2020年北京市高考数学全真模拟试卷（1）（3月份）.docx

1、 第 1 页（共 22 页） 2020 年北京市高考数学全真模拟试卷（年北京市高考数学全真模拟试卷（1） （） （3 月份）月份） 一、选择题：本题共一、选择题：本题共 10 小题，每小题小题，每小题 4 分，共分，共 40 分在每小题给出的四个选项中，只有分在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的一项是符合题目要求的 1 （4 分）已知集合 |1Ax x， |31 x Bx，则( ) A |0ABx x BABR C |1ABx x DAB 2 （4 分）若复数 1 1 i z ai 为纯虚数，则实数a的值为( ) A1 B0 C 1 2 D1 3 （4 分）双曲线 22 41x

2、y的离心率为( ) A5 B 5 2 C3 D 3 2 4 （4 分）下列函数中，既是偶函数又在区间(0,)上单调递增的是( ) Ayx B 2 1yx Ccosyx D 1 2 yx 5 （4 分）若1ba，则下列不等式一定正确的是( ) A2ab B2ab C 11 ab D2 ba ab 6 （4 分）在 5 1 ()x x 的展开式中， 3 x的系数为( ) A5 B5 C10 D10 7 （4 分）紫砂壶是中国特有的手工制造陶土工艺品，其制作始于明朝正德年间紫砂壶的 壶型众多，经典的有西施壶、掇球壶、石瓢壶、潘壶等其中，石瓢壶的壶体可以近似看成 一个圆台（即圆锥用平行于底面的平面截去

3、一个锥体得到的） 如图给出了一个石瓢壶的相 关数据（单位：)cm，那么该壶的容量约为( ) A 3 100cm B 3 200cm C 3 300cm D 3 400cm 8（4 分） 设 n a为等差数列，p、q、k、l为正整数， 则 “pqkl” 是 “ pqkl aaaa” 第 2 页（共 22 页） 的( ) A充分而不必要条件 B必要而不充分条件 C充分必要条件 D既不充分也不必要条件 9 （4 分）众所周知的“太极图” ，其形状如对称的阴阳两鱼互抱在一起，因而也被称为“阴 阳鱼太极图” ，如图所示，放在平面直角坐标系中的“太极图” ，整个图形是一个圆形，其中 黑色阴影区域在y轴右侧

4、部分的为一个半圆，给出以下命题： 在太极图中随机取一点，此点取自黑色阴影部分的概率是 1 2 当 4 3 a 时，直线(2)ya x与黑色阴影部分有公共点 当0a，1时，直线(2)ya x与黑色阴影部分有两个公共点 其中所有正确结论的序号是( ) A B C D 10 （4 分） 已知某校运动会男生组田径综合赛以选手三项运动的综合积分高低决定排名 具 体积分规则如表 1 所示，某代表队四名男生的模拟成绩如表 2 表 1 田径综合赛项目及积分规则 项目 积分规则 100 米跑 以 13 秒得 60 分为标准， 每少 0.1 秒加 5 分， 每多 0.1 秒扣 5 分 跳高 以 1.2 米得 60

5、 分为标准，每多 0.02 米加 2 分，每少 0.02 米扣 2 分 掷实心球 以 11.5 米得 60 分为标准，每多 0.1 米加 5 第 3 页（共 22 页） 分，每少 0.1 米扣 5 分 表 2 某队模拟成绩明细 姓名 100 米跑（秒) 跳高（米) 掷实心球（米) 甲 13.3 1.24 11.8 乙 12.6 1.3 11.4 丙 12.9 1.26 11.7 丁 13.1 1.22 11.6 根据模拟成绩，该代表队应选派参赛的队员是( ) A甲 B乙 C丙 D丁 二、填空题：本题共二、填空题：本题共 6 个小题，每小题个小题，每小题 5 分，共分，共 30 分分 11 （5

6、 分）已知向量(1,2)a ，(3, )bt，且/ /ab，则t 12 （5 分） 已知a，b，c分别为ABC内角A，B，C的对边， 2 2cab且 1 sinsin 2 AC， 则cos A 13 （5 分）抛物线 2 2ypx上一点M到焦点(1,0)F的距离等于 4，则p ；点M的坐 标为 14 （5 分）已知函数( )2sinf xx，( )2cosg xx，其中0，A，B，C是这两 个函数图象的交点，且不共线 当1时，ABC面积的最小值为 ； 若存在ABC是等腰直角三角形，则的最小值为 15 （5 分）某部影片的盈利额（即影片的票房收入与固定成本之差）记为y，观影人数记 为x，其函数图

7、象如图（1）所示由于目前该片盈利未达到预期，相关人员提出了两种调 整方案，图（2） 、图（3）中的实线分别为调整后y与x的函数图象 给出下列四种说法： 第 4 页（共 22 页） 图（2）对应的方案是：提高票价，并提高成本； 图（2）对应的方案是：保持票价不变，并降低成本； 图（3）对应的方案是：提高票价，并保持成本不变； 图（3）对应的方案是：提高票价，并降低成本 其中，正确的说法是 （填写所有正确说法的编号） 四、解答题：本大题共四、解答题：本大题共 6 小题，共小题，共 85 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 16（14 分） 已知四边形A

8、BCD为直角梯形，/ /ADBC，ABBC，24BCAB，3AD ， 过BC的中点F作/ /EFAB，交AD于点E，沿EF将四边形EFCD折起，连接AD、AC、 BC （1）求证：/ /BE平面ACD； （2）若平面CDEF 平面ABFE，求二面角BACD的大小 17 （14 分）在 3 5a ， 252 6aab； 2 2b ， 343 3aab； 3 9S ， 452 8aab， 这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答 已知等差数列 n a的公差为(1)d d ， 前n项和为 n S， 等比数列 n b的公比为q， 且 11 ab， dq， （1）求数列 n a， n b的通项公式

9、 （2）记 n n n a c b ，求数列 n c的前n项和 n T 18 （14 分）高铁和航空的飞速发展不仅方便了人们的出行，更带动了我国经济的巨大发 展据统计，在 2018 年这一年内从A市到B市乘坐高铁或飞机出行的成年人约为 50 万人 次 为了解乘客出行的满意度， 现从中随机抽取 100 人次作为样本， 得到如表 （单位： 人次） : 第 5 页（共 22 页） 满意度 老年人 中年人 青年 人 乘坐高铁 乘坐飞机 乘坐高铁 乘 坐 飞 机 乘 坐 高 铁 乘 坐 飞 机 10 分 （满意） 12 1 20 2 20 1 5 分（一般） 2 3 6 2 4 9 0 分（不满 意）

10、1 0 6 3 4 4 （1）在样本中任取 1 个，求这个出行人恰好不是青年人的概率； （2）在 2018 年从A市到B市乘坐高铁的所有成年人中，随机选取 2 人次，记其中老年人 出行的人次为X以频率作为概率，求X的分布列和数学期望； （3）如果甲将要从A市出发到B市，那么根据表格中的数据，你建议甲是乘坐高铁还是飞 机？并说明理由 19 （15 分）已知函数 2 1 ( ) 2 x f xeaxx，其中1a （1）当0a 时，求曲线( )yf x在点(0，(0)f处的切线方程； （2）当1a 时，求函数( )f x的单调区间； （3）若 2 1 ( ) 2 f xxxb对于xR恒成立，求ba的

11、最大值 20 （14 分）已知点E在椭圆 22 22 :1(0) xy Cab ab 上，以E为圆心的圆与x轴相切于椭 圆C的右焦点 2 F，与y轴相交于A，B两点，且ABE是边长为 2 的正三角形 （）求椭圆C的方程； （）已知圆 22 18 : 5 O xy，设圆O上任意一点P处的切线交椭圆C于M、N两点，试 判断以MN为直径的圆是否过定点？若过定点， 求出该定点坐标， 并直接写出| |PMPN的 值；若不过定点，请说明理由 21 （14 分）已知集合*MN，且M中的元素个数n大于等于 5若集合M中存在四个 不同的元素a，b，c，d，使得abcd，则称集合M是“关联的” ，并称集合a，b，

12、 第 6 页（共 22 页） c，d是集合M的 “关联子集” ； 若集合M不存在 “关联子集” ， 则称集合M是 “独立的” （）分别判断集合2，4，6，8，10和集合1，2，3，5，8是“关联的”还是“独立 的”？若是“关联的” ，写出其所有的关联子集； （）已知集合 1 a， 2 a， 3 a， 4 a， 5 a是“关联的” ，且任取集合 i a， j aM，总存在M 的关联子集A，使得 i a， j aA若 12345 aaaaa，求证： 1 a， 2 a， 3 a， 4 a， 5 a是 等差数列； （）集合M是“独立的” ，求证：存在xM，使得 2 9 4 nn x 第 7 页（共 2

13、2 页） 2020 年北京市高考数学全真模拟试卷（年北京市高考数学全真模拟试卷（1） （） （3 月份）月份） 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题：本题共一、选择题：本题共 10 小题，每小题小题，每小题 4 分，共分，共 40 分在每小题给出的四个选项中，只有分在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的一项是符合题目要求的 1 （4 分）已知集合 |1Ax x， |31 x Bx，则( ) A |0ABx x BABR C |1ABx x DAB 【解答】解：集合 |1Ax x， |31 |0 x Bxx x， |0ABx x，故A正确，D错误； |1ABx x，故B

14、和C都错误 故选：A 2 （4 分）若复数 1 1 i z ai 为纯虚数，则实数a的值为( ) A1 B0 C 1 2 D1 【解答】解：复数 22 1(1)(1)11 1(1)(1)11 iiaiaa zi aiaiaiaa 为纯虚数， 2 1 0 1 a a ， 2 1 0 1 a a ， 解得1a 故选：D 3 （4 分）双曲线 22 41xy的离心率为( ) A5 B 5 2 C3 D 3 2 【解答】解：由题设条件可知： 1 2 a ， 5 2 c ，5 c e a 故选：A 4 （4 分）下列函数中，既是偶函数又在区间(0,)上单调递增的是( ) Ayx B 2 1yx Ccos

15、yx D 1 2 yx 【解答】解：Ayx 在(0,)上单调递减，该选项错误； B 2 1yx为偶函数，且0x 时为增函数数；符合题意； 第 8 页（共 22 页） Ccosyx在(0,)不单调，该选项错误； D 1 2 yx的图象不关于y轴对称，不是偶函数，该选项错误 故选：B 5 （4 分）若1ba，则下列不等式一定正确的是( ) A2ab B2ab C 11 ab D2 ba ab 【解答】解：当 63 42 b ， 5 4 a 时， 15 2 8 ab ；故A错； 此时 11 2 4 ab，故B错； 而 1412 53ab ，故C错； 因为：0a ，0b ，2 ab ba ，而ab，所

16、以2 ab ba ，故D 对 故选：D 6 （4 分）在 5 1 ()x x 的展开式中， 3 x的系数为( ) A5 B5 C10 D10 【解答】解： 5 1 ()x x 的展开式的通项公式为 55 2 155 1 ()( 1) rrrrrr r TC xC x x 令523r，则1r ， 5 1 ()x x 的展开式中含 3 x项的系数是5 故选：A 7 （4 分）紫砂壶是中国特有的手工制造陶土工艺品，其制作始于明朝正德年间紫砂壶的 壶型众多，经典的有西施壶、掇球壶、石瓢壶、潘壶等其中，石瓢壶的壶体可以近似看成 一个圆台（即圆锥用平行于底面的平面截去一个锥体得到的） 如图给出了一个石瓢壶

17、的相 关数据（单位：)cm，那么该壶的容量约为( ) A 3 100cm B 3 200cm C 3 300cm D 3 400cm 【解答】解：设大圆锥的高为h，所以 46 10 h h ，解得10h 第 9 页（共 22 页） 故 223 11196 51036200 333 Vcm 故选：B 8（4 分） 设 n a为等差数列，p、q、k、l为正整数， 则 “pqkl” 是 “ pqkl aaaa” 的( ) A充分而不必要条件 B必要而不充分条件 C充分必要条件 D既不充分也不必要条件 【解答】解： n a为等差数列，p、q、k、l为正整数，设公差为d； 则 11111 ()()(1)

18、(1) (1)()(1) pqk aaaaapdaqdakdapqkd； 若已知“pqkl” ，当0d 时，有 pqkl aaaa；当0d时，有 pqkl aaaa； “pqkl”推不出“ pqkl aaaa” ； 若已知 “ pqkl aaaa” ， 当0d 时， 有 “pqkl” ； 当0d 时， 有 “pqkl” ； pqkl aaaa” ，推不出“pqkl” ； “pqkl”是“ pqkl aaaa”的既不充分也不必要条件； 故选：D 9 （4 分）众所周知的“太极图” ，其形状如对称的阴阳两鱼互抱在一起，因而也被称为“阴 阳鱼太极图” ，如图所示，放在平面直角坐标系中的“太极图” ，

19、整个图形是一个圆形，其中 黑色阴影区域在y轴右侧部分的为一个半圆，给出以下命题： 在太极图中随机取一点，此点取自黑色阴影部分的概率是 1 2 当 4 3 a 时，直线(2)ya x与黑色阴影部分有公共点 当0a，1时，直线(2)ya x与黑色阴影部分有两个公共点 其中所有正确结论的序号是( ) 第 10 页（共 22 页） A B C D 【解答】解：由对称性可知，在太极图中随机取一点，此点取自黑色阴影部分的概率是 1 2 ， 故正确； 当 4 3 a 时，直线(2)ya x化为 4 (2) 3 yx ，即4380xy 此时点(0,1)到直线4380xy的距离 |38| 1 5 d ，直线(2

20、)ya x与黑色阴影部分有 公共点，故正确； 当0a 时，直线(2)ya x为0y ，与黑色阴影部分有无数公共点，故错误 所有正确结论的序号是 故选：D 10 （4 分） 已知某校运动会男生组田径综合赛以选手三项运动的综合积分高低决定排名 具 体积分规则如表 1 所示，某代表队四名男生的模拟成绩如表 2 表 1 田径综合赛项目及积分规则 项目 积分规则 100 米跑 以 13 秒得 60 分为标准， 每少 0.1 秒加 5 分， 每多 0.1 秒扣 5 分 跳高 以 1.2 米得 60 分为标准，每多 0.02 米加 2 分，每少 0.02 米扣 2 分 掷实心球 以 11.5 米得 60 分

21、为标准，每多 0.1 米加 5 分，每少 0.1 米扣 5 分 表 2 某队模拟成绩明细 第 11 页（共 22 页） 姓名 100 米跑（秒) 跳高（米) 掷实心球（米) 甲 13.3 1.24 11.8 乙 12.6 1.3 11.4 丙 12.9 1.26 11.7 丁 13.1 1.22 11.6 根据模拟成绩，该代表队应选派参赛的队员是( ) A甲 B乙 C丙 D丁 【解答】解：由题意知，四名运动员的各项得分成绩如下； 姓名 100 米跑（秒) 跳高（米) 掷实心球（米) 合计 甲 45 64 75 184 乙 80 70 55 205 丙 65 66 70 201 丁 55 62

22、65 182 由表中数据知，乙的综合得分最高，应选乙参加比赛 故选：B 二、填空题：本题共二、填空题：本题共 6 个小题，每小题个小题，每小题 5 分，共分，共 30 分分 11 （5 分）已知向量(1,2)a ，(3, )bt，且/ /ab，则t 6 【解答】解：由向量(1,2)a ，(3, )bx，若/ /ab，可得236x 故答案为：6 12 （5 分） 已知a，b，c分别为ABC内角A，B，C的对边， 2 2cab且 1 sinsin 2 AC， 则cos A 7 8 【解答】解： 2 2cab且 1 sinsin 2 AC， 由正弦定理可得，2ac， 2bca， 则 222 7 co

23、s 28 bca A bc 故答案为： 7 8 第 12 页（共 22 页） 13 （5 分）抛物线 2 2ypx上一点M到焦点(1,0)F的距离等于 4，则p 2 ；点M的坐 标为 【解答】解：抛物线 2 2ypx的焦点坐标为( 2 p ，0)，由题意可得1 2 p ，即2p ； 抛物线 2 4yx的准线方程为1x ， 设( , )M m n，可得14m ，即3m ， 可得 2 12n ，即2 3n ， 故答案为：2，(3, 2 3) 14 （5 分）已知函数( )2sinf xx，( )2cosg xx，其中0，A，B，C是这两 个函数图象的交点，且不共线 当1时，ABC面积的最小值为 2

24、 ； 若存在ABC是等腰直角三角形，则的最小值为 【解答】解：函数( )2sinf xx，( )2cosg xx，其中0，A，B，C是这两个 函数图象的交点， 当1时，( )2sinf xx，( )2cosg xx 所以函数的交点间的距离为一个周期2高为 22 222 22 所以： 1 2(1 1)2 2 ABC S 如图所示： 当1时，ABC面积的最小值为2； 若存在ABC是等腰直角三角形，利用直角三角形斜边的中线等于斜边的一半， 第 13 页（共 22 页） 则 222 2 ( 22) 22 ， 解得的最小值为 2 故答案为：2 , 2 15 （5 分）某部影片的盈利额（即影片的票房收入与

25、固定成本之差）记为y，观影人数记 为x，其函数图象如图（1）所示由于目前该片盈利未达到预期，相关人员提出了两种调 整方案，图（2） 、图（3）中的实线分别为调整后y与x的函数图象 给出下列四种说法： 图（2）对应的方案是：提高票价，并提高成本； 图（2）对应的方案是：保持票价不变，并降低成本； 图（3）对应的方案是：提高票价，并保持成本不变； 图（3）对应的方案是：提高票价，并降低成本 其中，正确的说法是 （填写所有正确说法的编号） 【解答】解：由图可知，点A纵坐标的相反数表示的是成本，直线的斜率表示的是票价， 故图（2）降低了成本，但票价保持不变，即对；图（3）成本保持不变，但提高了票价，

26、即对； 故选： 四、解答题：本大题共四、解答题：本大题共 6 小题，共小题，共 85 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 16（14 分） 已知四边形ABCD为直角梯形，/ /ADBC，ABBC，24BCAB，3AD ， 过BC的中点F作/ /EFAB，交AD于点E，沿EF将四边形EFCD折起，连接AD、AC、 BC （1）求证：/ /BE平面ACD； （2）若平面CDEF 平面ABFE，求二面角BACD的大小 第 14 页（共 22 页） 【解答】解： （1）证明：连接AF交BE于点O，设G为AC的中点，连接OG，DG，如 图所示， 由题意知，四

27、边形ABFE为平行四边形，则O为AF的中点，故/ /OGCF，且 1 2 OGCF， 由已知得，/ /DECF，且 1 2 DECF， / /DEOG且DEOG， 四边形DEOG为平行四边形， / /OEDG，即/ /BEDG， DG在平面ACD内，BE不在平面ACD内， / /BE平面ACD； （2）由已知可得四边形ABFE为边长为 2 的正方形，所以AEEF， 由于平面CDEF 平面ABFE，且DEEF，则DE 平面ABFE，所以DEAE， 故EA，EF，ED两两垂直，以E为坐标原点， EA，EF，ED分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，如右图所示， 则(0E，0，0)，(2A，0，

28、0)，(2B，2，0)，(0F，2，0)，(0D，0，1)， (0C，2，2)，可得(0, 2,0),( 2,2,2),( 2,0,1)BAACDA ， 设平面BAC的一个法向量为( , , )mx y z， 则 0 0 mB A mA C ， 即 20 2220 y xyz ， 则( 1 , 0 , 1 )m ， 设平面DAC的一个法向量为( , , )na b c， 则 0 0 nD A nA C ， 即 20 2220 ac abc ， 则( 1 , 1 , 2 )n ， 3 cos, |2 m n m n m n ， 第 15 页（共 22 页） 显然，二面角BACD的平面角为钝角，所

29、以所求二面角BACD的大小为 5 6 17 （14 分）在 3 5a ， 252 6aab； 2 2b ， 343 3aab； 3 9S ， 452 8aab， 这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答 已知等差数列 n a的公差为(1)d d ， 前n项和为 n S， 等比数列 n b的公比为q， 且 11 ab， dq， 2 2b ， 343 3aab （1）求数列 n a， n b的通项公式 （2）记 n n n a c b ，求数列 n c的前n项和 n T 【解答】解：选择 2 2b ， 343 3aab； （1）设 11 abt，1dq，由 2 2b ， 343 3aab，可

30、得2tq ， 2 253tdtq， 第 16 页（共 22 页） 又dq，解得2dq，1t ， 可得12(1)21 n ann ； 1 2n n b ； （2） 1 1 (21) ( ) 2 nn n n a cn b ， 前n项和 1 111 1135(21) ( ) 242 n n Tn ， 11111 135(21) ( ) 22482 n n Tn， 两式相减可得 2 11111 1 1( )(21) ( ) 22422 nn n Tn ， 1 1 1 1 2 1(1) ( ) 1 2 1 2 n n n ， 化简可得 1 1 6(23) ( ) 2 n n Tn 18 （14 分）高

31、铁和航空的飞速发展不仅方便了人们的出行，更带动了我国经济的巨大发 展据统计，在 2018 年这一年内从A市到B市乘坐高铁或飞机出行的成年人约为 50 万人 次 为了解乘客出行的满意度， 现从中随机抽取 100 人次作为样本， 得到如表 （单位： 人次） : 满意度 老年人 中年人 青年 人 乘坐高铁 乘坐飞机 乘坐高铁 乘 坐 飞 机 乘 坐 高 铁 乘 坐 飞 机 10 分 （满意） 12 1 20 2 20 1 5 分（一般） 2 3 6 2 4 9 0 分（不满 意） 1 0 6 3 4 4 （1）在样本中任取 1 个，求这个出行人恰好不是青年人的概率； （2）在 2018 年从A市到B

32、市乘坐高铁的所有成年人中，随机选取 2 人次，记其中老年人 出行的人次为X以频率作为概率，求X的分布列和数学期望； 第 17 页（共 22 页） （3）如果甲将要从A市出发到B市，那么根据表格中的数据，你建议甲是乘坐高铁还是飞 机？并说明理由 【解答】解： （1）设事件： “在样本中任取 1 个，这个出行人恰好不是青年人”为M， 由表可得：样本中出行的老年人、中年人、青年人人次分别为 19，39，42， 所以在样本中任取 1 个，这个出行人恰好不是青年人的概率 193929 () 10050 P M ； （2）由题意，X的所有可能取值为：0，1，2， 因为在 2018 年从A市到B市乘坐高铁的

33、所有成年人中，随机选取 1 人次，此人 为老年人概率是 151 755 ， 所以 02 2 116 (0)(1) 525 P XC， 1 2 118 (1)(1) 5525 P XC， 22 2 11 (2)( ) 525 P XC， 所以随机变量X的分布列为： x 0 1 2 P 16 25 8 25 1 25 故 16812 ()012 2525255 E X ； （3）从满意度的均值来分析问题如下： 由表可知，乘坐高铁的人满意度均值为： 52 1012511 0116 52121115 ， 乘坐飞机的人满意度均值为： 4 101457022 41475 ， 因为116 22 155 ，

34、所以建议甲乘坐高铁从A市到B市 19 （15 分）已知函数 2 1 ( ) 2 x f xeaxx，其中1a （1）当0a 时，求曲线( )yf x在点(0，(0)f处的切线方程； （2）当1a 时，求函数( )f x的单调区间； （3）若 2 1 ( ) 2 f xxxb对于xR恒成立，求ba的最大值 【解答】解： （1）由 2 1 ( ) 2 x f xex，得( ) x fxex， 所以(0)1f，(0)1 f 所以曲线( )yf x在点(0，(0)f处的切线方程为10xy 第 18 页（共 22 页） （2）由 2 1 ( ) 2 x f xexx，得( )1 x fxex 因为(0)

35、0 f ，且( )1 x fxex 在(,) 上单调递增，所以 由( )10 x fxex 得，0x ， 所以函数( )f x在(0,)上单调递增， 由( )10 x fxex 得，0x 所以函数( )f x在(,0)上单调递减 综上，函数( )f x的单调递增区间为(0,)，单调递减区间为(,0) （3）由 2 1 ( ) 2 f xxxb，得(1)0 x eaxb 在xR上恒成立 设( )(1) x g xeaxb， 则( )(1) x g xea 由( )(1)0 x g xea，得(1)xln a，(1)a 随着x变化，( )g x与( )g x的变化情况如下表所示： x (，(1)l

36、n a (1)ln a ( (1)ln a，) ( )g x 0 ( )g x 极小值 所以( )g x在(，(1)ln a 上单调递减，在( (1)ln a，)上单调递增 所以函数( )g x的最小值为( (1)(1)(1) (1)g ln aaaln ab 由题意，得( (1) 0g ln a，即1(1) (1)baaln a 设( )1(0)h xxlnx x ，则( )1h xlnx 因为当 1 0x e 时，10lnx ；当 1 x e 时，10lnx ， 所以( )h x在 1 (0, ) e 上单调递增，在 1 ( ,) e 上单调递减 所以当 1 x e 时， 11 ( )(

37、)1 max h xh ee 所以当 1 1a e ，1(1) (1)baaln a ，即 1 1a e ， 2 b e 时，ba有最大值为 1 1 e 20 （14 分）已知点E在椭圆 22 22 :1(0) xy Cab ab 上，以E为圆心的圆与x轴相切于椭 圆C的右焦点 2 F，与y轴相交于A，B两点，且ABE是边长为 2 的正三角形 第 19 页（共 22 页） （）求椭圆C的方程； （）已知圆 22 18 : 5 O xy，设圆O上任意一点P处的切线交椭圆C于M、N两点，试 判断以MN为直径的圆是否过定点？若过定点， 求出该定点坐标， 并直接写出| |PMPN的 值；若不过定点，请

38、说明理由 【解答】解： （）由题意可得 2 EFx轴，可得 2 ( ,) b E c a ， ABE是边长为 2 的正三角形，可得 3 23 2 c ，则 2 2 b a ，且 22 3ab， 解得3a ，3b ， 可得椭圆方程为 22 1 93 xy ； （）当过点P且与圆O相切的切线的斜率不存在， 可 设 切 线 方 程 为 18 5 x ， 由 （ ） 可 得 18 ( 5 M， 18 ) 5 ， 18 ( 5 N， 18 ) 5 ， 1818 0 55 OM ON ，可得OMON， 此时 22 18 | | | 5 PMPNOPr； 当过点P且与圆O相切的切线的斜率存在， 可设切线方程

39、为ykxm， 设 1 (M x，1)y， 2 (N x， 2) y， 由直线和圆相切可得 2 |18 5 1 m k ，即 22 518(1)mk， 联立直线方程ykxm和椭圆方程 22 2318xy， 可得 222 (23)63180kxkmxm， 即有0， 12 2 6 23 km xx k ， 2 12 2 318 23 m x x k ， 22222 2222 121212121212 2222 31865181818181818 ()()(1)()(1)()0 23232323 mkmmkkk OM ONx xy yx xkxm kxmkx xkm xxmkkmm kkkk ， 可得

40、OMON，此时 22 18 | | | 5 PMPNOPr 综上可得， 18 | | 5 PMPN 为定值 21 （14 分）已知集合*MN，且M中的元素个数n大于等于 5若集合M中存在四个 第 20 页（共 22 页） 不同的元素a，b，c，d，使得abcd，则称集合M是“关联的” ，并称集合a，b， c，d是集合M的 “关联子集” ； 若集合M不存在 “关联子集” ， 则称集合M是 “独立的” （）分别判断集合2，4，6，8，10和集合1，2，3，5，8是“关联的”还是“独立 的”？若是“关联的” ，写出其所有的关联子集； （）已知集合 1 a， 2 a， 3 a， 4 a， 5 a是“关

41、联的” ，且任取集合 i a， j aM，总存在M 的关联子集A，使得 i a， j aA若 12345 aaaaa，求证： 1 a， 2 a， 3 a， 4 a， 5 a是 等差数列； （）集合M是“独立的” ，求证：存在xM，使得 2 9 4 nn x 【解答】解：( )2I，4，6，8，10是“关联的” ，关联子集有2，4，6，8，4，6，8， 10，2，4，8，10，1，2，3，5，8是“独立的” （） 记集合M的含有四个元素的集合分别为： 12 Aa， 3 a， 4 a， 5 a， 21 Aa， 3 a， 4 a， 5 a， 31 Aa， 2 a， 4 a， 5 a， 41 Aa，

42、2 a， 3 a， 5 a， 51 Aa， 2 a， 3 a， 4 a， 所以，M至多有 5 个“关联子集” ， 若 21 Aa， 3 a， 4 a， 5 a为“关联子集” ，则 12 Aa， 3 a， 4 a， 5 a，不是“关联子集” ， 否则 12 aa， 同理可得若 21 Aa， 3 a， 4 a， 5 a为“关联子集” ，则 3 A， 4 A不是“关联子集” ， 所以集合M没有同事含有元素 2 a， 5 a的“关联子集” ，与已知矛盾 所以 21 Aa， 3 a， 4 a， 5 a一定不是“关联子集” ， 同理 41 Aa， 2 a， 3 a， 5 a一定不是“关联子集” ， 所以集

43、合M的“关联子集”至多为 1 A， 3 A， 5 A， 若 1 A不是 “关联子集” ， 则此时集合M一定不含有元素 3 a， 5 a的 “关联子集” ， 与已知矛盾； 若 3 A不是 “关联子集” ， 则此时集合M一定不含有元素 1 a， 5 a的 “关联子集” ， 与已知矛盾； 若 5 A不是 “关联子集” ， 则此时集合M一定不含有元素 1 a， 3 a的 “关联子集” ， 与已知矛盾； 所以 1 A， 3 A， 5 A都是“关联子集” ， 第 21 页（共 22 页） 所以有 2534 aaaa，即 5432 aaaa； 1524 aaaa，即 5421 aaaa； 1423 aaaa

44、，即 4321 aaaa； 所以 544321 aaaaaa，所以 1 a， 2 a， 3 a， 4 a， 5 a是等差数列 （） 不妨设集合 1 Ma， 2 a，(5) n an， * i aN，1i ， 2，n， 且 12n aaa， 记 | ij Tt taa，1 tj n剟，i， * jN， 因为集合M是“独立的”的，所以容易知道T中恰好由 2 (1) 2 n n n C 个元素， 假设结论错误，即不存在xM，使得 2 9 4 nn x ， 所以任取xM， 2 9 4 nn x ，因为 * xN，所以 2 8 4 nn x ， 所以 2222 888 113 4422 ij nnnnnnnn aa ， 所以任取tT， 2 3 2 nn t ，任取tT，123t， 所以3T ，4， 2 3 2 nn ，且T中含有 2 (1) 2 n n n C 个元素， ( ) i若3T，则必有 1 1a ， 2 2a 成立， 因为5n，所以一定有 121nn aaaa 成立，所以 1 2 nn aa