2020年福建省宁德市高考数学一模试卷（文科）.docx

1、 第 1 页（共 24 页） 2020 年福建省宁德市高考数学一模试卷（文科）年福建省宁德市高考数学一模试卷（文科） 一、选择题：本大题共一、选择题：本大题共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只分在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的有一项是符合题目要求的 1 （5 分）已知集合 |213Axx ， 2 |20Bx xx，则(AB ) A( 2,1) B(1,2) C( 1,2) D( 1,1) 2 （5 分）已知复数1zi ，其中i是虚数单位，则 2 1 ( z z ) A 1 2 i B 1 2 i C1i D1i 3 （5

2、 分）已知双曲线 22 2 :1 4 xy C b 的焦距为4 5，则其焦点到渐近线的距离为( ) A8 B6 C2 2 D4 4 （5 分）设向量a，b满足|15,|7abab，则(a b ) A4 B3 C2 D1 5 （5 分）2021 年起，福建省高考将实行“312 ”新高考 “3”是统一高考的语文、数 学和英语三门； “1”是选择性考试科目，由考生在物理、历史两门中选一门； “2”也是选择 性考试科目， 由考生从化学、 生物、 地理、 政治四门中选择两门， 则某考生自主选择的 “12” 三门选择性考试科目中，历史和政治均被选择到的概率是( ) A 1 4 B 1 3 C 1 2 D

3、2 3 6 （5 分）已知公比为1的等比数列 n a的前n项和为 n S，等差数列 n b的前n项和为 n T， 若有 3456 10abba，则 88 (ST ) A80 B40 C20 D10 7 （5 分）若实数x，y，z满足 23 loglog2zxy，则x，y，z的大小关系是( ) Axyz Bxzy Czxy Dzyx 8 （5 分）明朝数学家程大位著的算法统宗里有一道著名的题目： “一百馒头一百僧， 大僧三个更无争，小僧三人分一个，大、小和尚各几丁？”如图所示的程序框图反映了此题 的一个算法执行如图的程序框图，则输出的(n ) 第 2 页（共 24 页） A25 B45 C60

4、D75 9 （5 分）将函数 31 ( )sincos 22 f xxx的图象向左平移 3 个单位长度后，所得的图象 与原图象有相同的对称中心，则正实数的最小值是( ) A 1 3 B2 C3 D6 10 （5 分）某长方体被一个平面所截，得到几何体的三视图如图所示，则这个几何体的表 面积为( ) A16 B20 C162 6 D202 6 11 （5 分）已知 1 F， 2 F为椭圆 22 2 :1 64 xy C a 的左、右焦点，椭圆C上一点P到上顶点A和 坐标原点的距离相等，且 12 PFF的内切圆半径为 1，则椭圆的离心率为( ) 第 3 页（共 24 页） A 1 7 B 1 3

5、C 1 2 D 2 3 12 （5 分）已知函数 3 3 ,0, ( ) ,0, xx x f x a xx x 下列关于函数( ( )2yf f x的零点个数判断正确 的是( ) A当0a 时，至少有 2 个零点 B当0a 时，至多有 9 个零点 C当0a 时，至少有 4 个零点 D当0a 时，至多有 4 个零点 二、填空题：本大题共二、填空题：本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分把答案填在答题卡的相应位置分把答案填在答题卡的相应位置 13 （5 分）已知函数 2 ( )f xxx在点(1，f（1）)处的切线方程为 14 （5 分）若变量x，y满足约束条件 1,

6、 1, 1, y xy y x 则2zxy的最大值是 15 （5 分）在边长为 2 的菱形ABCD中， 3 ABC ，以AC为折痕将ABC折起，使点B到 达点 B 的位置，且点 B 在面ACD内的正投影为ACD的重心G，则BACD 的外接球的 球心O到点G的距离为 16 （5 分）若正项数列 n a满足 1 1 nn aa ，则称数列 n a为D型数列，以下 4 个正项数 列 n a满足的递推关系分别为： 22 1 1 nn aa 1 11 1 nn aa 1 2 1 n n n a a a 2 1 21 nn aa 则D型数列 n a的序号为 三、解答题：共三、解答题：共 70 分解答须写出

7、文字说明、证明过程和演算步骤第分解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤第 1721 题为必考题为必考 题，每个试题考生都必须作答第题，每个试题考生都必须作答第 22、23 为选考题，考生根据要求作答 （一）必考题：为选考题，考生根据要求作答 （一）必考题： 共共 60 分分 17（12 分）ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c， 已知22 cosabcB，3c （1）求角C； （2）延长线段AC到点D，使CDCB，求ABD周长的取值范围 18 （12 分）如图，矩形ABCD 平面BCE，1AB ，2BCBE且 2 3 EBC ，M，N 分别为AB，CE的中点 第 4 页（共 24 页）

8、 （1）证明：/ /MN平面AED； （2）求几何体AMND的体积 19 （12 分）某公司为了促进某产品的销售，随机调查了该产品的月销售单价x（单位：元 /件）及相应月销量y（单位：万件） ，对近 5 个月的月销售单价 i x和月销售量(1 i y i ，2， 3，4，5)的数据进行了统计，得到如下数表： 月销售单价 i x（元/件） 8 8.5 9 9.5 10 月销售量 i y（万件） 11 10 8 6 5 （1）建立y关于x的回归直线方程； （2）该公司年底开展促销活动，当月销售单价为 7 元/件时，其月销售量达到 14.8 万件， 若由回归直线方程得到的预测数据与此次促销活动的实际

9、数据之差的绝对值不超过0.5万件， 则认为所得到的回归直线方程是理想的，试问（1）中得到的回归直线方程是否理想？ （3）根据（1）的结果，若该产品成本是 5 元/件，月销售单价x为何值时，公司月利润的 预报值最大？ （注：利润销售收入成本） 参考公式：回归直线方程( )h x，其中 1 22 1 n ii i n i i x ynxy b xnx ， a ybx 参考数据： 5 1 352 ii i x y ， 5 2 1 407.5 i i x 20 （12 分）已知抛物线 2 :2C ypx的焦点为F， 1 ( ,) 2 Qt在抛物线C上，且 3 | 2 QF （1）求抛物线C的方程及t的

10、值； （2）若过点(0, )Mt的直线l与C相交于A，B两点，N为AB的中点，O是坐标原点，且 3 AOBMON SS ，求直线l的方程 21 （12 分）已知函数 2 ( )1(0) x f xax ea 第 5 页（共 24 页） （1）求函数( )f x的单调区间； （2）已知0a 且1x，)，若函数( )f x没有零点，求证： 2 (1)( ( )1)xf xx lnx （二）选考题：共（二）选考题：共 10 分请考生在第分请考生在第 22、23 两题中任选一题作答如果多做，则按所做两题中任选一题作答如果多做，则按所做 的第一个题目计分的第一个题目计分选修选修 4-4：坐标系与参数方程

11、：坐标系与参数方程 22 （10 分）在平面直角坐标系xOy中，圆 22 :(1)(1)1Cxy，以坐标原点O为极点， x轴正半轴为极轴，直线l的极坐标方程为(0) 2 ，直线l交圆C于A，B两点， P为A，B中点 （1）求点P轨迹的极坐标方程； （2）若| |3ABOP ，求的值 选修选修 4-5：不等式选讲：不等式选讲 23已知 1 |1|21| 2 xxm在R上恒成立 （1）求m的最大值M； （2）若a，b均为正数，且 1 1 aM b ，求2ab的取值范围 第 6 页（共 24 页） 2020 年福建省宁德市高考数学一模试卷（文科）年福建省宁德市高考数学一模试卷（文科） 参考答案与试题

12、解析参考答案与试题解析 一、选择题：本大题共一、选择题：本大题共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只分在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的有一项是符合题目要求的 1 （5 分）已知集合 |213Axx ， 2 |20Bx xx，则(AB ) A( 2,1) B(1,2) C( 1,2) D( 1,1) 【解答】解： |1Ax x， | 12Bxx ， (1,2)AB 故选：B 2 （5 分）已知复数1zi ，其中i是虚数单位，则 2 1 ( z z ) A 1 2 i B 1 2 i C1i D1i 【解答】解：由1zi ，得

13、 222 1112(2)1 (1)222 ziii i i ziii 故选：A 3 （5 分）已知双曲线 22 2 :1 4 xy C b 的焦距为4 5，则其焦点到渐近线的距离为( ) A8 B6 C2 2 D4 【解答】解：双曲线 22 2 :1 4 xy C b ，中3a ，双曲线的焦距为24 5c ； 2 5c ， 2 420b，4b 渐近线方程为：2yx ； 焦点到渐近线的距离为： 4 5 4 14 故选：D 4 （5 分）设向量a，b满足|15,|7abab，则(a b ) A4 B3 C2 D1 【解答】解：由题意， 22 215aa bb， 22 27aa bb， 由得，48a

14、 b ，即2a b ， 故选：C 5 （5 分）2021 年起，福建省高考将实行“312 ”新高考 “3”是统一高考的语文、数 第 7 页（共 24 页） 学和英语三门； “1”是选择性考试科目，由考生在物理、历史两门中选一门； “2”也是选择 性考试科目， 由考生从化学、 生物、 地理、 政治四门中选择两门， 则某考生自主选择的 “12” 三门选择性考试科目中，历史和政治均被选择到的概率是( ) A 1 4 B 1 3 C 1 2 D 2 3 【解答】解：福建省高考将实行“312 ”新高考 “3”是统一高考的语文、数学和英语 三门， “1”是选择性考试科目，由考生在物理、历史两门中选一门，

15、“2”也是选择性考试科目，由考生从化学、生物、地理、政治四门中选择两门， 基本事件总数 12 24 12nC C， 则某考生自主选择的“12”三门选择性考试科目中， 历史和政治均被选择到包含的基本事件个数 11 13 3mC C， 历史和政治均被选择到的概率是 31 124 m p n 故选：A 6 （5 分）已知公比为1的等比数列 n a的前n项和为 n S，等差数列 n b的前n项和为 n T， 若有 3456 10abba，则 88 (ST ) A80 B40 C20 D10 【解答】解：由题意可得， 36 0aa， 8 0s ， 45 10bb， 18 845 84()40 2 bb

16、Tbb ， 故选：B 7 （5 分）若实数x，y，z满足 23 loglog2zxy，则x，y，z的大小关系是( ) Axyz Bxzy Czxy Dzyx 【解答】解：设 23 loglog2zxyp，0p， 设 12 logyx， 23 logyy， 3 2zy ， 作出 3 个函数的图象，如图所示： 第 8 页（共 24 页） 由图可知：zxy， 故选：C 8 （5 分）明朝数学家程大位著的算法统宗里有一道著名的题目： “一百馒头一百僧， 大僧三个更无争，小僧三人分一个，大、小和尚各几丁？”如图所示的程序框图反映了此题 的一个算法执行如图的程序框图，则输出的(n ) A25 B45 C6

17、0 D75 【解答】解：由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量n的 第 9 页（共 24 页） 值，且3(100)100 2 n n， 解得75n 故选：D 9 （5 分）将函数 31 ( )sincos 22 f xxx的图象向左平移 3 个单位长度后，所得的图象 与原图象有相同的对称中心，则正实数的最小值是( ) A 1 3 B2 C3 D6 【解答】解：将函数 31 ( )sincossin() 226 f xxxx 的图象向左平移 3 个单位长 度后， 可得sin() 36 yx 的图象 由于所得的图象与原图象有相同的对称中心， 3 k ，kZ，即3k， 则正

18、实数的最小值为 3， 故选：C 10 （5 分）某长方体被一个平面所截，得到几何体的三视图如图所示，则这个几何体的表 面积为( ) A16 B20 C162 6 D202 6 【解答】解：三视图复原的几何体是长方体的一部分， 长方体的长、宽、高分别是：2，2，3， 所以这个几何体的表面积为： 12231 2222222 22 3202 6 222 故选：D 第 10 页（共 24 页） 11 （5 分）已知 1 F， 2 F为椭圆 22 2 :1 64 xy C a 的左、右焦点，椭圆C上一点P到上顶点A和 坐标原点的距离相等，且 12 PFF的内切圆半径为 1，则椭圆的离心率为( ) A 1

19、 7 B 1 3 C 1 2 D 2 3 【解答】解：如图所示， 椭圆C上一点P到上顶点A和坐标原点的距离相等， 可得 3 ( 2 Pa， 1 ) 2 b， 12 PFF的内切圆半径为 1， 121212 111 (|) 1| 222 PFPFFFFFb， 可得：22acc b，8b 化为：14ee， 解得 1 3 e 故选：B 第 11 页（共 24 页） 12 （5 分）已知函数 3 3 ,0, ( ) ,0, xx x f x a xx x 下列关于函数( ( )2yf f x的零点个数判断正确 的是( ) A当0a 时，至少有 2 个零点 B当0a 时，至多有 9 个零点 C当0a 时

20、，至少有 4 个零点 D当0a 时，至多有 4 个零点 【解答】解：对于 3 3yxx，0x， 2 33yx ，令0y，可得1x ，故 3 3yxx， 0x在1x 处取最大值 2 当0a 时： 要取得最少的零点个数， 则1a ， 此时222 aa xxa xx (0)x 此时函数图象如图 故( ( )20yf f x有( ( )2f f x，故( )1f x ，由图得( ( )2yf f x零点个数为 1故 A错误 要取得最多的零点个数，则此时01a，此时222 aa xxa xx ，(0)x 如图 故( ( )20yf f x有( ( )2f f x，所以 1( ) 1f x ， 21 (

21、)fxt， 32 ( )fxt 第 12 页（共 24 页） 当 1 2 at， 2 2t 时， 1( ) 1f x 有一根， 21 ( )fxt， 32 ( )fxt均有 4 根，一共有 9 个零 点 此时2 a t t 即 2 20tta在区间(2 a，2)上有两根 1 t， 2 t 故 2 2 2 (2)220 2220 ( 2)40 aaa a a 解得 16 1 25 a故B正确 当0a 时，函数 a yx x 为增函数，画出图象有 令( ( )20yf f x有 1( ) 1f x ， 2( ) fxt，其中2 a t t 即 2 20tta， 由图知0t ，故112ta 故 1(

22、 ) 1f x 有 2 个零点， 2( ) fxt有一个零点故一共 有 3 个零点 所以C，D错误 故选：B 二、填空题：本大题共二、填空题：本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分把答案填在答题卡的相应位置分把答案填在答题卡的相应位置 13 （5 分）已知函数 2 ( )f xxx在点(1，f（1）)处的切线方程为 31yx 【解答】解：函数 2 ( )f xxx，( )21fxx， 故 f （1）3，f（1）2， 故在点(1，f（1）)处的切线方程为3(1)2yx， 即31yx， 故答案为：31yx 第 13 页（共 24 页） 14 （5 分）若变量x，y满足约

23、束条件 1, 1, 1, y xy y x 则2zxy的最大值是 5 【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图： （阴影部分） 由2zxy得2yxz ， 平移直线2yxz ， 由图象可知当直线2yxz 经过点C时，直线2yxz 的截距最大， 此时z最大 由 1 1 y yx ，解得 2 1 x y ，即(2,1)C， 代入目标函数2zxy得221415z 即目标函数2zxy的最大值为 5 故答案为：5 15 （5 分）在边长为 2 的菱形ABCD中， 3 ABC ，以AC为折痕将ABC折起，使点B到 达点 B 的位置，且点 B 在面ACD内的正投影为ACD的重心G，则BACD 的外接球的 球

24、心O到点G的距离为 6 6 【解答】解：如图，由题意可得，三角形ACD为等边三角形， 点 B 在面ACD内的正投影为ACD的重心G， 由等边三角形四心合一可知，G为三角形ACD的外心，则B AB CB D， 即BACD为正四面体 第 14 页（共 24 页） 由已知可得 22 22 3 21 33 DG ，则 22 2 32 6 2() 33 B G， 设BACD 的外接球的球心O到点G的距离为h， 则 222 2 32 6 ()() 33 hh，解得 6 6 h 故答案为： 6 6 16 （5 分）若正项数列 n a满足 1 1 nn aa ，则称数列 n a为D型数列，以下 4 个正项数

25、列 n a满足的递推关系分别为： 22 1 1 nn aa 1 11 1 nn aa 1 2 1 n n n a a a 2 1 21 nn aa 则D型数列 n a的序号为 【解答】解：对于， 22 1 1 nn aa ，且 n a各项均为正数， 2222 1 112(1) nnnnn aaaaa ， 1 1 nn aa ，即 1 1 nn aa ，故为D型数列； 对于， 1 11 1 nn aa ， 1 111 1 n nnn a aaa ， 1 1 n n n a a a ， 2 1 01 11 nn nnn nn aa aaa aa ，故为D型数列； 对于， 1 2 1 n n n a

26、 a a ， 1 22 1 (1)01 11 n nnnn nn a aaaa aa ，故为D型数列； 第 15 页（共 24 页） 对于， 2 1 21 nn aa ， 222 1 1212(1) nnnnn aaaaa ， 1 1 nn aa ，即 1 1 nn aa ，故为D型数列； 故答案为： 三、解答题：共三、解答题：共 70 分解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤第分解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤第 1721 题为必考题为必考 题，每个试题考生都必须作答第题，每个试题考生都必须作答第 22、23 为选考题，考生根据要求作答 （一）必考题：为选考题，考生根据要求作答 （一）

27、必考题： 共共 60 分分 17（12 分）ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c， 已知22 cosabcB，3c （1）求角C； （2）延长线段AC到点D，使CDCB，求ABD周长的取值范围 【解答】解： （1）根据余弦定理得 222 22 2 acb abc ac ， 整理得： 222 abcab ， 由余弦定理可得 222 1 cos 222 abcab C abab ， 由于(0, )C， 可得 2 3 C （2）由于 2 3 C ，即 3 BCD ，又CDCB， 可得BCD为等边三角形，可得BDCDa， 所以ABD的周长23Lab， 由正弦定理 3 2 sinsinsin3

28、2 abc ABC ， 所以：2sinaA，2sinbB， 因为： 3 AB ， 又(0,) 3 B ，可得 1 cos(2B，1)， 所以 31 24sin2sin4sin()2sin4(cossin)2sin2 3cos 322 abABBBBBBB ， 所以2( 3,2 3)ab， 第 16 页（共 24 页） 所以周长23Lab的取值范围是(2 3，3 3) 18 （12 分）如图，矩形ABCD 平面BCE，1AB ，2BCBE且 2 3 EBC ，M，N 分别为AB，CE的中点 （1）证明：/ /MN平面AED； （2）求几何体AMND的体积 【解答】解法一： （1）证明：取ED中点

29、H，连接AH，NH， N，H分别为EC，ED的中点， NH为ECD的中位线， / /NHCD且 1 2 NHCD ABCD为矩形，M为AB的中点， / /NHAM且NHAM， 四边形AMNH为平行四边形 / /MNAH，MN 平面EAD，AH 平面EAD / /MN平面AED （2）过N作NFBC于F， 平面ABCD 平面EBC， 第 17 页（共 24 页） 平面ABCD平面EBCBC， 又NF 平面EBC， NF平面ABCD， 在CNF中， 2 3 EBC且BEBC， 13 622 ECBNFCN ， 11 22 AMD SAM AD ， 1133 32212 A MNDD AMN VV

30、， 解法二： （1）取BE中点G，连接MG，NG， 在ABE中，MG为中位线， / /MGAE， MG 平面EAD，AE 平面EAD ( ) 0g x平面EAD， 同理，/ /GNBC，/ /GNAD GN 平面EAD，AD 平面EAD， / /GN平面EAD，又MGGNG， 平面/ /MNG平面EAD，MN 平面MNG， / /MN平面EAD （2）平面ABCD 平面EBC， 平面ABCD平面EBCBC， 又ABBC AB平面EBC ABCN，BEBC且N为CE的中点， CNBN， 又CNAB，ABBNB 则CN 平面ABN， 即CN 平面AMN， / /CD平面AMN， 第 18 页（共

31、24 页） D到平面AMN的距离|dCN 在DCNF中， 2 3 EBC且2BEBC |3dCN， 11 24 AMN SAM BN ， 113 3 3412 A MNDD AMN VV 19 （12 分）某公司为了促进某产品的销售，随机调查了该产品的月销售单价x（单位：元 /件）及相应月销量y（单位：万件） ，对近 5 个月的月销售单价 i x和月销售量(1 i y i ，2， 3，4，5)的数据进行了统计，得到如下数表： 月销售单价 i x（元/件） 8 8.5 9 9.5 10 月销售量 i y（万件） 11 10 8 6 5 （1）建立y关于x的回归直线方程； 第 19 页（共 24

32、页） （2）该公司年底开展促销活动，当月销售单价为 7 元/件时，其月销售量达到 14.8 万件， 若由回归直线方程得到的预测数据与此次促销活动的实际数据之差的绝对值不超过0.5万件， 则认为所得到的回归直线方程是理想的，试问（1）中得到的回归直线方程是否理想？ （3）根据（1）的结果，若该产品成本是 5 元/件，月销售单价x为何值时，公司月利润的 预报值最大？ （注：利润销售收入成本） 参考公式：回归直线方程( )h x，其中 1 22 1 n ii i n i i x ynxy b xnx ， a ybx 参考数据： 5 1 352 ii i x y ， 5 2 1 407.5 i i x

33、 【解答】解： （1）因为 1 (88.599.510)9 5 x ， 1 (11 10865)8 5 y ， 所以 1 2 22 1 3505 9 8 3.2 407.55 9 n ii i n i i x ynxy b xnx ，则 8( 3.2)936.8aybx ， 于是y关于x的回归直线方程为3.236.8yx ； （2）当7x 时，3.2 736.814.4y ，则14.814.40.40.5， 所以可以认为所得到的回归直线方程是理想的； （3）令销售利润为M，则(5)( 3.236.8)(511.5)Mxxx 2 3.252.8184Mxx ， 所以8.25x 时，M取最大值，

34、所以该新产品单价定为 8.25 元公司才能获得最大利润 20 （12 分）已知抛物线 2 :2C ypx的焦点为F， 1 ( ,) 2 Qt在抛物线C上，且 3 | 2 QF （1）求抛物线C的方程及t的值； （2）若过点(0, )Mt的直线l与C相交于A，B两点，N为AB的中点，O是坐标原点，且 3 AOBMON SS ，求直线l的方程 【解答】解： （1） 3 | 2 QF ， 13 222 p ， 2p，抛物线C的方程为： 2 4yx 将 1 ( ,) 2 Qt代入 2 4yx得2t 第 20 页（共 24 页） （2）设 1 (A x， 1) y， 2 (B x， 2) y， 0 (N

35、 x， 0) y，(0,2)M， 显然直线l的斜率存在，设直线:2(0)l ykxk， 联立 2 4 2 yx ykx ，消去y得 22 4(1)40k xk x， 22 16(1)160kk，得 1 2 k 且0k ， 1212 22 4(1)4 , k xxx x kk ， 3 AOBMON SS ，|3 |ABMN， 22 120 1|3 1|0|kxxkx，即 120 |3 |xxx， N是AB的中点， 12 0 2 xx x ， 2 212 1212 () ()43 4 xx xxx x ，整理得 2 1212 ()16xxx x， 2 22 4(1)64 k kk ，解得 12 1

36、 1, 3 kk ， 直线l的方程为：2yx 或 1 2 3 yx 21 （12 分）已知函数 2 ( )1(0) x f xax ea （1）求函数( )f x的单调区间； （2）已知0a 且1x，)，若函数( )f x没有零点，求证： 2 (1)( ( )1)xf xx lnx 【解答】解：解法一： （1） 2 ( )2 xx fxax eax e， 当0a 时，令( )0fx得0x 或2x ； 令( )0fx得20x 函数的单调递增区间为(, 2) 和(0,)， 单调递减区间为( 2,0)； 当0a 时，令( )0fx得( 2,0)； 令( )0fx得0x 或2x 函数的单调递增区间为(

37、 2,0)， 单调递减区间为(, 2) 和(0,)； 综上所述， 当0a 时， 函数的单调递增区间为(, 2) 和(0,)， 单调递减区间为( 2,0)； 第 21 页（共 24 页） 当0a 时，函数的单调递增区间为( 2,0)，单调递减区间为(, 2) 和(0,)； （2）证明：函数在0a 且1x，)时无零点，即 2 10 x ax e 在1，)无解， 则 2 ( ) x g xx e与 1 y a 在1，)无交点， 2 ( )(2) x g xxx e， 2 ( ) x g xx e在1，)上单调 递增，( )ming xe， 1 e a ，则 1 a e ， 由（1）得( )f x在1

38、，)上单调递增，( )f xf（1）10ae ， 要证 2 (1) ( )1)xfxx l n x ， 即证 22 (1) x xax ex lnx， 即证 (1)xa xel n x， 即证 (1)0 x a xel n x， 令( )(1) x g xa xelnx， 2 111( ) ( )(1)0 x xxx ax ef x g xaea xeae x xxxx ， ( )g x在 1 a e 时单调递增， ( )g xg（1）0，所以原不等式成立 解法二： （1）同解法一 （2）证明：函数在0a 且1x，)时无零点，即 2 10 x ax e 在1，)无解， 则 2 ( ) x g

39、xx e与 1 y a 在1，)无交点， 2 ( )(2) x g xxx e， 2 ( ) x g xx e在1，)上单调 递增， ( )ming xe， 1 e a ，则 1 a e ， 要证 2 (1)( ( )1)xf xx lnx ， 即证 22 (1) x xax ex lnx， 即证(1) x a xelnx， 因为 1 1 (1)(1)(1)(1) xxx a xexexex e ， 所以只需证1xlnx ，即证10xlnx ， 第 22 页（共 24 页） 令 11 ( )1( )10 x g xxlnxg x xx ， ( )g x在 1 a e 时单调递增， ( )g x

40、g（1）0，所以原不等式成立 （二）选考题：共（二）选考题：共 10 分请考生在第分请考生在第 22、23 两题中任选一题作答如果多做，则按所做两题中任选一题作答如果多做，则按所做 的第一个题目计分的第一个题目计分选修选修 4-4：坐标系与参数方程：坐标系与参数方程 22 （10 分）在平面直角坐标系xOy中，圆 22 :(1)(1)1Cxy，以坐标原点O为极点， x轴正半轴为极轴，直线l的极坐标方程为(0) 2 ，直线l交圆C于A，B两点， P为A，B中点 （1）求点P轨迹的极坐标方程； （2）若| |3ABOP ，求的值 【解答】解法一： （1）圆C的极坐标方程为 2 2 (sincos

41、)10 ， 将代入 2 2 (sincos )10 得： 2 2 (sincos)10(0) 2 ， 2 4(sincos )40成立， 设点A，B，P对应的极径分别为 1 ， 2 ， 0 ， 所以 12 12 2(sincos), 1, ，所以 12 0 sincos 2 ， 所以点P轨迹的极坐标方程为sincos，(0,) 2 （2）由（1）得， 2 12012120 | | | |()4|ABOP 2 4(sincos )4 |sincos| 2 sin2|sincos|3， 所以4sin2 (1sin2 )3，(2sin21)(2sin23)0， 又(0,) 2 ，所以2 6 或 5

42、2 6 ， 即 12 或 5 12 解法二： （1）因为P为AB中点，所以CPAB于P， 故P的轨迹是以OC为直径的圆（在C的内部） ， 第 23 页（共 24 页） 其所在圆方程为： 22 111 ()() 222 xy，即 22 0xyxy 从而点P轨迹的极坐标方程为sincos，(0,) 2 （2）由（1）得， 2 12012120 | | | |()4|ABOP 2 4(sincos )4 |sincos| 2 sin2|sincos|3， 令sincost，因为(0,) 2 ，所以(1, 2t，则 2 1sin2t ， 所以 2 213tt，所以 22 4(1)3tt， 即 42 4430tt，解得 22 31 ( 22 tt 舍去） ， 所以 2 1 sin21 2 t ， 又(0,) 2 ，2(0, )，所以2 6 或 5 2 6 ， 即 12 或 5 12 选修选修 4-5：不等式选讲：不等式选讲 23已知 1 |1|21| 2 xxm在R上恒成立 （1）求m的最大值M； （2）若a，b均为正数，且 1 1 aM b ，求2ab的取值范围 【解答】解： （1）构造( ) |1|21|f xxx， 1 ( ) |1|21|