理想与商环学习培训模板课件.ppt
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1、4 4 理想与商环理想与商环 一、理想一、理想 定义定义14.13:R;+,*为环为环,若若I,I R,关于关于+,*运算满足条件运算满足条件:(1)任任a,b I,a-b I(2)任任a I,r R,a*r,r*a I 称称I;+,*为为R;+,*的的理想理想,当当I 0,I R时是时是真真理想理想,否则就是否则就是平凡理想平凡理想。例:例:nZ;+,是整数环是整数环Z;+,的理想。的理想。例:例:R;+,*为单位元交换环,任取元素为单位元交换环,任取元素 a R,作,作R的子集:的子集:(a)=a*r|r R,则则(a);+,*为为R;+,*的理想。的理想。若若R;+,*是不含单位元的交换
2、环,对任是不含单位元的交换环,对任意意a R,作子集,作子集(a)=a*r+na|r R,n Z,则则(a);+,*为为R;+,*的理想。的理想。这样的理想这样的理想(a)=a*r+na|r R,n Z称为称为由元素由元素a生成的主理想。生成的主理想。由由a生成的理想:生成的理想:有单位元的交换环,有单位元的交换环,(a)=a*r|r R无单位元的交换环,无单位元的交换环,(a)=a*r+na|r R 定理:设定理:设S,S R,定义定义(S)为满足如下条件的为满足如下条件的最小子集最小子集:(1)a S,则则a(S)(2)a,b(S),则则a-b(S)(3)a(S),r R,则则a*r,r*
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