教学目的数列极限教学重点极限性质教学难点无穷小量副知识点课件.ppt

1、教学目的：教学目的：数列极限数列极限教学重点：教学重点：极限性质极限性质教学难点：教学难点：无穷小量无穷小量副知识点副知识点:特殊极限特殊极限知识结构知识结构第二节第二节 数列极限数列极限无穷小量无穷小量无穷小量无穷小量截丈问题截丈问题特殊无穷小量特殊无穷小量数列数列无穷小量性质无穷小量性质几何性质几何性质代数性质代数性质有界性有界性保号性保号性运算封闭性运算封闭性两边夹准则两边夹准则无限逼近无限逼近无穷小量定义无穷小量定义数列极限数列极限数列极限数列极限数列极限数列极限极限定义极限定义特殊极限特殊极限极限性质极限性质几何性质几何性质代数性质代数性质有界性有界性保序性保序性逆保序性逆保序性唯一

2、性唯一性封闭性封闭性两边夹准则两边夹准则无穷小量无穷小量211天天截截后后剩剩第第2212天天截截后后剩剩第第nn21天天截截后后剩剩第第一尺之一尺之日截其半日截其半不竭不竭木棒木棒,万世万世棰棰,截丈问题截丈问题211天截后剩第2212天天截截后后剩剩第第nn21天天截截后后剩剩第第一尺之一尺之日截其半日截其半不竭不竭,万世万世棰棰,21221n210无限逼近无限逼近,数列数列通项通项21n记作记作项项1)越后面的数离越后面的数离0越近越近2)数列的尽头与数列的尽头与0没有任何缝隙没有任何缝隙就是说就是说,不管离不管离0多么近的一个缝隙多么近的一个缝隙,数列必有一项会进入这个缝隙数列必有一项

3、会进入这个缝隙,从而从而这一项后面的全部项都在这个缝隙中这一项后面的全部项都在这个缝隙中项项项项项项数列数列01x2xnx,kx,不管缝隙长度不管缝隙长度 多么小多么小(可以任意小可以任意小)数列总有一项数列总有一项kx在其中在其中从而从而kx后面所有项在其中后面所有项在其中|kx)(|knxn-无限逼近无限逼近0的数列称为无穷小量的数列称为无穷小量无限逼近无限逼近满足上述定义的数列称为无穷小量满足上述定义的数列称为无穷小量|0nxknk有无限逼近的意思用数学语言可表示为无限逼近的意思用数学语言可表示为无穷小量定义无穷小量定义无穷小量一览图无穷小量一览图无穷小量有界性无穷小量有界性|0nxkn

4、k有无穷小量必为有界数列无穷小量必为有界数列lim0nnx，证证:设设由无穷小量定义由无穷小量定义nk故故nx时时,必有界必有界而而nk时时,nx只有有限项只有有限项,必有界必有界所以数列在整个自然数集上有界所以数列在整个自然数集上有界是有界数列是有界数列即即nx无穷小量一览图无穷小量一览图0,0lim)1cxcxnnn则则0,0lim)2cxcxnnn则则只证只证1)成立成立，则，则若若00,cxxcnn的情形的情形下证下证0nxnxcc的的缝缝隙隙间间有有无无数数与与则则在在若若0,00nnxcx 使使于是有于是有矛矛盾盾这这与与nxc 0c只能有只能有无穷小量保号性无穷小量保号性无穷小量

5、一览图无穷小量一览图无穷小量两边夹准则无穷小量两边夹准则证证:lim0nnz(1)(1,2,3)(2)limlim0,nnnnnnnxzynxy,nnnxyz如果数列如果数列满足下列条件满足下列条件:nzlim0nnz那末数列那末数列的极限存在的极限存在,且且limlim0,nnnnyz由无穷小量定义由无穷小量定义110|nknkx 有220|nknky 有取取12max(,),kk k则则0,|nnknkxy 有|故故,nnxy nnnxzy又nnnxzy 即即|nz无穷小量一览图无穷小量一览图特殊无穷小量特殊无穷小量(|1)naa 1(0)n无穷小量一览图无穷小量一览图两个无穷小量的加减乘

6、运算结果仍是无穷小量两个无穷小量的加减乘运算结果仍是无穷小量为无穷小量为无穷小量设设,nnyx是无穷小量是无穷小量则则,nnnnnnyxyxyx这种运算不变性称为运算封闭性，即这种运算不变性称为运算封闭性，即无穷小量关于加减乘运算是封闭的无穷小量关于加减乘运算是封闭的又如两个任意正数之和与积是任意正数又如两个任意正数之和与积是任意正数我们说任意正数关于加乘运算是封闭的我们说任意正数关于加乘运算是封闭的无穷小量运算封闭性无穷小量运算封闭性为无穷小量为无穷小量设设,nnyx是无穷小量是无穷小量则则,nnnnnnyxyxyx证：证：由定义，由定义，|0nxknk有|0nyknk有有,为无穷小量为无穷

7、小量因为因为nnyx 2|nnnnyxyx2|nnnnyxyx是是任任意意正正数数 是无穷小量是无穷小量,nnnnnnyxyxyx也也是是任任意意正正数数，22 无穷小量运算封闭性无穷小量运算封闭性证：证：由定义，由定义，|0nyknk有有,为无穷小量为无穷小量ny Myxyxnnnn|是是任任意意正正数数 是无穷小量是无穷小量nnyx也也是是任任意意正正数数 M为无穷小量为无穷小量为有界数列为有界数列设设,nnyx是无穷小量是无穷小量则则nnyx为有界数列为有界数列nxMxMn|0无穷小量运算封闭性无穷小量运算封闭性无穷小量一览图无穷小量一览图使使和和无无穷穷小小量量若若存存在在数数为为数数

8、列列设设,nnyaxaxxayaxnnnnnlim,记记做做的的极极限限为为称称也称数列收敛于也称数列收敛于a，不收敛的数列就称为发散的，不收敛的数列就称为发散的数列极限定义性数列极限定义性 数列极限一览图数列极限一览图极限关于加减乘运算是封闭极限关于加减乘运算是封闭的的，设设axnnlim，bynnlim，）（则则bayxnnnlimabyxnnnlim证：证：，axnnlim，bynnlimnnnnnnsbyraxsr，使使有有无无穷穷小小量量）（）（nnnnsbrayx）（）（nnsrba)(nnnnsbrayx)(nnnnsrasbrab，）（bayxnnnlimabyxnnnlim无

9、穷小量无穷小量数列极限封闭性数列极限封闭性 倒数列极限倒数列极限,baxn有两个不相等的极限有两个不相等的极限反设反设nnnnnsbraxsr使使则有无穷小量则有无穷小量若数列有极限，则极限是唯一的若数列有极限，则极限是唯一的证：证：nnrsba上式左边为非零常数，右边为无穷小量上式左边为非零常数，右边为无穷小量等式不可能成立，故数列极限必须是唯一的等式不可能成立，故数列极限必须是唯一的极限唯一性极限唯一性数列极限一览图数列极限一览图证证,limlimnnnnnnxyxy若则byaxnnnnlim,lim设设,nnnnnnxarybs r s则为无穷小,nnnnxyarbs,nnabsr由无穷

10、小保号性0balimlimnnnnxy极限保序性极限保序性数列极限一览图数列极限一览图证证:由极限的单调性由极限的单调性,nnnzxy准则准则 如果数列如果数列nnyx,及及nz满足下列条件满足下列条件:,lim,lim)2()3,2,1()1(azaynzxynnnnnnn 那末数列那末数列nx的极限存在的极限存在,且且axnn lim.nnnnnnzxylimlimlimayxnnnnlimlimaxannlimaxnnlim极限两边夹准则极限两边夹准则数列极限一览图数列极限一览图为无穷小量为无穷小量则则收敛于收敛于设数列设数列,axaxnn|0axknkn有有|axaxknnn有有当当收

11、敛数列必为有界数列收敛数列必为有界数列证：证：|axknn时有时有当当是有界的是有界的时时当当nxkn 一一定定是是有有界界的的时时，数数列列只只有有有有限限项项，而而当当kn 整整个个数数列列是是有有界界的的极限有界性极限有界性数列极限一览图数列极限一览图有界有界则则设设1,0,0,limnnnnxaxax整整个个是是有有界界的的1nx axaknn时时当当0 a足足够够小小，可可以以保保证证让让是有界的是有界的此时此时时时当当1,111,nnxaxakn 是是有有界界的的时时只只有有有有限限个个正正数数项项，此此时时，又又当当1nnxxkn 0,limaaxnn不防设不防设|0axknkn

12、有有倒数列极限倒数列极限数列极限一览图数列极限一览图商的极限商的极限axaxaxnnnnn11lim,0,0,lim则则设设axnn11limMxMxnn|1|0,1使使有有是是有有界界的的且且是是任任意意的的是是任任意意的的，|1aM|1|1|11|axaxaxaxaxnnnnn|1aM 0,0,limaxaxnnn|0axknkn有有abxyaxaxbnnnnnnnlim,0,0,lim,lim则则设设则则，不难得到除法极限法，不难得到除法极限法因为因为nnnnxyxy1数列极限一览图数列极限一览图极限逆保序性极限逆保序性证证limlim,nnnnnnxynxy若则充分大时byaxnnnn

13、lim,lim设设,nnnnnnxarybsr s则为无穷小()()nnnnxyarbsnnrs-为无穷小量0ab即limlimnnnnxy而()()nnabrs,()(nnnabrsa b当 充分大时-)的符号由-决定,()(0nnnabrs当 充分大时-)0,nnnnxyxy即,n当 充分大时数列极限一览图数列极限一览图特殊极限特殊极限1lim 1nxen,0|nnxmxm是有界的 如果存在使1,nnnxnxx是单调递增的 如果任意自然数 都有1,nnnxnxx是单调递减的 如果任意自然数 都有单调递增数列和单调递减数列统称为单调数列单调有界数列必有极限单调有界数列必有极限利用结论利用结论可以得到可以得到数列极限一览图数列极限一览图例例1 1).21(lim222nnnnn 求求解解是无限多个无穷小之和是无限多个无穷小之和时时,n222221lim)21(limnnnnnnnn 2)1(21limnnnn )11(21limnn .21 先变形再求极限先变形再求极限.例题例题