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类型2020年河北省高考数学模拟试卷(文科)(3月份).docx

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    1、 第 1 页(共 18 页) 2020 年河北省高考数学模拟试卷(文科) (年河北省高考数学模拟试卷(文科) (3 月份)月份) 一、选择题:本大题共一、选择题:本大题共 12 小题,每小题小题,每小题 5 分,共分,共 60 分分.在每小题给出的四个选项中,只有在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的一项是符合题目要求的. 1 (5 分)已知集合 AxZ|1x5,Bx|0x2,则 AB( ) Ax|1x2 Bx|0x5 C0,1,2 D1,2 2 (5 分)若等差数列的前两项分别为 1,3,则该数列的前 10 项和为( ) A81 B90 C100 D121 3 (5 分)已知

    2、a,bR,3+aib(2a1)i,则( ) Ab3a Bb6a Cb9a Db12a 4 (5 分)已知平面向量 =(2,1) , =(2,4) ,则向量 , 夹角的余弦值为( ) A3 5 B4 5 C 3 5 D 4 5 5 (5 分) 某单位去年的开支分布的折线图如图 1 所示, 在这一年中的水、电、 交通开支 (单 位:万元)如图 2 所示,则去年的水费开支占总开支的百分比为( ) A6.25% B7.5% C10.25% D31.25% 6 (5 分)若双曲线 C: 2 2= 1的一条渐近线方程为 3x+2y0,则 m( ) A4 9 B9 4 C2 3 D3 2 7 (5 分)已知

    3、底面是等腰直角三角形的三棱锥 PABC 的三视图如图所示,俯视图中的两 个小三角形全等,则( ) 第 2 页(共 18 页) APA,PB,PC 两两垂直 B三棱锥 PABC 的体积为8 3 C| = | = | = 6 D三棱锥 PABC 的侧面积为35 8 (5 分)函数 f(x)|x| | 2 的图象大致为( ) A B C D 9 (5 分)设不等式组 + 0 3 0表示的平面区域为 ,若从圆 C:x 2+y24 的内部随机 选取一点 P,则 P 取自 的概率为( ) A 5 24 B 7 24 C11 24 D17 24 10 (5 分)张衡是中国东汉时期伟大的天文学家、数学家,他曾

    4、经得出圆周率的平方除以 十六等于八分之五 已知三棱锥ABCD的每个顶点都在球O的球面上 AB底面BCD, BCCD,且 ABCD= 3,BC2,利用张衡的结论可得球 O 的表面积为( ) A30 B1010 C33 D1210 第 3 页(共 18 页) 11 (5 分)已知定义在 R 上的函数 f(x)满足 f(x)f(x) ,且在0,+)上是增函数, 不等式 f(ax+2)f(1)对于 x1,2恒成立,则 a 的取值范围是( ) A1.5,1 B1,0.5 C0.5,0 D0,1 12 (5 分)过抛物线 C:x24y 的准线上任意一点 P 作抛物线的切线 PA,PB,切点分别为 A,B,

    5、则 A 点到准线的距离与 B 点到准线的距离之和的最小值是( ) A7 B6 C5 D4 二、填空题:本大题共二、填空题:本大题共 4 小题,每小题小题,每小题 5 分,共分,共 20 分分.把答案填在答题卡中的横线上把答案填在答题卡中的横线上. 13 (5 分)已知函数() = | + 1|,0, 3, 0, 则(2 1 8) = 14 (5 分)函数() = 2( + 3)的最小正周期为 15 (5 分) 在正方体 ABCDA1B1C1D1中, 设 BC1, BD1与底面 ABCD 所成角分别为 , , 则 tan(+) 16 (5 分)在数列an中,a11,an0,曲线 yx3在点(,

    6、3)处的切线经过点(an+1, 0) ,下列四个结论: 2= 2 3;3 = 1 3; 4 1 = 65 27;数列an是等比数列 其中所有正确结论的编号是 三、解答题:本大题共三、解答题:本大题共 5 小题,共小题,共 70 分分.解答应写出必要的文字说明,证明过程或演算步解答应写出必要的文字说明,证明过程或演算步 骤骤.1721 题为必考题,每个试题考生都必须作答题为必考题,每个试题考生都必须作答.第第 22,23 题为选考题,考生根据要求作题为选考题,考生根据要求作 答答.(一)必考题:共(一)必考题:共 60 分分. 17 (12 分)在ABC 中,内角 A,B,C 的对边分别为 a,

    7、b,c,且 2ac2bcosC (1)求(+ 2 + )的值; (2)若 b= 3,求 ca 的取值范围 18 (12 分)为了解某中学学生对中华人民共和国交通安全法的了解情况,调查部门在 该校进行了一次问卷调查(共 12 道题) ,从该校学生中随机抽取 40 人,统计了每人答对 的题数,将统计结果分成0,2) ,2,4) ,4,6) ,6,8) ,8,10) ,10,12六组,得 到如下频率分布直方图 (1)若答对一题得 10 分,未答对不得分,估计这 40 人的成绩的平均分(同一组中的数 据用该组区间的中点值作代表) ; (2)若从答对题数在2,6)内的学生中随机抽取 2 人,求恰有 1

    8、人答对题数在2,4) 第 4 页(共 18 页) 内的概率 19 (12 分)如图,四棱锥 EABCD 的侧棱 DE 与四棱锥 FABCD 的侧棱 BF 都与底面 ABCD 垂直,ADCD,ABCD,AB3,AD4,AE5, = 32 (1)证明:DF平面 BCE (2)求 A 到平面 BEDF 的距离,并求四棱锥 ABEDF 的体积 20 (12 分)已知椭圆 C: 2 2 + 2=1(a1)的左顶点为 A,右焦点为 F,斜率为 1 的直 线与椭圆 C 交于 A、B 两点,且 OBAB,其中 O 为坐标原点 (1)求椭圆 C 的标准方程; (2) 设过点F且与直线AB平行的直线与椭圆C交于M

    9、、 N两点, 若点P满足 = 3 , 且 NP 与椭圆 C 的另一个交点为 Q,求| |的值 21 (12 分)设函数 f(x)x 1 tlnx,其中 x(0,1) ,t 为正实数 (1)若不等式 f(x)0 恒成立,求实数 t 的取值范围; (2)当 x(0,1)时,证明 x2+x 1 1exlnx (二)选考题:共(二)选考题:共 10 分分.请考生从第请考生从第 22,23 两题中任选一题作答两题中任选一题作答.如果多做,则按所做的第如果多做,则按所做的第 一个题目计分一个题目计分.选修选修 4-4:坐标系与参数方程:坐标系与参数方程 第 5 页(共 18 页) 22 (10 分)在直角

    10、坐标系 xOy 中,曲线 C1的参数方程 = 4, = 42 (t 为参数) ,以坐标原点 O 为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,已知曲线 C2的极坐标方程为 4sin (1)求 C1的极坐标方程与 C2的直角坐标方程; (2)已知射线 = (0 2)与 C1 交于 O,P 两点,与 C2交于 O,Q 两点,且 Q 为 OP 的中点,求 选修选修 4-5:不等式选讲:不等式选讲(10 分)分) 23已知函数 f(x)|x2|+|2x1| (1)求不等式 f(x)3 的解集; (2) 记函数 f (x) 的最小值为 m, 若 a, b, c 均为正实数, 且1 2 + + = , 求 a

    11、2+b2+c2 的最小值 第 6 页(共 18 页) 2020 年河北省高考数学模拟试卷(文科) (年河北省高考数学模拟试卷(文科) (3 月份)月份) 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题:本大题共一、选择题:本大题共 12 小题,每小题小题,每小题 5 分,共分,共 60 分分.在每小题给出的四个选项中,只有在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的一项是符合题目要求的. 1 (5 分)已知集合 AxZ|1x5,Bx|0x2,则 AB( ) Ax|1x2 Bx|0x5 C0,1,2 D1,2 【解答】解:集合 AxZ|1x50,1,2,3,4, Bx|0x2, AB1

    12、,2 故选:D 2 (5 分)若等差数列的前两项分别为 1,3,则该数列的前 10 项和为( ) A81 B90 C100 D121 【解答】解:因为公差 d312, 所以该数列的前 10 项和为10 1 + 109 2 2 = 100 故选:C 3 (5 分)已知 a,bR,3+aib(2a1)i,则( ) Ab3a Bb6a Cb9a Db12a 【解答】解:由 3+aib(2a1)i, 得3 = = 1 2,即 a= 1 3,b3 b9a 故选:C 4 (5 分)已知平面向量 =(2,1) , =(2,4) ,则向量 , 夹角的余弦值为( ) A3 5 B4 5 C 3 5 D 4 5

    13、【解答】解: =(2,1) , =(2,4) , , = | | |= 8 520 = 4 5 故选:B 5 (5 分) 某单位去年的开支分布的折线图如图 1 所示, 在这一年中的水、电、 交通开支 (单 第 7 页(共 18 页) 位:万元)如图 2 所示,则去年的水费开支占总开支的百分比为( ) A6.25% B7.5% C10.25% D31.25% 【解答】解:由拆线图知去年水、电、交通支出占总支出的百分比为 20%, 由条形图得去年水、电、交通支出合计为: 250+450+100800(万元) , 共中水费支出 250(万元) , 去年的水费开支占总开支的百分比为:250 800 2

    14、0% =6.25% 故选:A 6 (5 分)若双曲线 C: 2 2= 1的一条渐近线方程为 3x+2y0,则 m( ) A4 9 B9 4 C2 3 D3 2 【解答】解:由题意知双曲线的渐近线方程为 = 1 (0), 3x+2y0 可化为 = 3 2 ,则 1 = 3 2, 解得 = 4 9 故选:A 7 (5 分)已知底面是等腰直角三角形的三棱锥 PABC 的三视图如图所示,俯视图中的两 个小三角形全等,则( ) 第 8 页(共 18 页) APA,PB,PC 两两垂直 B三棱锥 PABC 的体积为8 3 C| = | = | = 6 D三棱锥 PABC 的侧面积为35 【解答】解:根据三

    15、视图,可得三棱锥 PABC 的直观图如图所示, 其中 D 为 AB 的中点,PD底面 ABC 所以三棱锥 PABC 的体积为1 3 1 2 2 2 2 = 4 3,| = | = | = 6, PA,PB,PC 不可能两两垂直,三棱锥 PABC 的侧面积为25 + 22 故选:C 8 (5 分)函数 f(x)|x| | 2 的图象大致为( ) A B 第 9 页(共 18 页) C D 【解答】解:因为 f(x)f(x) ,所以 f(x)是偶函数,排除 C 和 D 当 x0 时,() = 2 ,() = 3+21 3 ,令 f(x)0,得 0x1;令 f(x) 0,得 x1 所以 f(x)在

    16、x1 处取得极小值,排除 B, 故选:A 9 (5 分)设不等式组 + 0 3 0表示的平面区域为 ,若从圆 C:x 2+y24 的内部随机 选取一点 P,则 P 取自 的概率为( ) A 5 24 B 7 24 C11 24 D17 24 【解答】解:作出 中在圆 C 内部的区域,如图所示, 因为直线 x+y0, 3 = 0的倾斜角分别为3 4 , 6, 所以由图可得 P 取自 的概率为 3 4 ; 6 2 = 7 24 故选:B 10 (5 分)张衡是中国东汉时期伟大的天文学家、数学家,他曾经得出圆周率的平方除以 十六等于八分之五 已知三棱锥ABCD的每个顶点都在球O的球面上 AB底面BC

    17、D, BCCD,且 ABCD= 3,BC2,利用张衡的结论可得球 O 的表面积为( ) A30 B1010 C33 D1210 【解答】 解由题意将此三棱锥放在长方体中, 由题意可知长方体的长宽高分别为, 3, 2, 3, 设外接球的半径为 R,则(2R)23+4+310, 第 10 页(共 18 页) 所以外接球的表面积为 S4R210, 又因为圆周率的平方除以十六等于八分之五,即 2 16 = 5 8, 所以 = 10,所以 S1010, 故选:B 11 (5 分)已知定义在 R 上的函数 f(x)满足 f(x)f(x) ,且在0,+)上是增函数, 不等式 f(ax+2)f(1)对于 x1

    18、,2恒成立,则 a 的取值范围是( ) A1.5,1 B1,0.5 C0.5,0 D0,1 【解答】解:f(x)满足 f(x)f(x) , 故 f(x)为偶函数,且在0,+)上是增函数, 根据偶函数的对称性可知, (,0)上单调递减,距离对称轴越远,函数值越大, 不等式 f(ax+2)f(1)对于 x1,2恒成立, 则|ax+2|1, 1ax+21, 即3ax1 对于 x1,2恒成立, 根据一次函数的性质可得,3 1 3 2 1, 解可得, 3 2 1 故选:A 12 (5 分)过抛物线 C:x24y 的准线上任意一点 P 作抛物线的切线 PA,PB,切点分别为 A,B,则 A 点到准线的距离

    19、与 B 点到准线的距离之和的最小值是( ) A7 B6 C5 D4 【解答】解:设抛物线 C:x24y 的准线上任意一点 P(m,1) 点 P 作抛物线的切线 PA,PB,设切点分别为 A(x1,y1) ,B(x2,y2) 第 11 页(共 18 页) x24y = 1 4 2, = 1 2 , 切线 PA,PB 方程分别为 x1x2(y+y1) ,x2x2(y+y2) 1 = 2(1 1) 2= 2(2 1)直线 AB 的方程为 mx2(y1) 故直线 AB 过定点(0,1) , (即 AB 恒过抛物线焦点) 则 A 点到准线的距离与 B 点到准线的距离之和为 AB, 当 AB 为通径时最小

    20、,最小值是 2p4 故选:D 二、填空题:本大题共二、填空题:本大题共 4 小题,每小题小题,每小题 5 分,共分,共 20 分分.把答案填在答题卡中的横线上把答案填在答题卡中的横线上. 13 (5 分)已知函数() = | + 1|,0, 3, 0, 则(2 1 8) = 9 【解答】解:根据题意,因为2 1 8 = 3,所以(2 1 8) = (3) = 2, 则(2 1 8) = 9; 故答案为:9 14 (5 分)函数() = 2( + 3)的最小正周期为 【解答】解:f(x)= 1+(2+2 3 ) 2 = 1 2cos(2x+ 2 3 )+ 1 2, 则函数的周期 T= 2 2 =

    21、, 故答案为: 15 (5 分) 在正方体 ABCDA1B1C1D1中, 设 BC1, BD1与底面 ABCD 所成角分别为 , , 则 tan(+) 3 + 22 【解答】解:因为 CC1,DD1都与底面 ABCD 垂直, 所以 CBC1,DBD1,tan1, = 1 2, 所以( + ) = 1+ 1 2 1 1 2 = 3 + 22 故答案为:3 + 22 16 (5 分)在数列an中,a11,an0,曲线 yx3在点(, 3)处的切线经过点(an+1, 0) ,下列四个结论: 2= 2 3;3 = 1 3; 4 1 = 65 27;数列an是等比数列 第 12 页(共 18 页) 其中

    22、所有正确结论的编号是 【解答】 解: y3x2, 曲线 yx3在点(, 3)处的切线方程为 3 = 3 2( ), 则 3 = 3 2(:1 )an0,:1= 2 3,则an是首项为 1,公比为 2 3的等比 数列, 从而2= 2 3,3 = 4 9, 4 1 = 1(2 3) 4 12 3 = 65 27故所有正确结论的编号是 故答案为: 三、解答题:本大题共三、解答题:本大题共 5 小题,共小题,共 70 分分.解答应写出必要的文字说明,证明过程或演算步解答应写出必要的文字说明,证明过程或演算步 骤骤.1721 题为必考题,每个试题考生都必须作答题为必考题,每个试题考生都必须作答.第第 2

    23、2,23 题为选考题,考生根据要求作题为选考题,考生根据要求作 答答.(一)必考题:共(一)必考题:共 60 分分. 17 (12 分)在ABC 中,内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,且 2ac2bcosC (1)求(+ 2 + )的值; (2)若 b= 3,求 ca 的取值范围 【解答】解: (1)因为 2ac2bcosC= 2+22 2 2, 整理可得,a2+c2b2ac, 由余弦定理可得,cosB= 1 2, 故 B60,A+C120, 所以(+ 2 + ) =sin120= 3 2 ; (2 由正弦定理可得, = = 3 60, 所以 a2sinA,c2sinC, 所以 ca

    24、2sinC2sinA2sinC2sin(120C)sinC3cosC, 2sin(C60) , 因为 0C120,所以60C3060, 所以 3 2 sin(C300) 3 2 , 故3ca 3 18 (12 分)为了解某中学学生对中华人民共和国交通安全法的了解情况,调查部门在 该校进行了一次问卷调查(共 12 道题) ,从该校学生中随机抽取 40 人,统计了每人答对 第 13 页(共 18 页) 的题数,将统计结果分成0,2) ,2,4) ,4,6) ,6,8) ,8,10) ,10,12六组,得 到如下频率分布直方图 (1)若答对一题得 10 分,未答对不得分,估计这 40 人的成绩的平均

    25、分(同一组中的数 据用该组区间的中点值作代表) ; (2)若从答对题数在2,6)内的学生中随机抽取 2 人,求恰有 1 人答对题数在2,4) 内的概率 【解答】 解: (1) 因为答对题数的平均数约为 (10.025+30.025+50.0375+70.125+9 0.1875+110.1)27.9 所以这 40 人的成绩的平均分约为 7.91079 (2)答对题数在2,4)内的学生有 0.0252402 人,记为 A,B; 答对题数在4,6)内的学生有 0.03752403 人,记为 c,d,e 从答对题数在2,6)内的学生中随机抽取 2 人的情况有(A,B) , (A,c) , (A,d)

    26、 , (A, e) , (B,c) , (B,d) , (B,e) , (c,d) , (c,e) , (d,e) ,共 10 种, 恰有 1 人答对题数在2,4)内的情况有(A,c) , (A,d) , (A,e) , (B,c) , (B,d) , (B,e) ,共 6 种, 故所求概率 = 6 10 = 3 5 19 (12 分)如图,四棱锥 EABCD 的侧棱 DE 与四棱锥 FABCD 的侧棱 BF 都与底面 ABCD 垂直,ADCD,ABCD,AB3,AD4,AE5, = 32 (1)证明:DF平面 BCE (2)求 A 到平面 BEDF 的距离,并求四棱锥 ABEDF 的体积 第

    27、 14 页(共 18 页) 【解答】 (1)证明:DE平面 ABCD,DEAD, AD4,AE5,DE= 2 2=3, BF平面 ABCD,BFAB, AB3,AF= 32,可得 BF= 2 2=3, 又 DE平面 ABCD,BF平面 ABCD,DEBF, 又 BFDE,四边形 BEDF 为平行四边形,故 DFBE, BE平面 BCE,DF平面 BCE, DF平面 BCE; (2)解:设 A 到平面 BEDF 的距离为 h, 由已知可得,DAB 是以DAB 为直角的直角三角形,且 AB3,AD4, 则 BD5,又 DE平面 ABCD,且 DE3, 由 VEADBVABDE,得1 3 1 2 3

    28、 4 3 = 1 3 1 2 5 3 , 得 h= 12 5 ,即 A 到平面 BEDF 的距离为12 5 ; 四棱锥 ABEDF 的体积 V= ;+ ;= 2 1 3 1 2 3 4 3 =12 20 (12 分)已知椭圆 C: 2 2 + 2=1(a1)的左顶点为 A,右焦点为 F,斜率为 1 的直 线与椭圆 C 交于 A、B 两点,且 OBAB,其中 O 为坐标原点 第 15 页(共 18 页) (1)求椭圆 C 的标准方程; (2) 设过点F且与直线AB平行的直线与椭圆C交于M、 N两点, 若点P满足 = 3 , 且 NP 与椭圆 C 的另一个交点为 Q,求| |的值 【解答】解: (

    29、1)由题意得,设直线 AB 的方程:xya,与椭圆联立整理得: (1+a2) y22ay0, yB= 2 1+2, xB= 2 1+2 = 3 1+2, 因为 OBAB, = 2 ;3 = 1,a1,解得:a23, 所以椭圆 C 的标准方程: 2 3 + 2=1; (2)由(1)得,F(2,0)所以由题意得直线 MN 的方程为: = 2, 设 M(x1,y1) ,N(x2,y2) ,Q(x3,y3) , 将 = 2代入 2 3 + 2=1,得42 62 + 3 = 0, 1+ 2= 32 2 ,12= 3 4, 12= (1 2)(2 2) = 1 4, = 3 , = 3 4 ,则(3 41

    30、, 3 4 1), 设| | = ,则 = ,即(3 41 2, 3 4 1 2) = (3 3 41,3 3 41), 3= 3(+1) 4 1 1 2 3= 3(+1) 4 1 1 2 , 点 Q(x3,y3)在椭圆 C 上, 1 3 3(:1) 4 1 1 22+ 3(:1) 4 1 1 22= 1, 整理得9(:1) 2 162 (1 3 12+ 12) + 1 2 (1 3 22+ 22) 3(:1) 22 (1 3 12+ 12) = 1, 由上知,1 3 12+ 12= 0,且1 2 3 + 1= 1, 22 3 + 2= 1, 第 16 页(共 18 页) 9(:1) 2 16

    31、 + 1 2 = 1,即 7m218m250,解得 = 25 7 或 m1(舍) , 故| | = 25 7 21 (12 分)设函数 f(x)x 1 tlnx,其中 x(0,1) ,t 为正实数 (1)若不等式 f(x)0 恒成立,求实数 t 的取值范围; (2)当 x(0,1)时,证明 x2+x 1 1exlnx 【解答】 解:(1) 不等式 f (x) 0 即 + 1 0, 记() = + 1 , (0,1), 依题意,函数 F(x)0 在(0,1)上恒成立,() = 1 1 2 = (2+1 ) 2 ,由 x (0,1)可知, 2:1 2, 当 0t2 时,F(x)0,此时函数 F(x

    32、)在(0,1)上单调递减,故 F(x) F(1)0 满足条件; 当 t2 时,存在 x0(0,1)使得 F(x0)0, 由 = 2+1 = + 1 的性质知,x(0,x0)时,F(x)0;x(x0,1)时,F(x) 0, 则函数 F(x)在(0,x0)上单减,在(x0,1)上单增, 因为 F(1)0,所以 F(x0)0,则 F(x)0 不恒成立,即 t2 不满足条件 综上,实数 t 的取值范围为(0,2; (2)证明:由常见不等式可知,当 x(0,1)时,1 1 , 要证2+ 1 1,只需证(1 1 ) 2 + 1 1 = (2 1)(1 + 1 ),即 证 1 (+1)2(1) , 又 x(

    33、0,1) ,故只需证 ex(x+1)2,即证 ex(x+1)20, 令 h(x)ex(x+1)2,x(0,1) ,则 h(x)ex2x2,h(x)ex2, 易知当 x(0,ln2)时,h(x)0,h(x)单减;当 x(ln2,1)时,h(x)0, h(x)单增, h(x)minh(ln2)2ln2,又 h(0)1,h(1)e40, h(x)0 在(0,1)上恒成立,即函数 h(x)在(0,1)上为减函数, h(x)h(0)0,即 ex(x+1)20,即得证 第 17 页(共 18 页) (二)选考题:共(二)选考题:共 10 分分.请考生从第请考生从第 22,23 两题中任选一题作答两题中任选

    34、一题作答.如果多做,则按所做的第如果多做,则按所做的第 一个题目计分一个题目计分.选修选修 4-4:坐标系与参数方程:坐标系与参数方程 22 (10 分)在直角坐标系 xOy 中,曲线 C1的参数方程 = 4, = 42 (t 为参数) ,以坐标原点 O 为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,已知曲线 C2的极坐标方程为 4sin (1)求 C1的极坐标方程与 C2的直角坐标方程; (2)已知射线 = (0 2)与 C1 交于 O,P 两点,与 C2交于 O,Q 两点,且 Q 为 OP 的中点,求 【解答】解: (1)曲线 C1的参数方程 = 4, = 42 (t 为参数) ,转换为直角坐

    35、标方程为 x2 4y 曲线 C2的极坐标方程为 4sin, 转换为直角坐标方程为 x2+y24y, 整理得 x2+ (y2) 24 (2)射线 = (0 2)与 C1 交于 O,P 两点, 直角坐标方程为 x24y,转换为极坐标方程为 2cos24sin,整理得 = 4 2 与 C2交于 O,Q 两点,所以 14sin, 且 Q 为 OP 的中点,所以 12, 整理得4 2 = 2 4, 整理得 = 2 2 解得 = 4 选修选修 4-5:不等式选讲:不等式选讲(10 分)分) 23已知函数 f(x)|x2|+|2x1| (1)求不等式 f(x)3 的解集; (2) 记函数 f (x) 的最小

    36、值为 m, 若 a, b, c 均为正实数, 且1 2 + + = , 求 a2+b2+c2 的最小值 第 18 页(共 18 页) 【解答】解: (1)f(x)|x2|+|2x1|= 3 3,2 + 1, 1 2 2 3 + 3, 1 2 f(x)3,3 3 3 2 或 + 1 3 1 2 2或 3 + 3 3 1 2 , x2 或 x2 或 x0,x2 或 x0, 不等式的解集为x|x2 或 x0 (2)由(1)知,f(x)minm= 3 2, 1 2 + + = 3 2, 由柯西不等式,有(2+ 2+ 2)(1 2) 2 + 12+ 12 (1 2 + + ) 2, a2+b2+c21,当且仅当 2abc,即 a= 1 3,bc= 2 3时取等号, a2+b2+c2的最小值为 1

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