2020年湖北省武汉市高三二月调考数学试卷（文科）.docx

1、 第 1 页（共 18 页） 2020 年湖北省武汉市高三二月调考数学试卷（文科）年湖北省武汉市高三二月调考数学试卷（文科） 一、单选题一、单选题 1 （5 分）已知集合 |2Ax lnx， |2Bx yx，则()( RA B ) A 2 (0,)e B(0， 2 e C2， 2 e D2，) 2 （5 分）已知复数z满足 2 (1)1(zii i 为虚数单位） ，则(z ) A 11 22 i B 11 22 i C 11 22 i D 11 22 i 3 （5 分）某中学有高中生 4200 人，初中生 1200 人，为了解学生学习情况，用分层抽样的 方法从该校学生中抽取一个容量为n的样本，

2、已知从高中生中抽取 70 人，则n为( ) A100 B150 C200 D90 4 （5 分）设x，y满足 22 0 22 0 2 0 xy xy xy ，则3zxy的最小值是( ) A8 B2 C4 D8 5 （5 分）已知 n a为等差数列，若 159 8aaa，则 28 cos()(aa ) A 1 2 B 3 2 C 1 2 D 3 2 6 （5 分）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( ) A 4 B 2 C D2 7 （5 分）如图是一个算法的程序框图，如果输入0i ，0S ，那么输出的结果为( ) 第 2 页（共 18 页） A 2 3 B 3 4 C 4 5 D 5

3、 6 8 （5 分）设a，b为向量，则| |a ba b是“/ /ab”的( ) A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充分必要条件 D既不充分也不必要条件 9 （5 分）甲、乙两位同学将高三 6 次物理测试成绩做成如图所示的茎叶图加以比较（成绩 均为整数满分 100 分） ， 乙同学对其中一次成绩记忆模糊， 只记得成绩不低于 90 分且不是满 分，则甲同学的平均成绩超过乙同学的平均成绩的概率为( ) A 2 5 B 1 2 C 3 5 D 4 5 10 （5 分）已知函数( )3sin()(0f xx ，) 22 ， 1 (3A，0)为其图象的对称 中心，B、C是该图象上相邻的最高点和最低点

4、，若4BC ，( )f x的解析式为( ) A( )3sin() 412 f xx B 5 ( )3sin() 412 f xx C( )3sin() 26 f xx D( )3sin() 23 f xx 11 （5 分） 若双曲线 22 22 :1( ,0) xy Ca b ab 的两条渐近线与抛物 2 :2(0)C ypx p交于A、 O、B三点（点O为坐标原点） ，且直线AB经过抛物线的焦点，则该双曲线的离心率为( ) A3 B5 C3 D5 第 3 页（共 18 页） 12 （5 分） 在三棱锥PABC中，2AP ，3 3AB ，PA 面ABC， 且在三角形ABC中， 有cos(2)c

5、oscBabC（其中a，b，c为ABC的内角A，B，C所对的边） ，则该三棱 锥外接球的表面积为( ) A40 B20 C12 D 20 3 二、填空题二、填空题 13 （5 分）曲线yxlnx在点1x 处的切线方程是 14 （5 分）已知向量a，b满足| 1a ，| 2b ，|2 |13ab，则a与b的夹角为 15（5 分） 已知函数 2 log ()(0) ( ) 31(0) x x x f x x ， 且f（a）f（1）0， 则实数a的值等于 16 （5 分）已知F是椭圆 22 1 43 xy 的左焦点，设动点P在椭圆上，若直线FP的斜率大于 3，则直线(OP O为原点）的斜率的取值范围

6、是 三、解答题三、解答题 17 （12 分）已知数列 n a的前n项和为 1 22() n n SnN （）求数列 n a的通项公式； （）设 2 2 log nn ba，求数列 1 1 nn b b 的前n项和 n T 18 （12 分）如图，在四棱锥SABCD中，底面ABCD是菱形，60BAD，SAB为等 边三角形，G是线段SB上的一点，且/ /SD平面GAC （1）求证：G为SB的中点； （2）若F为SC的中点，连接GA，GC，FA，FG，平面SAB 平面ABCD，2AB ， 求三棱锥FAGC的体积 第 4 页（共 18 页） 19 （12 分）一项针对某一线城市30 50岁都市中年人的

7、消费水平进行调查，现抽查 500 名(200名女性，300 名男性）此城市中年人，最近一年内购买六类高价商品（电子产品、服 装、手表、运动与户外用品、珠宝首饰、箱包）的金额（万元）的频数分布表如下： 女性 金额 0.1，0.3) 0.3，0.5) 0.5，0.7) 0.7，0.9) 0.9，1.1) 频数 20 40 80 50 10 男性 金额 0.1，0.3) 0.3，0.5) 0.5，0.7) 0.7，0.9) 0.9，1.1) 频数 45 75 90 60 30 （） 将频率视为概率， 估计该城市中年人购买六类高价商品的金额不低于 5000 元的概率 （）把购买六类高价商品的金额不低于

8、 5000 元的中年人称为“高收入人群” ，根据已知条 件完成22列联表，并据此判断能否有95%的把握认为“高收入人群”与性别有关？ 高收入人群 非高收入人群 合计 女性 60 男性 180 合计 500 参考公式： 2 2 () ()()()() n adbc K ab cd ac bd ，其中nabcd 参考附表： 2 0 ()P Kk 0.10 0.050 0.010 0.001 0 k 2.706 3.841 6.635 10.828 20 （12 分）已知椭圆 22 22 :1(0) xy Eab ab 的离心率为 3 2 ，且过点 1 ( 3, ) 2 直线 : lyxm与y轴交于

9、点P，与椭圆交于M，N两点 （）求椭圆E的标准方程； （）若3MPPN，求实数m的值 21 （12 分）已知函数( )(sin1)() x f xaxxe aR，( )fx是其导函数 （）当1a 时，求( )f x在0x 处的切线方程； （）若1a，证明：( )fx在区间(0, )内至多有 1 个零点 22 （10 分）已知曲线C的极坐标方程为2 2sin() 4 ，以极点为坐标原点，极轴为x 第 5 页（共 18 页） 轴正半轴建立平面直角坐标系，直线l的参数方程为 1 2 2 ( 3 1 2 xt t yt 为参数） （）将曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程，并且指出该曲线是什么曲线； （

10、）若直线l与曲线C交于A，B两点，设(2,1)P，求|PAPB的值 23已知函数( ) |22|2|f xxx （1）求不等式( ) 6f x 的解集； （2）当xR时，( )f xxa恒成立，求实数a的取值范围 第 6 页（共 18 页） 2020 年湖北省武汉市高三二月调考数学试卷（文科）年湖北省武汉市高三二月调考数学试卷（文科） 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、单选题一、单选题 1 （5 分）已知集合 |2Ax lnx， |2Bx yx，则()( RA B ) A 2 (0,)e B(0， 2 e C2， 2 e D2，) 【解答】解： 2 |Ax xe， |2Bx x； 2

11、| RA x x e； 2 ()2, RA Be 故选：C 2 （5 分）已知复数z满足 2 (1)1(zii i 为虚数单位） ，则(z ) A 11 22 i B 11 22 i C 11 22 i D 11 22 i 【解答】解：由 2 (1)1zii ， 得 22 11(1)11 (1)2222 iii i zi iii ， 11 22 zi 故选：B 3 （5 分）某中学有高中生 4200 人，初中生 1200 人，为了解学生学习情况，用分层抽样的 方法从该校学生中抽取一个容量为n的样本，已知从高中生中抽取 70 人，则n为( ) A100 B150 C200 D90 【解答】解：从

12、高中生抽取 70 人， 则从初中生抽取 70 120020 4200 人， 则总人数702090n ， 故选：D 4 （5 分）设x，y满足 22 0 22 0 2 0 xy xy xy ，则3zxy的最小值是( ) A8 B2 C4 D8 第 7 页（共 18 页） 【解答】解：画出不等式组表示的平面区域，由图可知， 当直线3zxy过点A时，z取得最小值又(2,2)A， 所以22 34 min z ；即z的最小值是4 故选：C 5 （5 分）已知 n a为等差数列，若 159 8aaa，则 28 cos()(aa ) A 1 2 B 3 2 C 1 2 D 3 2 【解答】解： n a为等差

13、数列， 19285 2aaaaa， 159 8aaa， 5 8 3 a ， 28 16 3 aa ， 28 161 cos()cos 32 aa 故选：A 6 （5 分）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( ) 第 8 页（共 18 页） A 4 B 2 C D2 【解答】解：根据几何体的三视图转换为几何体为： 该几何体为底面为 1 4 圆，高为 2 的柱体 所以 2 1 12 42 V 故选：B 7 （5 分）如图是一个算法的程序框图，如果输入0i ，0S ，那么输出的结果为( ) A 2 3 B 3 4 C 4 5 D 5 6 【解答】解：模拟程序框图运行过程，如下； 当1i 时

14、， 1 1 2 S ，满足循环条件，此时2i ； 当2i 时， 11 1 223 S ，满足循环条件，此时3i ； 当3i 时， 111 1 22334 S ，满足循环条件，此时4i ； 第 9 页（共 18 页） 当4i 时， 1111 1 2233445 S ，不满足循环条件， 此时 1111111111114 11 1 2233445223344555 S 故选：C 8 （5 分）设a，b为向量，则| |a ba b是“/ /ab”的( ) A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充分必要条件 D既不充分也不必要条件 【解答】解：|cosa ba b， 若a，b为零向量，显然成立； 若|

15、|cos1a ba b 则a与b的夹角为零角或平角，即/ /ab，故充分性成立 而/ /ab，则a与b的夹角为为零角或平角，有| |a ba b 因此| |a ba b是/ /ab的充分必要条件 故选：C 9 （5 分）甲、乙两位同学将高三 6 次物理测试成绩做成如图所示的茎叶图加以比较（成绩 均为整数满分 100 分） ， 乙同学对其中一次成绩记忆模糊， 只记得成绩不低于 90 分且不是满 分，则甲同学的平均成绩超过乙同学的平均成绩的概率为( ) A 2 5 B 1 2 C 3 5 D 4 5 【解答】解：由题意可得 1 88878592939590 6 x 甲 ， 设被污损的数字为x， 则

16、 1 858688909989 66 x xx 乙 ， 满足题意时，xx 乙甲 即：9089 6 x ，解得6x ， 即x可能的取值为 0，1，2，3，4，5， 第 10 页（共 18 页） 结合古典概型计算公式可得满足题意的概率为： 63 105 p 故选：C 10 （5 分）已知函数( )3sin()(0f xx ，) 22 ， 1 (3A，0)为其图象的对称 中心，B、C是该图象上相邻的最高点和最低点，若4BC ，( )f x的解析式为( ) A( )3sin() 412 f xx B 5 ( )3sin() 412 f xx C( )3sin() 26 f xx D( )3sin()

17、23 f xx 【解答】解：因为B、C是该图象上相邻的最高点和最低点，4BC ， 由勾股定理可得： 222 (2 3)()4 2 T ， 由 2 T ，可得： 2 2 1216 ，求得： 2 可得：( )3sin() 2 f xx ， 又因为 1 ( ,0) 3 A为其图象的对称中心， 可知 1 , 2 3 kkZ ，解得： 6 所以( )f x的解析式为( )3sin() 26 f xx 故选：C 11 （5 分） 若双曲线 22 22 :1( ,0) xy Ca b ab 的两条渐近线与抛物 2 :2(0)C ypx p交于A、 O、B三点（点O为坐标原点） ，且直线AB经过抛物线的焦点，

18、则该双曲线的离心率为( ) A3 B5 C3 D5 【解答】 解： 双曲线 22 1 22 :1(0,0) xy Cab ab 的两条渐近线与抛物线 2 2: 2(0)Cypx p交 于A、O、B三点，且直线AB经过抛物线的焦点，可得(, ) 2 p Ap，则A在双曲线的渐近线 上， 双曲线的一条渐近线方程：0bxay， 所以0 2 pb pa， 即2ba， 可得 222 4caa， 所以双曲线的离心率为：5 c e a 故选：B 12 （5 分） 在三棱锥PABC中，2AP ，3 3AB ，PA 面ABC， 且在三角形ABC中， 第 11 页（共 18 页） 有cos(2)coscBabC（

19、其中a，b，c为ABC的内角A，B，C所对的边） ，则该三棱 锥外接球的表面积为( ) A40 B20 C12 D 20 3 【解答】解：由cos(2)coscBabC和正弦定理得sincos2sincossincosCBAcBC 所以sin()2sincosBCAC， 故可得 1 cos 23 CC ， 由正弦定理， 3 3 2 sin 3 r ，得三角形ABC的外接圆的半径为3r ， 又由 2222 ()(2 )(2 )440PArRR， 所以其表面积为 2 440SR， 故选：A 二、填空题二、填空题 13 （5 分）曲线yxlnx在点1x 处的切线方程是 10xy 【解答】解：求导函数

20、，可得1ylnx 1x 时，1y ，0y 曲线yxlnx在点1x 处的切线方程是1yx 即10xy 故答案为：10xy 14 （5 分） 已知向量a，b满足| 1a ，| 2b ，|2 |13ab， 则a与b的夹角为 60 【解答】解：设a与b的夹角为， 由|2 |13ab，所以 22 (|2 |)( 13)ab 即 22 |4|413aba b，又| 1a ，| 2b ， 可知1a b ， 所以 11 cos 1 22| a b a b ， 又0，180 所以60 故答案为：60 第 12 页（共 18 页） 15 （5 分）已知函数 2 log ()(0) ( ) 31(0) x x x

21、f x x ，且f（a）f（1）0，则实数a的值等于 1 4 【解答】解：函数 2 log ()(0) ( ) 31(0) x x x f x x ， f（1）2， 若f（a）f（1）0，则f（a）2 ， 则0a ， 2 log ()2a ， 解得： 1 4 a 故答案为： 1 4 16 （5 分）已知F是椭圆 22 1 43 xy 的左焦点，设动点P在椭圆上，若直线FP的斜率大于 3，则直线(OP O为原点）的斜率的取值范围是 33 3 3 (,)(, ) 282 【解答】解：由椭圆方程 22 1 43 xy ，可求得( 1,0)F ， 当直线FP的斜率为3时，则直线FP的方程为：3(1)y

22、x，设此时直线FP与椭圆的两 个交点为 1 P， 2 P， 联立方程 22 1 43 3(1) xy yx ，得 12 83 3 (0, 3),(,) 55 PP ， 过F作x轴垂线与椭圆交于 1 3 ( 1, ) 2 A ， 2 3 ( 1,) 2 A ， 直线FP的斜率大于3，P在弧 11 PA， 22 P A上时，符合题意， 122 000 333 3 , 228 AAP kkk ， OP斜率的取值范围是 33 3 3 (,)(, ) 282 ， 故答案为： 33 3 3 (,)(, ) 282 三、解答题三、解答题 17 （12 分）已知数列 n a的前n项和为 1 22() n n

23、SnN 第 13 页（共 18 页） （）求数列 n a的通项公式； （）设 2 2 log nn ba，求数列 1 1 nn b b 的前n项和 n T 【解答】解： （）由 1 22 n n S 可得：当2n时， 1 22 n n S ， 上述两式相减可得2n n a ， 当1n 时： 1 11 11 2222aS 成立， 故所求2 () n n anN； （）由（）可得2n n a ， 2 2 log2 nn ban， 1 111 11 () 2 (22)41 nn b bnnnn ， 故所求 111111111 ()(1)() 412231414(1) n n TnN nnnn 18

24、（12 分）如图，在四棱锥SABCD中，底面ABCD是菱形，60BAD，SAB为等 边三角形，G是线段SB上的一点，且/ /SD平面GAC （1）求证：G为SB的中点； （2）若F为SC的中点，连接GA，GC，FA，FG，平面SAB 平面ABCD，2AB ， 求三棱锥FAGC的体积 【解答】 （1）证明：如图，连接BD交AC于点E，则E为BD的中点，连接GE， / /SD平面GAC，平面SDB平面GACGE，SD 平面SBD， / /SDGE，而E为BD的中点，G为SB的中点 （2）解：F，G分别为SC，SB的中点， 第 14 页（共 18 页） 11111 22448 FAGCSAGCCAG

25、SCABSSABCSABCD VVVVVV 三棱锥三棱锥三棱锥三棱锥三棱锥四棱锥 取AB的中点H，连接SH， SAB为等边三角形，SHAB， 又平面SAB 平面ABCD，平面SAB平面ABCDAB，SH 平面SAB， SH平面ABCD， 而3SH ， 1 22 2602 3 2 ABCD Ssin 菱形 ， 11 2 332 33 SABCDABCD VSSH 四棱锥菱形 ， 11 84 FAGCSABCD VV 三棱锥四棱锥 19 （12 分）一项针对某一线城市30 50岁都市中年人的消费水平进行调查，现抽查 500 名(200名女性，300 名男性）此城市中年人，最近一年内购买六类高价商品

26、（电子产品、服 装、手表、运动与户外用品、珠宝首饰、箱包）的金额（万元）的频数分布表如下： 女性 金额 0.1，0.3) 0.3，0.5) 0.5，0.7) 0.7，0.9) 0.9，1.1) 频数 20 40 80 50 10 男性 金额 0.1，0.3) 0.3，0.5) 0.5，0.7) 0.7，0.9) 0.9，1.1) 频数 45 75 90 60 30 （） 将频率视为概率， 估计该城市中年人购买六类高价商品的金额不低于 5000 元的概率 （）把购买六类高价商品的金额不低于 5000 元的中年人称为“高收入人群” ，根据已知条 件完成22列联表，并据此判断能否有95%的把握认为“

27、高收入人群”与性别有关？ 高收入人群 非高收入人群 合计 女性 60 男性 180 第 15 页（共 18 页） 合计 500 参考公式： 2 2 () ()()()() n adbc K ab cd ac bd ，其中nabcd 参考附表： 2 0 ()P Kk 0.10 0.050 0.010 0.001 0 k 2.706 3.841 6.635 10.828 【解答】 解：（） 将频率视为概率， 估计该城市中年人购买六类高价商品的金额不低于 5000 元的概率为： 32016 50025 P ； （）根据频数分布表得列联表如下： 高收入人群 非高收入人群 合计 女 140 60 200

28、 男 180 120 300 合计 320 180 500 根据表中数据，计算 2 2 500(140 12060 180) 5.2083.841 200300 180320 K ， 所以有95%的把握认为“高收入人群”与性别有关 20 （12 分）已知椭圆 22 22 :1(0) xy Eab ab 的离心率为 3 2 ，且过点 1 ( 3, ) 2 直线 : lyxm与y轴交于点P，与椭圆交于M，N两点 （）求椭圆E的标准方程； （）若3MPPN，求实数m的值 【解答】解： （1）因为离心率 2 3 1( ) 2 b a ，且E过点 1 ( 3, ) 2 ，即 22 31 1 4ab ，

29、解得 2 4a ， 2 1b ， 故所求椭圆E的方程为： 2 2 1 4 x y； （2）设 1 (M x， 1) y， 2 (N x， 2) y，(0,)Pm， 联立方程组 2 2 1 4 x y yxm ，整理得： 22 58440xmxm， 第 16 页（共 18 页） 所以 12 8 5 m xx ， 2 12 44 5 m x x ， 又因为3MPPN， 所以 1 ( x， 12 )3(myx， 2 )ym， 即 12 3xx ， 与 12 8 5 xxm 联立， 解得： 2 4 5 xm， 1 12 5 xm ， 代入 2 12 44 5 m x x ， 解得： 2 5 17 m

30、， 85 17 m ， 验证：当 85 17 m 时，0成立，符合题意， 故所求 85 17 m 21 （12 分）已知函数( )(sin1)() x f xaxxe aR，( )fx是其导函数 （）当1a 时，求( )f x在0x 处的切线方程； （）若1a，证明：( )fx在区间(0, )内至多有 1 个零点 【解答】解：( ) I当1a 时，( )(sincos ) x fxxxx e，则(0)1f ， 又(0)1f ， 则( )f x在0x 处的切线方程为：1yx 即10xy （）( )(sincos1) x fxaxxxae， 设( )sincos1g xaxxxa， ( )coss

31、in2sin() 4 g xaxxxa ， 因(0, )x，故2sin()( 1, 2 4 x ， 又1a，故( ) 0g x对(0, )x恒成立，即( )g x在区间(0, )单调递增； 又(0)2ga，( )(1)0ga； 故当12a剟时，(0)2 0ga ，此时( )fx在区间(0, )内恰好有 1 个零点 当2a 时，(0)20ga，此时( )fx在在区间(0, )内没有零点； 综上结论得证 22 （10 分）已知曲线C的极坐标方程为2 2sin() 4 ，以极点为坐标原点，极轴为x 第 17 页（共 18 页） 轴正半轴建立平面直角坐标系，直线l的参数方程为 1 2 2 ( 3 1

32、2 xt t yt 为参数） （）将曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程，并且指出该曲线是什么曲线； （）若直线l与曲线C交于A，B两点，设(2,1)P，求|PAPB的值 【解答】解： （）由题意可知： 22 2 2(sincos )2sin2cos 22 所以 2 2 sin2 cos， 由cosx，siny可知： 22 22xyxy则 22 (1)(1)2xy， 则曲线C的直角坐标方程为 22 (1)(1)2xy，此曲线为圆 （）由题意可知： 联立直线l与曲线C的方程可得关于t的一元二次方程： 2 10tt ， 因为1( 4)50 ， 所以 1 2 10t t ， 12 1tt ， 则 22

33、 1212121 2 | |()()45PAPBttttttt t 23已知函数( ) |22|2|f xxx （1）求不等式( ) 6f x 的解集； （2）当xR时，( )f xxa恒成立，求实数a的取值范围 【解答】解： （1）当2x时，( )4f xx ，( ) 64 62f xxx 厖?，故2x； 当21x 时，( )3f xx ，( ) 6362f xxx厖?，故x； 当1x时，( )4f xx，( ) 64 610f xxx厖?，故10x； 综上可知：( ) 6f x 的解集为(，210，) （2）由（1）知： 4,2 ( )3 , 21 4,1 xx f xxx xx ， 【解法一】 如图所示：作出函数( )f x的图象， 第 18 页（共 18 页） 由图象知，当1x 时，13a ，解得：2a， 实数a的取值范围为(，2 【解法二】 当2x时，4xxa 恒成立，4a ， 当21x 时，3xxa恒成立，2a， 当1x时，4xxa恒成立，2a， 综上，实数a的取值范围为(，2