2020年山东省高考数学全真模拟试卷（4）（2月份）.docx

1、 第 1 页（共 22 页） 2020 年山东省高考数学全真模拟试卷（年山东省高考数学全真模拟试卷（4） （） （2 月份）月份） 一、单项选择题：本题共一、单项选择题：本题共 8 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 40 分在每小题给出的四个选项中，只分在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的有一项是符合题目要求的 1 （5 分） 已知集合 2 |1Ay yx，xR， 集合 2 |1By yx ，xR， 则(AB ) A(0,1) B1 C D0 2 （5 分）复数 2 13 z i （其中i为虚数单位）在复平面内对应的点位于( ) A第一象限 B第二象限 C第三象限 D

2、第四象限 3 （5 分）已知命题:pR，使得sin2cos3；命题:(0,) 2 qx ，sinxx，则 下列判断正确的是( ) Ap为真 Bq为假 Cpq为真 Dpq为假 4 （5 分）若向量a与b满足()aba，且| 1a ，| 2b ，则向量a在b方向上的投影为 ( ) A3 B 1 2 C1 D 3 3 5 （5 分）当1a 时，在同一坐标系中，函数 x ya与logayx的图象为( ) A B 第 2 页（共 22 页） C D 6（5分） 如图， 正方体 1111 ABCDABC D的棱长为1， 线段 11 AC上有两个动点E，F， 且 1 2 EF ； 则下列结论错误的是( )

3、ABDCE B/ /EF平面ABCD C三棱锥EFBC的体积为定值 DBEF的面积与CEF的面积相等 7 （5 分） 直线30xy分别与x轴，y轴交于A，B两点， 点P在圆 22 (1)2xy上， 则ABP面积的取值范围是( ) A2，6 B3，9 C 2 , 4 2 D 2 , 3 2 8 （5 分）已知双曲线： 22 22 1( ,0) xy a b ab ，点P的坐标为( 1,2)，斜率为 1 8 的直线与双 曲线的左右两支分别交于A，B两点，直线AP交双曲线于另一点C，直线BP交双曲线于 另一点D当直线CD的斜率为 1 8 时，此双曲线的离心率为( ) 第 3 页（共 22 页） A

4、6 2 B 3 2 C 5 2 D 5 2 二、多项选择题：本题共二、多项选择题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分在每小题给出的选项中，有多项分在每小题给出的选项中，有多项 符合题目要求全部选对的得符合题目要求全部选对的得 5 分，部分选对的得分，部分选对的得 3 分，有选错的得分，有选错的得 0 分分 9 （5 分）关于x，y的方程 22 22 1 232 xy mm （其中 2 2) 3 m 对应的曲线可能是( ) A焦点在x 轴上的椭圆 B焦点在y 轴上的椭圆 C焦点在x 轴上的双曲线 D焦点在y 轴上的双曲线 E圆 10 （5 分）如图是某公司 2018

5、 年 1 月至 12 月空调销售任务及完成情况的统计图，如 10 月 份销售任务是 400 台，完成率为90%，下列叙述正确的是( ) A2018 年 3 月的销售任务是 400 台 B2018 年月销售任务的平均值不超过 600 台 C2018 年总销售量为 4870 台 D2018 年月销售量最大的是 6 月份 11 （5 分）如图所示，在四个正方体中，l是正方体的一条体对角线，点M，N，P分别 为其所在棱的中点，能得出l 平面MNP的图形为( ) 第 4 页（共 22 页） A B C D 12 （5 分）下列几个命题 若方程 2 0xaxa的两个根异号，则实数0a 函数 22 44yx

6、x是偶函数，但不是奇函数； 函数 2 ( )2(1)2f xxax在(，4上是减函数，则实数a的取值范围是3a 方程(1)430mxm的根 0 x满足 0 12x 剟，则m满足的范围 14 63 m剟 其中不正确的是( ) A B C D 三、填空题：本题共三、填空题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分 13 （5 分） 32 () (0) n a xa x 展开式中，若第三项为 2 28x，则此展开式中的第六项为 14 （5 分）函数 2 ( )2cos2sin cos1f xxxx的最小正周期是 ，最大值是 15 （5 分）4 名大学生毕业到 3 个用人单位

7、应聘，若每个单位至少录用其中一人，则不同的 录用情况的种数是 16 （5 分）研究函数( ) lnx f x x 的性质，完成下面两个问题： 将f（2） 、f（3） 、f（5）按从小到大排列为 ； 函数 1 ( )(0) x g xxx的最大值为 四、解答题：本题共四、解答题：本题共 6 小题，共小题，共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17 （10 分）已知a，b，c分别为ABC内角A，B，C的对边，若ABC同时满足下列 四个条件中的三个： 2 63 3() baac cab ； 2 cos22cos1 2 A A；6a ；2 2b 第

8、 5 页（共 22 页） （1）满足有解三角形的序号组合有哪些？ （2）在（1）所有组合中任选一组，并求对应ABC的面积 （若所选条件出现多种可能，则按计算的第一种可能计分） 18 （12 分）如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD为正方形，PA 平面ABCD，E为 AD的中点，AC交BE于点F，G为PCD的重心 （1）求证：/ /FG平面PAD； （2）若PAAD，点H在线段PD上，且2PHHD，求二面角HFGC的余弦值 19 （12 分）某北方村庄 4 个草莓基地，采用水培阳光栽培方式种植的草莓个大味美，一上 市便成为消费者争相购买的对象 光照是影响草莓生长的关键因素， 过去 50 年的

9、资料显示， 该村庄一年当中 12 个月份的月光照量X（小时）的频率分布直方图如图所示（注:月光照 量指的是当月阳光照射总时长） （1）求月光照量X（小时）的平均数和中位数； （2） 现准备按照月光照量来分层抽样， 抽取一年中的 4 个月份来比较草莓的生长状况， 问： 应在月光照量160X ，240)，240X ，320)，320X ，400的区间内各抽取多少个 月份？ （3）假设每年中最热的 5，6，7，8，9，10 月的月光照量X是大于等于 240 小时，且 6，7， 8 月的月光照量X是大于等于 320 小时，那么，从该村庄 2018 年的 5，6，7，8，9，10 这 6个月份之中随机抽

10、取2个月份的月光照量进行调查， 求抽取到的2个月份的月光照量X（小 时）都不低于 320 的概率 第 6 页（共 22 页） 20 （12 分）已知数列 n a满足 1 0a ， 1 4 4 n n a a ， * nN （1）若存在常数x，使得数列 1 n ax 是等差数列，求x的值； （2）设 231 1 n n b a aa ，证明： 12 3 n bbb 21 （12 分）已知椭圆 22 22 :1(0) xy Cab ab 的离心率为 3 2 ，其中一个焦点在直线 33yx上 （1）求椭圆C的方程； （2）若直线: l yxt与椭圆交于P，Q两点，试求三角形OPQ面积的最大值 22

11、（12 分）设 1 ( )() a f xxalnx aR x （）当1a 时，求曲线( )yf x在(2，f（2）)处的切线方程； （）当1a 时，在 1 , e e 内是否存在一实数 0 x，使 0 ()1f xe成立？请说明理由 第 7 页（共 22 页） 2020 年山东省高考数学全真模拟试卷（年山东省高考数学全真模拟试卷（4） （） （2 月份）月份） 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、单项选择题：本题共一、单项选择题：本题共 8 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 40 分在每小题给出的四个选项中，只分在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的有一项是符合

12、题目要求的 1 （5 分） 已知集合 2 |1Ay yx，xR， 集合 2 |1By yx ，xR， 则(AB ) A(0,1) B1 C D0 【解答】解：集合 2 |1Ay yx， |1xRy y， 集合 2 |1By yx ， |1xRy y， 1AB 故选：B 2 （5 分）复数 2 13 z i （其中i为虚数单位）在复平面内对应的点位于( ) A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 【解答】解：由 22(13 )13 2213(13 )(13 ) i zi iii ； 13 22 zi ，对应的点为 1 ( 2 ， 3) 2 在第二象限 故选：B 3 （5 分）已知命题:p

13、R，使得sin2cos3；命题:(0,) 2 qx ，sinxx，则 下列判断正确的是( ) Ap为真 Bq为假 Cpq为真 Dpq为假 【解答】解：sin2cos5sin()5 ，5，是参数， 35， R，sin2cos3； 故命题p为假命题， 设( )sinf xxx，则( )1cos0fxx ， 则函数( )f x为增函数， 第 8 页（共 22 页） 则当0x 时，( )(0)f xf， 即sin0xx，则sinxx，故命题q是真命题， 则q为假，其余为假命题， 故选：B 4 （5 分）若向量a与b满足()aba，且| 1a ，| 2b ，则向量a在b方向上的投影为 ( ) A3 B

14、1 2 C1 D 3 3 【解答】解：| 1a ，| 2b ，且()aba； 2 ()10ab aaa ba b ； 1a b ； a在b方向上的投影为： 1 | cos,| 2| a b aa ba a b 故选：B 5 （5 分）当1a 时，在同一坐标系中，函数 x ya与logayx的图象为( ) A B C 第 9 页（共 22 页） D 【解答】解：当1a 时，根据函数 x ya在R上是减函数，故排除A、B； 而logayx的在(0,)上是增函数，故排除D， 故选：C 6（5分） 如图， 正方体 1111 ABCDABC D的棱长为1， 线段 11 AC上有两个动点E，F， 且 1

15、2 EF ； 则下列结论错误的是( ) ABDCE B/ /EF平面ABCD C三棱锥EFBC的体积为定值 DBEF的面积与CEF的面积相等 【解答】解：对于A，连接AC，则BDAC， 1 BDAA， BD平面 11 AAC C，又AE 平面 11 AAC C， BDAE故A正确； 对于B， 11 / /ACAC，即/ /EFAC， 又EF 平面ABCD，AC 平面ABCD， / /EF平面ABCD，故B正确； 对于C， 1111 11 2224 AEF SEF AA ， 点B到平面AEF的距离为B到平面 11 AAC C的距离 12 22 dBD， 1122 34224 A BEFB AEF

16、 VV ，故C正确； 第 10 页（共 22 页） 对于D，连接 1 AB， 1 C B，则 11 ABC是边长为2的等边三角形， B到EF的距离为 16 2 22 ，而A到EF的距离为 1 1AA ， AEF的面积与BEF的面积不相等故D错误 故选：D 7 （5 分） 直线30xy分别与x轴，y轴交于A，B两点， 点P在圆 22 (1)2xy上， 则ABP面积的取值范围是( ) A2，6 B3，9 C 2 , 4 2 D 2 , 3 2 【解答】解：直线30xy分别与x轴，y轴交于A，B两点， 令0x ，得3y ，令0y ，得3x ， ( 3,0)A，(0, 3)B，|993 2AB ， 点

17、P在圆 22 (1)2xy上， 设(12cosP，2sin )， 点P到直线30xy的距离： |2sin()4| |12cos2sin3| 4 22 d ， sin() 1 4 ，1， |2sin()4| 4 2 2 d ，3 2， ABP面积的取值范围是： 1 3 22 2 ， 1 3 23 23 2 ，9， 故选：B 8 （5 分）已知双曲线： 22 22 1( ,0) xy a b ab ，点P的坐标为( 1,2)，斜率为 1 8 的直线与双 曲线的左右两支分别交于A，B两点，直线AP交双曲线于另一点C，直线BP交双曲线于 第 11 页（共 22 页） 另一点D当直线CD的斜率为 1 8

18、 时，此双曲线的离心率为( ) A 6 2 B 3 2 C 5 2 D 5 2 【解答】解：法 1：设 1 (A x， 1) y， 2 (B x， 2) y， 线段AB的中点( M M x，) M y，则 22 11 22 22 22 22 1 1 xy ab xy ab ， 两式相减得： 222 1212 222 1212 18 8 M MM M yyxxxbbb yx xxayyaya 设 3 (C x， 3) y， 4 (D x， 4) y，线段CD的中点( N N x，) N y， 同理可得 2 2 8 NN b yx a 易知P，M，N三点共线， 22 11 NM MN yy xx

19、， 代入得 22 22 88 22 11 MN MN bb xx aa xx ， 即 2 2 4 () (1)0 MN b xx a ， 22 4ab， 5 2 e 故选：C 法 2：设 1 (A x， 1) y， 2 (B x， 2) y， 线段AB的中点( M M x，) M y，则 22 11 22 22 22 22 1 1 xy ab xy ab ， 两式相减得： 222 1212 222 1212 18 8 MM MM yyxxxybbb xxayyayxa ，即 2 2 8 OM b k a 设 3 (C x， 3) y， 4 (D x， 4) y，线段CD的中点( N N x，)

20、 N y， 同理可得 2 2 8 ON b k a 第 12 页（共 22 页） 由可知，O，M，N三点共线，易知P，M，N三点共线， O，P，M，N四点共线 MNOP kk，即 2 2 82 1 b a ， 22 4ab， 5 2 e 故选C 法3:（特殊位置法） 当C趋近于A重合，D趋近于B重合时，PA，PB是双曲线的两条切线，A，B分别是切 点 根据切点弦公式， 22 12 :1 AB xy l ab ，即 22 2 : 22 AB bb lyx a ， 22 4ab， 5 2 e 故选C （或令1a 时得特殊位置，通过计算求得 1 2 b ， 5 2 e 故选：C 二、多项选择题：本题

21、共二、多项选择题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分在每小题给出的选项中，有多项分在每小题给出的选项中，有多项 符合题目要求全部选对的得符合题目要求全部选对的得 5 分，部分选对的得分，部分选对的得 3 分，有选错的得分，有选错的得 0 分分 9 （5 分）关于x，y的方程 22 22 1 232 xy mm （其中 2 2) 3 m 对应的曲线可能是( ) A焦点在x 轴上的椭圆 B焦点在y 轴上的椭圆 C焦点在x 轴上的双曲线 D焦点在y 轴上的双曲线 E圆 【解答】解：关于x，y的方程 22 22 1 232 xy mm （其中 2 2) 3 m 当 2 3

22、20m 时，曲线是双曲线，焦点坐标在x轴，所以C正确； 当 22 232mm，即2m 时，曲线表示圆，所以E正确； 当 22 2320mm，即 6 |2 3 m时，曲线表示焦点坐标在x轴上的椭圆，所以A正 确； 当 22 0232mm，即|2m 时，曲线表示焦点坐标在y轴上的椭圆，所以B正确； 故选：ABCE 10 （5 分）如图是某公司 2018 年 1 月至 12 月空调销售任务及完成情况的统计图，如 10 月 份销售任务是 400 台，完成率为90%，下列叙述正确的是( ) 第 13 页（共 22 页） A2018 年 3 月的销售任务是 400 台 B2018 年月销售任务的平均值不超

23、过 600 台 C2018 年总销售量为 4870 台 D2018 年月销售量最大的是 6 月份 【解答】解：A设 2018 年 3 月的销售任务是 400 台，因此正确 B由于 2018 年月销售任务高于 600 台的只有 6，7，8，共 3 个月份，而其余都远小于 600 台， 据此可以判断出 2018 年月销售任务的平均值不超过 600 台 .2018C年总销售量 300 50%200 100%400 120%500 110%800 100%100070%700 80%400 90%300 150%400 90%100 80%30060%4270 台， .2018D年月销售量 5 月份是

24、 800 台， 6 月份是100070%700台， 因此 2018 年月销售量最 大的是 5 月份 故选：AB 11 （5 分）如图所示，在四个正方体中，l是正方体的一条体对角线，点M，N，P分别 为其所在棱的中点，能得出l 平面MNP的图形为( ) A B C D 第 14 页（共 22 页） 【解答】解：对于AD根据正方体的性质可得：lMN，lMP，可得l 平面MNP 而BC无法得出l 平面MNP 故选：AD 12 （5 分）下列几个命题 若方程 2 0xaxa的两个根异号，则实数0a 函数 22 44yxx是偶函数，但不是奇函数； 函数 2 ( )2(1)2f xxax在(，4上是减函数

25、，则实数a的取值范围是3a 方程(1)430mxm的根 0 x满足 0 12x 剟，则m满足的范围 14 63 m剟 其中不正确的是( ) A B C D 【解答】解：对于，由方程 2 0xaxa的两个根异号，得 2 12 40 0 aa x xa ，则0a ，故 正确； 对于，由 2 2 4 0 40 x x ，解得2x ， 22 440(2)yxxx ，该函数即是奇函 数又是偶函数，故错误； 对于，函数 2 ( )2(1)2f xxax在(，4上是减函数，则其对称轴14xa ，得 3a，故错误； 对于，由(1)430mxm，得 37 1 44 x m xx ，由12x 剟，得 14 63

26、m剟，故 正确 不正确的是 故选：BC 三、填空题：本题共三、填空题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分 13（5 分） 32 () (0) n a xa x 展开式中， 若第三项为 2 28x， 则此展开式中的第六项为 3 56 x 【解答】解： 32 () (0) n a xa x 展开式中，若第三项为 210 222 3 28 n n C axx ， 令 210 2 3 n ， 22 28 n Ca ，求得8n ，1a 第 15 页（共 22 页） 则此展开式中的第六项为 553 8 3 56 Cax x ， 故答案为： 3 56 x 14 （5 分）函数

27、 2 ( )2cos2sin cos1f xxxx的最小正周期是 ，最大值是 【解答】解：函数 2 ( )2cos2sin cos1cos21sin212cos(2)2 4 f xxxxxxx ， 所以函数的最小正周期为 2 2 T 当22() 4 xkkZ ，整理得() 8 xkkZ 时，函数的最大值为22 故答案为：，22 15 （5 分）4 名大学生毕业到 3 个用人单位应聘，若每个单位至少录用其中一人，则不同的 录用情况的种数是 60 【解答】解：根据题意，分 2 种情况讨论： ，4 名大学生中录用 3 人，有 3 4 4 3 224A 种录取情况； ，4 名大学生全部录用，有 23

28、43 6636C A 种录取情况， 则有243660种录用种数； 故答案为：60 16 （5 分）研究函数( ) lnx f x x 的性质，完成下面两个问题： 将f（2） 、f（3） 、f（5）按从小到大排列为 f（5）f（2）f（3） ； ； 函数 1 ( )(0) x g xxx的最大值为 【解答】解：函数( ) lnx f x x ， 2 1 ( ) lnx fx x ， 2 1 ( )0 lnx fx x ，xe， 2 1 ( ) lnx fx x ，0，(0, )xe 2 1 ( )0 lnx fx x ，( ,)xe 在(0, ) e递增，( ,)e 递减 f（3）f（5） ，

29、第 16 页（共 22 页） f（2）f（5） 255 22 53225 0 251010 lnlnlnlnlnln f（2）f（5） f（2）f（3） 3 22 389 0 66 lnlnlnln f（3）f（2） 故答案：f（5）f（2）f（3） ； 函数 1 ( )(0) x g xxx， 1 ( ( )(0)ln g xlnx x x 令 1 ( )(0)h xlnx x x ， 2 1 ( )(1)0h xlnx x ，xe 2 1 ( )(1)0h xlnx x ，xe 2 1 ( )(1)0h xlnx x ，0xe 1 ( )(0)h xlnx x x ， 在(0, ) e递增

30、，在( ,)e 递减， ( )h x的极大值为h（e） 11 lne ee ， 函数 1 ( )(0) x g xxx的最大值为 1 e e， 故答案为： 1 e e 四、解答题：本题共四、解答题：本题共 6 小题，共小题，共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17 （10 分）已知a，b，c分别为ABC内角A，B，C的对边，若ABC同时满足下列 四个条件中的三个： 2 63 3() baac cab ； 2 cos22cos1 2 A A；6a ；2 2b （1）满足有解三角形的序号组合有哪些？ （2）在（1）所有组合中任选一组，并求对应

31、ABC的面积 （若所选条件出现多种可能，则按计算的第一种可能计分） 【解答】 解： （1） 2 63 3() baac cab ， 化为： 222 6 cos 23 acb B ac 由 53 cos 62 ， 第 17 页（共 22 页） 可得 5 6 B 2 cos22cos1 2 A A，化为： 1 cos 2 A ，(0, )A，解得 3 A 可得不能同时出现作为条件 满足有解三角形的序号组合有：， （2）取 由正弦定理可得： 62 2 sin sin 3 B ，解得sin1B ，(0, )B， 2 B 2c ，ABC的面积 1 623 2 S 18 （12 分）如图，在四棱锥PABC

32、D中，底面ABCD为正方形，PA 平面ABCD，E为 AD的中点，AC交BE于点F，G为PCD的重心 （1）求证：/ /FG平面PAD； （2）若PAAD，点H在线段PD上，且2PHHD，求二面角HFGC的余弦值 【解答】解： （1）延长CG交PD于M，连接AM， G为PCD的重心 2 1 CG GM E为AD的中点，AC交BE于点F， 2 1 CFBC AFAE / /AMFG 又AM 平面PAD，FG 平面PAD， / /FG平面PAD； （2）以A为原点，AB，AD，AP所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系 设3PADA则(1F，1，0)，(0H，2，1)，(1G，2，1)，(3

33、C，3，0) (1,0,0)HG ，(1, 1, 1)HF ， 第 18 页（共 22 页） 设面HGF的法向量为( , , )mx y z， 由 0 0 m HGx m HFxyz (0,1, 1)m ( 2, 2,0)CF ，( 2, 1,1)CG ， 设面FGC的法向量为( , , )na b c 由 220 20 n CFab n CGabc (1, 1,1)n 26 cos, 323 m n 二面角HFGC的余弦值为 6 3 19 （12 分）某北方村庄 4 个草莓基地，采用水培阳光栽培方式种植的草莓个大味美，一上 市便成为消费者争相购买的对象 光照是影响草莓生长的关键因素， 过去

34、50 年的资料显示， 该村庄一年当中 12 个月份的月光照量X（小时）的频率分布直方图如图所示（注:月光照 量指的是当月阳光照射总时长） （1）求月光照量X（小时）的平均数和中位数； （2） 现准备按照月光照量来分层抽样， 抽取一年中的 4 个月份来比较草莓的生长状况， 问： 应在月光照量160X ，240)，240X ，320)，320X ，400的区间内各抽取多少个 月份？ （3）假设每年中最热的 5，6，7，8，9，10 月的月光照量X是大于等于 240 小时，且 6，7， 8 月的月光照量X是大于等于 320 小时，那么，从该村庄 2018 年的 5，6，7，8，9，10 这 6个月份

35、之中随机抽取2个月份的月光照量进行调查， 求抽取到的2个月份的月光照量X（小 第 19 页（共 22 页） 时）都不低于 320 的概率 【解答】解： （1）根据频率之和为 1，可得0.00625 80() 801aa， 解得0.003125a ， 月光照量X（小时）的平均数为 2000.00625802800.003125803600.00312580260X （小时） 设月光照量X（小时）的中位数为M，则240M ，320， 根据中位数的定义，其左右两边的频率相等，都为 0.5， 可得0.00625 80(240)0.0031250.5M， 解得240M ， 所以月光照量X（小时）的平均数

36、为 260 小时，中位数为 240 小时； （2）因为月光照量160X ，240，240，320，320，400，的频率之比为 1 1 1 : 2 4 4 ， 所以若准备按照月光照量来分层抽样，抽取一年中的 4 个月份来比较草莓的生长状况， 那么，抽取的月光照量160X ，240，240，320，320，400的月份数分别为 2，1， 1 （3）由题意，月光照量240，320的有 5，9，10 月，月光照量320，400的有 6，7，8 月， 故从该村庄 2018 年的 5， 6，7，8，9，10 月份之中随机抽取 2 个月份的月光照量X（小时） 进行调查，所有的情况有： (5,9)，(5,1

37、0)，(5,6)，(5,7)，(5,8)，(9,10)，(9,6)，(9,7)，(9,8)，(10,6)，(10,7)，(10,8)， (6,7)，(6,8)，(7,8)共 15 种； 其中， 抽取到的 2 个月份的月光照量X（小时） 都不低于 320 的情况有：(6,7)，(6,8)，(7,8) 共 3 种； 故所抽取到的 2 个月份的月光照量X（小时）都不低于 320 的概率为 31 155 第 20 页（共 22 页） 20 （12 分）已知数列 n a满足 1 0a ， 1 4 4 n n a a ， * nN （1）若存在常数x，使得数列 1 n ax 是等差数列，求x的值； （2）

38、设 231 1 n n b a aa ，证明： 12 3 n bbb 【解答】解： （1）数列 n a满足 1 0a ， 1 4 4 n n a a ， 可得 2 4 1 40 a ， 3 44 413 a ， 存在常数x，使得数列 1 n ax 是等差数列， 可得 1 x ， 1 1x ， 1 4 3 x 成等差数列， 即有 211 4 1 3 xx x ， 解可得2x ； （2）证明： 1 424 22 44 n n nn a a aa ， 可得 1 111 222 nn aa ， 则 1111 (1) 2222 n nn a ， 可得 2 2 n a n ， 即 2(1) n n a n

39、 ， 231 111 (1) ( ) 1 2 2 2 2 31 n n n n bn n a aa n ， 由 23 12 1111 2 ( )3 ( )4 ( )(1) ( ) 2222 n nn Tbbbn， 2341 11111 2 ( )3 ( )4 ( )(1) ( ) 22222 n n Tn ， 相减可得 2341 111111 1( )( )( )( )(1) ( ) 222222 nn n Tn 1 1 11 (1) 1 42 1(1) ( ) 1 2 1 2 n n n ， 化简可得 3 33 2 n n n T ， 第 21 页（共 22 页） 则 12 3 n bbb

40、21 （12 分）已知椭圆 22 22 :1(0) xy Cab ab 的离心率为 3 2 ，其中一个焦点在直线 33yx上 （1）求椭圆C的方程； （2）若直线: l yxt与椭圆交于P，Q两点，试求三角形OPQ面积的最大值 【解答】解： （1）椭圆的一个焦点即为直线与x轴的交点( 3,0)，所以3c ，又离心率为 3 2 则2a ，1b ，所以椭圆方程为 2 2 1 4 x y （ 2 ） 联 立 若 直 线: l yxt与 椭 圆 方 程 得 22 58440(*)xtxt， 令 22 (8 )4 5(44)0tt得 55t ，设方程(*)的两根为 1 x， 2 x则 2 1212 84

41、4 , 55 tt xxx x ， 2 2 1212 4 2 5 |2 ()4 5 t PQxxx x ，点O到直线PQ的距离为 | | 2 t d ， 22 22 122(5) |(5)1 2552 OPQ tt SPQ dtt ， 当且仅当 22 5tt，即 10 2 t 或 10 2 t 时取等号，而 10 2 t 或 10 2 t 满足 55t 所以三角形OPQ面积的最大值为 1 22 （12 分）设 1 ( )() a f xxalnx aR x （）当1a 时，求曲线( )yf x在(2，f（2）)处的切线方程； （）当1a 时，在 1 , e e 内是否存在一实数 0 x，使 0

42、 ()1f xe成立？请说明理由 【解答】解： （）当1a 时，( )f xxlnx， f（2）22ln，即切点坐标是(2,22)ln， 1 ( )1fx x ， 曲线( )f x在点(2,22)ln处的切线的斜率为：f（2） 1 2 ， 所求切线的方程为： 1 22(2) 2 ylnx， 第 22 页（共 22 页） 即 1 12 2 yxln ； （）假设1a 时，在 1 , e e 内存在一实数 0 x，使 0 ()1f xe成立， 则只需证明当 1 , xe e 时，( )1 max f xe即可， 22 1(1)(1) ( )1(0) aaxxa fxx xxx ， 令( )0fx，解得： 1 1x 或 2 1xa， 当1a 时，10a ， 当 1 (x e ，1)时，( )0fx，当(1, )xe时，( )0fx， 函数( )f x在 1 (e，1)递减，在(1, ) e递增， 1 ( ) ( ) max f xmax f e ，f（e）， 则只需证明f（e）1e或 1 ( )1fe e 即可， f（e） 1(1)(1) (1)(1)0 aea eeae ee ， f（e）1e成立， 假设成立， 1a时，在 1 , e e 内存在一实数 0 x，使 0 ()1f xe成立