2020年陕西省高考数学一模试卷（文科）.docx

1、 第 1 页（共 25 页） 2020 年陕西省高考数学一模试卷（文科）年陕西省高考数学一模试卷（文科） 一、选择题：本题共一、选择题：本题共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 60 分分.在每小题给出的四个选项中，只有一在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的项是符合题目要求的. 1 （5 分）已知全集 2U ，1，1，2， 2 |20Ax xx，则( UA ) A 2，1 B 1，2 C 2，1，1，2 D 2，2 2 （5 分）设43zi，则在复平面内 1 z 对应的点位于( ) A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 3 （5 分）新中国成立 70

2、周年以来，党中央、国务院高度重视改善人民生活，始终把提高 人民生活水平作为一切工作的出发点和落脚点、 城乡居民收入大幅增长， 居民生活发生了翻 天覆地的变化 下面是 1949 年及 2015 年 2018年中国居民人均可支配收入 （元)统计图 以 下结论中不正确的是( ) A20 5l年2018年中国居民人均可支配收入与年份成正相关 B2018 年中居民人均可支配收入超过了 1949 年的 500 倍 C2015 年2018年中国居民人均可支配收入平均超过了 24000 元 D2015 年2018年中围居民人均可支配收入都超过了 1949 年的 500 倍 4 （5 分） 算法统宗全称新编直指

3、算法统宗 ，是中国古代数学名著，程大位著书中 有如下问题： “今有五人均银四十两，甲得十两四钱，戊得五两六钱问：次第均之，乙丙 丁各该若干？”意思是：有 5 人分 40 两银子，甲分 10 两 4 钱，戊分 5 两 6 钱，且相邻两项 差相等，则乙丙丁各分几两几钱？（注:1两等于 10 钱）( ) 第 2 页（共 25 页） A乙分 8 两，丙分 8 两，丁分 8 两 B乙分 8 两 2 钱，丙分 8 两，丁分 7 两 8 钱 C乙分 9 两 2 钱，丙分 8 两，丁分 6 两 8 钱 D乙分 9 两，丙分 8 两，丁分 7 两 5 （5 分）如图，ABC和DEF是两个全等的正三角形，它们各边

4、的交点均为各边的三等 分点若从该图形中随机取一点，则该点取自其中阴影部分的概率为( ) A 1 2 B 2 3 C 3 4 D 5 8 6 （5 分）执行如图所示的程序框图，则f（3）f（6）( ) A45 B35 C147 D75 7 （5 分）某人在卧室制作一个靠墙吊柜，其三视图如图所示网格纸上小正方形的边长为 1，则该吊柜的体积为( ) 第 3 页（共 25 页） A128 B104 C80 D56 8 （5 分）已知函数(0,1) x yaaa的图象与函数( )yf x的图象关于直线yx对称， (12 )1,2 ( ) (1),2 a xx g x f xx 在(,) 上是减函数，那么

5、a的取值范围是( ) A 1 ( ,1) 2 B(0,1) C 1 3 ( , 2 4 D 3 ,1) 4 9 （5 分）已知双曲线 22 12 22 :1(0,0), xy EabF F ab 分别为E的左，右焦点， 1 A， 2 A分别 为E的左， 右顶点， 且 1222 |A AA F 点M在双曲线右支上， 若 1 2 1 | 2 | MFa MF 的最大值为 1 4 ， 则E的焦距的取值范围是( ) A 3 (1, 2 B2，3 C(1，2 D(1，3 10 （5 分）将函数sin2yx的图象向左平移 5 12 个单位长度，得到函数( )yf x 的图象， 则下列说法正确的是( ) 函

6、数( )yf x 的图象关于直线 6 x 对称； 函数( )yf x 的图象关于点(,0) 3 对称； 函数( )yf x 的图象在区间(,) 6 6 上单调递减； 函数( )yf x 的图象在区间 2 (,) 63 上单调递增 A B C D( 第 4 页（共 25 页） 11 （5 分）已知抛物线 2 4yx的焦点为F，过点F的直线l与抛物线交于A，B两点，准 线交x轴于K，若 | | AF AK 最小，则| (AKBK ) A4 B8 C2 2 D4 2 12 （5 分）已知函数( )f x对xR 均有 1 ( )2 () 2 f xfxmx，若( )f xlnx恒成立，则实 数m的取值

7、范围是( ) A1， e B 5 6 (,e C 3 (,e D(,)e 二、填空题：本题共二、填空题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分. 13 （5 分）已知(3,1)a ， 2 ( 4,23)bt ，若9a b ，则t 14 （5 分）若 1 sin() 63 ，(0, )，则 2 cos(2) 3 15 （5 分）函数( )f xxlnxa的图象在1x 处的切线被圆 22 :2440C xyxy截 得弦长的取值范围为2，6，则实数a的取值范围是 16（5分） 已知数列 n a的各项均为正数，11a ， 22 111 22 nn nnnnnn a aa a

8、aa ， 则 n a ； n a的前 10 项和 10 S 三、解答题：共三、解答题：共 70 分分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第第 1721 题为必考题，题为必考题， 每个试题考生都必须作答每个试题考生都必须作答.第第 22，23 题为选考题，考生根据要求作答题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共（一）必考题：共 60 分分. 17（12 分） 如图， 在四棱锥PABCD中，PD 平面ABCD，/ /CDAB，2ADCDBC， 4AB （）求证：平面PAD 平面PBD； （）若三棱锥CPBD的体积为3，求PB的长 第 5 页（共 2

9、5 页） 18 （12 分）ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若 1 1,1 ac b caac （）求角B； （）若ABC的周长为12 6，求ABC的面积 19 （12 分）每年 9 月第三周是国家网络安全宣传周某学校为调查本校学生对网络安全知 识的了解情况，组织了网络信息辨析测试活动，并随机抽取 50 人的测试成绩绘制了频 率分布直方图如图所示： （）某学生的测试成绩是 75 分，你觉得该同学的测试成绩低不低？说明理由； （）将成绩在60，100内定义为“合格” ；成绩在0，60)内定义为“不合格” 请将下面的22列联表补充完整： 合格 不合格 合计 男生 26 女生 6 合计

10、 是否有90%的把认为网络安全知识的掌握情况与性别有关？说明你的理由； （）在（）的前提下，对 50 人按是否合格，利用分层抽样的方法抽取 5 人，再从 5 人 中随机抽取 2 人，求恰好 2 人都合格的概率 附： 2 0 ()P Kk 0.100 0.050 0.010 0.001 0 k 2.706 3.841 6.635 10.828 第 6 页（共 25 页） 2 2 () ()()()() n adbc Knabcd ab cd ac bd 20 （12 分）已知椭圆 22 22 :1(0) xy Eab ab ，离心率为 1 2 ，直线0mxym恒过E的 一个焦点F （）求E的标准

11、方程； （） 设O为坐标原点， 四边形ABCD的顶点均在E上，AC，BD交于F， 且0A CB D， 2OAOCOM，2OBODON，若直线AC的倾斜角的余弦值为 5 5 ，求直线MN与x 轴交点的坐标 21 （12 分）已知函数 2 1 ( )() 42 alnx f xxaR （）讨论( )f x的单调性； （）设4a ，且(0,) 6 x ，求证： cos24 1 tan x ee x (二）选考题：共二）选考题：共 10 分分.请考生在第请考生在第 22，23 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一 题记分，作答时，请用题记分，作答时，请用

12、 2B 铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑.选修选修 4-4：坐标系与参：坐标系与参 数方程数方程 22 （10 分）在平面直角坐标系xOy中，l的参数方程为 1 , 1 ( 1 t x t t t y t 为参数） 以坐标原点 O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为 2 2 12 3sin （）求l的普通方程和曲线C的直角坐标方程； 第 7 页（共 25 页） （）求曲线C上的点到l距离的最大值及该点坐标 选修选修 4-5：不等式选讲：不等式选讲（10 分）分） 23设函数( ) | 2|1|f xxax （）当1a 时，求不等式

13、( )0f x 的解集； （）若( )f x的最大值为 3，求a的值 第 8 页（共 25 页） 2020 年陕西省高考数学一模试卷（文科）年陕西省高考数学一模试卷（文科） 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题：本题共一、选择题：本题共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 60 分分.在每小题给出的四个选项中，只有一在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的项是符合题目要求的. 1 （5 分）已知全集 2U ，1，1，2， 2 |20Ax xx，则( UA ) A 2，1 B 1，2 C 2，1，1，2 D 2，2 【解答】解： 2U ，1，1，2， 1A

14、，2， 2 UA ，1 故选：A 2 （5 分）设43zi，则在复平面内 1 z 对应的点位于( ) A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 【解答】解：由题意得43zi， 所以 1143 43(43 )(43 ) i ziii ， 43 25 i ， 因此在复平面内 1 z 对应的点 43 (,) 25 25 位于第一象限， 故选：A 3 （5 分）新中国成立 70 周年以来，党中央、国务院高度重视改善人民生活，始终把提高 人民生活水平作为一切工作的出发点和落脚点、 城乡居民收入大幅增长， 居民生活发生了翻 天覆地的变化 下面是 1949 年及 2015 年 2018年中国居民人均可

15、支配收入 （元)统计图 以 下结论中不正确的是( ) 第 9 页（共 25 页） A20 5l年2018年中国居民人均可支配收入与年份成正相关 B2018 年中居民人均可支配收入超过了 1949 年的 500 倍 C2015 年2018年中国居民人均可支配收入平均超过了 24000 元 D2015 年2018年中围居民人均可支配收入都超过了 1949 年的 500 倍 【解答】解：对于A，观察统计图可知，选项A正确； 对于B， 2018 年中国居民人均可支配收入是 1949 年的28228.0549.7568倍， 所以选项B 正确； 对 于C， 2015年2018年 中 国 居 民 人 均 可

16、 支 配 收 入 平 均 数 为 1 (21966.1923820.9825973.7928228.05)24997.25 4 （元)，所以选项C正确； 对于D，2015 年中国居民人均可支 24997.25 配收入是 1949 年的21966.1949.7442倍， 所以选项D错误， 故选：D 4 （5 分） 算法统宗全称新编直指算法统宗 ，是中国古代数学名著，程大位著书中 有如下问题： “今有五人均银四十两，甲得十两四钱，戊得五两六钱问：次第均之，乙丙 丁各该若干？”意思是：有 5 人分 40 两银子，甲分 10 两 4 钱，戊分 5 两 6 钱，且相邻两项 差相等，则乙丙丁各分几两几钱？

17、（注:1两等于 10 钱）( ) A乙分 8 两，丙分 8 两，丁分 8 两 B乙分 8 两 2 钱，丙分 8 两，丁分 7 两 8 钱 C乙分 9 两 2 钱，丙分 8 两，丁分 6 两 8 钱 D乙分 9 两，丙分 8 两，丁分 7 两 第 10 页（共 25 页） 【解答】 解： 由题意可得甲、 乙、 丙、 丁、 戊所得钱数成等差数列 n a， 设公差为d， 则 1 10.4a ， 5 5.6a ， 所以 51 45.6aad，即10.445.6d， 解得1.2d ，可得 21 10.41.29.2aad； 31 210.41.228aad； 41 310.41.236.8aad， 所以

18、乙分 9 两 2 钱，丙分 8 两，丁分 6 两 8 钱， 故选：C 5 （5 分）如图，ABC和DEF是两个全等的正三角形，它们各边的交点均为各边的三等 分点若从该图形中随机取一点，则该点取自其中阴影部分的概率为( ) A 1 2 B 2 3 C 3 4 D 5 8 【解答】解：根据题意可得图形外侧的 6 个小三角形均全等，且为正三角形 设一个小三角形面积为S，则该图形的面积为12S，阴影部分的面积为6S， 所以从该图形中随机取一点，则该点取自其中阴影部分的概率 61 122 S P S ， 故选：A 6 （5 分）执行如图所示的程序框图，则f（3）f（6）( ) 第 11 页（共 25 页

19、） A45 B35 C147 D75 【解答】解：由题得 2 5,6, ( ) (2),6, xx f x f xx 所以f（3）f（6）f（7）f（6） 22 7565443175， 故选：D 7 （5 分）某人在卧室制作一个靠墙吊柜，其三视图如图所示网格纸上小正方形的边长为 1，则该吊柜的体积为( ) A128 B104 C80 D56 【解答】解：根据三视图可得吊柜的立体图如图所示， 第 12 页（共 25 页） 其体积可看作三个长方体的体积之和， 则该吊柜的体积442423443104V ， 故选：B 8 （5 分）已知函数(0,1) x yaaa的图象与函数( )yf x的图象关于直

20、线yx对称， (12 )1,2 ( ) (1),2 a xx g x f xx 在(,) 上是减函数，那么a的取值范围是( ) A 1 ( ,1) 2 B(0,1) C 1 3 ( , 2 4 D 3 ,1) 4 【解答】 解： 因为函数(0,1) x yaaa的图象与函数( )yf x的图象关于直线yx对称， 所以( )logaf xx因为 (12 )1,2 ( ) (1),2 a xx g x f xx 在(,) 上是减函数， 所以 01 120 2(12 )1(21) a a a alog 解得 13 24 a ， 故选：C 9 （5 分）已知双曲线 22 12 22 :1(0,0),

21、xy EabF F ab 分别为E的左，右焦点， 1 A， 2 A分别 为E的左， 右顶点， 且 1222 |A AA F 点M在双曲线右支上， 若 1 2 1 | 2 | MFa MF 的最大值为 1 4 ， 则E的焦距的取值范围是( ) A 3 (1, 2 B2，3 C(1，2 D(1，3 【解答】解：设双曲线E的焦距为2c， 因为点M在双曲线右支上，所以 12 | 2MFMFa， 12 | | 2MFMFa， 则 第 13 页（共 25 页） 1222 222222 2 11222 2 2 2 2 | 2|111 4|(| 2 )|4 | 48 4 |4 2 |4 | | MFaMFMF

22、MF aMFMFMFaMFa MFaa a MFa MFA MF MF ， 当且仅当 2 2 2 4 | | a MF MF ，即 2 | 2MFa 时取等号，所以 11 84a ，解得 1 2 a 因为 122 |AAA F，所以2a ca 可得3a c， 所以 1 13 3 ， 所以13 1 2 c ，即123c， 即双曲线E的焦距的取值范围为(1，3， 故选：D 10 （5 分）将函数sin2yx的图象向左平移 5 12 个单位长度，得到函数( )yf x 的图象， 则下列说法正确的是( ) 函数( )yf x 的图象关于直线 6 x 对称； 函数( )yf x 的图象关于点(,0) 3

23、 对称； 函数( )yf x 的图象在区间(,) 6 6 上单调递减； 函数( )yf x 的图象在区间 2 (,) 63 上单调递增 A B C D( 【解答】 解： 由题意可知 55 ( )sin2()sin(2)sin(2)cos(2) 126323 f xxxxx ， 令2 3 xk ，kZ，求得, 26 k xkZ ，可得 函数( )f x的图象的对称轴为直线 , 26 k xkZ ，故正确； 令2 32 xk ，kZ，求得 212 k x ，可得 函数( )f x的图象的对称中心为点 (,0) 212 k ，kZ，不正确； 在区间(,) 6 6 上， 2 2(0,) 33 x ，函

24、数( )f x单调性递减，故正确； 在区间 2 (,) 63 上，2( 3 x 2 3 ， 5 ) 3 ，函数( )f x没有单调性，故错误， 故选：C 第 14 页（共 25 页） 11 （5 分）已知抛物线 2 4yx的焦点为F，过点F的直线l与抛物线交于A，B两点，准 线交x轴于K，若 | | AF AK 最小，则| (AKBK ) A4 B8 C2 2 D4 2 【解答】解：根据题意，不妨设点A 在第一象限，过点A 作准线的垂线，垂足为 1 A 由题意可得(1,0)F，( 1,0)K 因为 1 | |AFAA，所以 1 1 | sin | AAAF AKA AKAK ，若 | | AF

25、 AK 最小，则 1 sinAKA 最小，即 1 AKA 最小， 由题知当AK 与抛物线 2 4yx 相切时， 1 AKA 最小 设直线AK的方程为(1)yk x，则0k 与抛物线方程联立，得 2 (1) 4 yk x yx 消去x得 2 440kyyk， 由 2 16 160k，得1k ，所以 1 4 AKA ，A点坐标为(1,2)， 所以 11 | | | | 2AFAAAKKF，此时四边形 1 AFKA 是正方形， ABx 轴，所以| | 2 2AKBK，| 4 2AKBK， 故选：D 12 （5 分）已知函数( )f x对xR 均有 1 ( )2 () 2 f xfxmx，若( )f

26、xlnx恒成立，则实 数m的取值范围是( ) A1， e B 5 6 (,e C 3 (,e D(,)e 【解答】解：根据题意，将x代入x，得 1 ()2 ( ) 2 fxf xmx 由 1 ( )2 () 2 1 ()2 ( ) 2 f xfxmx fxf xmx 得 1 ( ) 6 f xmx ， 函数 1 ( ) 6 f xmx 的图象恒过点 1 (0,) 6 设( )g xlnx，当函数 1 ( ) 6 f xmx 的图象和( )g xlnx的图象相切时，设切点坐标为 0 (x， 0) y， 第 15 页（共 25 页） 由 1 ( )g x x ，得切线斜率 0 0 00 1 ()

27、1 6 () 0 lnx kg x xx ， 解得 5 6 0 xe此时 5 6 5 6 1 ke e ，则要使( )f xlnx，只需 5 6 m e，解得 5 6 me， 所以实数m的取值范围是 5 6 (,e ， 故选：B 二、填空题：本题共二、填空题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分. 13 （5 分）已知(3,1)a ， 2 ( 4,23)bt ，若9a b ，则t 3 【解答】解：由9a b 得 2 12239t，解得3t 故答案为：3 14 （5 分）若 1 sin() 63 ，(0, )，则 2 cos(2) 3 7 9 【解答】解：因为 1

28、cos()cos()sin() 36263 ， 所以 22 217 cos(2)2cos ()12()1 3339 故答案为： 7 9 15 （5 分）函数( )f xxlnxa的图象在1x 处的切线被圆 22 :2440C xyxy截 得弦长的取值范围为2，6，则实数a的取值范围是 6，2 【解答】 解： 根据题意，函数( )f xxlnxa， 其导数 1 ( ) x fxlnx xx ，则f（1）1； 即切线的斜率kf（1）1； 又由f（1）a，即切点的坐标为(1, )a， 所以函数( )f x在1x 处切线方程为1yxa， 圆 22 :2440C xyxy，变形可得 22 (1)(2)9

29、xy，则C的圆心为(1, 2)，半径 3r ， 则圆心到切线的距离 |2| 2 a d ， 则切线被圆截得的弦长为 2 (2) 9 2 a ， 第 16 页（共 25 页） 则有 2 (2) 296 2 a 剟，解可得：62a 剟， 即a的取值范围为 6，2； 故答案为： 6，2 16 （5 分）已知数列 n a的各项均为正数， 1 1a ， 22 111 22 nn nnnnnn a aa aaa ，则 n a 1 2 2 2, 2 , n n n n 为奇数 为偶数 ； n a的前 10 项和 10 S 【解答】解：依题意，由 22 111 22 nn nnnnnn a aa aaa ，可

30、得 11 (2 )()0 n nnnn a aaa 数列 n a的各项均为正数， 1 20 n nn a a ，即 1 2n nn a a 1 1a ， 2 2a 当2n时，有 1 1 2n nn aa ，则 1 1 2 n n a a 数列 n a的奇数项是以 1 为首项、2 为公比的等比数列； 偶数项是以 2 为首项、2 为公比的等比数列 11 21 1 22 kk k a ，令21kn ，得 1 2 n k ，则当n为奇数时， 1 2 2 n n a ； 1 2 2 22 kk k a ，令2kn，得 2 n k ，则当n为偶数时， 2 2 n n a 综上所述，可得 1 2 2 2,

31、2 , n n n n a n 为奇数 为偶数 101210 Saaa 1392410 ()()aaaaaa 425 (122 )(222 ) 55 122(12 ) 1212 93 第 17 页（共 25 页） 故答案为： 1 2 2 2, 2 , n n n n 为奇数 为偶数 ；93 三、解答题：共三、解答题：共 70 分分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第第 1721 题为必考题，题为必考题， 每个试题考生都必须作答每个试题考生都必须作答.第第 22，23 题为选考题，考生根据要求作答题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共（一）必

32、考题：共 60 分分. 17（12 分） 如图， 在四棱锥PABCD中，PD 平面ABCD，/ /CDAB，2ADCDBC， 4AB （）求证：平面PAD 平面PBD； （）若三棱锥CPBD的体积为3，求PB的长 【解答】解： （）证明：如图，过点D作DEAB于点E 因为/ /CDAB，2ADCDBC，4AB ， 所以四边形ABCD是等腰梯形， 可得1AE ，3BE ，3DE ，2 3BD ， 所以 222 ABADBD， 所以DBAD 又因为PD 平面ABCD，BD 平面ABCD， 所以DBPD 因为ADPDD，PD、AD 平面PAD， 所以BD 平面PAD 因为BD 平面PBD， 所以平面

33、PAD 平面PDB 第 18 页（共 25 页） （） 1 233 2 ECD S 因为三棱锥CPDB的体积为3， 所以 1 33 3 C PEDP ECD VVPD ， 解得3PD 在R PDB中，2 3BD ，3PD ， 所以 22 12921PBBDPD 18 （12 分）ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若 1 1,1 ac b caac （）求角B； （）若ABC的周长为12 6，求ABC的面积 【解答】解： （）由 1 1,1 ac b caac 得 22 1acac ， 在ABC中，由余弦定理得 222 111 cos 222 acbac B acac 又因为(0,

34、)B， 所以 2 3 B （）因为ABC的周长为12 6， 所以12 6abc ，即2 6ac， 所以 222 ()224acacac 又因为 22 1acac ， 第 19 页（共 25 页） 所以23c ，由（）知 3 sin 2 B ， 所以ABC的面积 123 3 sin 24 ABC SacB 19 （12 分）每年 9 月第三周是国家网络安全宣传周某学校为调查本校学生对网络安全知 识的了解情况，组织了网络信息辨析测试活动，并随机抽取 50 人的测试成绩绘制了频 率分布直方图如图所示： （）某学生的测试成绩是 75 分，你觉得该同学的测试成绩低不低？说明理由； （）将成绩在60，10

35、0内定义为“合格” ；成绩在0，60)内定义为“不合格” 请将下面的22列联表补充完整： 合格 不合格 合计 男生 26 女生 6 合计 是否有90%的把认为网络安全知识的掌握情况与性别有关？说明你的理由； （）在（）的前提下，对 50 人按是否合格，利用分层抽样的方法抽取 5 人，再从 5 人 中随机抽取 2 人，求恰好 2 人都合格的概率 附： 2 0 ()P Kk 0.100 0.050 0.010 0.001 0 k 2.706 3.841 6.635 10.828 2 2 () ()()()() n adbc Knabcd ab cd ac bd 第 20 页（共 25 页） 【解答

36、】解： （）我觉得该同学的测试成绩不低（或不太低） 理由如下：根据频数分布表得，设测试成绩的中位数为y 则 1121 (2810)(70) 505002 y， 解得 1 7674.17 6 y ， 显然74.1775，故该同学的测试成绩不低（或不太低） ； 考生的理由如下亦可： 平均成绩 1 (2458 551065127510 858 95)73.8 50 x ， （或45 0.0455 0.1665 0.275 0.2485 0.295 0.1673.8)x 显然73.875，故该同学的测试成绩不低（或不太低） （）填表如下： 合格 不合格 合计 男生 26 4 30 女生 14 6 20

37、 合计 40 10 50 22 2 ()50(266144) 2.082.7.6 ()()()()302040 10 n adbc K ab cd ac bd ， 故没有90%的把握认为网络安全知识的掌握情况与性别有关 （）从 50 人随机抽取 5 人的比例为 51 5010 ， 第 21 页（共 25 页） 从合格的 40 名学生中抽取 1 404 10 （人)，记为a、b、c、d； 从不合格的 10 名学生中抽取 1 101 10 （人)，记为x， 则从 5 人中随机抽取 2 人的所有的基本事件如下： ab、ac、ad、ax、bc、bd、bx、cd、cx、dx， 共有 10 种情况， 其中

38、抽取的 2 人恰好都合格的基本事件为 ab、ac、ad、bc、bd、cd，共有 6 种情况， 故恰好 2 人都合格的概率 63 105 P 20 （12 分）已知椭圆 22 22 :1(0) xy Eab ab ，离心率为 1 2 ，直线0mxym恒过E的 一个焦点F （）求E的标准方程； （） 设O为坐标原点， 四边形ABCD的顶点均在E上，AC，BD交于F， 且0A CB D， 2OAOCOM，2OBODON，若直线AC的倾斜角的余弦值为 5 5 ，求直线MN与x 轴交点的坐标 【解答】解： （）设椭圆的半焦距为c，0mxym可化为(1)0m xy， 所以直线0mxym恒过点(1,0)，

39、所以点(1,0)F，可得1c 因为离心率为 1 2 ，所以 1 2 c a ，解得2a ， 由 222 3bac得3b ， 所以E的标准方程为 22 1 43 xy （）因为0AC BD ，所以ACBD 由2OAOCOM，2OBODON，得M，N分别是AC，BD的中点 设 1 (A x， 1) y， 2 (B x， 2) y，由直线AC的倾斜角的余弦值为 5 5 ，得直线AC的斜率为 2， 所以AC的方程：2(1)yx，直线BD的方程： 1 (1) 2 yx ， 第 22 页（共 25 页） 联立 22 2(1) 1 43 yx xy ，消去y，得 2 193240xx 显然，0，且 12 3

40、2 19 xx， 121212 12 2(1)2(1)2()4 19 yyxxxx ， 所以 12 16 219 xx ， 12 6 219 yy ， 可得 166 (,) 1919 M，同理可得 1 3 ( , ) 4 8 N，所以 7 6 MN k ， 所以，直线MN的方程： 371 () 864 yx 令0y ，得 4 7 x ， 所以直线MN与x轴交点的坐标为 4 ( ,0) 7 21 （12 分）已知函数 2 1 ( )() 42 alnx f xxaR （）讨论( )f x的单调性； （）设4a ，且(0,) 6 x ，求证： cos24 1 tan x ee x 【解答】解： （

41、） 2 1 ( ) 42 alnx f xx的定义域为(0,)， 2 4 ( ) 44 aax fxx xx ， 当0a 时，( )0fx恒成立，( )f x在(0,)上单调递减； 当0a 时，由 ( )0 0 fx x 解得 1 0 2 xa， 由 ( )0 0 fx x ，解得 1 2 xa， 所以( )f x在 1 (0,) 2 a上单调递增， 在 1 ( 2 a，)上单调递减 当0a 时，( )f x在(0,)单调递减； 综上所述，当0a时，( )f x在(0,)上单调递减； 当0a 时，( )f x在 1 (0,) 2 a上单调递增， 在 1 ( 2 a，)上单调递减 第 23 页（

42、共 25 页） （）证明：当4a 时， 2 1 ( ) 2 f xlnxx， 2 1 ( ) x fx x ， 则 2 1 ( ) 2 f xlnxx在(0,1)上单调递增 设 1 x， 2 (0,1)x ，且 12 xx，则 12 ()()f xf x， 即 22 1122 11 22 lnxxlnxx， 所以 221 12 2 1 () 2 x lnxx x ，可得 22 12 1( ) 1 2 2 xx x e x 因为(0,) 6 x ，所以0sincos1xx， 所以 22 1(sin cos) 2 sin cos xx x e x ， 即 1cos2 2 tan x xe 因为(0

43、,) 6 x ，所以2(0,) 3 x ， 所以 1 cos2(2x，1)， 11 cos2( 22 x ， 1) 4 ， 所以 11 cos2 24 x ee 综上可得 11 cos2 24 tan x xee ，且tan0x ， 即 cos24 1 tan x ee x (二）选考题：共二）选考题：共 10 分分.请考生在第请考生在第 22，23 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一 题记分，作答时，请用题记分，作答时，请用 2B 铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑.选修选修 4-4：坐标系与参：坐标系与参 数方程数方程 22 （10 分）在平面直角坐标系xOy中，l的参数方程为 1 , 1 ( 1 t x t t t y t 为参数） 以坐标原点 O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程