2020年山西省吕梁市高考数学一模试卷（文科）.docx

1、 第 1 页（共 16 页） 2020 年山西省吕梁市高考数学一模试卷（文科）年山西省吕梁市高考数学一模试卷（文科） 一、选择题（本大题共一、选择题（本大题共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 60 分）在每小题给出的四个选项中，只分）在每小题给出的四个选项中，只 有一项是最符合题目要求的，选出正确的选项并将该选项在答题卡上涂黑有一项是最符合题目要求的，选出正确的选项并将该选项在答题卡上涂黑 1 （5 分）若集合 |(3)(1) 0Axxx ， 2 |24 x Bx ，则(AB ) A1，2，3 B2，3 C(1，3 D1，3 2 （5 分）下列函数中，既有奇函数，又在其定义域

2、上单调递增的是( ) A 1 ( )f xx x B( ) xx f xee C( )sinf xxx D( )(1)(1)f xlnxlnx 3 （5 分） “ 22 xy”是“xy”的( )条件 A充分不必要 B必要不充分 C充分必要 D既不充分也不必要 4 （5 分）已知正项等比数列 n a的前n项和为 n S， 1 2a ， 234 34aaa，则 5 (S ) A10 B12 C16 D32 5（5 分） 设点M是线段BC的中点， 点A在直线BC外， 2 16BC ，| |ABACABAC， 则| (AM ) A8 B4 C2 D1 6 （5 分）直线:140()l mxymmR 与

3、圆 22 :(1)25C xy交于两点P、Q，则弦 长|PQ的取值范围是( ) A6，10 B6，10) C(6，10 D(6,10) 7 （5 分）已知奇函数( )f x的图象如图所示，则函数()sin 2 yf xx 的大致图象是( ) 第 2 页（共 16 页） A B C D 8 （5 分） 2 log 5a ， 1.2 0.5b ， 0.9 2c ，则( ) Aabc Bbca Cbac Dcab 9 （5 分）tan2tan 5 ，则 sin() 5 ( sin() 5 ) A1 B2 C3 D4 10 （5 分）被誉为“中国现代数学之父”的著名数学家华罗庚先生倡导的“0.618

4、优选法” 在生产和科研实践中得到了非常广泛的引用.0.618就是黄金分割比： 51 2 t 的近似值， 黄金分割比还可以表示成2sin18，则 2 2 12sin 27 ( 4tt ) A 1 2 B51 C2 D4 11 （5 分） 2 | log|,02 ( ) sin,210 4 xx f x x x 剟 ，若存在 1 x、 2 x、 3 x、 4 x满足 1234 xxxx，且 1234 ()()()()f xf xf xf x，则 1234 x xxx的值是( ) A12 B13 C14 D15 12 （5 分）正方体 1111 ABCDABC D（棱长为1)中，点P在线段AD上（点

5、P异于A、D两 点） ，线段 1 DD的中点为点Q，若平面BPQ截该正方体所得的截面为四边形，则线段AP的 取值范围为( ) A 1 (0, 3 B 1 ( ,1 2 C 2 ,1) 3 D 1 (0, 2 二、填空题（本大题共二、填空题（本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分）分） 13 （5 分） 函数 2 ( )f xalnxbx在点(1，f（1）)处的切线方程为43yx， 则a ， 第 3 页（共 16 页） b 14 （5 分）设x，y满足约束条件 2 0 26 0,0 xy xy xy 厖 ，则23zxy的最小值是 15 （5 分）已知三棱锥PABC的四

6、个顶点都在球O的球面上，PAPBPC，2AB ， 5BC ，3AC ，E，F分别为AC，PB的中点， 3 2 EF ，则球O的体积为 16 （5 分） 11 ( )(sincos )|cossin| 22 f xxxxx，下列说法错误的是 ( )f x的值域是 1，1； 当且仅当22() 2 kxkkZ 时，( )0f x ； 当且仅当2() 4 xkkZ 时，( )f x取得最小值； ( )f x是以为最小正周期的周期函数 三、解答题（本大题共三、解答题（本大题共 6 小题，共小题，共 70 分）解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤分）解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17 （10

7、分）已知ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，若 1 cos22cos 2 CC， （1）求C的值； （2）若2,6bc，求ABC的面积 18 （12 分）已知数列 n a满足 1 1a ， 1 (1)1 nn nanan （1）求数列 n a的通项公式； （2） n S为数列 1 1 nn a a 的前n项和，求证： 2 2 3 n S 19 （12 分）三棱柱 111 ABCABC中，棱 1 AC、AB、 11 AC的中点分别是P、Q、O （1）求证：/ /PQ平面 1 AOB； （2）若三棱柱 111 ABCABC的体积为10 3，求三棱柱APOQ的体积 第 4 页（共 16 页

8、） 20 （12 分）已知两定点(1,0)M，(4,0)N点P满足| 2|PNPM （1）求点P的轨迹C的方程； （2）若(0, 2)D，直线l与轨迹C交于A，B两点，DA，DB的斜率之和为 2，直线l是否 恒过定点，若过定点，求出该定点的坐标；若不过定点，请说明理由 21 （12 分）如图，某农户计划用两张铁丝网在一块空地上围成一个梯形养鸡场ABCD， / /ABCD，ADBC已知AB、BC两段是由长为50m的铁丝网折成，AD、DC两段是 由长为90m的铁丝网折成，设上底AB的长为xm，所围成的梯形面积为 2 Sm （1）求S关于x的函数解析式，并求x的取值范围； （2）当x为何值时，养鸡场

9、的面积S最大？最大面积为多少？ 22 （12 分）已知函数 2 2 ( )() x ae f xlnxaR xx （1）若0a，讨论( )f x的单调性； （2）若( )f x在区间(0,2)内有两个极值点，求实数a的取值范围 第 5 页（共 16 页） 2020 年山西省吕梁市高考数学一模试卷（文科）年山西省吕梁市高考数学一模试卷（文科） 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题（本大题共一、选择题（本大题共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 60 分）在每小题给出的四个选项中，只分）在每小题给出的四个选项中，只 有一项是最符合题目要求的，选出正确的选项并将该选项在答

10、题卡上涂黑有一项是最符合题目要求的，选出正确的选项并将该选项在答题卡上涂黑 1 （5 分）若集合 |(3)(1) 0Axxx ， 2 |24 x Bx ，则(AB ) A1，2，3 B2，3 C(1，3 D1，3 【解答】解： |13Axx剟， 4Bx x， 1AB，3， 故选：D 2 （5 分）下列函数中，既有奇函数，又在其定义域上单调递增的是( ) A 1 ( )f xx x B( ) xx f xee C( )sinf xxx D( )(1)(1)f xlnxlnx 【解答】解：( ) xx f xee， ()( ) xx fxeef x ， 函数( ) xx f xee为R上的奇函数，

11、 又 x ye为增函数， x ye为减函数， 函数( ) xx f xee为增函数，即选项B满足题意 故选：B 3 （5 分） “ 22 xy”是“xy”的( )条件 A充分不必要 B必要不充分 C充分必要 D既不充分也不必要 【解答】解： “ 22 xy”与“xy”相互推不出 因此“ 22 xy”是“xy”的既不充分也不必要条件 故选：D 4 （5 分）已知正项等比数列 n a的前n项和为 n S， 1 2a ， 234 34aaa，则 5 (S ) 第 6 页（共 16 页） A10 B12 C16 D32 【解答】解：设正项等比数列 n a的公比为0q ， 由 234 34aaa， 2

12、134qq ，解得1q 5 2510S 故选：A 5（5 分） 设点M是线段BC的中点， 点A在直线BC外， 2 16BC ，| |ABACABAC， 则| (AM ) A8 B4 C2 D1 【解答】解：由 2 16BC ，得| 4BC ， | | | 4ABACABACBC， 而| 2|ABACAM | 2AM 故选：C 6 （5 分）直线:140()l mxymmR 与圆 22 :(1)25C xy交于两点P、Q，则弦 长|PQ的取值范围是( ) A6，10 B6，10) C(6，10 D(6,10) 【解答】解：圆 22 :(1)25C xy的圆心(0,1)C，半径5r ， 直线:14

13、0(4)10l mxymm xy 过定点(4,1)M，并在圆C内， |PQ最长为直径，最短PQ时，点(4,1)M为弦PQ的中点，即CMPQ时， 算得 22 | 2 546PQ 但此时直线斜率不存在，取不到 6， 即|PQ的范围是(6，10 故选：C 7 （5 分）已知奇函数( )f x的图象如图所示，则函数()sin 2 yf xx 的大致图象是( ) 第 7 页（共 16 页） A B C D 【解答】解：根据题意，函数()sin 2 yf xx ， 令 4 x ，得 2 ()sin0 442 yf ； 令 3 4 x ，得 32 ( )sin0 442 yf ；排除BCD， 故选：A 8

14、（5 分） 2 log 5a ， 1.2 0.5b ， 0.9 2c ，则( ) Aabc Bbca Cbac Dcab 【解答】解：2a ，01b，12c bca 故选：B 9 （5 分）tan2tan 5 ，则 sin() 5 ( sin() 5 ) A1 B2 C3 D4 【解答】解： sin()sincoscossintantan 5555 3 sin()sincoscossintantan 5555 故选：C 10 （5 分）被誉为“中国现代数学之父”的著名数学家华罗庚先生倡导的“0.618 优选法” 第 8 页（共 16 页） 在生产和科研实践中得到了非常广泛的引用.0.618就是

15、黄金分割比： 51 2 t 的近似值， 黄金分割比还可以表示成2sin18，则 2 2 12sin 27 ( 4tt ) A 1 2 B51 C2 D4 【解答】解：把2sin18t 代入 2000 00 2020 12sin 27cos54sin361 4sin18 cos182 42sin1844sin 18tt ， 故选：A 11 （5 分） 2 | log|,02 ( ) sin,210 4 xx f x x x 剟 ，若存在 1 x、 2 x、 3 x、 4 x满足 1234 xxxx，且 1234 ()()()()f xf xf xf x，则 1234 x xxx的值是( ) A1

16、2 B13 C14 D15 【解答】解：作出函数( )f x的图象如图所示： 因为存在实数 1 x， 2 x， 3 x， 4 x，满足 1234 xxxx，且 1234 ( )()()()f xf xf xf x， 1 1 1 2 x， 2 12x， 3 24x， 4 810x， 2122 loglogxx， 222 1 1 loglog x x ， 12 1x x， sin 4 x y 关于直线6x 对称， 34 12xx， 1234 13x xxx 故选：B 12 （5 分）正方体 1111 ABCDABC D（棱长为1)中，点P在线段AD上（点P异于A、D两 第 9 页（共 16 页）

17、点） ，线段 1 DD的中点为点Q，若平面BPQ截该正方体所得的截面为四边形，则线段AP的 取值范围为( ) A 1 (0, 3 B 1 ( ,1 2 C 2 ,1) 3 D 1 (0, 2 【解答】解：如图， 当 1 2 AP 时，截面为等腰梯形 1 BPQC， 当 1 0 2 AP时，截面是四边形BPQM， 当 1 2 AP 时，截面是五边形 若平面BPQ截该正方体所得的截面为四边形，则线段AP的取值范围为(0， 1 2 故选：D 二、填空题（本大题共二、填空题（本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分）分） 13 （5 分） 函数 2 ( )f xalnxbx在

18、点(1，f（1）)处的切线方程为43yx， 则a 2 ， b 【解答】解：根据条件可得( )2 a fxbx x ， 则f（1）1， f （1）4，即1b ，214 1 a b ，所以2a ，1b 故答案为：2，1 14 （5 分）设x，y满足约束条件 2 0 26 0,0 xy xy xy 厖 ，则23zxy的最小值是 9 【解答】解：由约束条件作出可行域如图， 第 10 页（共 16 页） 作图知在点(0,6)处取到最小值9 故答案为：9 15 （5 分）已知三棱锥PABC的四个顶点都在球O的球面上，PAPBPC，2AB ， 5BC ，3AC ，E，F分别为AC，PB的中点， 3 2 EF

19、 ， 则球O的体积为 4 3 【解答】解：如图所示： 由已知可得90ABC，因PAPBPC， 所以点P在ABC内的投影为ABC的外心E， 所以PE 平面ABC，PEBE， 所以23PBEF， 所以 2222 33 3 3( ) 22 PEPBBE， 又球心O在PE上，设POr，则 222 3 33 ()( ) 22 rr，所以3r ， 所以球O体积， 3 4 4 3 3 Vr， 故答案为：4 3 第 11 页（共 16 页） 16 （5 分） 11 ( )(sincos )|cossin| 22 f xxxxx，下列说法错误的是 ( )f x的值域是 1，1； 当且仅当22() 2 kxkkZ

20、 时，( )0f x ； 当且仅当2() 4 xkkZ 时，( )f x取得最小值； ( )f x是以为最小正周期的周期函数 【解答】解： sin ,(cossin )11 ( )(sincos )|cossin| cos ,(cossin )22 xxx f xxxxx xxx 画出函数图象如下： 从图中实线可知，函数的值域是 2 1, 2 ，即错误； 当且仅当22() 2 kxkkZ 时，( )0f x ，即正确； 当2 2 xk 或2()xkkZ时，( )f x取得最小值，即错误； 函数( )f x是以2为最小正周期的周期函数，即错误 第 12 页（共 16 页） 故答案为： 三、解答题

21、（本大题共三、解答题（本大题共 6 小题，共小题，共 70 分）解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤分）解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17 （10 分）已知ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，若 1 cos22cos 2 CC， （1）求C的值； （2）若2,6bc，求ABC的面积 【解答】解： （1）由 1 cos22cos 2 CC得， 2 3 2cos2cos0 2 CC， 所以 1 cos 2 C ， 由于0C， 所以 3 C （2）解法一：由正弦定理得， sinsin cb CB ， 即 3 2 sin2 2 sin 26 bC B c ， 又cb， 所以CB，

22、 所以 4 B ， 所以 5 3412 A ， 可得 62 sinsin() 464 A ， 所以 116233 sin26 2242 ABC SbcA 解法二：作ADBC垂足为D，则 1 cos21 2 CDbC， 3 sin23 2 ADbC， 所以 22 633BDcAD， 所以31aBDDC， 所以 1133 ( 31)3 222 ABC SaAD 18 （12 分）已知数列 n a满足 1 1a ， 1 (1)1 nn nanan （1）求数列 n a的通项公式； 第 13 页（共 16 页） （2） n S为数列 1 1 nn a a 的前n项和，求证： 2 2 3 n S 【解答

23、】解： （1）由 1 (1)1 nn nanan 得， 1 (1)1 nn nanan ， 取1n ，2，3，1n 得， 213243 22323434aaaaaa， 1 (1) nn nanan ， 相加得 (1) 12 2 n n n nan ， 所以 1 2 n n a 证明： （2）由（1）得， 1 1411 4() (1)(2)12 nn a annnn ， 所以 111111114 4()()()()2 233445122 n S nnn ， 因 n S随n的增大而增大，所以 1 3 2 n SS ， 又2 n S ， 所以 3 2 2 n S 19 （12 分）三棱柱 111 A

24、BCABC中，棱 1 AC、AB、 11 AC的中点分别是P、Q、O （1）求证：/ /PQ平面 1 AOB； （2）若三棱柱 111 ABCABC的体积为10 3，求三棱柱APOQ的体积 【解答】解： （1）证明：设M为 1 AB的中点，连接QM，如图所示： ， 则 1 1 / / 2 QMBB， 又 1 1 / / 2 POAA， 11 / /BBAA，/ /QMPO，POMQ为平行四边形， / /PQOM，又OM 平面 1 AOB， 第 14 页（共 16 页） / /PQ平面 1 AOB； （2） 11 11 1 111 248 A POQQ APOQ AC OQ C A AB C A

25、 A VVVVV ， 又 1/ / BB平面 11 C A A， 1 111 11 1 1 110 3 33 B C A ABC A AABC A B C VVV ， 5 3 12 A POQ V 20 （12 分）已知两定点(1,0)M，(4,0)N点P满足| 2|PNPM （1）求点P的轨迹C的方程； （2）若(0, 2)D，直线l与轨迹C交于A，B两点，DA，DB的斜率之和为 2，直线l是否 恒过定点，若过定点，求出该定点的坐标；若不过定点，请说明理由 【解答】解： （1）设P的坐标为( , )x y， 由题意得， 2222 (4)2 (1)xyxy 化简得： 22 4xy （2）当直线

26、l的斜率不存在时， 设 0 (A x， 0) y， 0 (B x， 0) y 则有 00 00 22 2 yy xx ，得 0 2x ， 此时直线l与圆相切，不合题意 当直线l的斜率存在时， 设 1 (A x， 1) y， 2 (B x， 2) y， 直 线l的 方 程 为ykxm， 与 轨 迹C联 立 得 222 (1)240kxkmxm， 2 1212 22 24 , 11 kmm xxx x kk ， 第 15 页（共 16 页） 所以 1212 1212 22(2)()2 222 2 DADB yymxxkm kkkk xxx xm ， 所以22mk ， 所以直线l的方程为(2)2yk

27、 x， 所以直线l过定点(2,2) 21 （12 分）如图，某农户计划用两张铁丝网在一块空地上围成一个梯形养鸡场ABCD， / /ABCD，ADBC已知AB、BC两段是由长为50m的铁丝网折成，AD、DC两段是 由长为90m的铁丝网折成，设上底AB的长为xm，所围成的梯形面积为 2 Sm （1）求S关于x的函数解析式，并求x的取值范围； （2）当x为何值时，养鸡场的面积S最大？最大面积为多少？ 【解答】 解：（1） 作A E C D， 因为四边形为等腰梯形， 所以根据已知可得：50BCADx， 40CDx，20DE ， 22 (50)20(30)(70)AExxx 所以 2 11 ( )()(

28、240)1002100(20) (30)(70) 22 S xABCD AExxxxxx，(0x， 30； （2） (50)(20) ( )(30)(70)0 (30)(70) xx S xxx xx 得10x ， 且( )S x在(0,10)上单调递增， 在(10,30)上单调递减， 故当10x 时，( )S x取极大值也是最大值，最大值为(10)600 3S 22 （12 分）已知函数 2 2 ( )() x ae f xlnxaR xx （1）若0a，讨论( )f x的单调性； （2）若( )f x在区间(0,2)内有两个极值点，求实数a的取值范围 【 解 答 】 解 ： （ 1 ） 由

29、 题 意 可 得( )f x的 定 义 域 为(0,)， 233 12(2)()(2) ( ) xx aexxaex fx xxxx 当0a时，易知0 x xae 由( )0fx得02x，由( )0fx得2x ， 第 16 页（共 16 页） ( )f x在(0,2)上单调递减，在(2,)上单调递增 （2）由（1）可得 3 ()(2) ( ) x xaex fx x ， 当02x时， 3 2 0 x x ， 记( ) x g xxae，则( )1 x g xae ， ( )f x在(0,2)内有两个极值点， ( )g x在(0,2)内有两个零点， 0a 令( )0g x，则xlna ， 当0lna，即1a时，( )0g x，所以在(0,2)上单调递减，( )g x的图象至多与x轴有一个 交点，不满足题意 当2lna，即 2 1 0a e 时，在(0,2)上( )0g x，( )g x单调递增，( )g x的图象至多与x轴 有一个交点，不满足题意 当02lna ，即 2 1 1a e 时，( )g x在(0,)lna上单调递增，在(,2)lna上单调递减 由(0)0ga 知，要使( )g x在(0,2)内有两个零点，必须满足 2 ()10 (2)20 glnalna gae ，解 得 2 21 a ee 综上，实数a的取值范围是 2 2 1 (, ) ee