2020年山西省吕梁市高考数学一模试卷（理科）.docx

1、 第 1 页（共 17 页） 2020 年山西省吕梁市高考数学一模试卷（理科）年山西省吕梁市高考数学一模试卷（理科） 一、选择题：本大题共一、选择题：本大题共 12 个小题，每小题个小题，每小题 5 分，共分，共 60 分分.在每小题给出的四个选项中，只在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的有一项是符合题目要求的. 1 （5 分）已知集合 | 52Axx， 2 |4Bx yx，则(AB ) A | 52xx剟 B | 52xx C | 52xx 剟 D | 22xx 2 （5 分）下列函数中，既是奇函数又在其定义域上单调递增的是( ) A 1 ( )f xx x B( ) xx

2、f xee C( )sinf xxx D( )(1)(1)f xlnxlnx 3 （5 分） 22 xy的充分不必要条件是( ) Axy B0yx C| |yx D|yx 4 （5 分）已知 n S为公差不为 0 的等差数列 n a的前n项和， 9 18S ，2 m a ，则(m ) A4 B5 C6 D7 5 （5 分）已知向量,a b，满足| 1,(1,1),1aba b，则|2| (ab ) A5 B3 C2 D1 6 （5 分）已知函数( )yf x的部分图象如下，是判断函数解析式为( ) A( )sinf xxx B 2 ( )cosf xxx C( )sincosf xxxx D(

3、 )()sin1 xx f xeex 7 （5 分）被誉为“中国现代数学之父”的著名数学家华罗庚先生倡导的“0.618 优选法” 在生产和科研实践中得到了非常广泛的引用.0.618就是黄金分割比： 51 2 t 的近似值， 黄金分割比还可以表示成2sin18，则 2 2 12sin 27 ( 4tt ) 第 2 页（共 17 页） A 1 2 B51 C2 D4 8 （5 分）已知 3 2 2 2 log 5,0.5 ,2abc ，则( ) Abca Bcab Cabc Dacb 9 （5 分）已知直线:20l mxny与圆 22 4xy相交的弦长为2 2，则mn的取值范 围为( ) A 2，

4、2 B2, 2 C 2 2,2 2 D 4，4 10 （5 分）若直线:2l ykx与函数 2 (1),1 ( ) 43,1 lnx x f x xxx 的图象恰好有 2 个不同的公共 点，则k的取值范围为( ) A(,0) B(2,)(2 54) C(，0)(2，) D(,0)(2,)(2 54) 11 （5 分）如图四面体ABCD中，2ADBC，ADBC，截面四边形EFGH满足 / /EFBC；/ /FGAD，则下列结论正确的个数为( ) 四边形EFGH的周长为定值 四边形EFGH的面积为定值 四边形EFGH为矩形 四边形EFGH的面积有最大值 1 A0 B1 C2 D3 12 （5 分）

5、已知数列 n a中， 1 1a ， 2 2a ， 11 23(2) nnn aaan ，数列 n a的前 99 项 和 99 (S ) A 50 3(91) 8 B 50 91 8 C 99 31 2 D 49 3(91) 8 第 3 页（共 17 页） 二、填空题（本大题共二、填空题（本大题共 4 小题，每题小题，每题 5 分，满分分，满分 20 分）分） 13 （5 分）设变量x，y满足约束条件 23 0 3 0 23 0 xy xy xy ，则目标函数32zxy 的最小值 为 14 （5 分） 函数 2 ( )f xalnxbx在点(1，f（1）)处的切向方程为43yx， 则a ， b

6、15 （5 分）已知三棱锥PABC的四个顶点都在球O的球面上，PAPBPC，2AB ， 5BC ，3AC ，E，F分别为AC，PB的中点， 3 2 EF ，则球O的体积为 16 （5 分）函数( )sin()(0,|) 2 f xx ，则如下结论正确的序号是 当2时，若( )f x图象的对称轴为 3 x ，则 6 ； 当2时，若( )f x的图象向右平移 6 单位长度后关于原点对称，则()1 12 f ； 当 4 时，若( )f x的图象在区间0, 4 内有且仅有一条对称轴，则的取值范围为1， 5)； 当 4 时，若集合 2 (0, )|( ) 2 xf x 含有 2020 个元素，则的取值范

7、围为 (2019,2020.5) 三、解答题（本大题共三、解答题（本大题共 6 小题，共小题，共 70 分分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17 （10 分）已知ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，若 1 cos22cos 2 CC， （1）求C的值； （2）若2,6bc，求ABC的面积 18 （12 分）如图三棱柱 111 ABCABC中， 11 1,2,1,ABACBCACC A平面ABC （1）证明：AB 平面 11 ACC A； （2）求 1 AB与平面 1 BCC所成的角的正弦值 第 4 页（共 17 页） 19 （12

8、分）已知数列 n a满足 1 1a ， 1 (1)1 nn nanan （1）求数列 n a的通项公式； （2） n S为数列 1 1 nn a a 的前n项和，求证： 2 2 3 n S 20（12 分） 如图正方形ABCD纸片的边长为5 2， 中心为O， 正方形EFGH的中心也是O， AEH，BEF，CFG，DGH分别是以EH，EF，FG，GH为底边的等腰三角形， 沿虚线剪开后， 分别以EH，EF，FG，GH为折痕折起AEH，BEF，CFG，DGH， 使得A、B、C、D重合于点S，得到四棱锥SEFGH，设正方形EFGH的边长为x （1）用x表示四棱锥SEFGH的体积( )V x； （2）当

9、( )V x最大时，求四棱锥SEFGH的表面积 21 （12 分）已知两定点(1,0)M，(4,0)N点P满足| 2|PNPM （1）求点P的轨迹C的方程； （2）若(0, 2)D，直线l与轨迹C交于A，B两点，DA，DB的斜率之和为 2，直线l是否 恒过定点，若过定点，求出该定点的坐标；若不过定点，请说明理由 22 （12 分）已知函数( )f xaxxlnx，()aR的最大值为 1 （1）求a的值； （2）证明： 22 ( )2 x f xex 第 5 页（共 17 页） 2020 年山西省吕梁市高考数学一模试卷（理科）年山西省吕梁市高考数学一模试卷（理科） 参考答案与试题解析参考答案与试

10、题解析 一、选择题：本大题共一、选择题：本大题共 12 个小题，每小题个小题，每小题 5 分，共分，共 60 分分.在每小题给出的四个选项中，只在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的有一项是符合题目要求的. 1 （5 分）已知集合 | 52Axx， 2 |4Bx yx，则(AB ) A | 52xx剟 B | 52xx C | 52xx 剟 D | 22xx 【解答】解：因为 | 22Bxx 剟，所以 | 52ABxx 剟， 故选：C 2 （5 分）下列函数中，既是奇函数又在其定义域上单调递增的是( ) A 1 ( )f xx x B( ) xx f xee C( )sinf x

11、xx D( )(1)(1)f xlnxlnx 【解答】解：A中单增区间为(,0)和(0,)，定义域上不是单调递增； B满足条件，C为偶函数，D为减函数 故选：B 3 （5 分） 22 xy的充分不必要条件是( ) Axy B0yx C| |yx D|yx 【解答】解：由 22 | |xyxy，又 22 |xyxy，A，B既不是充分条件也不是必要 条件， C是充要条件 故选：D 4 （5 分）已知 n S为公差不为 0 的等差数列 n a的前n项和， 9 18S ，2 m a ，则(m ) A4 B5 C6 D7 【解答】解： 19 95 9() 918 2 aa Sa ， 5 2a， 2 m

12、a 第 6 页（共 17 页） 5m， 故选：B 5 （5 分）已知向量,a b，满足| 1,(1,1),1aba b，则|2| (ab ) A5 B3 C2 D1 【解答】解：因为 222 |2|444422abaa bb， 所以|2|2ab； 故选：C 6 （5 分）已知函数( )yf x的部分图象如下，是判断函数解析式为( ) A( )sinf xxx B 2 ( )cosf xxx C( )sincosf xxxx D( )()sin1 xx f xeex 【解答】解：(0)1f，可排除A；( )0f，可排除B，D 故选：C 7 （5 分）被誉为“中国现代数学之父”的著名数学家华罗庚先

13、生倡导的“0.618 优选法” 在生产和科研实践中得到了非常广泛的引用.0.618就是黄金分割比： 51 2 t 的近似值， 黄金分割比还可以表示成2sin18，则 2 2 12sin 27 ( 4tt ) A 1 2 B51 C2 D4 【解答】解：把2sin18t 代入 2000 00 2020 12sin 27cos54sin361 4sin18 cos182 42sin1844sin 18tt ， 故选：A 8 （5 分）已知 3 2 2 2 log 5,0.5 ,2abc ，则( ) Abca Bcab Cabc Dacb 第 7 页（共 17 页） 【解答】解： 21.5 0.5

14、,22 22.828bc ，因 25 52，所以 5 52，所以 2 5 log 5 2 ，所以 acb 故选：D 9 （5 分）已知直线:20l mxny与圆 22 4xy相交的弦长为2 2，则mn的取值范 围为( ) A 2，2 B2, 2 C 2 2,2 2 D 4，4 【解答】解：圆心(0,0)O到直线:20l mxny的距离 22 2 d mn ， 直线:20l mxny与圆 22 4xy相交的弦长为2 2， 222 22 2 ()( 2)2 mn ，得 22 2mn， 又 222 ()2()4mnmn， 22mn剟 故选：A 10 （5 分）若直线:2l ykx与函数 2 (1),

15、1 ( ) 43,1 lnx x f x xxx 的图象恰好有 2 个不同的公共 点，则k的取值范围为( ) A(,0) B(2,)(2 54) C(，0)(2，) D(,0)(2,)(2 54) 【解答】解：画出函数( )f x的图象， 由图可知， 当0k 时，直线l与函数( )f x在区间(,1)内有两个交点，与区间1，)的部分没有交 点，因而满足条件， 当0k 时，直线l与函数( )f x只有一个交点，不满足条件， 当0k 时，直线l与函数( )f x在区间(,1)内只有一个交点， 当直线l与( )f x在区间1，)内的部分也有一个交点时满足条件， 这时由2ykx与 2 43yxx联立，

16、 得 2 (4)50xkx， 第 8 页（共 17 页） 由 2 (4)200k得， 2 54k ， 当2k 时，直线l也与( )f x在区间1，)内的部分也有一个交点， 所以满足条件的k的取值范围为(,0)(2,)(2 54) 故选：D 11 （5 分）如图四面体ABCD中，2ADBC，ADBC，截面四边形EFGH满足 / /EFBC；/ /FGAD，则下列结论正确的个数为( ) 四边形EFGH的周长为定值 四边形EFGH的面积为定值 四边形EFGH为矩形 四边形EFGH的面积有最大值 1 A0 B1 C2 D3 【解答】解：因为/ /EFBC，EF 平面BCD，所以/ /EF平面BCD，又

17、平面EFGH平 面BDCGH， 所以/ /EFGH， 同理/ /FGEH，所以四边形EFGH为平行四边形，又ADBC， 所以四边形EFGH为矩形 由相似三角形的性质得, EFAF FCFG BCAC ACAD ，所以 EFFGAFFC BCADACAC ，2BCAD， 第 9 页（共 17 页） 所以2EFFG，所以四边形EFGH的周长为定值 4， 2 ()1 2 EFGH EFFG SEFFG ， 所以四边形EFGH的面积有最大值 1，因为正确 故选：D 12 （5 分）已知数列 n a中， 1 1a ， 2 2a ， 11 23(2) nnn aaan ，数列 n a的前 99 项 和 9

18、9 (S ) A 50 3(91) 8 B 50 91 8 C 99 31 2 D 49 3(91) 8 【解答】解：由题意，递推式 11 23 nnn aaa 两边同时加上 n a，可得 111 233() nnnnnnn aaaaaaa 12 3aa， 数列 1 nn aa 是以 3 为首项，公比为 3 的等比数列， 1 3n nn aa 由题意，设 1 3n nnn c aa ，则 991299 Saaa 123459899 ()()()aaaaaaa 12498 accc 2498 1333 2100 2 33 1 13 50 91 8 故选：B 二、填空题（本大题共二、填空题（本大题

19、共 4 小题，每题小题，每题 5 分，满分分，满分 20 分）分） 13 （5 分）设变量x，y满足约束条件 23 0 3 0 23 0 xy xy xy ，则目标函数32zxy 的最小值 为 7 【解答】解：可行域为ABC 第 10 页（共 17 页） 如图所示：目标函数32zxy 化为32yxz， 平移直线3yx， 由图象可知当直线32yxz， 经过B点(3,0)时， 直线32yxz在y轴上的截距最小， 此时z最小，3 3027 min z 故答案为：7 14 （5 分） 函数 2 ( )f xalnxbx在点(1，f（1）)处的切向方程为43yx， 则a 2 ， b 【解答】解：( )2

20、 a fxbx x ， 由导数的几何意义可得f（1）1，k f （1）4， 即1b ，214 1 a b ， 所以2a ，1b 故答案为：2，1 15 （5 分）已知三棱锥PABC的四个顶点都在球O的球面上，PAPBPC，2AB ， 5BC ，3AC ，E，F分别为AC，PB的中点， 3 2 EF ， 则球O的体积为 4 3 【解答】解：如图所示： 由已知可得90ABC，因PAPBPC， 所以点P在ABC内的投影为ABC的外心E， 所以PE 平面ABC，PEBE， 所以23PBEF， 所以 2222 33 3 3( ) 22 PEPBBE， 又球心O在PE上，设POr，则 222 3 33 (

21、)( ) 22 rr，所以3r ， 第 11 页（共 17 页） 所以球O体积， 3 4 4 3 3 Vr， 故答案为：4 3 16 （5 分）函数( )sin()(0,|) 2 f xx ，则如下结论正确的序号是 当2时，若( )f x图象的对称轴为 3 x ，则 6 ； 当2时，若( )f x的图象向右平移 6 单位长度后关于原点对称，则()1 12 f ； 当 4 时，若( )f x的图象在区间0, 4 内有且仅有一条对称轴，则的取值范围为1， 5)； 当 4 时，若集合 2 (0, )|( ) 2 xf x 含有 2020 个元素，则的取值范围为 (2019,2020.5) 【解答】解

22、：对于，由2 32 k 得 6 k ，因| 2 ，取0k 得 6 ； 对于，由sin(2()sin(2) 63 xx 得 3 ， 所以()sin(2)1 12123 f ； 对于，由( )sin() 4 f xx 的对称轴为, 4 k xkZ ， 由0, 4444 得1，5)； 对于，由 2 ( )sin() 42 f xx 得，2 44 xk 或 3 2, 44 xkkZ 第 12 页（共 17 页） 所以 2 2 k x 或 2 , k xkZ 因集合含有 2020 个元素，所以 2018 x 且 2020 2 ，所以20192020.5 ，所以不正确； 故正确序号为 故答案为： 三、解答

23、题（本大题共三、解答题（本大题共 6 小题，共小题，共 70 分分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17 （10 分）已知ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，若 1 cos22cos 2 CC， （1）求C的值； （2）若2,6bc，求ABC的面积 【解答】解： （1）由 1 cos22cos 2 CC得， 2 3 2cos2cos0 2 CC， 所以 1 cos 2 C ， 由于0C， 所以 3 C （2）解法一：由正弦定理得， sinsin cb CB ， 即 3 2 sin2 2 sin 26 bC B c ， 又cb， 所以C

24、B， 所以 4 B ， 所以 5 3412 A ， 可得 62 sinsin() 464 A ， 所以 116233 sin26 2242 ABC SbcA 解法二：作ADBC垂足为D，则 1 cos21 2 CDbC， 3 sin23 2 ADbC， 所以 22 633BDcAD， 所以31aBDDC， 第 13 页（共 17 页） 所以 1133 ( 31)3 222 ABC SaAD 18 （12 分）如图三棱柱 111 ABCABC中， 11 1,2,1,ABACBCACC A平面ABC （1）证明：AB 平面 11 ACC A； （2）求 1 AB与平面 1 BCC所成的角的正弦值

25、【解答】解： （1）因为1,2ABACBC， 所以ABC是直角三角形，ABAC，又 1 C AAB， 1 ACC AA， 所以AB 平面 11 ACC A （2）以AB，AC，?AC分别为x，y，z轴，建立如图所示的空间坐标系， 则(0A，0，0)，(1B，0，0)，(0C，1，0)， 1(1 B，1，1)， 1(0 C，0，1) 所以 111 (1, 1,1),( 1,0,1),(0, 1,1)ABACCC， 设平面 1 BCC的法向量为( , , )mx y z， 则 1 1 0 0 m BC m CC ， 即 0 0 xz yz ，取(1,1,1)m ， 第 14 页（共 17 页） 设

26、 1 AB与平面 1 BCC所成的角为，则 1 1 |1 sin 3| | AB m ABm ， 故 1 AB与平面 1 BCC所成角的正弦值 1 3 19 （12 分）已知数列 n a满足 1 1a ， 1 (1)1 nn nanan （1）求数列 n a的通项公式； （2） n S为数列 1 1 nn a a 的前n项和，求证： 2 2 3 n S 【解答】解： （1）由 1 (1)1 nn nanan 得， 1 (1)1 nn nanan ， 取1n ，2，3，1n 得， 213243 22323434aaaaaa， 1 (1) nn nanan ， 相加得 (1) 12 2 n n n

27、 nan ， 所以 1 2 n n a 证明： （2）由（1）得， 1 1411 4() (1)(2)12 nn a annnn ， 所以 111111114 4()()()()2 233445122 n S nnn ， 因 n S随n的增大而增大，所以 1 3 2 n SS ， 又2 n S ， 所以 3 2 2 n S 20（12 分） 如图正方形ABCD纸片的边长为5 2， 中心为O， 正方形EFGH的中心也是O， AEH，BEF，CFG，DGH分别是以EH，EF，FG，GH为底边的等腰三角形， 沿虚线剪开后， 分别以EH，EF，FG，GH为折痕折起AEH，BEF，CFG，DGH， 使得

28、A、B、C、D重合于点S，得到四棱锥SEFGH，设正方形EFGH的边长为x （1）用x表示四棱锥SEFGH的体积( )V x； （2）当( )V x最大时，求四棱锥SEFGH的表面积 第 15 页（共 17 页） 【解答】解： （1）连接OA交EH为M，则5, 2 x OAOM， 所以四棱锥SEFGH的高为 22 (5)( )255 (05) 22 xx hxx 所以 2 1 ( )255 3 V xxx （2）解法一： 245 11 ( )255255 33 V xxxxx 设 45 ( )255(05)f xxxx，则 34 ( )10025fxxx， 由( )0fx得，4x 所以当4x

29、时，( )f x由最大值，也即( )V x有最大值 此时四棱锥SEFGH的表面积为 2 2 (5)1040 2 x xxx 解法二： 245 155420416 5 ( )255(204 )() 36653 xx V xxxxx 当且仅当4x 时，体积取最大值， 此时四棱锥SEFGH的表面积为 2 2 (5)1040 2 x xxx 21 （12 分）已知两定点(1,0)M，(4,0)N点P满足| 2|PNPM （1）求点P的轨迹C的方程； （2）若(0, 2)D，直线l与轨迹C交于A，B两点，DA，DB的斜率之和为 2，直线l是否 恒过定点，若过定点，求出该定点的坐标；若不过定点，请说明理由

30、 【解答】解： （1）设P的坐标为( , )x y， 由题意得， 2222 (4)2 (1)xyxy 第 16 页（共 17 页） 化简得： 22 4xy （2）当直线l的斜率不存在时， 设 0 (A x， 0) y， 0 (B x， 0) y 则有 00 00 22 2 yy xx ，得 0 2x ， 此时直线l与圆相切，不合题意 当直线l的斜率存在时， 设 1 (A x， 1) y， 2 (B x， 2) y， 直 线l的 方 程 为ykxm， 与 轨 迹C联 立 得 222 (1)240kxkmxm， 2 1212 22 24 , 11 kmm xxx x kk ， 所以 1212 12

31、12 22(2)()2 222 2 DADB yymxxkm kkkk xxx xm ， 所以22mk ， 所以直线l的方程为(2)2yk x， 所以直线l过定点(2,2) 22 （12 分）已知函数( )f xaxxlnx，()aR的最大值为 1 （1）求a的值； （2）证明： 22 ( )2 x f xex 【解答】解： （1）由题意0x ， 1 ( )1( )100 a fxalnxfxalnxxe ， 故当 1 (0,) a xe 时，( )0fx，当 1 ( a xe ，)时，( )0fx， 所以函数( )f x在 1 (0,) a xe 上单调递增，函数( )f x在 1 ( a

32、xe ，)上单调递减； 所以( )f x在 1a xe 处取到最大值，即 1 ()1 a f e ，所以1a ， （2）解法一：欲证 22 ( )2 x f xex ，即证明 22 2 x exxxlnx ， 令 22 ( )2 x h xexxxlnx ， 则 2 ( )24 x h xexlnx ， 2 1 ( )440 x h xe x ， 所以( )h x为增函数，又 h （1） 2 240e ， 1 2 1 ( )2140 4 heln ， 第 17 页（共 17 页） 所以存在 00 1 ( ,1),()0 4 xh x，所以 0 ( )()h xh x， 由 0 ()0h x得，

33、 00 2 00 222 xlnx exelnx ， 设( )2 x g xex，则( )210 x g xe ， 所以( )g x为增函数，所以 2 000 2, x xlnx ex ， 所以 2 000000 ()2( 2)0h xxxxxx， 即( ) 0h x ，即 22 ( )2 x f xex 解法二：欲证 22 ( )2 x f xex ，即证明 22 2 x exxxlnx ， 设 22 ( ) x g xex ， 2 ( )h xxxxlnx ， 则 2 ( )22 x g xex ， 因( )g x为增函数， g （1） 2 220e ， 1 2 11 ( )20 42 g

34、e ， 得( )g x在区间 1 ( ,1) 4 上存在唯一零点 0 x，此时 0 2 0 x ex ， ( )g x在 0 xx时，有最小值 2 000 ()g xxx， ( )2h xxlnx ， 因( )h x为减函数， h （1）2 0h （1）20 ， 11 ( )2 20 42 hln ， 得( )h x在区间 1 ( ,1) 4 上存在唯一零点 1 x， 此 时 11 2lnxx ， 所 以 1 2 1 x ex ， 即( )h x在 10 xx时 ， 有 最 大 值 22 0000000 ()( 2)h xxxxxxx 所以 00 ( )()()( )g xg xh xh x厖， 即 22 ( )2 x f xex