2020年山东省济宁市高考数学模拟试卷（3月份）.docx

1、 第 1 页（共 20 页） 2020 年山东省济宁市高考数学模拟试卷（年山东省济宁市高考数学模拟试卷（3 月份）月份） 一、单项选择题：本题共一、单项选择题：本题共 8 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 40 分分.在每小题给出的四个选项中，只有在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的一项是符合题目要求的. 1 （5 分）已知集合 2 |20Ax xx，集合 |2Bx yx，则(AB ) A2，) B(2,) C1，) D(1,) 2 （5 分）已知复数z在复平面上对应的点为( 1,1)，则( ) A1z 是实数 B1z 是纯虚数 Czi是实数 Dzi是纯虚数 3 （5

2、 分） “0xy”是“(1)(1)ln xln y”成立的( ) A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 4 （5 分）甲，乙，丙三人报考志愿，有A，B，C三所高校可供选择，每人限报一所，则 每一所学校都有人报考的概率为( ) A 1 3 B 1 9 C 1 27 D 2 9 5 （5 分）下列说法正确的是( ) A回归直线 ybxa至少经过其样本数据 1 (x， 1) y， 2 (x， 2) y，( n x，) n y中的一 个点 B从独立性检验可知有99%的把握认为吃地沟油与患胃肠癌有关系时，我们就说如果 某人吃地沟油，那么他有99%可能患胃肠癌 C在残差图

3、中，残差点分布的带状区域的宽度越狭窄，其模型拟合的精度越高 D 将一组数据的每一个数据都加上或减去同一个常数后， 其方差也要加上或减去这个常 数 6 （5 分）过点(2, 3)的直线将圆 22 (3)25xy分成两段圆弧，当两段圆弧中的劣弧所 对圆心角最小时，该直线的斜率为( ) A3 B3 C 3 3 D 3 3 7 （5 分）已知实数a，b满足0ab ，则 2 aa abab 的最大值为( ) A22 B22 C32 2 D32 2 8 （5 分）已知 111 20lnxxy， 22 242 20xyln，记 22 1212 ()()Mxxyy， 第 2 页（共 20 页） 则( ) AM

4、的最小值为 2 5 BM的最小值为 4 5 CM的最小值为 8 5 DM的最小值为12 5 二、多项选择题：本题共二、多项选择题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分.在每小题给出的选项中，有多项符在每小题给出的选项中，有多项符 合题目要求合题目要求.全部选对的得全部选对的得 5 分，部分选对的得分，部分选对的得 3 分，有选错的得分，有选错的得 0 分分. 9 （5 分）已知函数( )2sin(2)(0)f xx，若将函数( )f x的图象向右平移 6 个单位 后关于y轴对称，则下列结论中正确的是( ) A 5 6 B(,0) 12 是( )f x图象的一个对称

5、中心 C( )2f D 6 x 是( )f x图象的一条对称轴 10 （5 分）在增减算法统宗中有这样一则故事： “三百七十八里关，初行健步不为难； 次日脚痛减一半，如此六日过其关则下列说法正确的是( ) A此人第二天走了九十六里路 B此人第一天走的路程比后五天走的路程多六里 C此人第三天走的路程占全程的 1 8 D此人后三天共走了 42 里路 11 （5 分）设抛物线 2 :2(0)C ypx p的焦点为F，准线为l，A为C上一点，以F为圆 心，|FA为半径的圆交l于B，D两点若90ABD，且ABF的面积为9 3，则( ) A| 3BF BABF是等边三角形 C点F到准线的距离为 3 D抛物

6、线C的方程为 2 6yx 12 （5 分）设函数 |,0 ( ) (1),0 x lnx x f x exx ，若函数( )( )g xf xb有三个零点，则实数b可取 的值可能是( ) A0 B 1 2 C1 D2 第 3 页（共 20 页） 三、填空题：本题共三、填空题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分. 13 （5 分） 5 1 (1)(1)x x 的展开式中，x的系数为 （用数字作答） 14 （5 分）如图，在边长为 4 的菱形ABCD中，60BAD，E为CD的中点，则AE BD 的值为 15（5 分） 设双曲线 22 22 :1(0,0) xy Ca

7、b ab 的左焦点为F， 直线43200xy过点F且 与双曲线C在第二象限的交点为P，O为原点，| |OPOF，则双曲线C的右焦点的坐标 为 ，离心率为 16 （5 分） 如图所示， 某几何体由底面半径和高均为 1 的圆柱与半径为 1 的半球对接而成， 在该封闭几何体内部放入一个小圆柱体，且小圆柱体的上下底面均与外层圆柱的底面平行， 则小圆柱体积的最大值为 四、解答题：本题共四、解答题：本题共 6 小题，共小题，共 70 分分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17 （10 分）现给出两个条件：232 coscbaB，(23 )cos3 cosbc

8、AaC从中 选出一个条件补充在下面的问题中，并以此为依据求解问题： 在ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C所对的边， ， （）求A； （）若31a ，求ABC面积的最大值 18（12 分） 已知数列 n a为公差不为 0 的等差数列， 且 1 a， 3 a， 9 a成等比数列， 24 6aa （）求数列 n a的通项 n a； （）设 (21) cos 3 n nn a ba ，求数列 n b的前 2020 项的和 2020 S 19 （12 分） 如图， 在三棱锥PABCD中，PAC为等腰直角三角形，PAPC，2AC ， 第 4 页（共 20 页） ABC为正三角形，D为AC的中点 （）

9、证明：平面PDB 平面PAC； （） 若二面角PACB的平面角为锐角， 且三棱锥PABC的体积为 3 6 ， 求直线PA与 平面PCB所成角的正弦值 20 （12 分）公元 2020 年春，我国湖北武汉出现了新型冠状病毒，人感染后会出现发热、 咳嗽、气促和呼吸困难等，严重的可导致肺炎甚至危及生命为了尽快遏制住病毒的传播， 我国科研人员，在研究新型冠状病毒某种疫苗的过程中，利用小白鼠进行科学试验为了研 究小白鼠连续接种该疫苗后出现Z症状的情况，决定对小白鼠进行做接种试验该试验的 设计为： 对参加试验的每只小白鼠每天接种一次；连续接种三天为一个接种周期； 试验共进行 3 个周期 已知每只小白鼠接种

10、后当天出现Z症状的概率均为 1 4 ，假设每次接种后当天是否出现Z症 状与上次接种无关 （）若某只小白鼠出现Z症状即对其终止试验，求一只小白鼠至多能参加一个接种周期 试验的概率； （） 若某只小白鼠在一个接种周期内出现 2 次或 3 次Z症状， 则在这个接种周期结束后， 对其终止试验设一只小白鼠参加的接种周期数为X，求X的分布列及数学期望 21 （12 分）已知函数( )(1)() x f xax eaR （）求函数( )f x的单调区间； （）是否存在一个正实数a，满足当xR时，( ) 1f x 恒成立若存在，求出a的值；若 不存在，请说明理由 22（12 分） 已知椭圆 22 1 22 :

11、1(0) xy Eab ab 与抛物线 2 2: 4Eyx在第一象限的交点为P， 椭圆 1 E的左、右焦点分别为 1 F， 2 F，其中 2 F也是抛物线 2 E的焦点，且 2 5 | 3 PF 第 5 页（共 20 页） （）求椭圆 1 E的方程； （）过 2 F的直线l（不与x轴重合）交椭圆 1 E于M、N两点，点A为椭圆 1 E的左顶点， 直线AM、AN分别交直线4x 于点B、C，求证： 2 BF C为定值 第 6 页（共 20 页） 2020 年山东省济宁市高考数学模拟试卷（年山东省济宁市高考数学模拟试卷（3 月份）月份） 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、单项选择题：本题共一

12、、单项选择题：本题共 8 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 40 分分.在每小题给出的四个选项中，只有在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的一项是符合题目要求的. 1 （5 分）已知集合 2 |20Ax xx，集合 |2Bx yx，则(AB ) A2，) B(2,) C1，) D(1,) 【解答】解：集合 2 |20 |1Ax xxx x 或2x ，集合 |2 |2Bx yxx x， |2ABx x， 故选：B 2 （5 分）已知复数z在复平面上对应的点为( 1,1)，则( ) A1z 是实数 B1z 是纯虚数 Czi是实数 Dzi是纯虚数 【解答】解：由题意可得，1z

13、i ，则1zi 为纯虚数，12zii 是虚数，但不是 纯虚数， 故选：B 3 （5 分） “0xy”是“(1)(1)ln xln y”成立的( ) A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 【解答】解：由0xy，得110xy ，则(1)(1)ln xln y， 反之，由(1)(1)ln xln y，得 10 10 11 x y xy ，即1xy “0xy”是“(1)(1)ln xln y”成立的充分不必要条件 故选：A 4 （5 分）甲，乙，丙三人报考志愿，有A，B，C三所高校可供选择，每人限报一所，则 每一所学校都有人报考的概率为( ) A 1 3 B 1 9

14、C 1 27 D 2 9 【解答】解：甲，乙，丙三人报考志愿，有A，B，C三所高校可供选择，每人限报一所， 第 7 页（共 20 页） 基本事件个数 3 327n ， 每一所学校都有人报考包含的基本个数 3 3 6mA， 每一所学校都有人报考的概率为 62 279 mm p nn 故选：D 5 （5 分）下列说法正确的是( ) A回归直线 ybxa至少经过其样本数据 1 (x， 1) y， 2 (x， 2) y，( n x，) n y中的一 个点 B从独立性检验可知有99%的把握认为吃地沟油与患胃肠癌有关系时，我们就说如果 某人吃地沟油，那么他有99%可能患胃肠癌 C在残差图中，残差点分布的带

15、状区域的宽度越狭窄，其模型拟合的精度越高 D 将一组数据的每一个数据都加上或减去同一个常数后， 其方差也要加上或减去这个常 数 【解答】解：对于选项A：回归直线 ybxa不一定经过其样本数据 1 (x， 1) y， 2 (x， 2) y， ，( n x，) n y中的一个点，故错误 对于选项B：从独立性检验可知有99%的把握认为吃地沟油与患胃肠癌有关系时，我们就 说如果某人吃地沟油，那么他有99%可能患胃肠癌，故错误 对于选项C：在残差图中，残差点分布的带状区域的宽度越狭窄，其模型拟合的精度越高， 正确 对于选项D： 将一组数据的每一个数据都加上或减去同一个常数后， 其方差还是这个常数， 故错

16、误 故选：C 6 （5 分）过点(2, 3)的直线将圆 22 (3)25xy分成两段圆弧，当两段圆弧中的劣弧所 对圆心角最小时，该直线的斜率为( ) A3 B3 C 3 3 D 3 3 【解答】解：如图所示， 设圆心(3,0)C，(2, 3)则当CPl时，劣弧所对的圆心角最小 第 8 页（共 20 页） 3 3 32 PC k ，1 CPl kk ， 3 3 l k 直线的斜率为 3 3 故选：D 7 （5 分）已知实数a，b满足0ab ，则 2 aa abab 的最大值为( ) A22 B22 C32 2 D32 2 【解答】解：0ab ， 则 22 (2)11 32 2 2 2()(2 )

17、322 23 3 aaa ababab ab ababab abaabb ba ， 当且仅当 2ab ba 时取等号，此时取得最大值为32 2 故选：C 8 （5 分）已知 111 20lnxxy， 22 242 20xyln，记 22 1212 ()()Mxxyy， 则( ) AM的最小值为 2 5 BM的最小值为 4 5 CM的最小值为 8 5 DM的最小值为12 5 【解答】解：设 1 (A x， 1) y， 2 (B x， 2) y， 点A在函数2ylnxx的图象上，点B在直线242 20xyln上， 22 1212 ()()Mxxyy的 最 小 值 转 化 为 函 数2yl n xx

18、的 图 象 上 的 点 与 直 线 24220xyl n上点距离最小值的平方 第 9 页（共 20 页） 由2ylnxx，得 1 1y x ，与直线242 20xyln平行的直线的斜率为 1 2 k 令 11 1 2x ，得2x ，则切点坐标为(2,2)ln， 切点(2,2)ln到直线242 20xyln的距离 |22 242 2|2 5 55 lnln d 即 22 1212 ()()Mxxyy的最小值为 4 5 故选：B 二、多项选择题：本题共二、多项选择题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分.在每小题给出的选项中，有多项符在每小题给出的选项中，有多项符 合

19、题目要求合题目要求.全部选对的得全部选对的得 5 分，部分选对的得分，部分选对的得 3 分，有选错的得分，有选错的得 0 分分. 9 （5 分）已知函数( )2sin(2)(0)f xx，若将函数( )f x的图象向右平移 6 个单位 后关于y轴对称，则下列结论中正确的是( ) A 5 6 B(,0) 12 是( )f x图象的一个对称中心 C( )2f D 6 x 是( )f x图象的一条对称轴 【解答】解：( )2sin(2)f xx向右平移 6 得2sin2()2sin(2) 63 yxx ， 2sin(2) 3 yx 的图象关于y轴对称，所以 32 k ，kZ， 5 6 k ，kZ又0

20、，0k， 5 6 5 ( )2sin(2) 6 f xx ()0 12 f ()2 6 f ， 故选：ABD 10 （5 分）在增减算法统宗中有这样一则故事： “三百七十八里关，初行健步不为难； 次日脚痛减一半，如此六日过其关则下列说法正确的是( ) A此人第二天走了九十六里路 B此人第一天走的路程比后五天走的路程多六里 C此人第三天走的路程占全程的 1 8 D此人后三天共走了 42 里路 第 10 页（共 20 页） 【解答】解：设此人第n天走 n a里路，则 n a是首项为 1 a，公比为 1 2 q 的等比数列， 由等比数列前n项和公式得 1 6 6 1 (1) 2 378 1 1 2

21、a S ，解得 1 192a ， 在A中， 2 1 19296 2 a ，此人第二天走了九十六里路，故A正确； 在B中，378192186，1921866，此人第一天走的路程比后五天走的路程多六里， 故B正确； 在C中， 3 1 19248 4 a ， 481 3788 ，故C错误； 在D中， 456 111 192()42 81632 aaa，故D正确 故选：ABD 11 （5 分）设抛物线 2 :2(0)C ypx p的焦点为F，准线为l，A为C上一点，以F为圆 心，|FA为半径的圆交l于B，D两点若90ABD，且ABF的面积为9 3，则( ) A| 3BF BABF是等边三角形 C点F到

22、准线的距离为 3 D抛物线C的方程为 2 6yx 【解答】解：因为|FA为半径的圆交l于B，D两点，所以FAFB，若90ABD可得 FAAB，所以可得ABF为等边三角形，所以B正确； 过F作FCAB交于C，则C为AB的中点，C的横坐标为 2 p ，B的横坐标为 2 p ，所以A 的横坐标为： 3 2 p ，代入抛物线可得 22 3yp，|3 A yp， ABF的面积为9 3，即 113 ()|()39 3 2222 ABA pp xxyp，解得：3p ， 所以抛物线的方程为： 2 6yx，所以D正确 焦点坐标为： 3 ( 2 ，0)，所以焦点到准线的距离为： 3 23 2 ，所以C正确； 此时

23、A的坐标： 9 2 ，所以 93 6 22 BFAFAB，所以A不正确， 故选：BCD 第 11 页（共 20 页） 12 （5 分）设函数 |,0 ( ) (1),0 x lnx x f x exx ，若函数( )( )g xf xb有三个零点，则实数b可取 的值可能是( ) A0 B 1 2 C1 D2 【解答】解：函数( )( )g xf xb有三个零点，则函数( )( )0g xf xb，即( )f xb有三 个根， 当0x时，( )(1) x f xex，则( )(1)(2) xxx fxexeex， 由( )0fx得20x ，即2x ，此时( )f x为减函数， 由( )0fx得2

24、0x ，即20x ，此时( )f x为增函数， 即当2x 时，( )f x取得极小值 2 1 ( 2)f e ， 作出( )f x的图象如图： 要使( )f xb有三个根， 则01b ， 故选：BC 三、填空题：本题共三、填空题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分. 第 12 页（共 20 页） 13 （5 分） 5 1 (1)(1)x x 的展开式中，x的系数为 5 （用数字作答） 【解答】解： 531 52 222 11 (1)(1)(1)(5101051)xxxxxx xx ， 故展开式中，x的系数为5105 ， 故答案为：5 14 （5 分）如图，在边长

25、为 4 的菱形ABCD中，60BAD，E为CD的中点，则AE BD 的值为 4 【解答】解：E为CD的中点， 11 22 AEADDEADDEADAB， BDADAB， 22111 () () 222 AE BDADABADABADABAD AB， 边长为 4 的菱形ABCD中，60BAD， 0 1 | |cos?60448 2 AD ABADAB ， 22 11 44816844 22 AE BD 故答案为：4 15（5 分） 设双曲线 22 22 :1(0,0) xy Cab ab 的左焦点为F， 直线43200xy过点F且 与双曲线C在第二象限的交点为P，O为原点，| |OPOF，则双曲

26、线C的右焦点的坐标 为 (5,0) ，离心率为 【解答】解：如图，双曲线 22 22 :1(0 xy Ca ab ，0)(0ba，0)b 的右焦点为N | | |OPOFONc，则PFN是以FN为斜边的直角三角形， 直线43200xy过点F，5c ， 则双曲线C的右焦点的坐标为(5,0) 在Rt PFN中，PFPN， 4 3 PF k， 4 tan 3 PFN，10FN 8PN，6PF ，则22a ，1a ， 第 13 页（共 20 页） 则C的离心率为5 c e a ， 故答案为：(5,0)，5 16 （5 分） 如图所示， 某几何体由底面半径和高均为 1 的圆柱与半径为 1 的半球对接而成

27、， 在该封闭几何体内部放入一个小圆柱体，且小圆柱体的上下底面均与外层圆柱的底面平行， 则小圆柱体积的最大值为 32 27 【解答】解：设小圆柱体底面半径为cos，则高为1sin，(0,) 2 小圆柱体积 2 (cos ) (1sin )V， 设sint，(0,1)t，则 32 (1)Vttt ， ( 31)(1)Vtt， 1 3 t 时，小圆柱体积的最大值为 32 27 ， 故答案为： 32 27 四、解答题：本题共四、解答题：本题共 6 小题，共小题，共 70 分分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 第 14 页（共 20 页） 17 （10 分

28、）现给出两个条件：232 coscbaB，(23 )cos3 cosbcAaC从中 选出一个条件补充在下面的问题中，并以此为依据求解问题： 在ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C所对的边， ， （）求A； （）若31a ，求ABC面积的最大值 【解答】解：选择条件：232 coscbaB， （）由余弦定理可得 222 232 cos2 2 acb cbaBa ac ， 整理可得 222 3cbabc，可得 222 33 cos 222 bcabc A bcbc ， (0, )A， 6 A （）31a ， 6 A ， 由余弦定理 222 2cosabcbcA，可得 222 3 ( 31)2

29、2 bcbc， 22 42 3323bcbcbcbc ，可得2bc， 1111 sin2 2222 ABC SbcA ，即ABC面积的最大值为 1 2 选择条件：(23 )cos3 cosbcAaC （）由题意可得2 cos3 cos3 cosbAaCcA， 2sincos3(sincossincos)3sin()3sinBAACCAACB， sin0B ， 可得 3 cos 2 A， (0, )A， 6 A （）31a ， 6 A ， 由余弦定理 222 2cosabcbcA，可得 222 3 ( 31)2 2 bcbc， 22 42 3323bcbcbcbc ，可得2bc， 第 15 页（

30、共 20 页） 1111 sin2 2222 ABC SbcA ，即ABC面积的最大值为 1 2 18（12 分） 已知数列 n a为公差不为 0 的等差数列， 且 1 a， 3 a， 9 a成等比数列， 24 6aa （）求数列 n a的通项 n a； （）设 (21) cos 3 n nn a ba ，求数列 n b的前 2020 项的和 2020 S 【解答】解： （）设数列 n a为公差d不为 0 的等差数列， 1 a， 3 a， 9 a成等比数列， 可得 2 319 aa a，即 2 111 (2 )(8 )ada ad，化为 1 da， 24 6aa，即为 1 246ad， 解方程

31、可得 1 1da，可得11 n ann ，*nN； （） (21)(21) coscos 33 n nn an ban ， 由 (21) cos 3 n 的最小正周期为 3， 可得 n b的每隔 3 项均为等差数列，公差分别为 3， 3 2 ， 3 2 ， 且前三项为1，1， 3 2 ，且2020673 31， 则 2020 113313 1 673673 6723(1 673673 672)(673673 672)2020 222222 S 2021 2 19 （12 分） 如图， 在三棱锥PABCD中，PAC为等腰直角三角形，PAPC，2AC ， ABC为正三角形，D为AC的中点 （）证明

32、：平面PDB 平面PAC； （） 若二面角PACB的平面角为锐角， 且三棱锥PABC的体积为 3 6 ， 求直线PA与 平面PCB所成角的正弦值 第 16 页（共 20 页） 【解答】解： （）证明：PAPC，D为AC的中点， ACPD， 又ABC为等边三角形，BABC， ACBD， 又BDPDD，且都在平面PDB内， AC平面PDB， 又AC在平面PAC内， 平面PDB 平面PAC； （）由（）知点P在平面ABC内的射影O在直线BD上，又二面角PACB的平面 角为锐角， O在射线DB上， 313 43, 436 ABCP ABCABC SVSPO ， 1 2 PO ， 又1PD ， 3 2

33、OD ，即O为BD的中点，取AB中点E，连接OE，则/ /OEAD， OE平面POB， OE，OB，OP两两互相垂直， 以O为坐标原点，OE，OB，OP所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直 角坐标系， 第 17 页（共 20 页） 则 3331 (0,0,0), (0,0), (1,0),( 1,0), (0,0, ) 2222 OBACP ， 31 (0,),( 1,3,0) 22 PBBC ， 设平面PCB的一个法向量为( , , )nx y z，则 31 0 22 30 n PByz n BCxy ，可取(3,1, 3)n ， 又 31 (1,) 22 PA， 设 直 线P

34、A与 平 面P C B所 成 角 为， 则 234 2 s i n|c o s,| 772 n PA 20 （12 分）公元 2020 年春，我国湖北武汉出现了新型冠状病毒，人感染后会出现发热、 咳嗽、气促和呼吸困难等，严重的可导致肺炎甚至危及生命为了尽快遏制住病毒的传播， 我国科研人员，在研究新型冠状病毒某种疫苗的过程中，利用小白鼠进行科学试验为了研 究小白鼠连续接种该疫苗后出现Z症状的情况，决定对小白鼠进行做接种试验该试验的 设计为： 对参加试验的每只小白鼠每天接种一次；连续接种三天为一个接种周期； 试验共进行 3 个周期 已知每只小白鼠接种后当天出现Z症状的概率均为 1 4 ，假设每次接

35、种后当天是否出现Z症 状与上次接种无关 （）若某只小白鼠出现Z症状即对其终止试验，求一只小白鼠至多能参加一个接种周期 试验的概率； 第 18 页（共 20 页） （） 若某只小白鼠在一个接种周期内出现 2 次或 3 次Z症状， 则在这个接种周期结束后， 对其终止试验设一只小白鼠参加的接种周期数为X，求X的分布列及数学期望 【解答】解： （）连续接种三天为一个接种周期，每只小白鼠接种后当天出现Z症状的概 率均为 1 4 ， 假设每次接种后当天是否出现Z症状与上次接种无关 若某只小白鼠出现Z症状即对其终止试验， 由相互独立事件概率乘法公式和互斥事件概率加法公式，得： 一只小白鼠至多能参加一个接种周

36、期试验的概率为： 1 13133137 44444464 P （）随机变量1，2，3，设事件C为“在一个接种周期内出现 2 次或 3 次Z症状” ， (1)P XP（C） 2233 33 1315 ( ) ( )( ) 44432 CC， (2)1P XP（C） P（C） 55135 (1) 32321024 ， (3)1P XP（C）1P（C） 55729 1(1)(1) 1 32321024 ， 所以X的分布列为： 1 2 3 P 5 32 135 1024 729 1024 X的数学期望 51357292617 ()123 32102410241024 E X 21 （12 分）已知函数

37、( )(1)() x f xax eaR （）求函数( )f x的单调区间； （）是否存在一个正实数a，满足当xR时，( ) 1f x 恒成立若存在，求出a的值；若 不存在，请说明理由 【解答】解：( )( )(1)(1) xxx I fxaeax eaax e 0a 时，( )0 x fxe，此时函数( )f x在R上单调递增 0a 时， 1 ( )() x a fxa xe a ， 0a时，函数( )f x在 1 (,) a a 上单调递增，在 1 ( a a ，)上单调递减 第 19 页（共 20 页） 0a 时，函数( )f x在 1 (,) a a 上单调递减，在 1 ( a a ，

38、)上单调递增 ()II假设存在一个正实数a，满足当xR时，( ) 1f x 恒成立 即 1 10 x ax e 恒成立，当xR时 令 1 ( )1 x g xax e ， 1 ( ) x g xa e ，在R上单调递减 令 1 ( )0 x g xa e ，解得 1 x a e ，xlna 则xlna 时，函数( )g x取得极大值即最大值 ()1glnaalnaah （a） ， h（a）0lna，解得1a 1a时，h（a）取得极小值即最小值因此只有1a 时，()1glnaalnaah （a） 0，恒成立 存在一个正实数1a ，满足当xR时，( ) 1f x 恒成立 22（12 分） 已知椭圆

39、 22 1 22 :1(0) xy Eab ab 与抛物线 2 2: 4Eyx在第一象限的交点为P， 椭圆 1 E的左、右焦点分别为 1 F， 2 F，其中 2 F也是抛物线 2 E的焦点，且 2 5 | 3 PF （）求椭圆 1 E的方程； （）过 2 F的直线l（不与x轴重合）交椭圆 1 E于M、N两点，点A为椭圆 1 E的左顶点， 直线AM、AN分别交直线4x 于点B、C，求证： 2 BF C为定值 【解答】解：( ) I抛物线 2 4yx的焦点为(1,0)， 2 5 |1 3 P PFx ， 2 3 P x ， 所以 22 2 6,( ,6) 33 3 P yP， 又 2(1,0) F

40、， 1( 1,0) F ， 所以 12 75 |42 ,2 33 PFPFa a， 又1c ， 2 3b ， 所以椭圆 1 E的方程 22 1 43 xy ； ()II设 1 (M x， 1) y， 2 (N x， 2) y，(4,) B By，(4,) C Cy， 第 20 页（共 20 页） 当直线l与x轴垂直时， 易得(4,3)B，(4, 3)C或(4, 3)B，(4,3)C， 不妨设(4,3)B，(4, 3)C， 所以 22 (3,3),(3, 3)F BF C， 有 22 990F B F C ，得 2 2 BF C ， 当直线l与x轴不垂直，设(1)yk x， 由 22 (1) 1

41、 43 yk x xy ，消去y得， 2222 (34)84120kxk xk， 所以 2 12 2 8 34 k xx k ， 2 12 2 412 34 k x x k ， 由A，M，B共线，得 11 11 006 , 2422 B B yyy y xx ，同理 2 2 6 2 c y y x ， 所以 12 22 12 36 99 (2)(2) BC y y F B F Cy y xx 22 1212122 369(2)(2)36(1)(1)3636(1)y yxxkxxkx 222 1212 (369)(1836)()3636kx xkxxk 2222 2222 2222 41284128 (369)(1836)(1836)36360 34343434 kkkk kkkk kkkk ， 故 22 F BF C， 综上， 2 2 BF C