2020年四川省攀枝花市高考数学二诊试卷（理科）.docx

1、 第 1 页（共 22 页） 2020 年四川省攀枝花市高考数学二诊试卷（理科）年四川省攀枝花市高考数学二诊试卷（理科） 一、选择题：本大题共一、选择题：本大题共 12 个小题，每小题个小题，每小题 5 分，共分，共 60 分分.在每小题给出的四个选项中，只在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的有一项是符合题目要求的. 1 （5 分）设i为虚数单位，z表示复数z的共轭复数，若1zi ，则( z z i ) A2i B2i C2 D2 2 （5 分）已知集合 2 |30Mx xx， |17Nxx剟，则()( RM N ) A |37xx B |37xx剟 C |13xx剟 D |1

2、3xx 3 （5 分）中国古代用算筹来进行记数，算筹的摆放形式有纵横两种形式（如图所示） ，表 示一个多位数时，像阿拉伯记数样，把各个数位的数码从左到右排列，但各位数码的筹式 需要纵横相间，其中个位、百位、万用纵式表示，十位、千位、十万位用横式表示，例 如 6613 用算筹表示就是，则 8335 可用算筹表示为( ) A B C D 4 （5 分）在 1，2，3，4，5，6，7 这组数据中，随机取出五个不同的数，则数字 3 是取出 的五个不同数的中位数的所有取法为( ) A24 种 B18 种 C12 种 D6 种 5 （5 分）若 3 tan 4 ，则 2 cos2sin2( ) A 48

3、25 B1 C 16 25 D 64 25 6 （5 分） 26 1 (12)()xx x 的展开式中，含 2 x的项的系数是( ) A40 B25 C25 D55 7 （5 分）已知m，n是两条不同的直线，是两个不同的平面，则/ /mn的充分条件 是( ) 第 2 页（共 22 页） Am，n与平面所成角相等 B/ /m，/ /n C/ /m，m，n D/ /m，n 8 （5 分）如图，已知AB是圆心为C的圆的一条弦，且 9 2 AB AC ，则| (AB ) A3 B9 C3 D2 3 9 （5 分）函数 2 ( ) () axb f x xc 的图象如图所示，则下列结论成立的是( ) A

4、0a ，0b ，0c B0a ，0b ，0c C0a ，0b ， 0c D0a ，0b ，0c 10 （5 分）函数( )sin23cos2f xxx的图象向右平移 6 个单位长度得到( )yg x的图 象命题 1: ( )pyg x的图象关于直线 2 x 对称；命题 2:( ,0) 4 p 是( )yg x的一个单调增 区间则在命题 112 :qpp， 212 :()()qpp ， 312 :()qpp和 412 :()qpp 中，真命题是 ( ) A 1 q， 3 q B 1 q， 4 q C 2 q， 3 q D 2 q， 4 q 11 （5 分）在三棱柱 111 ABCABC中， 1

5、AA 上平面ABC，记ABC和四边形 11 ACC A的外 接圆圆心分别为 1 O， 2 O，若2AC ，且三棱柱外接球体积为 32 3 ，则 22 12 O AO A的值为( ) A 8 3 B3 C 11 3 D5 第 3 页（共 22 页） 12 （5 分）已知函数 2 2(0) ( ) 3 (0) 2 xxlnx x f x xx x 有且仅有四个不同的点关于直线1y 的对称点 在直线10kxy 上，则实数k的取值范围为( ) A 1 ( ,1) 2 B 1 3 ( , ) 2 4 C 1 ( ,1) 3 D 1 ( ,2) 2 二、填空题（每题二、填空题（每题 5 分，满分分，满分

6、20 分，将答案填在答题纸上）分，将答案填在答题纸上） 13 （5 分）已知0a ，0b ，若 34 1 loglog 2 ab，则 a b 14 （5 分）若x，y满足 20 3 0 xy xy x ，则2xy的最大值为 15 （5 分）已知定义在R上的函数( )f x满足( )( )()f xg xgx，且( )f x在R单调递增， 对 任 意 的 1 x， 2 (0,)x ， 恒 有 1212 ()()()fxfxfxx， 则 使 不 等 式 2 1 ()(2)0 2 fmfm成立的m取值范围是 16 （5 分） 如图， 在直四棱柱 1111 ABCDABC D中， 底面ABCD是菱形，

7、E，F分别是 1 BB， 1 DD的中点，G为AE的中点且3FG ，则EFG面积的最大值为 三、解答题：共三、解答题：共 70 分分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第第 1721 题为必考题，题为必考题， 每个试题考生都必须作答每个试题考生都必须作答.第第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共（一）必考题：共 60 分分. 17已知等差数列 n a中， n S为其前n项和， 24 8a a ， 5 15S ；等比数列 n b的前n项 和21 n n T 第 4 页（共 22 页） （1）求数列 n

8、 a， n b的通项公式； （2）当 n a各项为正时，设 nnn ca b，求数列 n c的前n项和 18 如图， 在四棱锥PABCD中， 侧面PAD 底面ABCD， 底面ABCD为梯形，/ /ABCD， 90ABCBCD ，2 2 AB BCCD （1）证明：BDPD； （2）若PAD为正三角形，求二面角APBC的余弦值 19为了了解居民的家庭收入情况，某社区组织工作人员从该社区的居民中随机抽取了 100 户家庭进行问卷调查，经调查发现，这些家庭的月收人在 3000 元到 10000 元之间，根据统 计数据作出： （1） 经统计发现， 该社区居民的家庭月收人Z（单位： 百元） 近似地服从正

9、态分布( ,196)N， 其中近似为样本平均数若Z落在区间(2 ,2 ) 的左侧，则可认为该家庭属“收 入较低家庭“，社区将联系该家庭，咨询收入过低的原因，并采取相应措施为该家庭提供创 收途径若该社区A家庭月收入为 4100 元，试判断A家庭是否属于“收人较低家庭” ，并 说明原因； （2）将样本的频率视为总体的概率； 从该社区所有家庭中随机抽取n户家庭，若这n户家庭月收人均低于 8000 元的概率不小 于50%，求n的最大值； 在的条件下， 某生活超市赞助了该社区的这次调查活动， 并为这次参与调在的家庭制定 了贈送购物卡的活动，贈送方式为：家庭月收入低于的获赠两次随机购物卡，家庭月收 入不低

10、于的获赠一次随机购物卡；每次赠送的购物卡金额及对应的概概率分别为： 赠送购物卡金额 （单位： 元） 100 200 300 概率 1 2 1 3 1 6 则A家庭预期获得的购物卡金额为多少元？（结果保留整数） 第 5 页（共 22 页） 20已知椭圆 22 22 :1(0) xy Cab ab 的短轴顶点分别为A，B，且短轴长为 2，T为椭圆 上异于A，B的任意一点，直线TA，TB的斜率之积为 1 3 （1）求椭圆C的方程； （2）设O为坐标原点，圆 22 3 : 4 O xy的切线l与椭圆C相交于P，Q两点，求POQ面 积的最大值 21已知函数 2 2 ( )2, ( )2 a f xaxl

11、nx g xaxax x （1）若0a，讨论( )f x的单调性； （2）当0a 时，若函数( )f x与( )g x的图象有且仅有一个交点 0 (x， 0) y，求 0 x的值（其 中 x表示不超过x的最大整数，如0.3710， 0.371 2.92) 参考数据：20.693ln ，31.099ln ，51.609ln ，71.946ln （二）选考题：共（二）选考题：共 10 分分.请考生在第请考生在第 22.23 题中任选一题作答题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题如果多做，则按所做的第一题 记分记分. 22平面直角坐标系xOy中，曲线 1 C的参数方程为 12cos ( 32s

12、in x y 为参数） ，以坐标原 点O为极点， 以x轴正半轴为极轴， 建立极坐标系， 曲线 2 C的极坐标方程为 2 cos4sin （1）写出曲线 1 C的极坐标方程和曲线 2 C的直角坐标方程； （2）若射线 0 :(0)OM平分曲线 1 C，且与曲线 2 C交于点A，曲线 2 C上的点B满足 2 AOB ，求|AB 23已知0a ，0b ，且 22 1ab 第 6 页（共 22 页） （1）证明： 55 11 ()() 1ab ab ； （2）若 22 14 |21|1|xx ab 恒成立，求x的取值范围 第 7 页（共 22 页） 2020 年四川省攀枝花市高考数学二诊试卷（理科）年

13、四川省攀枝花市高考数学二诊试卷（理科） 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题：本大题共一、选择题：本大题共 12 个小题，每小题个小题，每小题 5 分，共分，共 60 分分.在每小题给出的四个选项中，只在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的有一项是符合题目要求的. 1 （5 分）设i为虚数单位，z表示复数z的共轭复数，若1zi ，则( z z i ) A2i B2i C2 D2 【解答】解：1zi ， 2 2 |22 2 z zzi i iiii 故选：B 2 （5 分）已知集合 2 |30Mx xx， |17Nxx剟，则()( RM N ) A |37xx B |3

14、7xx剟 C |13xx剟 D |13xx 【解答】解： |0Mx x或3x ， |17Nxx剟， |03 RM xx剟， () |13 RM Nxx剟 故选：C 3 （5 分）中国古代用算筹来进行记数，算筹的摆放形式有纵横两种形式（如图所示） ，表 示一个多位数时，像阿拉伯记数样，把各个数位的数码从左到右排列，但各位数码的筹式 需要纵横相间，其中个位、百位、万用纵式表示，十位、千位、十万位用横式表示，例 如 6613 用算筹表示就是，则 8335 可用算筹表示为( ) A B C D 【解答】解：个位、百位、万用纵式表示，十位、千位、十万位用横式表示， 第 8 页（共 22 页） 8335用

15、算筹表示的话，千位上的 8 是横式，百位上的 3 是纵式，十位上的 3 是横式，个 位上的 5 时纵式， 故选：B 4 （5 分）在 1，2，3，4，5，6，7 这组数据中，随机取出五个不同的数，则数字 3 是取出 的五个不同数的中位数的所有取法为( ) A24 种 B18 种 C12 种 D6 种 【解答】解：根据题意，数字 3 是取出的五个不同数的中位数，则取出的数字中必须有 1、 2、3， 则需要在 4，5，6，7 中任选 2 个数字，则不同的取法有 2 4 6C 种， 故选：D 5 （5 分）若 3 tan 4 ，则 2 cos2sin2( ) A 48 25 B1 C 16 25 D

16、 64 25 【解答】解： 3 tan 4 ， 2 2 22 cos22sincos cos2sin2 sincos 2 14tan tan1 2 3 14 4 3 ( )1 4 64 25 故选：D 6 （5 分） 26 1 (12)()xx x 的展开式中，含 2 x的项的系数是( ) A40 B25 C25 D55 【解答】解：二项式 6 1 ()x x 的展开式中，通项公式为 66 2 166 1 ()( 1) rrrrrr r TCxCx x ， 令620r，解得3r ，此时为 33 6 ( 1)20C ； 令622r，解得2r ，此时 2222 6 ( 1)15Cxx； 第 9 页

17、（共 22 页） 所以展开式中含 2 x的项的系数是1 152 ( 20)25 故选：B 7 （5 分）已知m，n是两条不同的直线，是两个不同的平面，则/ /mn的充分条件 是( ) Am，n与平面所成角相等 B/ /m，/ /n C/ /m，m，n D/ /m，n 【解答】解：Am，n平行、相交或为异面直线，因此不正确； Bm与n可能平行、相交或为异面直线，因此不正确； C是/ /mn的充分条件； Dm与n可能平行、相交或为异面直线，因此不正确 故选：C 8 （5 分）如图，已知AB是圆心为C的圆的一条弦，且 9 2 AB AC ，则| (AB ) A3 B9 C3 D2 3 【解答】解：过

18、点C作CDAB于D，则D为AB的中点 Rt ACD中， 1 2 ADAB， 1 | cos| 2 ACCABADAB， 2919 |cos 222 AB ACABACCABAB 所以| 3AB 故选：A 9 （5 分）函数 2 ( ) () axb f x xc 的图象如图所示，则下列结论成立的是( ) 第 10 页（共 22 页） A0a ，0b ，0c B0a ，0b ，0c C0a ，0b ， 0c D0a ，0b ，0c 【解答】解：函数在P处无意义，由图象看P在y轴右边，所以0c ，得0c ， 2 (0)0 b f c ，0b， 由( )0f x 得0axb，即 b x a ， 即函

19、数的零点0 b x a ， 0a， 综上0a ，0b ，0c ， 故选：C 10 （5 分）函数( )sin23cos2f xxx的图象向右平移 6 个单位长度得到( )yg x的图 象命题 1: ( )pyg x的图象关于直线 2 x 对称；命题 2:( ,0) 4 p 是( )yg x的一个单调增 区间则在命题 112 :qpp， 212 :()()qpp ， 312 :()qpp和 412 :()qpp 中，真命题是 ( ) A 1 q， 3 q B 1 q， 4 q C 2 q， 3 q D 2 q， 4 q 【解答】解：函数( )sin23cos2 (0)2sin(2) 3 f xx

20、xx ， 将( )f x的图象向右平移 6 个单位长度得到函数( )g x的图象， 可得( )2sin(2()2sin2 63 g xxx ， 由2 2 xk ，kZ，解得 42 k x ，kZ； ( )yg x的图象不关于直线 2 x 对称，故 1 p错误； 第 11 页（共 22 页） 由( 4 x ，0)，可得2( 2 x ，0)， 可得( )g x在( 4 ，0)单调递增，故 2 p正确； 故命题 112 :qpp，真命题； 命题 21212 :()()()qpppp ，假命题； 命题 312 :()qpp，真命题； 命题 412 :()qpp ，假命题故 1 q， 3 q是真命题；

21、故选：A 11 （5 分）在三棱柱 111 ABCABC中， 1 AA 上平面ABC，记ABC和四边形 11 ACC A的外 接圆圆心分别为 1 O， 2 O，若2AC ，且三棱柱外接球体积为 32 3 ，则 22 12 O AO A的值为( ) A 8 3 B3 C11 3 D5 【解答】解：三棱柱 111 ABCABC中，设外接球的半径为r， 则： 3 432 33 r V ，解得2r 设AC的中点为M，三棱柱 111 ABCABC中的外接球的球心为O， 由 1 OO 平面ABC与 2 O M 平面ABC，得到：四边形 12 OO MO为矩形 所以： 222222 12 213O MO M

22、OMAOAM ， 所以： 222222 1212 5O AO AO MAMO MAM 故选：D 12 （5 分）已知函数 2 2(0) ( ) 3 (0) 2 xxlnx x f x xx x 有且仅有四个不同的点关于直线1y 的对称点 在直线10kxy 上，则实数k的取值范围为( ) A 1 ( ,1) 2 B 1 3 ( , ) 2 4 C 1 ( ,1) 3 D 1 ( ,2) 2 【解答】解：直线10kxy 关于直线1y 的对称直线为10kxy ， 则直线10kxy 与( )yf x的函数图象有 4 个交点， 第 12 页（共 22 页） 当0x 时，( )1fxlnx ， 当0xe时

23、，( )0fx，当xe时，( )0fx， ( )f x在(0, ) e上单调递增，在( ,)e 上单调递减， 作出( )yf x与直线10kxy 的函数图象，如图所示： 设直线1ykx与2yxxlnx相切，切点为 1 (x， 1) y， 则 1 1111 1 21 lnxk xx lnxkx ，解得： 1 1x ，1k ， 设直线1ykx与 2 3 (0) 2 yxx x 相切，切点为 2 (x， 2) y， 则 2 2 222 3 2 2 3 1 2 xk xxkx ，解得 2 1x ， 1 2 k 直线1ykx与( )yf x有 4 个交点， 直线1ykx与( )yf x在(,0)和(0,

24、)上各有 2 个交点， 1 1 2 k 故选：A 二、填空题（每题二、填空题（每题 5 分，满分分，满分 20 分，将答案填在答题纸上）分，将答案填在答题纸上） 13 （5 分）已知0a ，0b ，若 34 1 loglog 2 ab，则 a b 3 2 【解答】解： 34 1 loglog 2 ab， 11 22 3 ,42ab， 则 1 2 33 22 a b ， 第 13 页（共 22 页） 故答案为： 3 2 14 （5 分）若x，y满足 20 3 0 xy xy x ，则2xy的最大值为 4 【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图： （阴影部分） 设2zxy得2yxz ， 平移直

25、线2yxz ， 由图象可知当直线2yxz 经过点A时，直线2yxz 的截距最大， 此时z最大 由 20 3 xy xy ，解得 1 2 x y ，即(1,2)A， 代入目标函数2zxy得1 224z 即目标函数2zxy的最大值为 4 故答案为：4 15 （5 分）已知定义在R上的函数( )f x满足( )( )()f xg xgx，且( )f x在R单调递增， 对 任 意 的 1 x， 2 (0,)x ， 恒 有 1212 ()()()fxfxfxx， 则 使 不 等 式 2 1 ()(2)0 2 fmfm成立的m取值范围是 0，9) 【解答】解：由于定义在R上的函数( )( )()f xg

26、xgx， 所以()()( )( )fxgxg xf x ，所以函数( )f x为奇函数； 对任意的 1 x， 2 (0,)x ，恒有 1212 ()()()f xf xf xx， 第 14 页（共 22 页） 则 2 1 ()(21) 2 fmfm； 不等式 2 1 ()(2)0 2 fmfm不等式(21)(2)fmf m， ( )f x在R单调递增，212mm ；230mm； 解得09m； 故答案为：0，9) 16 （5 分） 如图， 在直四棱柱 1111 ABCDABC D中， 底面ABCD是菱形，E，F分别是 1 BB， 1 DD的中点，G为AE的中点且3FG ，则EFG面积的最大值为

27、3 【解答】解：联立BD，AC，交点为O，上底面的中心为O，以OC，OD，OO分别为， x，y，z轴建立科技直角坐标系，设OCa，ODb，2OOh ， 则(0E，b，)h，(0F，b，)h，(Aa，0，0)，( 2 a G ， 2 b ，) 2 h ， 3FG ，可得： 222 936abh， 所以，EFG面积 222 11 2369 42 Sbahbb 2422 33 44(2)3 22 bbb， 当2b 时，S取得最大值：3 故答案为：3 第 15 页（共 22 页） 三、解答题：共三、解答题：共 70 分分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第

28、第 1721 题为必考题，题为必考题， 每个试题考生都必须作答每个试题考生都必须作答.第第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共（一）必考题：共 60 分分. 17已知等差数列 n a中， n S为其前n项和， 24 8a a ， 5 15S ；等比数列 n b的前n项 和21 n n T （1）求数列 n a， n b的通项公式； （2）当 n a各项为正时，设 nnn ca b，求数列 n c的前n项和 【解答】解： （1）由题意，设等差数列 n a的公差为d，则 11 1 ()(3 )8 54 515 2 ad ad ad ，解得 1 1

29、 1 a d ，或 1 5 1 a d 数列 n a的通项公式为 n an，或6 n an 对于等比数列 n b，当1n 时， 1 1 211b ， 当2n时， 11 1 21212 nnn nnn bTT 数列 n b的通项公式为 1 2n n b （2）由题意即（1）知， n an， 则 1 2n nnn ca bn 设数列 n c的前n项和为 n X，则 第 16 页（共 22 页） 21 12 112 23 22n nn Xcccn 21 21 22 2(1) 22 nn n Xnn 两式相减，可得 21 12 122222(1) 21 12 n nnnn n Xnnn ， (1) 2

30、1 n n Xn 18 如图， 在四棱锥PABCD中， 侧面PAD 底面ABCD， 底面ABCD为梯形，/ /ABCD， 90ABCBCD ，2 2 AB BCCD （1）证明：BDPD； （2）若PAD为正三角形，求二面角APBC的余弦值 【解答】解： （1）证明：2BCCD，4AB ，又底面ABCD为直角梯形， 222 2 2,2 2,ADBDADBDAB， BDAD， 侧面PAD 底面ABCD， 由面面垂直性质可知，BD 平面PAD， 而PD在平面PAD内， BDPD； （2）如图所示，建立空间直角坐标系， (0,0,0), (2 2,0,0), (0,2 2,0),(2, 2,0)DA

31、BC ， 则(2,0, 6),( 2 2,2 2,0)APAB ，( 2 2, 2,6),(2,2,0)PCBC ， 设平面PAB的法向量为( , , )nx y z，则 260 2 22 20 xz xy ，可取 3 (1,1,) 3 n ， 第 17 页（共 22 页） 设平面PCB的法向量为( , , )mx y z，则 2260 220 xyz xy ，可取(1, 1,3)m ， 设二面角APBC的平面角为，由图观察可知为钝角， |105 cos |35 n m n m 19为了了解居民的家庭收入情况，某社区组织工作人员从该社区的居民中随机抽取了 100 户家庭进行问卷调查，经调查发现

32、，这些家庭的月收人在 3000 元到 10000 元之间，根据统 计数据作出： （1） 经统计发现， 该社区居民的家庭月收人Z（单位： 百元） 近似地服从正态分布( ,196)N， 其中近似为样本平均数若Z落在区间(2 ,2 ) 的左侧，则可认为该家庭属“收 入较低家庭“，社区将联系该家庭，咨询收入过低的原因，并采取相应措施为该家庭提供创 收途径若该社区A家庭月收入为 4100 元，试判断A家庭是否属于“收人较低家庭” ，并 说明原因； （2）将样本的频率视为总体的概率； 从该社区所有家庭中随机抽取n户家庭，若这n户家庭月收人均低于 8000 元的概率不小 于50%，求n的最大值； 在的条件下

33、， 某生活超市赞助了该社区的这次调查活动， 并为这次参与调在的家庭制定 了贈送购物卡的活动，贈送方式为：家庭月收入低于的获赠两次随机购物卡，家庭月收 入不低于的获赠一次随机购物卡；每次赠送的购物卡金额及对应的概概率分别为： 赠送购物卡金额 （单位： 元） 100 200 300 概率 1 2 1 3 1 6 则A家庭预期获得的购物卡金额为多少元？（结果保留整数） 第 18 页（共 22 页） 【解答】解： （1）由频率分布直方图计算平均值为： 35 0.0245 0.1555 0.1565 0.275 0.2885 0.1695 0.0467.1（百元） ， 又知道14，所以267.12839

34、.1， A家庭的月收入为 4100 元41百元239.1， 所以A家庭不属于“收人较低家庭” ； （2）将样本的频率视为概率，抽取一户家庭某月收入低于 8000 元的概率为 (0.0020.0150.0150.020.028) 100.8， 随机抽取n户家庭月收入均低于 8000 元的概率为0.80.5 n ，3n； 由（1）知67.1百元6710元，故A家庭月收入低于，可获赠两次购物卡，设所获 得的花费为随机变量Y， 则Y的取值分别为 200，300，400，500，600， 1 11 (200) 2 24 P Y ， 1 11 (300)2 2 33 P Y ， 111 15 (400)2

35、 263 318 P Y ， 1 11 (500)2 3 69 P Y ， 1 11 (600) 6 636 P Y ； 则A家庭预期获得的购物卡金额为 11511 ( )200300400500600333 4318936 E Y 元 20已知椭圆 22 22 :1(0) xy Cab ab 的短轴顶点分别为A，B，且短轴长为 2，T为椭圆 上异于A，B的任意一点，直线TA，TB的斜率之积为 1 3 （1）求椭圆C的方程； （2）设O为坐标原点，圆 22 3 : 4 O xy的切线l与椭圆C相交于P，Q两点，求POQ面 第 19 页（共 22 页） 积的最大值 【解答】解： （1）由题意可知

36、22b ，1b ，(0,1)A，(0, 1)B， 设 0 (T x， 0) y，满足 2 20 0 2 1 x y a ， 由 2 000 22 000 11111 3 TATB yyy kk xxxa ，则 2 3a ， 所以椭圆C的方程： 2 2 1 3 x y； （2）设直线PQ的方程：xmyt， 1 (P x， 1) y， 2 (Q x， 2) y， 由O到直线PQ的距离 2 | |3 2 1 t d m ，即 22 3 (1) 4 tm， 联立方程组 2 2 1 3 xmyt x y ，消去x，整理得 222 (3)230mymtyt， 则 222222 (2)4(3)(3)12(3

37、)3(9)0mtmtmtm， 12 2 2 3 mt yy m ， 2 12 2 3 3 t y y m ， 则 22 22 1212 22 (1)(9) |1()43 (3) mm PQmyyy y m ， 由 22 2 2222 222222 339 () (1)(9)1(33)(9)14 2 (3)3(3)3(3)3 mm mmmm mmm ，当且仅当 22 339mm，即 2 3m ，3m 时取等号， 所以 22 22 (1)(9)2 |332 (3)3 mm PQ m ， 所以POQ面积 13133 |2 22222 SPQ ， 所以POQ面积的最大值 3 2 21已知函数 2 2

38、( )2, ( )2 a f xaxlnx g xaxax x （1）若0a，讨论( )f x的单调性； （2）当0a 时，若函数( )f x与( )g x的图象有且仅有一个交点 0 (x， 0) y，求 0 x的值（其 第 20 页（共 22 页） 中 x表示不超过x的最大整数，如0.3710， 0.371 2.92) 参考数据：20.693ln ，31.099ln ，51.609ln ，71.946ln 【解答】解： （1）函数的定义域为(0,)， 2 22 2122 ( )2 aaxxa fxa xxx ， 令函数 2 ( )22h xaxxa， 2 1 160a ， 当0a 时，则 1

39、 ( )0fx x ，函数( )f x在(0,)上单调递减； 当0a 时，令( )0fx，则 2 220axxa，解得 2 1116 0 4 a x a ，函数( )f x在 2 11 16 (0,) 4 a 单调递减； 令( )0fx，则 2 220axxa ，解得 2 11 16 4 a x ，函数( )f x在 2 11 16 (,) 4 a 单 调递增 （2）0a 时，函数( )f x与( )g x的图象有且仅有一个交点 0 (x， 0) y， 方程 2 2 22 a axlnxaxax x ，即方程 2 2 0 a axlnx x 在(0,)只有一个根， 令 2 2 ( )(0) a

40、 F xaxlnx x x ，则 3 2 22 ( ) axxa F x x ， 令 3 ( )22xaxxa，0x，则 2 ( )61xax， 0a ， ( ) x在 1 (0,) 6a 单调递减，在 1 (,) 6a 单调递增， 故 1 ( )() 6 max x a ， 注意到(0)20a ， ( ) x在 1 (0,) 6a 无零点，在 1 (,) 6a 仅有一个变号零点m， ( )F x在(0,)m单调递减，在( ,)m 单调递增， 注意到F（1）30a，根据题意，m为( )F x的唯一零点，即 0 mx， 2 00 0 3 00 2 0 220 a axlnx x axxa ，消去

41、a得， 0 3 0 3 21 1 lnx x ， 第 21 页（共 22 页） 令 3 3 ( )21 1 H xlnx x ， 易 知 函 数( )H x在(1,)上 单 调 递 增 ， 且 1029 (2)2 20,(3)2 30 726 HlnHln， 0 (2,3)x， 0 2x （二）选考题：共（二）选考题：共 10 分分.请考生在第请考生在第 22.23 题中任选一题作答题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题如果多做，则按所做的第一题 记分记分. 22平面直角坐标系xOy中，曲线 1 C的参数方程为 12cos ( 32sin x y 为参数） ，以坐标原 点O为极点， 以x

42、轴正半轴为极轴， 建立极坐标系， 曲线 2 C的极坐标方程为 2 cos4sin （1）写出曲线 1 C的极坐标方程和曲线 2 C的直角坐标方程； （2）若射线 0 :(0)OM平分曲线 1 C，且与曲线 2 C交于点A，曲线 2 C上的点B满足 2 AOB ，求|AB 【 解 答 】 解 ： （ 1 ） 由 曲 线 1 C的 参 数 方 程 为 12cos ( 32sin x y 为 参 数 ） ， 得 22 (1)(3)4xy， 整理得： 22 22 30xyxy， 2 2 cos2 3 sin0，即2cos2 3sin0； 由 2 cos4sin，得 22 cos4 sin， 即 2 4

43、xy； （2）曲线 1 C是圆，射线OM过圆心，射线OM方程是(0) 3 ， 代入 2 cos4sin，得 2 4sin 3 8 3 3 A cos ， 又 2 AOB ， 2 5 4sin 8 6 5 3 6 B cos 第 22 页（共 22 页） 2222 816 7 |(8 3)( ) 33 AB AB 23已知0a ，0b ，且 22 1ab （1）证明： 55 11 ()() 1ab ab ； （2）若 22 14 |21|1|xx ab 恒成立，求x的取值范围 【解答】 解： （1） 证明： 55 55444444222 11 ()()2()1 ba abababa bab abab ； （2）由 22 1ab得 22 22 222222 14144 ()()59 ba ab ababab ，