2020年浙江省超级全能生高考数学模拟试卷（3月份）.docx

1、 第 1 页（共 18 页） 2020 年浙江省超级全能生高考数学模拟试卷（年浙江省超级全能生高考数学模拟试卷（3 月份）月份） 一、选择题：本大题共一、选择题：本大题共 10 小题，每小题小题，每小题 4 分，共分，共 40 分分.在每小题给出的四个选项中，只有在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的一项是符合题目要求的. 1 （4 分）已知全集 1U ，0，1，2，3，4，集合 |1Ax x，xN，1B ，3， 则()( U AB ) A4 B2，4 C 1，2，4 D 1，0，2，4 2 （4 分）已知复数z满足(13 )1(zii i 为虚数单位） ，则复数z的虚部为( )

2、 A 2 5 B 2 5 C 2 5 i D 2 5 i 3 （4 分）设m，n是两条不同的直线，是两个不同的平面，已知m，n， 则“/ /m，/ /n”是“/ /”的( ) A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 4 （4 分）函数 |1| ( ) | xln x f x x 的图象是( ) A B C D 5 （4 分）一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为( ) 第 2 页（共 18 页） A5 B 3 4 2 C43 D45 6 （4 分）小明同学去文具店购买文具，现有四种不同样式的笔记本可供选择（可以有笔记 本不被选择） ，单价均为一元一本，

3、小明只有 8 元钱且要求全部花完，则不同的选购方法共 有( ) A70 种 B165 种 C280 种 D1860 种 7 （4 分）在数列 n a中， 1 1a ， 2 3a ，且 2 2 ( 1 ) (*) nn n a nN a ， n S为数列 n a的前n 项和，则 100 (S ) A 50 31 50 2 B 50 3(13 ) 50 2 C 50 3(31) 50 2 D 100 3(31) 50 2 8 （4 分）已知点F为双曲线 22 22 :1( ,0) xy Ca b ab 的右焦点，直线ykx， 3 , 3 3 k与 与双曲线C交于A，B两点，若AFBF，则该双曲线的

4、离心率的取值范围是( ) A 2，26 B 2, 31 C2，31 D2，26 9（4 分） 在长方体 1111 ABCDABC D中， 底面ABCD是边长为 4 的正方形， 侧棱 1 (4)AAt t， 点E是BC的中点，点P是侧面 11 ABB A内的动点（包括四条边上的点） ，且满足 tan4tanAPDEPB，则四棱锥PABED的体积的最大值是( ) A 4 3 3 B16 3 C16 3 3 D 64 3 9 10 （4 分）已知实数x，y满足 22 455xxyy，则 22 2xy的最小值为( ) A 5 3 B 10 3 C10 9 D4 二、填空题：本大题共二、填空题：本大题共

5、 7 小题，多空题每小题小题，多空题每小题 4 分，单空题每小题分，单空题每小题 4 分，共分，共 36 分分.把答案填把答案填 在题中的横线上在题中的横线上. 第 3 页（共 18 页） 11 （4 分）椭圆 22 1 24 xy 的焦距是 12 （6 分）在二项式 9 2 ()x x 的展开式中，常数项是 ；有理项的个数为 13 （6 分）在锐角ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c， 3 A ，7a ， 3c ，则b ；sinsinBC 14 （6 分）设变量x，y满足约束条件 2 0, 2 0, 1, 0, xy xy x y 则目标函数 2 4 y x z 的最大值为 ，最

6、 小值为 15 （6 分）十三世纪意大利数学家列昂纳多 斐波那契从兔子繁殖规律中发现了“斐波那契 数列” ，斐波那契数列 n a满足以下关系： 1 1a ， 2 1a ， 12( 3,*) nnn aaannN 记其 前n项和为 n S， 设 2020 (am m为常数） ， 则 20182020 Sa ； 1352019 aaaa 16（4 分） 已知函数 2 ( )(0)f xaxbxc a， 对一切 1x ，1， 都有|( )| 1f x， 则当 2x ， 2时，( )f x的最大值为 17 （4 分）已知点P为ABC所在平面内任意一点，满足()0PA PBPC CPCACB， 若()C

7、QCACB，1，2，则 22 2 QAQB QC 的取值范围是 三、解答题：本大题共三、解答题：本大题共 5 小题，共小题，共 74 分分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤演算步骤. 18 （14 分）已知函数 2 ( )sin2cos1 2 x f xx （） 7 () 12 f； （）若 5 () 4 yfx ，0，当 3 , 44 x 时，存在最大值和最小值，求的取值范 围 19 （15 分）已知数列 n a满足 1 1a ， 1 1(1) nn aan ，数列 n b满足 1 1b ， 1 12211 1(1) nnn aba baba

8、n （）求数列 n a， n b的通项公式； 第 4 页（共 18 页） （）若数列 n c满足 2nnn a cb ，求证： 12 3 4 n ccc 20 （15 分）如图，正方体 1111 ABCDABC D的顶点C在平面上，所有顶点都在平面的 同一侧，且满足 1 AB和 1 AD与平面所成角均为 3 （）求证：/ /BD平面； （）求直线 1 B D与平面所成角的余弦值 21 （15 分）已知抛物线 2 :2(0)C xpy p （）若抛物线C的焦点坐标为 1 (0, ) 2 ，求抛物线C的标准方程； （）在（）的条件下，直线l与抛物线C相交于A，B两点，若线段AB上有一点P， 满足|

9、 1OP ，OPAB，使得()1BP OPOA，求 22 11 |OAOB 的值 22 （15 分）已知1x， e，函数( )(1)f xxlnx， 2 1 ( )(1) 2 g xmx （）若函数( )f x与( )g x在2x 处的切线斜率相同，求m； （）若对任意实数n，存在实数m，使得函数( )( )f xg xn在定义域内恒成立，求mn 的最大值 第 5 页（共 18 页） 2020 年浙江省超级全能生高考数学模拟试卷（年浙江省超级全能生高考数学模拟试卷（3 月份）月份） 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题：本大题共一、选择题：本大题共 10 小题，每小题小题，每小题

10、4 分，共分，共 40 分分.在每小题给出的四个选项中，只有在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的一项是符合题目要求的. 1 （4 分）已知全集 1U ，0，1，2，3，4，集合 |1Ax x，xN，1B ，3， 则()( U AB ) A4 B2，4 C 1，2，4 D 1，0，2，4 【解答】解：根据题意，集合 |1Ax x，0xN，1，1B ，3，则0AB ，1， 3， 又由全集 1U ，0，1，2，3，4，则() 1 U AB ，2，4； 故选：C 2 （4 分）已知复数z满足(13 )1(zii i 为虚数单位） ，则复数z的虚部为( ) A 2 5 B 2 5 C 2

11、 5 i D 2 5 i 【解答】解：(13 )1(zii i 为虚数单位） ， (13 )(1 3 )(1)(1 3 )ziiii， 1024zi 12 55 zi 则复数z的虚部为 2 5 故选：A 3 （4 分）设m，n是两条不同的直线，是两个不同的平面，已知m，n， 则“/ /m，/ /n”是“/ /”的( ) A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 【解答】解：m，n是不同的直线，是不同的平面，且m，n，推不出“/ /m 且/ /n” ，缺少条件m，n相交； 若“/ /” ，则内任意一条直线都平行于平面，正确； 故“/ /m且/ /n”是“/ /”的必

12、要不充分条件， 第 6 页（共 18 页） 故选：B 4 （4 分）函数 |1| ( ) | xln x f x x 的图象是( ) A B C D 【解答】解： 3 2 (3)20 3 ln fln，故排除D； ( 1)20fln ，故排除C； 11 ( )0 22 fln，故排除B； 故选：A 5 （4 分）一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为( ) A5 B 3 4 2 C43 D45 【解答】解：根据几何体的三视图转换为几何体为：该几何体为以底面半径为 1，高为的圆 柱， 所以22243S 故选：C 6 （4 分）小明同学去文具店购买文具，现有四种不同样式的笔记本可供选择（

13、可以有笔记 本不被选择） ，单价均为一元一本，小明只有 8 元钱且要求全部花完，则不同的选购方法共 第 7 页（共 18 页） 有( ) A70 种 B165 种 C280 种 D1860 种 【解答】解：根据题意，小明只有 8 元钱且要求全部花完，则小明需要买 8 个笔记本， 将 8 个笔记本看成 8 个相同的小球，原问题可以转化为将 8 个小球用相同的挡板分成 4 组， 每组对应一种样式的笔记本， 8 个小球、 3 个挡板共 11 个位置， 在其中任选 8 个安排小球， 剩下 3 个安排挡板， 有 8 11 165C 种； 故选：B 7 （4 分）在数列 n a中， 1 1a ， 2 3a

14、 ，且 2 2 ( 1 ) (*) nn n a nN a ， n S为数列 n a的前n 项和，则 100 (S ) A 50 31 50 2 B 50 3(13 ) 50 2 C 50 3(31) 50 2 D 100 3(31) 50 2 【解答】解： 2 2( 1) (*) nn n a nN a ， 22 2 3 k k a a ， 21 21 1 k k a a 又 1 1a ， 2 3a ， 数列 n a的偶数项成等比数列，奇数项都为 1 则 5050 100 3(31)3(31) 5050 3 12 S 故选：C 8 （4 分）已知点F为双曲线 22 22 :1( ,0) xy

15、 Ca b ab 的右焦点，直线ykx， 3 , 3 3 k与 与双曲线C交于A，B两点，若AFBF，则该双曲线的离心率的取值范围是( ) A 2，26 B 2, 31 C2，31 D2，26 【解答】解：点F为双曲线 22 22 :1( ,0) xy Ca b ab 的右焦点，直线ykx， 3 , 3 3 k与 与双曲线C交于A，B两点，若AFBF， 不妨A在第一谢谢，( cos , sin)A cc，代入双曲线方程可得： 2222 222 1 c cosc sin aca 即： 第 8 页（共 18 页） 22 22 2 1 1 e sin e cos e ， 可得 4222 cos1ee

16、e， 可得 2 2 22 2441sin1 21sin cos e coscos ， 直线ykx， 3 , 3 3 k，可知 3 tan, 3 3 ， 13 sin , 22 ， 2 2e，42 3， 所以 2e，31 故选：B 9（4 分） 在长方体 1111 ABCDABC D中， 底面ABCD是边长为 4 的正方形， 侧棱 1 (4)AAt t， 点E是BC的中点，点P是侧面 11 ABB A内的动点（包括四条边上的点） ，且满足 tan4tanAPDEPB，则四棱锥PABED的体积的最大值是( ) A 4 3 3 B16 3 C16 3 3 D 64 3 9 【解答】解：作PNAB于N

17、，在长方体 1111 ABCDABC D中， DA 平面 11 A ABB，CB 平面 11 A ABB， 在Rt PAD和Rt PBC中，tan AD APD AP ，tan BE EPB PB ， tan4tanAPDEPB， 11 22 BEBCAD， 1 2 PAPB， 设PNh，ANx，则4BNx，0x，4， 由 1 2 PAPB，得 22 1 4 PAPB，即 2222 1 (4) 4 hxhx， 整理得 22 816 33 hxx ，0x，4，开口向下，对称轴为 4 3 x ， 在0x，4单调递减，则0x 时， 2 h取到最大值16 3 ，即h的最大值为 4 3 3 四棱锥PAB

18、ED的体积的最大值是 114 316 3 (24)4 3233 故选：C 第 9 页（共 18 页） 10 （4 分）已知实数x，y满足 22 455xxyy，则 22 2xy的最小值为( ) A 5 3 B10 3 C10 9 D4 【解答】解：设 22 2xym，则 22 2xmy， 22 455xxyy， 22 455xyxy， 22222 16(55)x yxy， 2222 16(2)(57)ymymy， 422 81(3070)(5)0ymym， 设 2 yt， 22 81(3070)(5)0tmtm， 22 (3070)4 81(5)0mm，解得 10 3 m， 22 2xy的最小

19、值是10 3 ， 故选：B 二、填空题：本大题共二、填空题：本大题共 7 小题，多空题每小题小题，多空题每小题 4 分，单空题每小题分，单空题每小题 4 分，共分，共 36 分分.把答案填把答案填 在题中的横线上在题中的横线上. 11 （4 分）椭圆 22 1 24 xy 的焦距是 2 2 【解答】解：椭圆 22 1 24 xy 的焦距是 22 222 422 2cab 第 10 页（共 18 页） 故答案为：2 2 12 （6 分）在二项式 9 2 ()x x 的展开式中，常数项是 672 ；有理项的个数为 【解答】解：二项式 9 2 ()x x 的展开式的通项为 9 3 9 2 199 2

20、 ()()( 2) r rrrrr r Txx x 痧 由 93 03 2 r r ，得常数项是 33 9 ( 2)672 ； 当1r ，5，7，9 时，x的指数为整数， 有理项的个数是 4 个； 故答案为：672，4 13 （6 分）在锐角ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c， 3 A ，7a ， 3c ，则b 2 ；sinsinBC 【解答】解：因为 3 A ，7a ，3c ， 由余弦定理， 2222 197 cos 226 bcab A bcb ， 整理可得， 2 320bb， 解可得，1b 或2b ， 当1b 时，此时cab，则C最大， 222 20abc ，不符合题意；

21、故2b ，由正弦定理可得， 72 21 1 sinsin3 sin 3 bc BC ， 可得 21 sin 7 B ， 3 21 sin 14 C ， 5 21 sinsin 14 BC 故答案为：2， 5 21 14 14 （6 分）设变量x，y满足约束条件 2 0, 2 0, 1, 0, xy xy x y 则目标函数 2 4 y x z 的最大值为 8 ， 最小值为 【解答】解：由约束条件作出可行域如图： 第 11 页（共 18 页） 联立 1 20 x xy ，解得( 1,1)A ， 化目标函数 2 2 2 4 y yx x z 转化为求2tyx的取值问题； 因为2txy 为2yxt，

22、 由图可知，当直线2yxt过A时，t有最大值为 3 当直线2yxt过(2,0)B时，t有最小值为4 2 2 2 4 y yx x z 的最大值为： 3 28； 最小值为： 4 1 2 16 故答案为：8， 1 16 15 （6 分）十三世纪意大利数学家列昂纳多 斐波那契从兔子繁殖规律中发现了“斐波那契 数列” ，斐波那契数列 n a满足以下关系： 1 1a ， 2 1a ， 12( 3,*) nnn aaannN 记其 前n项和为 n S， 设 2020 (am m为常数） ， 则 20182020 Sa 1 ； 1352019 aaaa 【解答】解：因为斐波那契数列 n a满足 1 1a ，

23、 2 1a ， 12nnn aaa ， 312 aaa； 423121 aaaaa； 534123 1aaaaaa； 21123 11 nnnnn aaaaaaaS ； 所以 20182020 11Sam ， 因为 1352019112342017201812018 11aaaaaaaaaaaaSmm 故答案为：1，m 第 12 页（共 18 页） 16（4 分） 已知函数 2 ( )(0)f xaxbxc a， 对一切 1x ，1， 都有|( )| 1f x， 则当 2x ， 2时，( )f x的最大值为 4 【解答】解：由题意 (1) ( 1) (0) fabc fabc fc ， 有得

24、1 (1)( 1)2 (0) 2 1 (1) ( 1) 2 (0) afff bff cf 代入2axb中，整理得 1 2() 2 axbxf（1） 1 () ( 1)2(0) 2 xfxf， 当 1x ，1，都有|( )| 1f x，| f（1）| 1， |( 1)| 1f ，|(0)| 1f，于是有 11 |2|2 | 22 axbxxx 当 1x ， 1) 2 时，|2|44axbx剟； 当 1 2 x ，0)时，|2| 122axbx剟； 当0x， 1) 2 时，|2| 122axbx； 当 1 2 x，1时，|2|44axbx剟； 对于一切 1x ，1，都有|2|4axb 故答案为：

25、4 17 （4 分）已知点P为ABC所在平面内任意一点，满足()0PA PBPC CPCACB， 若()CQCACB，1，2，则 22 2 QAQB QC 的取值范围是 1，2 【解答】解：由()0PA PBPC CPCACB，()0PA PBPCAPBC， 满足0PA PBPC APPC BC， ()0PA PBPCPC BC 0PA CBPC CB 第 13 页（共 18 页） 0CB CA ABC的 0 90C 如图，建立平面直角坐标系，设( ,0)A a，(0, )Bb， AB的中点(, ) 2 2 a b D， (,) 22 ab Q 222 ()() 22 ab QAa ， 222

26、 ()() 22 ab QBb ， 222 ()() 22 ab QC ， 则 22222 22 22 2 2 22222222 (1)()1 244442 222 2(1)1 444 ab ab QAQB ab QC 1 ，2， 11 1 2 剟 2 2 (1)11 ，2 故答案为：1，2 三、解答题：本大题共三、解答题：本大题共 5 小题，共小题，共 74 分分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤. 18 （14 分）已知函数 2 ( )sin2cos1 2 x f xx （） 7 () 12 f； 第 14 页（共 18 页） （）若

27、 5 () 4 yfx ，0，当 3 , 44 x 时，存在最大值和最小值，求的取值范 围 【解答】解： （）函数 2 ( )sin2cos1sincos2sin() 24 x f xxxxx ， 所以 7736 ()2sin()2 1212422 f （）由于函数( )2sin() 4 f xx ， 所以 5 ()2sin()2sin 4 yfxxx 由于 3 , 44 x 时，存在最大值和最小值， 所以 3 2442 x 剟剟， 即： 24 3 42 ，解得： 2 2 3 剟 19 （15 分）已知数列 n a满足 1 1a ， 1 1(1) nn aan ，数列 n b满足 1 1b ，

28、 1 12211 1(1) nnn aba baba n （）求数列 n a， n b的通项公式； （）若数列 n c满足 2nnn a cb ，求证： 12 3 4 n ccc 【解答】解：( ) I数列 n a满足 1 1a ， 1 1(1) nn aan ， 1 1 nn aa ， 数列 n a是等差数列，可得：11 n ann 数列 n b满足 1 1b ， 1 12211 1(1) nnn aba baba n 1 122111 1 nnnnn aba baba ba 1 1 nnnn a baa ， 1 n b n ()II证明： 2nnn a cb ， 第 15 页（共 18 页

29、） 11 11 () (2)22 n c n nnn 12 111111111111113 (1)(1) 23243511222124 n ccc nnnnnn ， 即： 12 3 4 n ccc 20 （15 分）如图，正方体 1111 ABCDABC D的顶点C在平面上，所有顶点都在平面的 同一侧，且满足 1 AB和 1 AD与平面所成角均为 3 （）求证：/ /BD平面； （）求直线 1 B D与平面所成角的余弦值 【解答】解： （）证明：以C为坐标原点，CB，CD， 1 CC所在直线分别为x轴，y轴， z轴建立如图所示的空间直角坐标系， 设正方体 1111 ABCDABC D的边长为

30、1，则(0C，0，0)，(1B，0，0)，(0D，1，0)， 1(1 A， 1，1)， 故 11 (0,1,1),(1,0,1),( 1,1,0)BADABD ，设平面的法向量为( , , )nx y z，且| 1n ， 1 1 |3| sin 32|2 BA nyz BAn ， 1 1 |3| sin 32|2 DA nxz DAn ， 66 |,| 22 yzxz， 不妨取 66 , 22 yzxz，故xy， 222 1xyz， 可得 66 , 63 xyz， 666 (,) 663 n ， 第 16 页（共 18 页） 根据法向量的特点，不妨设平面的一个法向量为(1,1,2)m ， 0m

31、 BD ， / /BD平面； （）由（）得 1 (1B ，0，1)，故 1 ( 1,1, 1)B D ， 设直线 1 B D与平面所成角的为，则 1 1 |22 cos 3|36 B D m B D m 21 （15 分）已知抛物线 2 :2(0)C xpy p （）若抛物线C的焦点坐标为 1 (0, ) 2 ，求抛物线C的标准方程； （）在（）的条件下，直线l与抛物线C相交于A，B两点，若线段AB上有一点P， 满足| 1OP ，OPAB，使得()1BP OPOA，求 22 11 |OAOB 的值 【解答】 解：（） 由抛物线的方程可得焦点坐标为：(0,) 2 p ， 由题意可得 1 22 p

32、 ， 所以1p ， 所以抛物线的标准方程为： 2 2xy； （）设 0 (P x， 0) y，由| 1OP ，可得 22 00 1xy， 因为OPAB，所以直线AB的斜率为： 0 0 x y ， 由题意可得直线AB的方程为： 2 000 000 000 () xxx yxxyxy yyy 即 0 00 1x yx yy ， 设 1 (A x， 1) y， 2 (B x， 2) y，联立直线AB 与抛物线的方程： 0 00 2 1 2 x yx yy xy ，整理可得： 20 00 21 20 x xx yy ， 第 17 页（共 18 页） 可得 0 12 0 2x xx y ，1 2 0 2

33、 x x y ， 2 00 1212 2 0000 222 () xx yyxx yyyy ， 2 12 12 2 0 ()1 4 x x y y y ， 因为 02 (BPxx， 02) yy， 01 (OPOAxx， 01) yy， 所以 02 ()(BP OPOAxx， 0201 ) (yyxx， 220 01001212001212012012 22 00000 2121 )()()1()()1 x yyxx xxx xyyyyy yx xxyxx yyyyy ， 因为()1BP OPOA，所以 2 00 21 11 yy ，解得 0 1 2 y ， 22 00 3 1 4 xy ，

34、所以 12 3 2 2 4 10 11 42 yy， 12 1 4 1 4 y y， 因为 222 1212 2222222222 1122112212121212 2()1111112 101024 1 |2242()()4424 104 yyyy OAOBxyxyyyyyy yy yyyy y ， 所以 22 11 |OAOB 的值为 1 22 （15 分）已知1x， e，函数( )(1)f xxlnx， 2 1 ( )(1) 2 g xmx （）若函数( )f x与( )g x在2x 处的切线斜率相同，求m； （）若对任意实数n，存在实数m，使得函数( )( )f xg xn在定义域内恒

35、成立，求mn 的最大值 【解答】解： （） 1 ( ),( )(1) x fxlnx g xmx x ， 函数( )f x与( )g x在2x 处的切线斜率相同， 3 22(1) 2 lnm， 21 24 ln m ； （）由题意可得( )(1)g xmx，记( )( )( )(1)(1)h xf xg xxlnxmx ， 1 ( )h xlnxm x ， 设 2 11 ( ),( ) x H xlnxm H x xx ， 第 18 页（共 18 页） 当1x， e时，( ) 0H x，故( )h x在1， e上递增， 1 ( )1,1h xmm e ， 当1m时，( ) 0h x， ( )h

36、 xh（1）1m ， 1mn ，则1mn； 当 1 11m e 时，存在唯一的实数 0 (1, )xe，使得 0 ()0h x， 0 0 1 lnxm x ， ( )h x在 0 (1,)x递减，在 0 (x，) e递增， 0000 ( )()(1)(1) min h xh xxlnxmx， 00000 (1)(1)1nxlnxmxlnxx， 00 0 1 21mnlnxx x ， 记 1 ( )21t xlnxx x ，(1, )xe，则 2 2 (1) ( )0 x t x x ， 1 ( )(1, 1)t xe e ， 1mn ； 当 1 1m e 时，( ) 0h x， h（e）n， 1nem， 1 11(1)(1)1mnemme e 剟， 综上所述，1mn