，已知B是线段AC上的一点，M是线段AB的中点，N是线段AC的中点，P为NA的中点，Q是AM的中点，则MN：

41、PQ等于（）A1B2C3D4【解答】解：根据B是线段AC上的一点，M是线段AB的中点，N是线段AC的中点，P为NA的中点，Q是AM的中点，可知：PQAPAQ=12AN-12AM=12（ANAM）=12MN，所以 MN：PQ2：12故选：B6平面内的9条直线任两条都相交，交点数最多有m个，最少有n个，则m+n等于（）A36B37C38D39【解答】解：三条最多交点数的情况就是第三条与前面两条都相交：1+2四条最多交点数的情况就是第四条与前面三条都相交：1+2+3五条最多交点数的情况就是第五条与前面四条都相交：1+2+3+4六条最多交点数的情况就是第六条与前面五条都相交：1+2+3+4+5七条最多

42、交点数的情况就是第七条与前面六条都相交：1+2+3+4+5+6八条最多交点数的情况就是第八条与前面七条都相交：1+2+3+4+5+6+7九条最多交点数的情况就是第九条与前面八条都相交：1+2+3+4+5+6+7+836当平面内的9条直线相交于同一点时，交点数最少，即n1则m+n1+3637故选：B7某公司员工分别在A、B、C三个住宅区，A区有30人，B区有15人，C区有10人，三个区在一条直线上，位置如图所示，该公司的接送车打算在此间只设一个停靠点，为使所有员工步行到停靠点的路程之和最小，那么停靠点的位置应设在（）AA区BB区CC区DA、B两区之间【解答】解：当停靠点在A区时，所有员工步行到停靠点路程和是：15100+103004500m，当停靠点在B区时，所有员工步行到停靠点路程和是：30100+102005000m，当停靠点在C区时，所有员工步行到停靠点路程和是：30300+15200