2020年上海市高考数学全真模拟试卷（1）（3月份）.docx

1、 第 1 页（共 14 页） 2020 年上海市高考数学全真模拟试卷（年上海市高考数学全真模拟试卷（1） （） （3 月份）月份） 一、填空题：本题共一、填空题：本题共 12 个小题，满分个小题，满分 54 分，第分，第 1-6 题每题题每题 4 分，第分，第 7-12 题每题题每题 5 分分. 1 （4 分）已知集合 |210Axx ， |01Bxx剟，那么AB等于 2 （4 分）5 个人站成一排，其中甲，乙不站首、尾的概率为 ； 3（4 分） 若二项式 2 ()nx x 展开式中第四项与第八项的二项式系数相等， 则其常数项为 4 （4 分） 定义在R上的奇函数( )f x满足()(3)fx

2、f x，(2020)2f， 则f（1） 5 （4 分）若实数a，b，c满足222 aba b ，2222 abca b c ，则c的最大值是 6 （4 分）已知幂函数( )f x过点(2,8)， 1( ) fx 是它的反函数，则 1 1 ( ) 8 f 7 （5 分） 2 135(21) lim 2 n n nn 8（5 分） 已知 n a为等差数列， n S为其前n项和， 若 1 1 2 a ， 23 Sa， 则 2 a ， n S 9 （5 分）满足不等式|(0,)xAB BAR的实数x的集合叫做A的B邻域，若2ab 的ab邻域是一个关于原点对称的区间，则 14 ab 的取值范围是 10

3、（5 分）顶点间的距离为 6，渐近线方程为 3 2 yx 的双曲线的标准方程为 11 （5 分）以下说法： 三条直线两两相交，则它们一定共面 存在两两相交的三个平面可以把空间分成 9 部分 如图是正方体的平面展开图， 则在这个正方体中， 一定有/ /BM平面ADE且平面/ /BDM 平面AFN 四面体ABCD所有的棱长都相等，则它的外接球表面积与内切球表面积之比是 9 其中正确的是 12 （5 分）设函数 2 ( ) |21|f xxx，若1ab ，f（a）f（b） ，则对任意的实数c， 2222 ()()acbc的最小值为 第 2 页（共 14 页） 二、选择题：本大题共二、选择题：本大题共

4、 4 题，每题题，每题 5 分，共分，共 20 分分 13（5 分） 已知函数( )sin()(0f xAxA，0，|) 2 的图象与y轴交于点(0, 3)， 在y轴右边到y轴最近的最高点坐标为(12 ，2)，则不等式( )1f x 的解集是( ) A( 6 k ， 5 ) 6 k，kZ B( 12 k ， 5 ) 6 k，kZ C( 16 k ，) 4 k ，kZ D( 12 k ，) 4 k ，kZ 14 （5 分）已知a，bR，则“0ab ”是“2 ab ba ”的( ) A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 15 （5 分）若22 mn ，则下列结论一

5、定成立的是( ) A 11 mn B|m mn n C()0ln mn D1 m n 16 （5 分）已知抛物线 2 :2(0)C xpy p上一点( ,3)P m到焦点F的距离为 4，直线l过 (0,3)M且与C交于A，B两点，| 5BF ，若|AMBM，则( ) A 2 3 B 3 4 C 2 5 D 3 5 三、解答题：本大题共三、解答题：本大题共 5 小题，共小题，共 76 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17在直三棱柱 111 ABCABC中，90ACB， 1 2BCCC，4AC （1）求异面直线 1 AB与 1 CC所成角的大小；

6、 （2）求直线BC与平面 1 ABC所成角的大小 18某化工厂引进一条先进生产线生产某种化工产品，其生产的总成本y（万元）与年产量 x（吨)之间的函数关系式可以近似地表示为 2 488000 5 x yx，己知此生产线年产量最大 为 230 吨 （1）求年产量为多少吨时，生产每吨产品的平均成本P（年总成本除以年产量）最低，并 求最低成本； （2） 若每吨产品平均出厂价为 40 万元， 且生产的产品全部售完， 那么当年产量为多少吨时， 第 3 页（共 14 页） 年总利润可以获得最大？最大利润是多少？ 19已知函数 33 ( )sincos 22 f xxx（其中0) （1）若函数( )f x的

7、最小正周期为3，求的值，并求函数( )f x的单调递增区间； （2）若2，0，且 3 ( ) 2 f，求的值 20在平面直角坐标系中，已知双曲线 22 :1 45 xy I，A，B分别为I的左，右顶点 （1）以A为圆心的圆与I恰有三个不同的公共点，写出此圆的方程； （2）直线L过点A，与I在第一象限有公共点P，线段AP的垂直平分线过点B，求直线L 的方程； （3）I上是否存在异于A、B点M、N， 使2M AM BM N成立， 若存在， 求出所有M、 N的坐标，若不存在说明理由 21 （1）用分析法证明：123(3)aaaaa （2）已知x，yR，且2xy，求证：1 x y 与 1y x 中至少

8、有一个小于 2 第 4 页（共 14 页） 2020 年上海市高考数学全真模拟试卷（年上海市高考数学全真模拟试卷（1） （） （3 月份）月份） 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、填空题：本题共一、填空题：本题共 12 个小题，满分个小题，满分 54 分，第分，第 1-6 题每题题每题 4 分，第分，第 7-12 题每题题每题 5 分分. 1 （4 分）已知集合 |210Axx ， |01Bxx剟，那么AB等于 1 |0 2 xx 【解答】解：集合 1 |210 | 2 Axxx x ， |01Bxx剟， 1 |0 2 ABxx 故答案为： 1 |0 2 xx 2 （4 分）5 个人站

9、成一排，其中甲，乙不站首、尾的概率为 3 10 ； 【解答】解：5 个人站成一排， 基本事件总数 5 5 120nA， 其中甲，乙不站首、尾包含的基本事件个数 23 33 36mA A， 其中甲，乙不站首、尾的概率 363 12010 m p n 故答案为： 3 10 3 （4 分）若二项式 2 ()nx x 展开式中第四项与第八项的二项式系数相等，则其常数项为 8064 【解答】解：由二项式 2 ()nx x 展开式中第四项与第八项的二项式系数相等，可得 37 nn CC， 10n， 故该二项式的通项公式为 10 2 110 ( 2) rrr r TCx ，令1020r， 求得5r ，可得常

10、数项为 55 10 ( 2)8064C ， 故答案为：8064 4（4 分） 定义在R上的奇函数( )f x满足()(3)fxf x，(2020)2f， 则f（1） 2 【解答】解：根据题意，奇函数( )f x满足()(3)fxf x，则有(3)( )f xf x ， 则有(6)(3)( )f xf xf x ，即( )f x是周期为 6 的周期函数， 则有(2020)(4336 6)fff（4）f （1） ， 则f（1）2 ； 第 5 页（共 14 页） 故答案为：2 5 （4 分）若实数a，b，c满足222 aba b ，2222 abca b c ，则c的最大值是 2 2log 3 【解

11、答】解：由基本不等式得 2 222 2 222 a b abab ，即 2 22 2 222 a b a bab ，所以 24 a b ， 令2a bt ，由2222 abca b c 可得2222 a bca b c ，所以 1 21 11 c t tt 因为4t，所以 4 1 13 t t ，即 4 12 3 c ，所以 22 4 0log23 3 clog 故答案为： 2 2log 3 6 （4 分）已知幂函数( )f x过点(2,8)， 1( ) fx 是它的反函数，则 1 1 ( ) 8 f 1 2 【解答】解：由已知幂函数( )f x过点(2,8)，可得82，解得3， 即幂函数为：

12、 3 ( )f xx， 当 3 1 8 x时， 1 2 x ， 1( ) fx 是它的反函数，由互为反函数的两个函数的定义域和值域相反， 则 1 11 ( ) 82 f ， 故答案为： 1 2 ， 7 （5 分） 2 135(21) lim 2 n n nn 1 2 【解答】解： 2 135(21) lim 2 n n nn 2 (121) 2 lim 2 n nn nn 2 2 1 lim 22 n n nn 故答案为： 1 2 8（5 分） 已知 n a为等差数列， n S为其前n项和， 若 1 1 2 a ， 23 Sa， 则 2 a 1 ， n S 【解答】解：根据 n a为等差数列，

13、 21232 1 2 Saaaa； 32 1 2 daa 第 6 页（共 14 页） 2 11 1 22 a 1(1)11 (1) 2224 n n n Snn n 故答案为：1， 1 (1) 4 n n 9 （5 分）满足不等式|(0,)xAB BAR的实数x的集合叫做A的B邻域，若2ab 的ab邻域是一个关于原点对称的区间，则 14 ab 的取值范围是 19 (, ,) 22 【解答】解：A的B邻域在数轴上表示以A为中心，B为半径的区域， |(2)|22()2xababxab ， 而邻域是一个关于原点对称的区间域，可得202abab 1414 2abbb ， 设 14 ( ) 2 f x

14、xx ，0x 且2x 2222 14(4)(34) ( ) (2)(2) xx fx xxxx 当( )0fx是，解得 4 4 3 x，且2x ， 当( )0fx是，解得 4 3 x 或4x ，且0x ， 函数( )f x在 4 ( 3 ，2)，(2,4)上单调递增，函数( )f x在(,0)， 4 (0, ) 3 ，(4,)上单调递 减， 当4x 时，函数有极大值，即f（4） 11 1 22 ， 当 4 3 x 时，函数有极小值，即 419 ( )1 322 f ， ( )f x的值域为 19 (, ,) 22 故则 14 ab 的取值范围是 19 (, ,) 22 10 （5 分）顶点间的

15、距离为 6，渐近线方程为 3 2 yx 的双曲线的标准方程为 22 1 94 yx 或 22 1 81 9 4 xy 【解答】 解： 由题意26a ，3a 当焦点在x轴上时， 双曲线的渐近线方程为 3 2 yx ， 第 7 页（共 14 页） 3 32 b ， 9 2 b 方程为 22 1 81 9 4 xy ； 当焦点在y轴上时，双曲线的渐近线方程为 3 2 yx ， 33 2b ，2b方程为 22 1 94 yx 故双曲线的标准方程为： 22 1 94 yx 或 22 1 81 9 4 xy 故答案为： 22 1 94 yx 或 22 1 81 9 4 xy 11 （5 分）以下说法： 三

16、条直线两两相交，则它们一定共面 存在两两相交的三个平面可以把空间分成 9 部分 如图是正方体的平面展开图， 则在这个正方体中， 一定有/ /BM平面ADE且平面/ /BDM 平面AFN 四面体ABCD所有的棱长都相等，则它的外接球表面积与内切球表面积之比是 9 其中正确的是 【解答】解：在中，以正方体为载体，从同一顶点出发的三条棱不共面故不正确； 在中，一切豆腐切三刀，最多切 8 块，三个平面最多将空间分成 8 部分，故不正确； 在中，由正方体的平面展开图可得此正方形为ABCDEFMN， 由图可得：由/ /BMAN，且BM 平面ADE，AN 平面ADE， 可得/ /BM平面ADE； 由/ /B

17、DFN，BD平面AFN，FN 平面AFN，可得/ /BD平面AFN， 同理可得/ /BM平面AFN，又BD，BM相交，可得平面/ /BDM平面AFN，故正确； 在中，四面体ABCD所有的棱长都相等，则四面体为正四面体， 该四面体的外接球半径是四面体高的四分之三， 第 8 页（共 14 页） 内切球的半径是四面体高的四分之一，该四面体的外接球与内切球的半径之比为3:1 它的外接球表面积与内切球表面积之比是9:1，命题正确； 故答案为： 12 （5 分）设函数 2 ( ) |21|f xxx，若1ab ，f（a）f（b） ，则对任意的实数c， 2222 ()()acbc的最小值为 10 【解答】

18、解作出函数( )f x的图象， 如图： 可得 2 ( ) |21|f xxx的图象关于直线1x 对称， 且(12)(12)0ff，f（3）( 1)ff（1）2， 由1ab ，且f（a）f（b） ，得 22 21(21)aabb ， 整理得 22 (1)(1)4ab 设12cosa ，12sinb ，0，) 4 ， 2222 ()()acbc的几何意义为点( , )a b与 2 ( c， 2) c的距离的平方， 由0，即点(3,1)，与原点的距离为10， 而点( , )a b与(0)yx x 的距离为 |12cos12sin| 2 d 2 |12sin()| 4 ，其最大值接近2 |12 | 2

19、2， 由1022， 可得 2222 )()acbc的最小值为 10 故答案为：10 第 9 页（共 14 页） 二、选择题：本大题共二、选择题：本大题共 4 题，每题题，每题 5 分，共分，共 20 分分 13（5 分） 已知函数( )sin()(0f xAxA，0，|) 2 的图象与y轴交于点(0, 3)， 在y轴右边到y轴最近的最高点坐标为(12 ，2)，则不等式( )1f x 的解集是( ) A( 6 k ， 5 ) 6 k，kZ B( 12 k ， 5 ) 6 k，kZ C( 16 k ，) 4 k ，kZ D( 12 k ，) 4 k ，kZ 【解答】解：由在y轴右边到y轴最近的最高

20、点坐标为(12 ，2)，可得2A 再根据的图象与y轴交于点(0, 3)，可得2sin3，结合| 2 ， 3 由五点法作图可得 1232 ，求得2，( )2sin(2) 3 f xx 不等式( )1f x ，即 1 sin(2) 32 x ， 5 222 636 kxk ，kz， 求得( 12 xk ，) 4 k ，kZ， 故选：D 14 （5 分）已知a，bR，则“0ab ”是“2 ab ba ”的( ) A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 【解答】解：由2 ab ba ，得： 2 () 0 ab ab ， 故0ab 且ab， 故“0ab “是“2 ab b

21、a ”的必要不充分条件， 故选：B 15 （5 分）若22 mn ，则下列结论一定成立的是( ) 第 10 页（共 14 页） A 11 mn B|m mn n C()0ln mn D1 m n 【解答】 解： 方法一： 由22 mn 得到mn 当0mn时， 由不等式同向可乘性知 22 mn， 即|m mn n； 当0mn时，| 0|m mn n； 当0nm时，0nm ， 由不等式同向可乘性知 22 nm， 故 22 nm ，|m mn n 方法二：由22 mn 得到mn，当1.5m ，1n 时，A不成立，C不成立，D不成立， 故选：B 16 （5 分）已知抛物线 2 :2(0)C xpy p

22、上一点( ,3)P m到焦点F的距离为 4，直线l过 (0,3)M且与C交于A，B两点，| 5BF ，若|AMBM，则( ) A 2 3 B 3 4 C 2 5 D 3 5 【解答】解：由题可知34 2 p ，得1 2 p ，2p， 故抛物线C的方程为 2 4xy | 5BF ，B点的坐标为( 4,4)， 当B点的坐标为(4,4)时，直线l的方程为 1 3 4 yx，与 2 4xy 联立可得 2 120xx， 解得4x 或3x ， A点的坐标为( 3， 9 4 )， |3 |4 A B xAM BMx ， 3 4 ， 同理，当B点的坐标为( 4,4)时， 3 4 ， 故选：B 三、解答题：本大

23、题共三、解答题：本大题共 5 小题，共小题，共 76 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17在直三棱柱 111 ABCABC中，90ACB， 1 2BCCC，4AC （1）求异面直线 1 AB与 1 CC所成角的大小； （2）求直线BC与平面 1 ABC所成角的大小 【解答】解： （1）分别以CA、CB、 1 CC为x、y、z轴，建立空间坐标系如图所示； 第 11 页（共 14 页） 则(0C，0，0)，(4A，0，0)，(0B，2，0)， 1(0 C，0，2)； 1(0 B，2，2)， 1(4 A，0，2)； 所以 1 ( 4AB ，2，2)

24、， 1 (0CC ，0，2)， 所以 1 cosAB， 11 1 11 00416 6|16440046 AB CC CC ABCC ， 所以异面直线 1 AB与 1 C C所成角的大小为 6 arccos 6 ； （2）设平面 1 ABC的法向量为(nx，y，) z，设 1 ( 4AB ，2，2)，( 4AC ，0，0)， 由 1 0 0 n AB n AC ，得 4220 40 xyz x ，化简得 0 0 yz x ，所以法向量(0n ，1，1)； 又(0BC ，2，0)，所以cosBC， 0202 2|04001 1 BC n n BCn ； 所以BC与平面 1 ABC所成角的正弦值为

25、 2 2 ，即直线BC与平面 1 ABC所成角为 4 18某化工厂引进一条先进生产线生产某种化工产品，其生产的总成本y（万元）与年产量 x（吨)之间的函数关系式可以近似地表示为 2 488000 5 x yx，己知此生产线年产量最大 为 230 吨 （1）求年产量为多少吨时，生产每吨产品的平均成本P（年总成本除以年产量）最低，并 求最低成本； （2） 若每吨产品平均出厂价为 40 万元， 且生产的产品全部售完， 那么当年产量为多少吨时， 年总利润可以获得最大？最大利润是多少？ 【解答】解： （1） 2 488000 5 x yx，0230x 80008000 48 280 55 yxx xxx

26、 ，当且仅当200x 时取等号 年产量为 200 吨时，生产每吨产品的平均成本P最低，最低成本为 80（万元） 第 12 页（共 14 页） （2）年总利润 22 2 1 ( )40(488000)888000(220)1680 555 xx f xxxxx 当年产量为 220 吨时，年总利润可以获得最大，最大利润是 1680 万元 19已知函数 33 ( )sincos 22 f xxx（其中0) （1）若函数( )f x的最小正周期为3，求的值，并求函数( )f x的单调递增区间； （2）若2，0，且 3 ( ) 2 f，求的值 【解答】解： （1）函数 33 ( )sincos3sin(

27、) 226 f xxxx ， 函数( )f x的最小正周期为3，即 2 3T 2 3 那么： 2 ( )3sin() 36 f xx ， 由 2 22 2362 kxk 剟，kZ， 得：33 2 kxk 剟 函数( )f x的单调递增区间为3,3 2 kk ，kZ； （2）函数 33 ( )sincos3sin() 226 f xxxx ， 2 ( )3sin(2) 6 f xx ， 3 ( ) 2 f，可得 3 sin(2) 62 0， 13 (2) 666 剟 2 63 或 2 3 解得： 4 或 12 20在平面直角坐标系中，已知双曲线 22 :1 45 xy I，A，B分别为I的左，右

28、顶点 （1）以A为圆心的圆与I恰有三个不同的公共点，写出此圆的方程； （2）直线L过点A，与I在第一象限有公共点P，线段AP的垂直平分线过点B，求直线L 的方程； 第 13 页（共 14 页） （3）I上是否存在异于A、B点M、N， 使2M AM BM N成立， 若存在， 求出所有M、 N的坐标，若不存在说明理由 【解答】解： （1）双曲线 22 :1 45 xy I，( 2,0)A ，(2,0)B， 由题意可得以A为圆心的圆经过B， 则圆的半径4r ，圆的方程为 22 (2)16xy； （2）直线L过点( 2,0)A ，且直线的斜率存在，设直线L的方程为(2)yk x，(0)k ， 联立双曲

29、线方程消去y，可得 2222 (54)1616200kxk xk， 可得 2 2 16 54 AP k xx k ，可得 2 2 108 54 P k x k ， 2 20 (2) 54 P k yk x k ， 可得AP的中点T坐标为 2 2 8 (5 4 k k ， 2 10 ) 54 k k ， 由题意可得 1 TB k k ，即为 2 101 1610 k kk ，解得 65 13 k （负的舍去） ， 则直线L的方程为 65 (2) 13 yx； （3）假设I上存在异于A、B点M、N，使2MAMBMN成立 设 1 (M x， 1) y， 2 (N x， 2) y，由2MAMBMN，

30、可得 21 22xx， 21 2yy ， 将M，N的坐标代入双曲线的方程可得 22 22 1 45 xy ， 即 22 11 (22 )( 2) 1 45 xy ，又 2 2 11 1 45 xy ， 解得 1 2x ， 1 0y ，与B重合，故不存在 21 （1）用分析法证明：123(3)aaaaa （2）已知x，yR，且2xy，求证：1 x y 与 1y x 中至少有一个小于 2 【解答】证明： （1）要证123(3)aaaaa， 即证312(3)aaaaa ， 即证32(3)122 (1)(2)aaa aaaaa ， 也就是证明 22 332aaaa， 即证02 第 14 页（共 14 页） 上式显然成立，故原不等式成立； （2）假设12 x y ，且12 y x ， 因为x，yR， 故12xy ， 12yx ， 得：222xyxy， 整理得：2xy ，这与2xy矛盾， 故假设不成立，即原结论成立