第二章 圆锥曲线与方程单元小结(解析版).doc
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1、1 第二章第二章 圆锥曲线与方程单元小结圆锥曲线与方程单元小结 (人教(人教 A 版)版) 核心速填 1椭圆、双曲线、抛物线的定义、标准方程、几何性质 椭圆 双曲线 抛物线 定义 平面内与两个定点F1, F2的距离之和等于常 数(大于|F1F2|)的点的 轨迹 平面内与两个定点 F1,F2 的距离的差的绝对值等于 常数(小于|F1F2|)的点的轨 迹 平面内与一个定点 F 和一条定直线 l(l 不经 过点 F)距离相等的点 的轨迹 标准方 程 x2 a2 y2 b21 或 y2 a2 x2 b2 1(ab0) x2 a2 y2 b2 1 或 y2 a2 x2 b2 1(a0,b0) y22px
2、 或 y22px 或 x22py 或 x2 2py(p0) 关系式 a2b2c2 a2b2c2 图形 封闭图形 无限延展,但有渐近线 y b ax 或 y a bx 无限延展, 没有渐近线 变量范 围 |x|a,|y|b 或|y|a, |x|b |x|a 或|y|a x0 或 x0 或 y0 或 y0 对称性 对称中心为原点 无对称中心 两条对称轴 一条对称轴 顶点 四个 两个 一个 离心率 ec a,且 00,b0)的渐近线方程为 x2 a2 y2 b2 0(a0,b0),即 y b ax;双曲线 y2 a2 x2 b21(a0,b0)的渐近线方程为 y2 a2 x2 b20(a0,b0),
3、 即 y a bx. (2)如果双曲线的渐近线为x a y b0 时,它的双曲线方程可设为 x2 a2 y2 b2(0) 3抛物线的焦点弦问题 抛物线过焦点 F 的弦长|AB|的一个重要结论 (1)y22px(p0)中,|AB|x1x2p. 2 (2)y22px(p0)中,|AB|x1x2p. (3)x22py(p0)中,|AB|y1y2p. (4)x22py(p0)中,|AB|y1y2p. 体系构建 题型探究 类型一、圆锥曲线的定义及应用类型一、圆锥曲线的定义及应用 例 1、 (1)已知动点 M 的坐标满足方程 5 x2y2|3x4y12|, 则动点 M 的轨迹是( ) A椭圆 B双曲线 C
4、抛物线 D以上都不对 (2)在平面直角坐标系 xOy 中,椭圆 C 的中心为原点,焦点 F1,F2在 x 轴上,离心率为 2 2 .过 F1的直线 l 交 C 于 A,B 两点,且ABF2的周长为 16,那么 C 的方程为_. 【答案】(1)C (2)x 2 16 y2 81 【解析】(1)把轨迹方程 5 x2y2|3x4y12|写成 x2y2|3x4y12| 5 . 动点 M 到原点的距离与它到直线 3x4y120 的距离相等点 M 的轨迹是以原 点为焦点,直线 3x4y120 为准线的抛物线 (2)设椭圆方程为x 2 a2 y2 b21(ab0), 因为AB过F1且A, B在椭圆上, 如图
5、所示, 则ABF2 的周长为|AB|AF2|BF2|AF1|AF2|BF1|BF2|4a16,a4. 3 又离心率 ec a 2 2 ,c2 2,b2a2c28, 椭圆 C 的方程为x 2 16 y2 81. 规律方法 “回归定义”解题的三点应用 应用一:在求轨迹方程时,若所求轨迹符合某种圆锥曲线的定义,则根据圆锥曲线的定 义,写出所求的轨迹方程; 应用二:涉及椭圆、双曲线上的点与两个定点构成的三角形问题时,常用定义结合解三 角形的知识来解决; 应用三: 在求有关抛物线的最值问题时, 常利用定义把到焦点的距离转化为到准线的距 离,结合几何图形,利用几何意义去解决 提醒:应用定义解题时注意圆锥曲
6、线定义中的限制条件 跟踪训练 1 点 P 是抛物线 y28x 上的任意一点, F 是抛物线的焦点, 点 M 的坐标是(2,3), 求|PM| |PF|的最小值,并求出此时点 P 的坐标 【答案】抛物线 y28x 的准线方程是 x2,那么点 P 到焦点 F 的距离等于它到准线 x2 的距离,过点 P 作 PD 垂直于准线 x2,垂足为 D,那么|PM|PF|PM|PD|. 如图所示,根据平面几何知识,当 M,P,D 三点共线时,|PM|PF|的值最小,且最 小值为|MD|2(2)4, 所以|PM|PF|的最小值是 4. 此时点 P 的纵坐标为 3,所以其横坐标为9 8,即点 P 的坐标是 9 8
7、,3 . 类型二、圆锥曲线的方程类型二、圆锥曲线的方程 例 2、 (1)已知中心在原点的椭圆 C 的右焦点为 F(1,0), 离心率等于1 2, 则 C 的方程是( ) Ax 2 3 y2 41 Bx 2 4 y2 31 Cx 2 4 y2 21 Dx 2 4 y2 31 (2)已知抛物线 y28x 的准线过双曲线x 2 a2 y2 b21(a0,b0)的一个焦点,且双曲线的离 心率为 2,则该双曲线的方程为_ 4 【答案】 (1)D (2)x2y 2 31 【解析】(1)由题意得 c1 c a 1 2 ,解得 a2 c1 , 则 b2a2c23,故椭圆方程为x 2 4 y2 31. (2)由
8、题意得 c2 c a2 ,解得 a1 c2 ,则 b2c2a23, 因此双曲线方程为 x2y 2 31. 规律方法 求圆锥曲线方程的一般步骤 一般求已知曲线类型的曲线方程问题,可采用“先定形,后定式,再定量”的步骤 (1)定形指的是二次曲线的焦点位置与对称轴的位置 (2)定式根据“形”设方程的形式, 注意曲线系方程的应用, 如当椭圆的焦点不确定在 哪个坐标轴上时,可设方程为 mx2ny21(m0,n0) (3)定量由题设中的条件找到“式”中待定系数的等量关系,通过解方程得到量的大 小 跟踪训练 2(1)以 x 轴为对称轴,通径长为 8,顶点为坐标原点的抛物线方程是( ) Ay28x By28x
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