2020年陕西省榆林市高考数学一模试卷（文科）.docx

1、 第 1 页（共 19 页） 2020 年陕西省榆林市高考数学一模试卷（文科）年陕西省榆林市高考数学一模试卷（文科） 一、选择题（共一、选择题（共 12 小题，每小题小题，每小题 3 分，满分分，满分 36 分）分） 1 （3 分）设32zi ，则在复平面内z对应的点位于( ) A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 2 （3 分）设集合 2 |56 0Ax xx ， |1 0Bx x ，则(AB ) A(，1 B 2，1 C 3，1 D3，) 3 （3 分）某学校组织学生参加英语测试，成绩的频率分布直方图如图，数据的分组依次为 20，40)，40，60)，60，80)，80，100，

2、若低于 60 分的人数是 15 人，则该班的 学生人数是( ) A45 B50 C55 D60 4 （3 分）若0mn，则下列结论正确的是( ) A22 mn B0.50.5 mn C 22 loglog mn D 0.50.5 loglog mn 5 （3 分）关于甲、乙、丙三人参加高考的结果有下列三个正确的判断：若甲未被录取， 则乙、丙都被录取；乙与丙中必有一个未被录取；或者甲未被录取，或者乙被录取则 三人中被录取的是( ) A甲 B丙 C甲与丙 D甲与乙 6 （3 分）已知向量(1,1),(2,2)mn，若()()mnmn，则( ) A4 B3 C2 D1 7 （3 分）已知(0, )，

3、2sin2cos21，则sin( ) A 1 5 B 5 5 C 5 5 D 2 5 5 8 （3 分）定义函数 sin ,sincos ( ) cos ,sincos xxx f x xxx ， 第 2 页（共 19 页） 给出下列四个命题： （1）该函数的值域为 1，1； （2）当且仅当2() 2 xkkZ 时，该函数取得最大值； （3）该函数是以为最小正周期的周期函数； （4）当且仅当 3 22() 2 kxkkZ 时，( )0f x 上述命题中正确的个数是( ) A1 个 B2 个 C3 个 D4 个 9 （3 分）过双曲线 22 22 1(0,0) xy ab ab 的一个焦点作实轴

4、的垂线，交双曲线于A，B两 点，若线段AB的长度恰等于焦距，则双曲线的离心率为( ) A 51 2 B 10 2 C 171 4 D 22 4 10 （3 分）已知偶函数() 2 f x ，当(, ) 2 2 x 时， 1 3 ( )sinf xxx，设af（1） ，bf （2） ，cf（3） ，则( ) Aabc Bbca Ccba Dcab 11 （3 分）若0m ，0n ，且直线(1)(1)20mxny与圆 22 2210xyxy 相 切，则mn的取值范围是( ) A22，) B22 2，) C(0，22 D(0，22 2 12（3 分） 已知函数( )()yf x xR满足(2)2 (

5、 )f xf x， 且 1x ，1时，( )| 1f xx ， 则当 10x ，10时，( )yf x与 4 ( )log |g xx的图象的交点个数为( ) A13 B12 C11 D10 二、填空题（共二、填空题（共 4 小题，每小题小题，每小题 3 分，满分分，满分 12 分）分） 13 （3 分）曲线:C yxlnx在点( , )M e e处的切线方程为 14 （3 分）抛物线 2 4yx上一点到直线45yx的距离最短，则该点的坐标是 15（3 分） 已知直三棱柱 111 ABCABC的各顶点都在同一球面上， 若1ABAC， 1 2AA ， 120BAC，则此球的表面积等于 16 （3

6、 分）在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，120ABC，ABC 的平分线交AC于点D，且1BD ，则4ac的最小值为 第 3 页（共 19 页） 三、解答题（共三、解答题（共 6 小题，满分小题，满分 0 分）分） 17如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是矩形，PA 平面ABCD，2PAAD， 1AB ，AMPD于点M，连接BM （1）求证：PDBM； （2）求三棱锥MABC的体积 18 已 知ABC的 内 角A，B，C的 对 边a，b，c分 别 满 足22cb， 2 coscoscos0bAaCcA，又点D满足 12 33 ADABAC （1）求a及角A的大小； （2）求

7、|AD的值 19在数列 n a中，任意相邻两项为坐标的点( n P a， 1)n a 均在直线2yxk上，数列 n b 满足条件： 1 2b ， * 1 () nnn baa nN （1）求数列 n b的通项公式； （2）若 2 1 log nn n cb b ，求数列 n c的前n项和 n S 20函数 22 ( )(2)()f xxax lnxxax aR （1）当4a 时，求( )f x在xe处的切线方程(e为自然对数的底数） ； （2）当6a 时，直线3y 是( )f x的一条切线，求a 21 设椭圆 22 22 :1(0) xy Cab ab 的左、 右焦点分别为 1 F， 2 F，

8、 上顶点为A， 过点A与 2 AF 垂直的直线交x轴负半轴于点Q，且 122 20FFF Q，若过A，Q， 2 F三点的圆恰好与 第 4 页（共 19 页） 直线:330l xy相切过定点(0,2)M的直线 1 l与椭圆C交于G，H两点（点G在 点M，H之间） （）求椭圆C的方程； （）设直线 1 l的斜率0k ，在x轴上是否存在点( ,0)P m，使得以PG，PH为邻边的平 行四边形是菱形如果存在，求出m的取值范围，如果不存在，请说明理由； （）若实数满足MGMH，求的取值范围 22以平面直角坐标系原点O为极点，以x轴非负半轴为极轴，以平面直角坐标系的长度单 位为长度单位建立极坐标系已知直线

9、l的参数方程为 23 ( 12 xt t yt 为参数） ，曲线C的 极坐标方程为 2 sin4cos （） 求曲线C的直角坐标方程； （） 设直线l与曲线C相交于A，B两点，求|AB 不等式选讲不等式选讲 23已知函数 13 ( ) | 22 f xxx （1）求不等式( ) 3f x 的解集； （2）若关于x的不等式 1 ( )|1| 2 f xa的解集是空集，求实数a的取值范围 第 5 页（共 19 页） 2020 年陕西省榆林市高考数学一模试卷（文科）年陕西省榆林市高考数学一模试卷（文科） 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题（共一、选择题（共 12 小题，每小题小题，每小

10、题 3 分，满分分，满分 36 分）分） 1 （3 分）设32zi ，则在复平面内z对应的点位于( ) A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 【解答】解：32zi ， 32zi ， 在复平面内z对应的点为( 3, 2) ，在第三象限 故选：C 2 （3 分）设集合 2 |56 0Ax xx ， |1 0Bx x ，则(AB ) A(，1 B 2，1 C 3，1 D3，) 【解答】解：集合 2 |56 0(Ax xx ，23，)， |1 0(Bx x ，1， 则(AB ，1， 故选：A 3 （3 分）某学校组织学生参加英语测试，成绩的频率分布直方图如图，数据的分组依次为 20，40)，

11、40，60)，60，80)，80，100，若低于 60 分的人数是 15 人，则该班的 学生人数是( ) A45 B50 C55 D60 【解答】解：成绩低于 60 分有第一、二组数据， 在频率分布直方图中，对应矩形的高分别为 0.005，0.01， 每组数据的组距为 20 则成绩低于 60 分的频率(0.0050.010)200.3P ， 又低于 60 分的人数是 15 人， 第 6 页（共 19 页） 则该班的学生人数是 15 50 0.3 故选：B 4 （3 分）若0mn，则下列结论正确的是( ) A22 mn B0.50.5 mn C 22 loglog mn D 0.50.5 log

12、log mn 【解答】解：0mn，22 mn ，0.50.5 mn ， 22 loglogmn， 0.52 loglogmn 故选：D 5 （3 分）关于甲、乙、丙三人参加高考的结果有下列三个正确的判断：若甲未被录取， 则乙、丙都被录取；乙与丙中必有一个未被录取；或者甲未被录取，或者乙被录取则 三人中被录取的是( ) A甲 B丙 C甲与丙 D甲与乙 【解答】解：若甲未被录取，则乙、丙都被录取；其逆否命题为：若乙、丙不都被录取， 则甲被录取 由乙与丙中必有一个未被录取或者甲未被录取，或者乙被录取 假设丙被录取，不正确，不符合题意 假设乙被录取，则都正确，因此甲乙都被录取 则三人中被录取的是甲乙

13、故选：D 6 （3 分）已知向量(1,1),(2,2)mn，若()()mnmn，则( ) A4 B3 C2 D1 【解答】解：(23,3),( 1, 1)mnmn ， (23)( 1)30 ，3 故选：B 7 （3 分）已知(0, )，2sin2cos21，则sin( ) A 1 5 B 5 5 C 5 5 D 2 5 5 【解答】解：(0, )， sin0， 2sin2cos21， 第 7 页（共 19 页） 2 4sincos2sin ，可得2cossin ， 又 22 sincos1， 22 1 sin(sin)1 2 ， 2 5 sin 5 故选：D 8 （3 分）定义函数 sin ,

14、sincos ( ) cos ,sincos xxx f x xxx ， 给出下列四个命题： （1）该函数的值域为 1，1； （2）当且仅当2() 2 xkkZ 时，该函数取得最大值； （3）该函数是以为最小正周期的周期函数； （4）当且仅当 3 22() 2 kxkkZ 时，( )0f x 上述命题中正确的个数是( ) A1 个 B2 个 C3 个 D4 个 【 解 答 】 解 ： 由 题 意 可 得 ： 函 数 sinxsinx cosx f x cosxsinxcosx 当时 当时 ， 即 5 s i n, 2,2 44 ( ) 3 cos ,2,2 44 xkk f x xkk ，作出

15、其图象如图，从图象上可以看出： （1）该函数的值域为 2 2 ，1；故（1）错； （2）当且仅当2() 2 xkkZ 或2()xkkZ时，该函数取得最大值；帮（2）错； （3）该函数是以2为最小正周期的周期函数； （3）错； （4）当且仅当 3 22() 2 kxkkZ 时，( )0f x ， （4）正确 故选：A 第 8 页（共 19 页） 9 （3 分）过双曲线 22 22 1(0,0) xy ab ab 的一个焦点作实轴的垂线，交双曲线于A，B两 点，若线段AB的长度恰等于焦距，则双曲线的离心率为( ) A 51 2 B 10 2 C 171 4 D 22 4 【解答】解：不妨设 0 (

16、 ,)A c y，代入双曲线 22 22 1 xy ab ，可得 2 0 b y a 线段AB的长度恰等于焦距， 2 2 2 b c a ， 22 caac， 2 10ee ， 1e ， 51 2 e 故选：A 10 （3 分）已知偶函数() 2 f x ，当(, ) 2 2 x 时， 1 3 ( )sinf xxx，设af（1） ，bf （2） ，cf（3） ，则( ) Aabc Bbca Ccba Dcab 【解答】解：当(,) 2 2 x 时，sinyx单调递增， 1 3 yx也为增函数， 函数 1 3 ( )sinf xxx，也为增函数 函数() 2 f x 为偶函数， ()() 22

17、 fxf x ，即函数的对称轴为 2 x ，即( )()f xfx f（2）(2)f，f（3）(3)f， 0312 2 ， 第 9 页（共 19 页） (3)ff（1）(2)f， 即cab， 故选：D 11 （3 分）若0m ，0n ，且直线(1)(1)20mxny与圆 22 2210xyxy 相 切，则mn的取值范围是( ) A22，) B22 2，) C(0，22 D(0，22 2 【解答】解：由圆 22 2210xyxy ，得 22 (1)(1)1xy，得到圆心坐标为(1,1)， 半径1r ， 直线(1)(1)20mxny与圆相切， 圆心到直线的距离 22 | 1 (1)(1) mn d

18、 mn ， 整理得： 2 1() 2 mn mnmn ， 设(0)mnx x，则有 2 1 4 x x ，即 2 44 0xx ， 解得：22 2x， 则mn的取值范围为22 2，) 故选：B 12（3 分） 已知函数( )()yf x xR满足(2)2 ( )f xf x， 且 1x ，1时，( )| 1f xx ， 则当 10x ，10时，( )yf x与 4 ( )log |g xx的图象的交点个数为( ) A13 B12 C11 D10 【解答】解：由题意，函数( )f x满足： 定义域为R，且(2)2 ( )f xf x，当 1x ，1时，( )| 1f xx ； 在同一坐标系中画出

19、满足条件的函数( )f x与函数 4 log |yx的图象，如图： 由图象知，两个函数的图象在区间 10，10内共有 11 个交点； 故选：C 第 10 页（共 19 页） 二、填空题（共二、填空题（共 4 小题，每小题小题，每小题 3 分，满分分，满分 12 分）分） 13 （3 分）曲线:C yxlnx在点( , )M e e处的切线方程为 2yxe 【解答】解：求导函数，1ylnx 当xe时，2y 曲线yxlnx在点( , )e e处的切线方程为2()yexe 即2yxe 故答案为：2yxe 14（3 分） 抛物线 2 4yx上一点到直线45yx的距离最短， 则该点的坐标是 1 ( 2

20、，1) 【解答】解法一：设与45yx平行的直线4yxb与 2 4yx相切，则4yxb代入 2 4yx，得 2 440xxb 16160b时1b ，代入得 1 2 x ， 所求点为 1 ( 2 ，1) 解法二：设该点坐标为 0 (A x， 0) y，那么有 2 00 4yx设点A到直线45yx的距离为d， 则 22200 00000 2 |45|1111 | 445|445|4()1| 2171717 41 xy dxxxxx 当且仅当 0 1 2 x 时，d有最小值， 第 11 页（共 19 页） 将 0 1 2 x 代入 2 4yx解得 0 1y 故A点坐标为 1 ( 2 ，1) 故答案为：

21、 1 ( 2 ，1) 15（3 分） 已知直三棱柱 111 ABCABC的各顶点都在同一球面上， 若1ABAC， 1 2AA ， 120BAC，则此球的表面积等于 8 【解答】 解： 设直三棱柱 111 ABCABC的上下底面的三角形的外接圆的圆心分别是点P，M， 设ABC的外接圆半径为r，直三棱柱 111 ABCABC的外接球的半径为R，如图所示： ， 直三棱柱 111 ABCABC的外接球的球心O为线段PM的中点， 在ABC中，1ABAC，120BAC， 由余弦定理得： 222 0 1 cos120 22 ABACBC AB AC ，3BC ， 由正弦定理得： 0 22 sin120 BC

22、 r ，1r ， 在Rt OMC中，OCR， 1 1 1 2 OMAA，1MCr， 222 112R， 直三棱柱 111 ABCABC的外接球的表面积为： 2 48R， 故答案为：8 16 （3 分）在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，120ABC，ABC 的平分线交AC于点D，且1BD ，则4ac的最小值为 9 第 12 页（共 19 页） 【解答】解：由题意得 111 sin120sin60sin60 222 acac ， 即acac， 得 11 1 ac ， 得 1144 4(4)()5 25459 caca acac acaca c ， 当且仅当 4ca ac ，即2ca

23、时，取等号， 故答案为：9 三、解答题（共三、解答题（共 6 小题，满分小题，满分 0 分）分） 17如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是矩形，PA 平面ABCD，2PAAD， 1AB ，AMPD于点M，连接BM （1）求证：PDBM； （2）求三棱锥MABC的体积 【解答】 （1）证明：PA 平面ABCD，PAAB 又BAAD，ADPAA， AB平面PAD，ABPD AMPD，ABAMA， PD平面ABM PDBM （2）解：由（1）可知：AMPD 在PAD中，2APAD，M是PD的中点 过点M作MHAD，则MH 底面ABCD，且 1 1 2 MHPA 111 2 1 1 332 AB

24、CMABC VSMH 三棱锥 第 13 页（共 19 页） 18 已 知ABC的 内 角A，B，C的 对 边a，b，c分 别 满 足22cb， 2 coscoscos0bAaCcA，又点D满足 12 33 ADABAC （1）求a及角A的大小； （2）求|AD的值 【解答】解： （1）由2 coscoscos0bAaCcA及正弦定理得 2sincossincoscossinBAACAC， 即2sincossin()sinBAACB， 在ABC中，sin0B ，所以 1 cos 2 A 又(0, )A，所以 2 3 A 在ABC中，22cb，由余弦定理得 22222 2cos7abcbcAbcb

25、c， 所以7a （2）由 12 33 ADABAC， 得 2 2 1244414 ()2 1 () 3399929 ADABAC ， 所以 2 | 3 AD 19在数列 n a中，任意相邻两项为坐标的点( n P a， 1)n a 均在直线2yxk上，数列 n b 满足条件： 1 2b ， * 1 () nnn baa nN 第 14 页（共 19 页） （1）求数列 n b的通项公式； （2）若 2 1 log nn n cb b ，求数列 n c的前n项和 n S 【解答】解： （1）依题意： 1 2 nn aak 1 2 nnnnnn baaakaak ，(*) 11 22()2 nnn

26、nn bakakkakb ， 1 2b ， 1 2 n n b b 数列 n b是以 2 为首项，2 为公比的等比数列 1 2 22 nn n b ，即为数列 n b的通项公式 （2） 22 11 log22 2 nn nn n n cblogn b 23 1 222322n n Sn ， 2341 21 2223 2(1)22 nn n Snn ， 得 111 24822222 nnnn n Snn ， 数列 n c的前n项和 11 222 nn n Sn 20函数 22 ( )(2)()f xxax lnxxax aR （1）当4a 时，求( )f x在xe处的切线方程(e为自然对数的底数

27、） ； （2）当6a 时，直线3y 是( )f x的一条切线，求a 【解答】解：( )(4)(2)2(4)f xxa lnxxaxaxa lnx，(0)x （1）4a 时， 22 ( )(24 )4f xxx lnxxx( )4(1)fxxlnx f（e） 2 e，f（e）44e ( )f x在xe处的切线方程为： 2 (44)()yeexe； （2）当6a 时，直线3y 是( )f x的一条切线， 令(4)0xa lnx，(0)x 22 (2)3xax lnxxax， 解得1x ，或 4 a x ， 1x 时，13a ，解得2a ，舍去 第 15 页（共 19 页） 4 a x 时，设 3

28、0 42 a t 化为： 2222 (24 )43ttlnttt 即： 22 2330t lntt 令 22 ( )233g tt lnttg（1）0 ( )4264 (1)g ttlntttt lnt， 令( )0g t，解得te， 可得函数在 3 (0, ) 2 上单调递增 1t ，即4a 21 设椭圆 22 22 :1(0) xy Cab ab 的左、 右焦点分别为 1 F， 2 F， 上顶点为A， 过点A与 2 AF 垂直的直线交x轴负半轴于点Q，且 122 20FFF Q，若过A，Q， 2 F三点的圆恰好与 直线:330l xy相切过定点(0,2)M的直线 1 l与椭圆C交于G，H两

29、点（点G在 点M，H之间） （）求椭圆C的方程； （）设直线 1 l的斜率0k ，在x轴上是否存在点( ,0)P m，使得以PG，PH为邻边的平 行四边形是菱形如果存在，求出m的取值范围，如果不存在，请说明理由； （）若实数满足MGMH，求的取值范围 【解答】解： （）因为 122 20FFF Q， 所以 1 F为 2 F Q中点 设Q的坐标为( 3 ,0)c， 因为 2 AQAF，所以 22 33bccc， 22 44accc， 第 16 页（共 19 页） 且过A，Q， 2 F三点的圆的圆心为 1( ,0)Fc，半径为2c （2 分） 因为该圆与直线l相切，所以 |3| 2 2 c c 解

30、得1c ，所以2a ，3b 故所求椭圆方程为 22 1 43 xy （4 分） （）设 1 l的方程为2(0)ykxk， 由 22 2 1 43 ykx xy 得 22 (34)1640kxkx 设 1 (G x， 1) y， 2 (H x， 2) y，则 12 2 16 34 k xx k （5 分） 所以 112212 (,)(,)(2PGPHxm yxm yxxm， 12) yy 12 (2xxm， 1221212121 ()4)(,)(, ()k xxGHxxyyxx k xx 由于菱形对角线互相垂直，则()0PGPH GH （6 分） 所以 21122112 ()()2 () ()4

31、0xxxxmk xxk xx 故 2 211212 ()()2()4 0xxxxmkxxk 因为0k ，所以 21 0xx 所以 2 1212 ()2()40xxmkxxk 即 2 12 (1)()420kxxkm 所以 2 2 16 (1)()420 34 k kkm k 解得 2 2 34 k m k 即 2 3 4 m k k 因为0k ，所以 3 0 6 m 故存在满足题意的点P且m的取值范围是 3 ,0) 6 （8 分） （）当直线 1 l斜率存在时， 第 17 页（共 19 页） 设直线 1 l方程为2ykx，代入椭圆方程 22 1 43 xy 得 22 (34)1640kxkx

32、由0，得 2 1 4 k （9 分） 设 1 (G x， 1) y， 2 (H x， 2) y， 则 12 2 16 34 k xx k ， 12 2 4 34 x x k 又MGMH，所以 1 (x， 12 2)(yx， 2 2)y 所以 12 xx （10 分） 所以 122 (1)xxx， 2 122 x xx 所以 221212 2 () 1 xxx x x 将上式代入整理得： 2 2 64(1) 3 4 k （11 分） 因为 2 1 4 k ，所以 2 64 416 3 4 k 即 2 (1) 416 所以 1 4216 解得74 374 3 又01，所以74 31 （13 分）

33、又当直线 1 l斜率不存在时，直线 1 l的方程为0x ， 此时(0, 3)G，(0,3)H，(0, 32)MG ，(0,32)MH ， 23 23 MGMH ，所以 74 3所以74 31，即所求的取值范围是74 3,1) （14 分） 22以平面直角坐标系原点O为极点，以x轴非负半轴为极轴，以平面直角坐标系的长度单 位为长度单位建立极坐标系已知直线l的参数方程为 23 ( 12 xt t yt 为参数） ，曲线C的 极坐标方程为 2 sin4cos （） 求曲线C的直角坐标方程； （） 设直线l与曲线C相交于A，B两点，求|AB 第 18 页（共 19 页） 【解答】解： （）曲线C的极坐

34、标方程为 2 sin4cos， 转化为： 2 ( sin )4 cos， 进一步转化为直角坐标方程为： 2 4yx （）把直线l的参数方程为 23 ( 12 xt t yt 为参数）化为：231xy， 代入 2 4yx得 2 620yy； 设A、B的纵坐标分别为 1 y、 2 y； 则 12 2y y ， 12 6yy； 则 12 |364 ( 2)2 11yy ； 2 12 313 |1()|2 11143 22 AByy ， 所以|143AB 不等式选讲不等式选讲 23已知函数 13 ( ) | 22 f xxx （1）求不等式( ) 3f x 的解集； （2）若关于x的不等式 1 ( )|1| 2 f xa的解集是空集，求实数a的取值范围 【解答】解： （）不等式( ) 3f x ，即 13 |3 22 xx 不等式的几何意义，是数轴是的点x，到 1 2 与 3 2 的距离之和不大于 3， 12x 剟， 不等式的解集为 | 12xx 剟； （）函数 13 ( ) | 22 f xxx 由绝对值的几何意义可知：( )2 min f x， 关于x的不等式 1 ( )|1| 2 f xa的解集非空， 只须： 1 2|1| 2 a，解得3a 或5a 第 19 页（共 19 页） 关于x的不等式 1 ( )|1| 2 f xa的解集是空集，可得35a 剟