2020年四川省乐山市高考数学一诊试卷（文科）.docx

1、 第 1 页（共 18 页） 2020 年四川省乐山市高考数学一诊试卷（文科）年四川省乐山市高考数学一诊试卷（文科） 一、选择题：本大题共一、选择题：本大题共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 60 分在每小题给出的四个选项中只分在每小题给出的四个选项中只 有一项是符合题目要求的有一项是符合题目要求的 1 （5 分）设全集为R，集合 2 |90Ax x， | 15Bxx ，则()( R AB ) A( 3,0) B( 3, 1) C( 3，1 D( 3,3) 2 （5 分）式子 1cos260 2 的值等于( ) Asin40 Bcos40 Ccos130 Dcos50 3 （

2、5 分）已知(5, 1)OA ，(3,2)OB ，AB对应的复数为z，则(z ) A5i B32i C23i D23i 4 （5 分）在一次期末考试中，随机抽取 200 名学生的成绩，成绩全部在 50 分至 100 分之 间， 将成绩按如下方式分成 5 组：50，60)，60，70)，70，80)，80，90)，90，100) 据 此绘制了如图所示的频率分布直方图则这 200 名学生中成绩在80，90)中的学生有( ) A30 名 B40 名 C50 名 D60 名 5 （5 分）函数 3 32,0 ( ) 6,0 x x f x xlogx 的零点之和为( ) A1 B1 C2 D2 6 （

3、5 分）我市高中数学研究会准备从会员中选拔x名男生，y名女生组成个小组去参加 数学文化知识竞赛，若x，y满足约束条件 25 1 1 2 7 xy yx x ，则该小组最多选拔学生( ) A21 名 B16 名 C13 名 D11 名 7 （5 分）函数( )() sin xx f xeex 的图象大致是( ) 第 2 页（共 18 页） A B C D 8 （5 分）元朝著名数学家朱世杰在四元玉鉴中有一首诗： “我有一壶酒，携着游春走， 遇店添一倍，逢友饮一斗，店友经三处，没了壶中酒，借问此壶中，当原多少酒？”用程序 框图表达如图所示若将 “没了壶中酒” 改为 “剩余原壶中 1 3 的酒量”

4、即输出值是输入值的 1 3 ， 则输入的(x ) A 3 5 B 9 11 C 21 23 D 45 47 9 （5 分）已知三个数 0.5 3a ， 3 log 2b ， 3 cos 2 c ，则它们之间的大小关系是( ) Acab Bcba Cabc Dbca 10 （5 分）已知单位向量 1 e， 2 e分別与平面直角坐标系x，y轴的正方向同向，且向量 12 3ACee， 12 26BDee，则平面四边形ABCD的面积为( ) 第 3 页（共 18 页） A10 B2 10 C10 D20 11 （5 分）函数 32 (2) ,0 ( ) 1 2,0 2 a x xaxa x f x x

5、 ，若函数( )f x在R上单调递增，则实数a的取值范 围是( ) A 3 2 ，2 B0， 1 2 C0， 3 2 D0，2 12 （5 分）如图，已知函数 3 ( )|sin| 2 f xx， 1 A， 2 A， 3 A是图象的顶点，O，B，C， D为( )f x与x轴的交点， 线段 3 A D上有五个不同的点 1 Q， 2 Q， 5 Q， 记 2 (1 ii nOA OQ i， 2，5)，则 125 nnn的值为( ) A 15 3 2 B45 C153 4 D 45 2 二、填空题：本大题共二、填空题：本大题共 4 小题；每小题小题；每小题 5 分，共分，共 20 分分 13 （5 分

6、）命题“xR ，( )f xx”的否定形式是 14 （5 分） 如图， 函数( )f x的图象是折线段ABC， 其中A，B，C的坐标为(0,4)，(2,0)， (6,4)，则( (0)f f ；函数( )f x在1x 处导数f（1） 15 （5 分）如图，在单位圆中，72 3 PON S，MON为等边三角形，M、N分别在单位 圆的第一、二象限内运动，则sinPOM 第 4 页（共 18 页） 16 （5 分）在ABC中，a，b，c分别是内角A，B，C的对边，D是AB上的三等分点 （靠近点)A，且1CD ，()sin()(sinsin)abAcbCB，则2ab的最大值是 三、解答题：本大题共三、

7、解答题：本大题共 5 小题，共小题，共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或推演步骤分解答应写出文字说明、证明过程或推演步骤 17 （12 分）已知 n a是递增的等差数列，且满足 24 20aa， 15 36a a （1）求数列 n a的通项公式； （2）若 * 1 30() 2 nn banN，求数列 n b的前n项和 n T的最小值 18 （12 分） 在ABC中， 内角A，B，C对应的边分别为a，b，c， 且满足 cos cos3 Aa Cbc （1）求sin2A； （2）若1a ，ABC的面积为2，求bc的值 19 （12 分）已知四棱锥PABCD中，侧面PAD 底面ABCD，PB

8、AD，PAD是边长 为 2 的正三角形，底面ABCD是菱形，点M为PC的中点 （1）求证：/ /PA平面MDB； （2）求三棱锥PDBM的体积 20 （12 分）某校为了了解篮球运动是否与性别相关，在高一新生中随机调查了 40 名男生 和 40 名女生，调查的结果如表： 喜欢 不喜欢 总计 女生 8 男生 20 第 5 页（共 18 页） 总计 （1）根据题意完成上面的列联表，并用独立性检验的方法分析，能否在犯错的概率不超过 0.01 的前提下认为喜欢篮球运动与性别有关？ （2）从女生中按喜欢篮球运动与否，用分层抽样的方法抽取 5 人做进一步调查，从这 5 人 中任选 2 人，求 2 人都喜欢

9、篮球运动的概率 附： 2 0 ()P Kk 0.100 0.050 0.010 0.001 0 k 2.705 3.841 6.635 10.828 2 2 () ()()()() n adbc K ab cd ac bd ，nabcd 21 （12 分）已知函数 2 1 ( )(32)() 2 x f xmexmR （1）若0x 是函数( )f x的一个极值点，试讨论( )( )()h xblnxf x hR的单调性； （2）若( )f x在R上有且仅有一个零点，求m的取值范围 22（10 分） 在平面直角坐标系xOy中， 已知曲线 1 C的参数方程为 510 10 xcos ysin 为参

10、数， 以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系， 曲线 2 C的极坐标方程为4cos （1）求曲线 1 C与曲线 2 C两交点所在直线的极坐标方程； （2）若直线l的极坐标方程为sin()2 2 4 ，直线l与y轴的交点为M，与曲线 1 C相 交于A，B两点，求|MAMB的值 选修选修 4-5：不等式选讲：不等式选讲 23已知x，y，z均为正数 （1）若1xy ，证明：| | 4xzyzxyz； （2）若 1 3 xyz xyz ，求222 xyyzxz 的最小值 第 6 页（共 18 页） 2020 年四川省乐山市高考数学一诊试卷（文科）年四川省乐山市高考数学一诊试卷（文科） 参考答

11、案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题：本大题共一、选择题：本大题共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 60 分在每小题给出的四个选项中只分在每小题给出的四个选项中只 有一项是符合题目要求的有一项是符合题目要求的 1 （5 分）设全集为R，集合 2 |90Ax x， | 15Bxx ，则()( R AB ) A( 3,0) B( 3, 1) C( 3，1 D( 3,3) 【解答】 解： 集合 2 |90 | 33Ax xxx ， | 15Bxx ， |1 RB x x， 或5x ， 则() |31 R ABxx， 故选：C 2 （5 分）式子 1cos260 2 的值等于(

12、 ) Asin40 Bcos40 Ccos130 Dcos50 【解答】解： 2 2 1cos260121301 130|cos130 | cos50sin40 22 cos cos 故选：A 3 （5 分）已知(5, 1)OA ，(3,2)OB ，AB对应的复数为z，则(z ) A5i B32i C23i D23i 【解答】解：(5, 1)OA ，(3,2)OB ， ()( 2ABOAOB ，3)，对应的复数为23zi ， 则23zi ， 故选：D 4 （5 分）在一次期末考试中，随机抽取 200 名学生的成绩，成绩全部在 50 分至 100 分之 间， 将成绩按如下方式分成 5 组：50，

13、60)，60，70)，70，80)，80，90)，90，100) 据 此绘制了如图所示的频率分布直方图则这 200 名学生中成绩在80，90)中的学生有( ) 第 7 页（共 18 页） A30 名 B40 名 C50 名 D60 名 【解答】 解： 成绩在80，90)内的学生所占的频率为1(0.005 20.0250.045) 100.2， 所以这 200 名同学中成绩大于等于 80 分且小于 90 分的学生有2000.240名， 故选：B 5 （5 分）函数 3 32,0 ( ) 6,0 x x f x xlogx 的零点之和为( ) A1 B1 C2 D2 【解答】解：函数 3 32,0

14、 ( ) 6,0 x x f x xlogx ， 可得0x 时，320 x ，解得 3 log 2x ， 0x时， 3 log 60x，解得 3 log 6x 所以函数 3 32,0 ( ) 6,0 x x f x xlogx 的零点之和为： 33 log 2log 61 故选：A 6 （5 分）我市高中数学研究会准备从会员中选拔x名男生，y名女生组成个小组去参加 数学文化知识竞赛，若x，y满足约束条件 25 1 1 2 7 xy yx x ，则该小组最多选拔学生( ) A21 名 B16 名 C13 名 D11 名 【解答】解：画出x，y满足约束条件 25 1 1 2 7 xy yx x ，

15、表示的平面区域，如图所示； 要求招入的人数最多，即zxy取得最大值，目标函数化为yxz ； 第 8 页（共 18 页） 在可行域内任意取x，y且为正整数使得目标函数代表的斜率为定值1， 截距最大时的直线为过 7 25 x xy 得(7,9)A，此时目标函数取得最大值为：9716z 故选：B 7 （5 分）函数( )() sin xx f xeex 的图象大致是( ) A B C D 【解答】解：因为()()sin()()sin( ) xxxx fxeexeexf x ，所以函数( )f x为奇函 数，其图象关于原点对称，故排除A、D； 又因为( )f x的定义域是R，排除C 故选：B 8 （5

16、 分）元朝著名数学家朱世杰在四元玉鉴中有一首诗： “我有一壶酒，携着游春走， 遇店添一倍，逢友饮一斗，店友经三处，没了壶中酒，借问此壶中，当原多少酒？”用程序 框图表达如图所示若将 “没了壶中酒” 改为 “剩余原壶中 1 3 的酒量” 即输出值是输入值的 1 3 ， 则输入的(x ) 第 9 页（共 18 页） A 3 5 B 9 11 C 21 23 D 45 47 【解答】解：1i 时21xx，2i 时，2(21)143xxx ， 3i 时，2(43)187xxx ， 4i 时，退出循环，此时 1 87 3 xx 解得 21 23 x ， 故选：C 9 （5 分）已知三个数 0.5 3a

17、， 3 log 2b ， 3 cos 2 c ，则它们之间的大小关系是( ) Acab Bcba Cabc Dbca 【解答】解： 0.50 331a ， 333 1 1log 3log 2log3 2 b， 31 coscoscos 2232 c ， cba 故选：B 10 （5 分）已知单位向量 1 e， 2 e分別与平面直角坐标系x，y轴的正方向同向，且向量 12 3ACee， 12 26BDee，则平面四边形ABCD的面积为( ) 第 10 页（共 18 页） A10 B2 10 C10 D20 【解答】解： 1212 (3) (26)660AC BDeeee， ACBD， 又 22

18、|3( 1)10AC ， 22 |262 10BD ， 平面四边形ABCD的面积 11 | |102 1010 22 ACBD， 故选：C 11 （5 分）函数 32 (2) ,0 ( ) 1 2,0 2 a x xaxa x f x x ，若函数( )f x在R上单调递增，则实数a的取值范 围是( ) A 3 2 ，2 B0， 1 2 C0， 3 2 D0，2 【解答】解：由题知，20a，即2a ， 由 32 yxaxa得 2 320yxax 在(x ，0上恒成立， 则 3 2 ax在(x ，0上上恒成立，即0a， 又函数( )f x在R上单调递增，则需满足 3 2 a， 综上，实数的取值范

19、围是：0， 3 2 故选：C 12 （5 分）如图，已知函数 3 ( )|sin| 2 f xx， 1 A， 2 A， 3 A是图象的顶点，O，B，C， D为( )f x与x轴的交点， 线段 3 A D上有五个不同的点 1 Q， 2 Q， 5 Q， 记 2 (1 ii nOA OQ i， 2，5)，则 125 nnn的值为( ) A 15 3 2 B45 C153 4 D 45 2 第 11 页（共 18 页） 【解答】解：由题意得，函数( )f x的周期1T ，即B，C，D的横坐标分别为 1，2，3， 故 23 3353 ( ,),( ,) 2222 AA， 则 23 3 0 3 2 ,3

20、5 3 3 2 OADA kk ， 因为 23 1 OADA kk ，故 23 OADA， 故 1252123452123452 345 ()(5)55(30) 22 nnnOA OQOQOQOQOQOAODDQDQDQDQDQOA OD 故选：D 二、填空题：本大题共二、填空题：本大题共 4 小题；每小题小题；每小题 5 分，共分，共 20 分分 13 （5 分）命题“xR ，( )f xx”的否定形式是 0 xR， 00 ()f xx 【解答】解：否定：否定量词，否定结论 故命题“xR ，( )f xx”的否定形式是为： 0 xR， 00 ()f xx 故答案为： ： 0 xR， 00 (

21、)f xx 14 （5 分） 如图， 函数( )f x的图象是折线段ABC， 其中A，B，C的坐标为(0,4)，(2,0)， (6,4)，则( (0)f f 2 ；函数( )f x在1x 处导数f（1） 【解答】解： （1）由图象可知(0)4f，f（4）2， 即( (0)2f f （2）(0)4f，f（4）2，f（2）4， 由函数的图象可知， 24,02 2,26 xx y xx 剟 剟 ， 当02x剟时，( )2fx 第 12 页（共 18 页） f （1）2 故答案为：2，2 15 （5 分）如图，在单位圆中，72 3 PON S，MON为等边三角形，M、N分别在单位 圆的第一、二象限内运

22、动，则sinPOM 5 3 14 【解答】解：设POM，因为72 3 PON S， 所以 12 3 sin(60 ) 27 ，又MON为等边三角形，M、N分别在单位圆的第一、二象限 内运动， 所以 4 3 sin(60 ),3090 7 ， 故9060120 ，得 1 cos(60 ) 7 ， 4 31135 3 sinsin(60 )60 727214 ， 故答案为： 5 3 14 16 （5 分）在ABC中，a，b，c分别是内角A，B，C的对边，D是AB上的三等分点 （靠近点)A， 且1CD ，()sin()(sinsin)abAcbCB， 则2ab的最大值是 2 3 【解答】解：由()s

23、in()(sinsin)abAcbCB， 利用正弦定理可得：()()()ab acb cb， 化为： 222 2cosabcababC，可得 1 cos 2 C ，(0, )C 3 C D是AB上的三等分点（靠近点)A， 21 33 CDCACB， 两边平方可得： 22 414 1cos 999 baabC 第 13 页（共 18 页） 整理可得： 22 429abab 22 2 (2 )929() 2 ab abab ，当且仅当23ab时取等号 解得22 3ab 2ab的最大值是2 3 三、解答题：本大题共三、解答题：本大题共 5 小题，共小题，共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或推演

24、步骤分解答应写出文字说明、证明过程或推演步骤 17 （12 分）已知 n a是递增的等差数列，且满足 24 20aa， 15 36a a （1）求数列 n a的通项公式； （2）若 * 1 30() 2 nn banN，求数列 n b的前n项和 n T的最小值 【解答】解： （1） n a是递增的等差数列，设公差为d，则0d ， 24 20aa， 15 36a a ，可得 15 20aa， 解得 1 2a ， 5 18a ， 182 4 51 d ， 则24(1)42 n ann； （2） 1 (42)30231 2 n bnn， 可得前n项和 22 1 ( 29231)30(15)225 2

25、 n Tnnnnn， 当15n 时，前n项和 n T取得最小值225 18 （12 分） 在ABC中， 内角A，B，C对应的边分别为a，b，c， 且满足 cos cos3 Aa Cbc （1）求sin2A； （2）若1a ，ABC的面积为2，求bc的值 【解答】解： （1） cos cos3 Aa Cbc ， 由正弦定理可得：cos (3sinsin)sincosABCAC， 可得：3sincossincoscossinsin()sinBAACACACB， sin0B ， 可得 1 cos 3 A ， (0, )A， 第 14 页（共 18 页） 2 2 2 sin1 3 Acos A， 4

26、2 sin22sincos 9 AAA （2） 1 sin2 2 ABC SbcA ， 3bc， 又 222 1 cos 32 bca A bc ， 222 ()23bcbcbc，即 2 ()9bc， 3bc 19 （12 分）已知四棱锥PABCD中，侧面PAD 底面ABCD，PBAD，PAD是边长 为 2 的正三角形，底面ABCD是菱形，点M为PC的中点 （1）求证：/ /PA平面MDB； （2）求三棱锥PDBM的体积 【解答】解： （1）证明：连结AC，交BD于O，由于底面ABCD为菱形， O为AC中点， 又M为PC的中点，/ /MOPA，又MO 平面MDB，PA平面MDB， / /PA平

27、面MDB （2）解：过P作PEAD，垂足为E， PAD为正三角形，E为AD的中点侧面PAD 底面ABCD， 由面面垂直的性质得PE 平面ABCD 由ADPE，ADPB，得AD 平面PEB 由ADPE，ADPB，得AD 平面PEB， ADEB，60EAB， M为PC的中点， 111131 43 222342 P DEMC DMEP CDEP ABE VVVV 第 15 页（共 18 页） 20 （12 分）某校为了了解篮球运动是否与性别相关，在高一新生中随机调查了 40 名男生 和 40 名女生，调查的结果如表： 喜欢 不喜欢 总计 女生 8 男生 20 总计 （1）根据题意完成上面的列联表，并

28、用独立性检验的方法分析，能否在犯错的概率不超过 0.01 的前提下认为喜欢篮球运动与性别有关？ （2）从女生中按喜欢篮球运动与否，用分层抽样的方法抽取 5 人做进一步调查，从这 5 人 中任选 2 人，求 2 人都喜欢篮球运动的概率 附： 2 0 ()P Kk 0.100 0.050 0.010 0.001 0 k 2.705 3.841 6.635 10.828 2 2 () ()()()() n adbc K ab cd ac bd ，nabcd 【解答】解： （1）由题意填写列联表如下； 喜欢 不喜欢 总计 女生 32 8 40 男生 20 20 40 总计 52 28 80 由表中数据

29、，计算 2 2 80(322020 8) 7.9126.635 52284040 K ， 所以能在犯错误的概率不超过 0.01 的前提下认为“喜欢篮球运动与性别有关” ； （2）从女生中按喜欢篮球运动与否，用分层抽样的方法抽取 5 人， 第 16 页（共 18 页） 其中喜欢篮球运动的有 32 54 40 （人)，不喜欢篮球运动的有 1 人； 设喜欢篮球运动的 4 人为a、b、c、d，不喜欢篮球运动的 1 人为E； 则随机抽取 2 人，所有的基本事件为： ab、ac、ad、aE、bc、bd、bE、cd、cE、dE共 10 个； 其中恰有 2 人都喜欢篮球运动的基本事件为： ab、ac、ad、b

30、c、bd、cd共 6 个， 故所求的概率为 63 105 P 21 （12 分）已知函数 2 1 ( )(32)() 2 x f xmexmR （1）若0x 是函数( )f x的一个极值点，试讨论( )( )()h xblnxf x hR的单调性； （2）若( )f x在R上有且仅有一个零点，求m的取值范围 【解答】解： （1）( )(32) x fxmex， 0x 是函数( )f x的一个极值点，则(0)320fm 2 3 m， 2 1 ( ) 2 h xblnxx 2 ( ) bbx h xx xx ， 当0b时，( ) 0h x恒成立，( )h x在(0,)上单调递减 当0b 时，( )

31、00h xxb ( )h x在( b，)上单调递减，在(0,)b递增 综上，当0b时，( )h x在(0,)上单调递减 当0b 时，( )h x在( b，)上单调递减，在(0,)b递增 （2）( )f x在R上有且仅有一个零点，即方程 2 32 2 x x m e 有唯一解， 令 2 ( ) 2 x x g x e ， (2) ( ) 2 x xx g x e ，令( )0g x，可得0x 或2x (,0)x 时，( )0g x，(0,2)x时，( )0g x，(2,)x时，( )0g x ( )g x在(0,2)递增，在(,0)，(2,)递减， 且x 时，( )0g x ，x 时，( )g

32、x 2 2 32m e 或320m 第 17 页（共 18 页） 2 22 33 m e ，或 2 3 m 所以，m的取值范围 2 22 (3 3e ， 2 ) 3 22（10 分） 在平面直角坐标系xOy中， 已知曲线 1 C的参数方程为 510 10 xcos ysin 为参数， 以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系， 曲线 2 C的极坐标方程为4cos （1）求曲线 1 C与曲线 2 C两交点所在直线的极坐标方程； （2）若直线l的极坐标方程为sin()2 2 4 ，直线l与y轴的交点为M，与曲线 1 C相 交于A，B两点，求|MAMB的值 【解答】解： （1）由 510co

33、s ( 10sin x y 为参数） ，消去参数，得曲线 1 C的普通方程为： 22 (5)10xy 由4cos， 得 2 4 c o s， 得曲线 2 C的普通方程为： 22 4xyx， 即 22 (2)4xy 由两圆心的距离3( 102, 102)d ，得两圆相交， 两方程相减可得交线为6215x，即 5 2 x 直线的极坐标方程为 5 cos 2 ； （2）由sin()2 2 4 ，得 22 sincos2 2 22 ， 直线l的直角坐标方程：4xy， 则与y轴的交点为(0,4)M 直线l的参数方程为 2 2 2 4 2 xt yt ，代入曲线 22 1( 5)10C xy，得 2 9

34、2310tt 设A，B两点的参数为 1 t， 2 t， 12 9 2tt ， 1 2 31t t ，则 1 t， 2 t同号 1212 | | | 9 2MAMBtttt 第 18 页（共 18 页） 选修选修 4-5：不等式选讲：不等式选讲 23已知x，y，z均为正数 （1）若1xy ，证明：| | 4xzyzxyz； （2）若 1 3 xyz xyz ，求222 xyyzxz 的最小值 【解答】解： （1）证明：x，y，z均为正数， | | ()() 224xzyzxz yzxzyzz xy， 当且仅当xyz时取等号 又01xy，44z xyxyz， | | 4xzyzxyz； （2） 1 3 xyz xyz ， 111 3 yzxzxy 11 22yzyz yzyz ， 11 22xzxz xzxz ， 11 22xyxy xyxy ， 当且仅当1xyz时取等号， 111 6xyyzxz xyyzxz ， 3xyyzxz，22228 xyyzxzxyyz xz ， 222 xyyzxz 的最小值为 8