2020年江苏省苏北四市(徐州市、宿迁市、淮安市、连云港市)高考数学一模试卷.docx
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1、 第 1 页(共 22 页) 2020 年江苏省苏北四市(徐州市、宿迁市、淮安市、连云港市)年江苏省苏北四市(徐州市、宿迁市、淮安市、连云港市) 高考数学一模试卷高考数学一模试卷 一、填空题:本大题共一、填空题:本大题共 14 小题,每小题小题,每小题 5 分,共分,共 70 分请把答案直接填写在答题卡相应分请把答案直接填写在答题卡相应 位置上位置上 1 (5 分)已知集合 |02Axx, | 11Bxx ,则AB 2 (5 分)已知复数z满足 2 4z ,且z的虚部小于 0,则z 3 (5 分)若一组数据 7,x,6,8,8 的平均数为 7,则该组数据的方差是 4 (5 分)执行如图所示的伪
2、代码,则输出的结果为 5 (5 分)函数 2 ( )2f xlog x的定义域为 6 (5 分)某学校高三年级有A,B两个自习教室,甲、乙、丙 3 名学生各自随机选择其中 一个教室自习,则甲、乙两人不在同一教室上自习的概率为 7 (5 分)若关于x的不等式 2 30xmx的解集是(1,3),则实数m的值为 8 (5 分)在平面直角坐标系xOy中,双曲线 2 2 1 3 x y的右准线与渐近线的交点在抛物线 2 2ypx上,则实数p的值为 9 (5 分)已知等差数列 n a的前n项和为 n S, 29 8aa, 5 5S ,则 15 S的值为 10(5 分) 已知函数3sin2yx的图象与函数c
3、os2yx的图象相邻的三个交点分别是A, B,C,则ABC的面积为 11 (5 分)在平面直角坐标系xOy中,已知圆 22 :48120M xyxy,圆N与圆M外 切于点(0,)m,且过点(0, 2),则圆N的标准方程为 12 (5 分)已知函数( )f x是定义在R上的奇函数,其图象关于直线1x 对称,当(0x,1 第 2 页(共 22 页) 时,( ) ax f xe (其中e是自然对数的底数) ,若(20202)8fln,则实数a的值为 13 (5 分)如图,在ABC中,D,E是BC上的两个三等分点,2AB ADAC AE,则 cosADE的最小值为 14 (5 分)设函数 3 ( )
4、|f xxaxb, 1x ,1,其中a,bR若( )f xM恒成立, 则当M取得最小值时,ab的值为 二、解答题:本大题共二、解答题:本大题共 6 小题,共小题,共 90 分请在答题卡指定区域内作答分请在答题卡指定区域内作答.解答时应写出文字说解答时应写出文字说 明、证明过程或演算步骤明、证明过程或演算步骤 15 (14 分)如图,在三棱锥PABC中,APAB,M,N分别为棱PB,PC的中点, 平面PAB 平面PBC (1)求证:/ /BC平面AMN; (2)求证:平面AMN 平面PBC 16 (14 分)在ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,且 5 cos 5 A (1)若5a ,
5、2 5c ,求b的值; (2)若 4 B ,求tan2C的值 17 (14 分)如图,在圆锥SO中,底面半径R为 3,母线长l为 5用一个平行于底面的平 面去截圆锥,截面圆的圆心为 1 O,半径为r现要以截面圆为底面,圆锥底面圆心O为顶 点挖去一个倒立的小圆锥,记小圆锥的体积为V (1)将V表示成r的函数; 第 3 页(共 22 页) (2)求小圆锥的体积V的最大值 18 (16 分)在平面直角坐标系xOy中,已知椭圆 22 22 :1(0) xy Cab ab 的右顶点为A, 过点A作直线l与圆 222 :O xyb相切,与椭圆C交于另一点P,与右准线交于点Q设 直线l的斜率为k (1)用k
6、表示椭圆C的离心率; (2)若0OP OQ ,求椭圆C的离心率 19 (16 分)已知函数 1 ( )()()f xalnx aR x (1)若曲线( )yf x在点(1,f(1))处的切线方程为10xy ,求a的值; (2)若( )f x的导函数( )fx存在两个不相等的零点,求实数a的取值范围; (3)当2a 时,是否存在整数,使得关于x的不等式( )f x恒成立?若存在,求出的 最大值;若不存在,说明理由 20 (16 分)已知数列 n a的首项 1 3a ,对任意的 * nN,都有 1 1(0) nn akak ,数列 1 n a 是公比不为 1 的等比数列 (1)求实数k的值; (2
7、)设 4, 1 , n n n n b an 为奇数 为偶数 数列 n b的前n项和为 n S,求所有正整数m的值,使得 2 21 m m S S 恰 好为数列 n b中的项 第 4 页(共 22 页) 数学(附加题) 【选做题】本题包括数学(附加题) 【选做题】本题包括 A、B、C 三小题,请选定其中两题,并在相应的答三小题,请选定其中两题,并在相应的答 题区域内作答若多做,则按作答的前两题评分解答时应写出文字说明、证明过程或演题区域内作答若多做,则按作答的前两题评分解答时应写出文字说明、证明过程或演 算步骤算步骤选修选修 4-2:矩阵与变换:矩阵与变换 21 (10 分)已知矩阵 23 1
8、 M t 的一个特征值为 4,求矩阵M的逆矩阵 1 M 选修选修 4-4:坐标系与参数方程:坐标系与参数方程 22 (10 分)在平面直角坐标系xOy中,以坐标原点O为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐 标系,直线l的极坐标方程为(cossin )12,曲线C的参数方程为 2 3cos ,( 2sin x y 为 参数,)R,在曲线C上求点M,使点M到l的距离最小,并求出最小值 选修选修 4-5:不等式选讲:不等式选讲(本小题满分(本小题满分 0 分)分) 23已知正数x,y,z满足1xyz,求 111 222xyyzzx 的最小值 【必做题】第【必做题】第 22、23 题,每小题题,每小题 10
9、 分,共计分,共计 20 分请在答题卡指定区域内作答,解答时分请在答题卡指定区域内作答,解答时 应写出文字说明、证明过程或演算步骤应写出文字说明、证明过程或演算步骤 24(10 分) 如图, 在三棱柱 111 ABCABC中, 11 AAB B为正方形, 11 BBC C为菱形, 11 60BBC, 平面 11 AAB B 平面 11 BBC C (1)求直线 1 AC与平面 11 AAB B所成角的正弦值; (2)求二面角 1 BACC的余弦值 25 (10 分)已知n为给定的正整数,设 2 012 2 () 3 nn n xaa xa xa x,xR (1)若4n ,求 0 a, 1 a的
10、值; (2)若 1 3 x ,求 0 () n k k k nk a x 的值 第 5 页(共 22 页) 2020 年江苏省苏北四市(徐州市、宿迁市、淮安市、连云港市)年江苏省苏北四市(徐州市、宿迁市、淮安市、连云港市) 高考数学一模试卷高考数学一模试卷 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、填空题:本大题共一、填空题:本大题共 14 小题,每小题小题,每小题 5 分,共分,共 70 分请把答案直接填写在答题卡相应分请把答案直接填写在答题卡相应 位置上位置上 1 (5 分)已知集合 |02Axx, | 11Bxx ,则AB ( 1,2) 【解答】解: |02Axx, | 11Bxx ,
11、| 12( 1,2)ABxx 故答案为:( 1,2) 2 (5 分)已知复数z满足 2 4z ,且z的虚部小于 0,则z 2i 【解答】解:设zabi,( ,)a bR 复数z满足 2 4z , 22 24ababi , 22 4ab ,20ab ,且z的虚部小于 0, 0a,2b 则2zi 故答案为:2i 3 (5 分)若一组数据 7,x,6,8,8 的平均数为 7,则该组数据的方差是 4 5 【解答】解:由题意知, 1 (7688)7 5 x, 解得6x , 计算该组数据的方差为 222222 14 (77)(67)(67)(87)(87) 55 S 故答案为: 4 5 4 (5 分)执行
12、如图所示的伪代码,则输出的结果为 21 第 6 页(共 22 页) 【解答】解:模拟程序的运行,可得 1S ,1I 满足条件6I ,执行循环体,2I ,3S 满足条件6I ,执行循环体,3I ,6S 满足条件6I ,执行循环体,4I ,10S 满足条件6I ,执行循环体,5I ,15S 满足条件6I ,执行循环体,6I ,21S 此时,不满足条件6I ,退出循环,输出S的值为 21 故答案为:21 5 (5 分)函数 2 ( )2f xlog x的定义域为 4,) 【解答】解:函数 2 ( )log2f xx有意义, 只需 2 log2 0x ,且0x , 解得4x 则定义域为4,) 故答案为
13、:4,) 6 (5 分)某学校高三年级有A,B两个自习教室,甲、乙、丙 3 名学生各自随机选择其中 一个教室自习,则甲、乙两人不在同一教室上自习的概率为 1 2 【解答】解:某学校高三年级有A,B两个自习教室, 甲、乙、丙 3 名学生各自随机选择其中一个教室自习, 基本事件总数 3 28n , 甲、乙两人不在同一教室上自习包含的基本事件个数 111 212 4mC C C, 第 7 页(共 22 页) 甲、乙两人不在同一教室上自习的概率为 41 82 m p n 故答案为: 1 2 7 (5 分)若关于x的不等式 2 30xmx的解集是(1,3),则实数m的值为 4 【解答】解:不等式 2 3
14、0xmx的解集是(1,3), 所以方程 2 30xmx的解 1 和 3, 由根与系数的关系知, 134m 故答案为:4 8 (5 分)在平面直角坐标系xOy中,双曲线 2 2 1 3 x y的右准线与渐近线的交点在抛物线 2 2ypx上,则实数p的值为 1 4 【解答】解:双曲线 2 2 1 3 x y的右准线 3 2 x ,渐近线 3 3 yx , 双曲线 2 2 1 3 x y的右准线与渐近线的交点 3 ( 2 , 3) 2 , 交点在抛物线 2 2ypx上, 可得: 3 3 4 p, 解得 1 4 p 故答案为: 1 4 9 (5 分) 已知等差数列 n a的前n项和为 n S, 29
15、8aa, 5 5S , 则 15 S的值为 135 【解答】解:由于 29 8aa, 5 5S , 所以 1 1 298 1 5545 2 ad ad 则 1 5 2 a d 所以 15 1 15( 5)15 142135 2 S 故答案是:135 第 8 页(共 22 页) 10(5 分) 已知函数3sin2yx的图象与函数cos2yx的图象相邻的三个交点分别是A, B,C,则ABC的面积为 3 2 【解答】解:由3sin2cos2yxx得 3 tan2 3 x ,则2 6 xk , 得 212 k x ,kZ, 取相邻的三个k, 1k 时, 5 12 x , 5 2 6 x ,此时 3 c
16、os2 2 yx ,即 5 ( 12 A , 3) 2 , 0k 时, 12 x ,2 6 x ,此时 3 cos2 2 yx,即(12B , 3) 2 , 1k 时, 7 12 x , 7 2 6 x ,此时 3 cos2 2 yx ,即 7 ( 12 C , 3) 2 , 则 75 |() 1212 AC ,B到线段AC的距离 33 ()3 22 h , 则ABC的面积 13 3 22 S, 故答案为: 3 2 11 (5 分)在平面直角坐标系xOy中,已知圆 22 :48120M xyxy,圆N与圆M外 切于点(0,)m,且过点(0, 2),则圆N的标准方程为 22 (2)8xy 【解答
17、】解:已知圆 22 :48120M xyxy,整理得: 22 (2)(4)8xy, 令0y ,圆的方程转换为: 2 8120yy,解得2y 或 6 由于圆N与圆M相切于(0,)m且过点(0, 2) 所以2m 第 9 页(共 22 页) 即圆N经过点(0,2)A,(0, 2)B 所以圆心在这两点连线的中垂线x轴上, x轴与MA的交点为圆心N 所以:2MA yx 令0y ,则2x 即( 2,0)N , |2 2RNA 所以圆N的标准方程为: 22 (2)8xy 故答案为: 22 (2)8xy 12 (5 分)已知函数( )f x是定义在R上的奇函数,其图象关于直线1x 对称,当(0x,1 时,(
18、) ax f xe (其中e是自然对数的底数) ,若(20202)8fln,则实数a的值为 3 【解答】解:根据题意,( )f x的图象关于1x 对称,所以(1)(1)fxfx 又 由( )f x是R上 的 奇 函 数 , 所 以(1)(1)f xf x , 则 有(2 )()fxfx , (4)(2)( )f xf xf x 则( )f x是周期为 4 的函数, 故 2 (20202)(2)( 2)()8 x ln flnflnf lne , 变形可得:28 x ,解可得3x ; 故答案为:3 13 (5 分)如图,在ABC中,D,E是BC上的两个三等分点,2AB ADAC AE,则 cos
19、ADE的最小值为 4 7 【解答】解:由D,E是BC上的两个三等分点可得BDDEEC, 由图形可得ABDBDADEDA ,2ACDCDADEDA, 第 10 页(共 22 页) 又因为2AB ADAC AE即() ()2(2) ()DEDADADEDADEDA, 整理可得: 22 72DA DEDADE,即 22 7| | cos|4|DADEADEDADE, 由基本不等式可得 2222 2 | 4|4|4 cos 77| |7| | DADEDADE ADE DADEDADE , 故cosADE的最小值为: 4 7 故答案为: 4 7 14 (5 分)设函数 3 ( ) |f xxaxb,
20、1x ,1,其中a,bR若( )f xM恒成立, 则当M取得最小值时,ab的值为 3 4 【解答】解:构造函数 3 ( )g xxaxb,则( ) | ( )|f xg x, 由于 33 ( )()()()2g xgxxaxbxaxbb , ,函数( )yg x的图象关于点(0,)b对称,且 2 ( )3g xxa 当0a时,( ) 0g x,函数( )yg x在区间 1,1上单调递增, 则 (1) |1| ( 1) | 1| Mfab Mfab , |1| 1|(1)( 1)| |1| 11 22 abababab Maa 厖?, 此时,当0a ,11b 剟时,M取最小值 1; 当3a时,对
21、任意的 1x ,1,( ) 0g x,函数( )yg x在区间 1,1上单调递减, 则 (1) |1| ( 1) | 1| Mfab Mfab , |1| 1|(1)( 1)| |1|1 2 22 abababab Maa 厖?, 此时,当3a ,22b 剟时,M取最小值 2; 第 11 页(共 22 页) 当03a时,令( )0g x,得 3 a x ,令(0,1) 3 a t ,列表如下: x 1,) t t (, )t t t (t,1 ( )g x 0 0 ( )g x 极大值 极小值 不妨设(0)0gb ,则0b,则 3 3 (1) |1| ( )2 ()2 ( 1) | 1| Mf
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