2019年湖北省华大新高考联盟高考数学模拟试卷（文科）.docx

1、 第 1 页（共 23 页） 2019 年湖北省华大新高考联盟高考数学模拟试卷（文科）年湖北省华大新高考联盟高考数学模拟试卷（文科） 一、选择题：本题共一、选择题：本题共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是满足分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是满足 题目要求的题目要求的 1 （5 分）若集合 1A ，1，2，3，集合| 650BxNx ，则(AB ) A1，2，3 B 1，1，2，3，4 C0，1，2，3，4 D 1，0，1，2，3，4 2 （5 分）已知 2i xyi i ，其中x，y是实数，i是虚数单位，则xyi的虚部为( ) A2 B2i

2、C2i D2 3 （5 分）随着生活水平的提高，入养老院的人数日益增加，同时对养老院的服务要求也越 来越高，某养老院为适应竞争，除了提高食宿质量外，对于各项服务都实行了改善，投入经 费由原来的 200 万增加到 400 万， 院长分析改善前后的经费投入差异对收入效益的影响， 统 计了其经费投入情况，得到改善前的资金投入分布表： 服务项目 基础医疗 卫生服务 健康养生 其他服务 投入资金（比例） 50% 30% 15% 5% 改善后的经费分布条形图如图所示，则下列结论正确的是( ) A改善后的基础医疗经费投入减少了 B改善后卫生服务经费提高了两倍 C改善前后健身养生项目投入经费所占比例没有变化

3、D改善前后其他服务投入经费所占比例降低了 4 （5 分） 已知数列 n a是各项为正数的等比数列， 向量 5 (,27)ma， 9 (3,)na， 且/ /mn， 则 37 log(a ) 第 2 页（共 23 页） A4 B3 C2 D1 5 （5 分）已知双曲线 22 22 1(0,0) xy ab ab 的右顶点为A，虚轴上顶点为B，直线AB的 斜率为3，则双曲线的离心率为( ) A 3 3 B 4 3 3 C 2 3 3 D2 6 （5 分） 九章算术是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中商功有如下问题： “今 有委粟平地，下周一十二丈，高二丈问积为粟几何？”其意思为“有粟若干，堆积在

4、平地 上，它底圆周长为 12 丈，高为 2 丈，问它的体积和对方的粟各为多少？”如图，主人意欲 卖掉该堆粟，已知圆周率约为 3，一斛2700立方寸，一斛粟米卖 270 钱，一两银子 1000 钱，则主人欲卖得银子（单位换算：1 立方丈 6 10立方寸）( ) A800 两 B1200 两 C2400 两 D3200 两 7 （5 分）已知函数 2 ( )sincosf xxxxx，则函数( )yf x的部分图象是( ) A B 第 3 页（共 23 页） C D 8 （5 分）已知函数 2 ( )2sin cos()cos3sin cos 6 f xxxxxx ，将函数( )f x图象上的所

5、有点向右平移 12 个单位，得到函数( )g x的图象，则函数( )g x在区间 5 , 3 12 上( ) A先增后减 B先减后增 C单调递增 D单调递减 9 （5 分）某几何体是由正方体挖去部分几何体所得的，其三视图如图所示，以侧视图虚线 为投影的直线与图中所涉及正方体下底面的面对角线所成的角为( ) A 6 B 4 C 3 D 2 10 （5 分）在等边ABC中，8AB AC ，ABC所在平面上的动点M到顶点A的距离为 2，则AM AB的最大值为( ) A8 B4 3 C4 D2 3 11 （5 分）已知函数 2 |22| 1,0, ( ) 22,0, x x f x xxx 若方程(

6、)2f xkxk有四个不同的解，则实 数k的取值范围为( ) A 1 (, 22 2)( ,1) 3 B(2 22,1) C 1 ( ,1) 3 D 1 ( ,2 22) 3 第 4 页（共 23 页） 12 （5 分）抛物线 2 :2(0)C xpy p的焦点F与点 8 ( ,0) 3 N的连线为直线 1 l，直线 1 l与抛物 线C在第一象限交于点M 若抛物线C在点M处的切线 2 l垂直于直线2yx ， 则以点N为 圆心且与直线 2 l相切的圆的标准方程为( ) A 22 85 () 33 xy B 22 85 () 39 xy C 22 81 () 33 xy D 22 81 () 39

7、 xy 二、填空题：本题共二、填空题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分 13 （5 分）已知函数( )f xlnxx，则函数( )yf x图象在点(1，f（1）)处的切线方程 为 14 （5 分）已知实数x，y满足约束条件 4 0, 24 0, 0, xy xy xy ，则 22 (4)(2)zxy的最小值 为 15 （5 分）如图是一枚某社团徽章的几何图形，此图形是由四个半径相等的小圆和与四个 小圆都相切的一个大圆组成的，且上下两个小圆对称相切，左右两个小圆对称相切，切点为 大圆圆心，大圆的半径R等于小圆的直径2r，图中黑色部分的区域记为，斜线阴影部分 的区

8、域记为，白色部分的区域记为，在大圆内随机取一点，则此点落入区域的概率 为 16（5 分） 已知数列 n a的前n项和 n S满足 112 332(3) nnnn SSSSn ， 且 1 3a ， 2 8a ， 3 15a ，则 n a 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 （一）必考题：共三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 （一）必考题：共 60 分分 17（12 分） 在ABC中， 角A，B，C所对的边分别为a，b，c，ABC的面积为S，4b ， 2 3 cos 3 aBS （1）若a，b，c成等差数列，试判断ABC的形状； （2）求ac的取值范围 第 5 页（

9、共 23 页） 18 （12 分）已知四棱锥PABCD中，平面PAB 平面ABCD，底面ABCD为矩形，点E 在AD上，且 1 3 AEAD，3BC ，O为AB的中点，PAPB， 2 3 ABAD （1）证明：ECPE； （2）求点E到平面POC的距离 19 （12 分）2022 年，北京张家口第 24 届冬季奥林匹克运动会（简称“北京张家口冬 奥会” )，将于 2022 年 2 月 4 日20日在北京和张家口联合举行随着 2022 年冬奥会氛围 的日益浓厚， 冰雪运动与冰雪文化逐渐推广， 某滑雪培训机构为助力冬奥会开展了滑雪表演 大赛，该机构对 50 名参赛者进行了统计，发现 20 名穿旅游

10、服的参赛者有 12 名成绩优秀， 30 名穿竞技服的参赛者有 28 名成绩优秀 （1）完成下列参赛服装与竞赛成绩的22列联表，判断是否有99.5%的把握认为穿竞技服 与成绩发挥优秀有关？ 穿旅游服 穿竞技服 合计 成绩优秀 成绩不优秀 合计 （2）为活跃气氛，并把比赛推向高潮，培训机构从穿旅游服的参赛者中选定三名（其中恰 有一名优秀赛者） ，从穿竞技服的参赛者中选定两名（其中恰有一名优秀赛者）进行特技表 演，若只能两人同时上台表演，求这两人恰都不是优秀赛者的概率 参考公式： 2 2 () ()()()() n adbc K ab cd ac bd ，其中nabcd 参考数据： 2 0 ()P

11、Kk 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 第 6 页（共 23 页） 0 k 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 20 （12 分）点P是椭圆 22 22 1(0) xy ab ab 上一点， 1 F， 2 F分别是椭圆的左、右焦点， 已 知 12 PFF的 周 长 为4 (21 )，I为 12 PFF的 内 切 圆 的 圆 心 ， 且 满 足 1221 2 I FFI P FI P F SSS，其中 12 IF F S， 2 IPF S， 1 IPF S分别为 12 IFF， 2 IPF， 1 IPF

12、的面积 （1）求椭圆的标准方程； （2） 已知(1,0)M， 在椭圆上是否存在一点Q， 使得点M在 12 FQF的角平分线上， 若存在， 求出点Q的坐标，若不存在，请说明理由 21 （12 分）已知函数 1 ( )(12 ) a f xa lnxax x ， 2 ( )(1)() a g xaxlnx x （1）若0a ，试讨论函数( )f x的单调性； （2）若存在 0 1x ， e，使得 00 ()()f xg x成立，求实数a的取值范围 （二）选考题：共（二）选考题：共 10 分请考生在第分请考生在第 22，23 题中任选一题作答，如果多选，则按所做的题中任选一题作答，如果多选，则按所做

13、的 第一题计分第一题计分选修选修 4-4：极坐标与参数方程：极坐标与参数方程 22 （10 分）已知直线l的参数方程为 43 ,(xt t yt 为参数） ，以坐标原点为极点，x轴正 半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为 2 3cos12 （1）求曲线C的直角坐标方程； （2）求曲线C上的点到直线l的距离的取值范围 选修选修 4-5：不等式选讲：不等式选讲 23已知函数( ) |1|31|f xxax （1）当 1 3 a 时，若存在 0 xR使 2 0 1 ()(21) 3 f xtt成立，求实数t的取值范围； （2）若( )|31|3|21f xaxxaxa恒成立，求实数a的取值范

14、围 第 7 页（共 23 页） 2019 年湖北省华大新高考联盟高考数学模拟试卷（文科）年湖北省华大新高考联盟高考数学模拟试卷（文科） 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题：本题共一、选择题：本题共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是满足分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是满足 题目要求的题目要求的 1 （5 分）若集合 1A ，1，2，3，集合| 650BxNx ，则(AB ) A1，2，3 B 1，1，2，3，4 C0，1，2，3，4 D 1，0，1，2，3，4 【解答】解：因为 1A ，1，2，3，| 6500BxNx ，1，2，

15、3，4， 则 1AB ，0，1，2，3，4， 故选：D 2 （5 分）已知 2i xyi i ，其中x，y是实数，i是虚数单位，则xyi的虚部为( ) A2 B2i C2i D2 【解答】解： 2i xyi i ， 2ixiy ， 2y ，1x ， 12xyii ， 则xyi的虚部为2， 故选：D 3 （5 分）随着生活水平的提高，入养老院的人数日益增加，同时对养老院的服务要求也越 来越高，某养老院为适应竞争，除了提高食宿质量外，对于各项服务都实行了改善，投入经 费由原来的 200 万增加到 400 万， 院长分析改善前后的经费投入差异对收入效益的影响， 统 计了其经费投入情况，得到改善前的资

16、金投入分布表： 服务项目 基础医疗 卫生服务 健康养生 其他服务 投入资金（比例） 50% 30% 15% 5% 改善后的经费分布条形图如图所示，则下列结论正确的是( ) 第 8 页（共 23 页） A改善后的基础医疗经费投入减少了 B改善后卫生服务经费提高了两倍 C改善前后健身养生项目投入经费所占比例没有变化 D改善前后其他服务投入经费所占比例降低了 【解答】解：由直方图可知基础医疗、卫生服务、健康养生、其他服务各项的总投资为 1601406040400万元， 各项投入经费所占比例为：降基础医疗 160 40% 400 ，卫生服务 140 35% 400 ，健康养生 60 15% 400 ，

17、其他服务 40 10% 400 ， 对比投资表格可知改善前后健身养生项目投入经费所占比例没有变化， 故选：C 4 （5 分） 已知数列 n a是各项为正数的等比数列， 向量 5 (,27)ma， 9 (3,)na， 且/ /mn， 则 37 log(a ) A4 B3 C2 D1 【解答】解：向量 5 (,27)ma， 9 (3,)na，且/ /mn， 9 5 3 27 a a ， 2 759 3 2781aa a ， 数列 n a是各项为正数的等比数列， 7 9a， 373 loglog 92a 故选：C 第 9 页（共 23 页） 5 （5 分）已知双曲线 22 22 1(0,0) xy

18、ab ab 的右顶点为A，虚轴上顶点为B，直线AB的 斜率为3，则双曲线的离心率为( ) A 3 3 B 4 3 3 C 2 3 3 D2 【解答】解：双曲线 22 22 1(0,0) xy ab ab 的右顶点为( ,0)A a，虚轴上顶点为(0, )Bb， 则3 AB b k a ， 即3 b a ， 则 2 2 1132 b e a ， 故选：D 6 （5 分） 九章算术是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中商功有如下问题： “今 有委粟平地，下周一十二丈，高二丈问积为粟几何？”其意思为“有粟若干，堆积在平地 上，它底圆周长为 12 丈，高为 2 丈，问它的体积和对方的粟各为多少？”如图

19、，主人意欲 卖掉该堆粟，已知圆周率约为 3，一斛2700立方寸，一斛粟米卖 270 钱，一两银子 1000 钱，则主人欲卖得银子（单位换算：1 立方丈 6 10立方寸）( ) A800 两 B1200 两 C2400 两 D3200 两 【解答】解：底面半径 12 2 2 R 该堆粟的体积 2 11 8 33 VshR h（立方丈） 卖得银子为 6 3 8 10 270 10800 2700 （两) 故选：A 7 （5 分）已知函数 2 ( )sincosf xxxxx，则函数( )yf x的部分图象是( ) 第 10 页（共 23 页） A B C D 【解答】解： 22 ()sin()co

20、s()sincos( )fxxxxxxxxxf x ， 函数( )f x为奇函数，其图象关于原点对称，故排除CD； 又f（2）4sin22cos20，故排除B 故选：A 8 （5 分）已知函数 2 ( )2sin cos()cos3sin cos 6 f xxxxxx ，将函数( )f x图象上的所 有点向右平移 12 个单位，得到函数( )g x的图象，则函数( )g x在区间 5 , 3 12 上( ) A先增后减 B先减后增 C单调递增 D单调递减 【解答】解： 2 ( )2sin cos()3sin cos 6 f xxxcos xxx 2 31 2sin (cossin )cos3s

21、in cos 22 xxxxxx 2 3sin coscos2xxx， 3sin2cos2xx 2sin(2) 6 x ， 将函数( )f x图象上的所有点向右平移 12 个单位，得到函数( )2sin(2) 3 g xx 的图象， 第 11 页（共 23 页） 当 5 , 3 12 x ， 所以2, 33 2 x ， 所以函数为单调递增函数 故选：C 9 （5 分）某几何体是由正方体挖去部分几何体所得的，其三视图如图所示，以侧视图虚线 为投影的直线与图中所涉及正方体下底面的面对角线所成的角为( ) A 6 B 4 C 3 D 2 【解答】解：根据几何体的三视图转换为几何体为： 如图所示： 该

22、几何体为：在正方体中切去一个三棱锥体， 所以要求直线AB和EF所成的角， 只需作/ /EFCD，/ /ABCD， 即CDG即为所求， 由于GCD为等边三角形， 所以 3 CDG 故选：C 第 12 页（共 23 页） 10 （5 分）在等边ABC中，8AB AC ，ABC所在平面上的动点M到顶点A的距离为 2，则AM AB的最大值为( ) A8 B4 3 C4 D2 3 【解答】解：由题意可知，ABC所在平面上的动点M到顶点A的距离为 2，M的轨迹是 圆弧， 显然M是AB中点时，向量的数量积取得最大值：8 故选：A 11 （5 分）已知函数 2 |22| 1,0, ( ) 22,0, x x

23、f x xxx 若方程( )2f xkxk有四个不同的解，则实 数k的取值范围为( ) A 1 (, 22 2)( ,1) 3 B(2 22,1) C 1 ( ,1) 3 D 1 ( ,2 22) 3 【解答】解：条件等价于函数( )f x的图象与直线2ykxk有 4 个不同的交点， 作出函数( )f x的图象如图： 第 13 页（共 23 页） 直线2ykxk恒过点( 2,0)， 当直线过点(0,2)时，有22k ，解得1k ， 当直线与 2 22yxx相切时，联立 2 22 2 yxx ykxk ，整理得 2 (2)220xk xk， 此时 2 (2)4(22 )0kk，解得22 2(22

24、 2kk 舍） ， 由图象可得，( 22 2k ，1)， 故选：B 12 （5 分）抛物线 2 :2(0)C xpy p的焦点F与点 8 ( ,0) 3 N的连线为直线 1 l，直线 1 l与抛物 线C在第一象限交于点M 若抛物线C在点M处的切线 2 l垂直于直线2yx ， 则以点N为 圆心且与直线 2 l相切的圆的标准方程为( ) A 22 85 () 33 xy B 22 85 () 39 xy C 22 81 () 33 xy D 22 81 () 39 xy 【解答】解：设( , )M m n，NF的方程为： 32 1 8 xy p ， 32 1 8 mn p 抛物线 2 :2(0)C

25、 xpy p的焦点F与点 8 ( ,0) 3 N的连线为直线 1 l， 直线 1 l与抛物线C在第一象限交于点M 若抛物线C在点M处的切线 2 l垂直于直线2yx ， 可得 x y p ， 所以 1 2 m p ， 2 2mpn， 解，可得2m ， 1 2 n ， 所以直线 2 l的方程为：210xy 以点N为圆心且与直线 2 l相切的圆的半径为： 22 8 1 5 3 3 1( 2) 以点N为圆心且与直线 2 l相切的圆的标准方程为： 22 85 () 39 xy 故选：B 第 14 页（共 23 页） 二、填空题：本题共二、填空题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 2

26、0 分分 13 （5 分）已知函数( )f xlnxx，则函数( )yf x图象在点(1，f（1）)处的切线方程 为 21yx 【解答】解：根据题意，( )f xlnxx，则 1 ( )1fx x ， 则f（1）111ln ，f（1） 1 12 1 ， 则切线的方程为12(1)yx ，即21yx； 故答案为：21yx 14 （5 分）已知实数x，y满足约束条件 4 0, 24 0, 0, xy xy xy ，则 22 (4)(2)zxy的最小值 为 4 5 【解答】解：由题意作实数x，y满足约束条件 4 0, 24 0, 0, xy xy xy ， 平面区域如图，(4,4)A，(2,2)B 2

27、2 (4)(2)zxy的几何意义是点(4,2)P 与阴影内的点的距离的平方，显然DP距离是最小值， P到240xy的距离的平方为： 2 22 |824|4 () 5 21 22 (4)(2)zxy的最小值为： 4 5 故答案为： 4 5 15 （5 分）如图是一枚某社团徽章的几何图形，此图形是由四个半径相等的小圆和与四个 第 15 页（共 23 页） 小圆都相切的一个大圆组成的，且上下两个小圆对称相切，左右两个小圆对称相切，切点为 大圆圆心，大圆的半径R等于小圆的直径2r，图中黑色部分的区域记为，斜线阴影部分 的区域记为，白色部分的区域记为，在大圆内随机取一点，则此点落入区域的概率为 2 【解

28、答】解：设大圆半径为 2，则小圆半径为 1， 由题意得整个大圆面积为 2 24S， 大圆的半径R等于小圆的直径2r， 图中黑色部分的区域面积和斜线阴影部分的区域面积相等， 白色部分的区域面积为 222 3 11 228(11 )8 42 S ， 在大圆内随机取一点，则此点落入区域的概率为 82 4 P 故答案为： 2 16（5 分） 已知数列 n a的前n项和 n S满足 112 332(3) nnnn SSSSn ， 且 1 3a ， 2 8a ， 3 15a ，则 n a 2 2nn 【解答】解： 112 332(3) nnnn SSSSn ， 1112 ()2()()2(3) nnnnn

29、n SSSSSSn ， 即 11 22(3) nnn aaan ， 12 22(4) nnn aaan ， 整理得： 1121 ()()2()(4) nnnnnn aaaaaan ， 第 16 页（共 23 页） 又 21 835aa， 32 1587aa， 数列 1 nn aa 是以 5 为首项，752为公差的等差数列， 1nn aa 是52(1) 12(1)3nn， 11223211 ()()() nnnnnnn aaaaaaaaaa 2(1)32(2)3(2 13)3nn 2(123(1)3(1)3nn 1(1)(1) 23 2 nn n 2 2nn 经检验，1n 时， 1 3a 符合，

30、 故答案为： 2 2nn 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 （一）必考题：共三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 （一）必考题：共 60 分分 17（12 分） 在ABC中， 角A，B，C所对的边分别为a，b，c，ABC的面积为S，4b ， 2 3 cos 3 aBS （1）若a，b，c成等差数列，试判断ABC的形状； （2）求ac的取值范围 【解答】解： （1）由已知得 3 cossin 3 acBacB， tan3B 0B， 3 B a，b，c成等差数列，4b ， 28acb由余弦定理得 22 162cos 3 acac ， 2 16()3acac， 16a

31、c，4acb， ABC是等边三角形 （2）方法一4b ， 3 B ， 第 17 页（共 23 页） 由余弦定理得 22 2cos16 3 acac ， 22 16acac， 222 ()316 ()3() 2 ac acacac （当且仅当ac时取等号） ， 解得08ac ， 又acb， 48ac ， ac 的取值范围是(4，8 方法二根据正弦定理得 48 3 2( sin33 2 b RR B 为ABC外接圆的半径） ， 8 3 2 sinsin 3 aRAA， 8 3 2 sinsin 3 cRCC， 8 3 (sinsin) 3 acAC ABC，可得 2 3 AC ， 8 328 3

32、33 sinsin()( sincos )8sin() 333226 acAAAAA ， 2 0 3 A ， 5 (,) 666 A ， 1 sin()( ,1 62 A 故ac的取值范围为(4，8 18 （12 分）已知四棱锥PABCD中，平面PAB 平面ABCD，底面ABCD为矩形，点E 在AD上，且 1 3 AEAD，3BC ，O为AB的中点，PAPB， 2 3 ABAD （1）证明：ECPE； （2）求点E到平面POC的距离 第 18 页（共 23 页） 【解答】解， （1）证明：如图，连接OE，平面PAB 平面ABCD，PAPB，O为AB 的中点， POAB，PO平面ABCD，POC

33、E 四边形ABCD为矩形，3BCAD， 2 2 3 CDABAD， 1 1 3 AEAD，2DE ， 22 222 2EC ， 22 112OE ， 22 1310OC ， 222 OEECOC，OEEC 又POCE，POOEO， EC平面POEPE 平面POE，ECPE （2）方法一 设POh，点E到平面POC的距离为x，由（1）知PO 平面ABCD， POOC， 10 2 POC h S， 1 2 22 2 ECO S， E POCP EOC VV 三棱锥三棱锥 ， 11 33 POCEOC SxSh ， 11012 22 3232 hxh ， 2 10 5 x ，即点E到平面POC的距离

34、为 2 10 5 方法二 由（1）知PO 平面ABCD，平面POC 平面ABCD， 又平面POC平面ABCDOC，如图，过点E作OC的垂线，交OC于点F， 根据面面垂直性质定理知，EF 平面POC，EF即为点E到平面POC的距离 根据面积相等知2 2210EF， 2 10 5 EF 19 （12 分）2022 年，北京张家口第 24 届冬季奥林匹克运动会（简称“北京张家口冬 奥会” )，将于 2022 年 2 月 4 日20日在北京和张家口联合举行随着 2022 年冬奥会氛围 的日益浓厚， 冰雪运动与冰雪文化逐渐推广， 某滑雪培训机构为助力冬奥会开展了滑雪表演 大赛，该机构对 50 名参赛者进

35、行了统计，发现 20 名穿旅游服的参赛者有 12 名成绩优秀， 30 名穿竞技服的参赛者有 28 名成绩优秀 （1）完成下列参赛服装与竞赛成绩的22列联表，判断是否有99.5%的把握认为穿竞技服 与成绩发挥优秀有关？ 穿旅游服 穿竞技服 合计 成绩优秀 成绩不优秀 第 19 页（共 23 页） 合计 （2）为活跃气氛，并把比赛推向高潮，培训机构从穿旅游服的参赛者中选定三名（其中恰 有一名优秀赛者） ，从穿竞技服的参赛者中选定两名（其中恰有一名优秀赛者）进行特技表 演，若只能两人同时上台表演，求这两人恰都不是优秀赛者的概率 参考公式： 2 2 () ()()()() n adbc K ab cd

36、 ac bd ，其中nabcd 参考数据： 2 0 ()P Kk 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 0 k 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 【解答】解： （1）所传服装与成绩发挥情况列联表如下表： 穿旅游服 穿竞技服 合计 成绩优秀 12 28 40 成绩不优秀 8 2 10 合计 20 30 50 故 2 2 50(8282 12) 8.3337.879 102030 K 故有99.5%的把握认为穿竞技服与成绩发挥优秀有关 （2）设 3 名穿旅游服的参赛者分别为A，B，C，其中A是优秀参赛者，B

37、，C不是优 秀参赛者，2 名竞技服的参赛者分别为D，E，其中D是优秀参赛者，E不是优秀参赛者， 5 名参赛者任选 2 名同事表演的结果有AB，AC，AD，AE，BC，BD，BE，CD，CE， 共 10 种情形， 其中这两人恰都不是优秀参赛者有BC，BE，3CE种情形， 故答案为：这两人恰都不是优秀参赛者的概率为 3 10 20 （12 分）点P是椭圆 22 22 1(0) xy ab ab 上一点， 1 F， 2 F分别是椭圆的左、右焦点， 已 知 12 PFF的 周 长 为4 (21 )，I为 12 PFF的 内 切 圆 的 圆 心 ， 且 满 足 1221 2 I FFI P FI P F

38、 SSS，其中 12 IF F S， 2 IPF S， 1 IPF S分别为 12 IFF， 2 IPF， 1 IPF的面积 （1）求椭圆的标准方程； （2） 已知(1,0)M， 在椭圆上是否存在一点Q， 使得点M在 12 FQF的角平分线上， 若存在， 第 20 页（共 23 页） 求出点Q的坐标，若不存在，请说明理由 【解答】解： （1）设 12 PFF的内切圆半径为r， I为 12 PFF的内心， 1 221 2 IF FIPFIPF SSS成立， 1221 111 2| 222 FFrPFrPFr， 化为 1212 2 | |FFPFPF，又 12 | 2PFPFa， 2ca又 12

39、PFF的周长为4( 21)，224( 21)ac， 2 22ac，2 2a ，2c ，2b， 椭圆的标准方程为 22 1 84 xy ； （2）假设椭圆上存在一点 0 (Q x， 0) y，使得点M在 12 FQF的角平分线上， 点M到直线 1 QF， 2 QF的距离相等，又 1( 2,0) F ， 2(2,0) F， 直线 1 QF的方程为 000 (2)20xyy xy， 直线 2 QF的方程为 000 (2)20xyy xy， 00 2222 0000 |3| (2)(2) yy xyxy ，化简整理得 22 000 8403280xxy， 点Q在椭圆上， 22 00 28xy， 0 2

40、 22 2x剟， 由解得 0 2x 或 0 8x （舍去） ， 当 0 2x 时， 0 2y ， 椭圆上存在点Q，其坐标为(2, 2)或(2,2)，使得点M在 12 FQF的角平分线上 21 （12 分）已知函数 1 ( )(12 ) a f xa lnxax x ， 2 ( )(1)() a g xaxlnx x （1）若0a ，试讨论函数( )f x的单调性； （2）若存在 0 1x ， e，使得 00 ()()f xg x成立，求实数a的取值范围 【解答】解： （1） 1 ( )(12 ) a f xa lnxax x ， 2 222 121(21)(1)(1)(1) ( ) aaaxa

41、xaaxax fxa xxxx 第 21 页（共 23 页） 令( )0fx，解得 1 1x ， 2 1 1x a 当1a 时， 21 0xx，函数( )f x在 1 (0,1) a 和(1,)上单调递增，在 1 (1,1) a 上单调 递减； 当01a 时， 2 0x ，函数( )f x在(0,1)上单调递减，在(1,)上单调递增 （2）在1， e上存在一点 0 x，使得 00 ()()f xg x成立， 即 12 (12 )(1)() aa a lnxaxaxlnx xx ， 即 在1， e上 存 在 一 点 0 x， 使 得 1 0 a xalnx x 成立， 令 1 ( ) a h x

42、xalnx x ，则函数 1 ( ) a h xxalnx x 在1， e上的最小值小于零 2 222 1(1)(1)(1) ( )1 aaxaxaxxa h x xxxx 当1ae ，即1a e时，( )h x在1， e上单调递减，( )h x的最小值为h（e） ， 由 1 ( )0 a h eea e ，可得 2 1 1 e a e ， 2 1 1 1 e e e ， 2 1 1 e a e ； 当1 1a ，即0a时，( )h x在1， e上单调递增， ( )h x的最小值为h（1） ，由h（1）110a 可得2a ； 当11ae ，即01ae时，可得( )h x的最小值为(1)2(1)

43、haaalna， 0(1)1ln a，0(1)alnaa ，故(1)2(1)2haaalna， 此时不存在 0 x使 0 ()0h x成立 综上可得，a的取值范围为 2 1 (, 2)(,) 1 e e （二）选考题：共（二）选考题：共 10 分请考生在第分请考生在第 22，23 题中任选一题作答，如果多选，则按所做的题中任选一题作答，如果多选，则按所做的 第一题计分第一题计分选修选修 4-4：极坐标与参数方程：极坐标与参数方程 22 （10 分）已知直线l的参数方程为 43 ,(xt t yt 为参数） ，以坐标原点为极点，x轴正 半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为 2 3cos12 （1）求曲线C的直角坐标方程； （2）求曲线C上的点到直线l的距离的取值范围 第 22 页（共 23 页） 【解答】解： （1）由题意得 2 3cos12 ，平方得 22 (3cos1)4，根据互化公式 222 xy，cosx得 22 44xy，即 2 2 1 4 y x 曲线C的直角坐标方程为 2 2 1 4 y x （2）把 43 ,(xt t yt 为参数）消去参数得直线l的普通方程为340xy， 曲线C的参数方程为 cos , ( 2sin