福建省2020年3月28日高三毕业班质量检测测试理科数学试题含答案.pdf

1、 M 理科数学试题 第 1 页（共 5 页） 学校: 准考证号: 姓名: （在此卷上答题无效）（在此卷上答题无效） 工作秘密启用前 2020 年福建省高三毕业班质量检查测试 理 科 数理 科 数 学学 本试卷共 5 页。满分 150 分。 注意事项：注意事项： 1. 答题前，考生务必在试题卷、答题卡规定的地方填写自己的准考证号、姓名。考生 要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、 姓名”与考生本人准考证号、 姓 名是否一致。 2. 回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。 如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在 答题卡上。写

2、在本试卷上无效。 3. 考试结束，考生必须将试题卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本大题共一、选择题：本大题共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，分。在每小题给出的四个选项中，只只 有一有一项是符合题目要求的。项是符合题目要求的。 1已知集合1Ax x， 420Bx xx，则AB R A21xx B14xx C21xx Dx x4 2等差数列 n a 的前 n 项和为 n S，若 4 4a ， 13 104S，则 10= a A10 B12 C16 D20 3设, x y满足约束条件 0, 20, 1 0, xy xy y 则2zxy的最大值

3、是 A0 B3 C4 D5 4 5 212xx的展开式中， 3 x的系数是 A200 B120 C80 D40 5某市为了解居民用水情况，通过抽样得到部分家庭月均用 水量的数据，制得频率分布直方图（如图） 若以频率代替 概率，从该市随机抽取 5 个家庭，则月均用水量在 812 吨的家庭个数X的数学期望是 A3.6 B3 C1.6 D1.5 6在ABC中，2DCBD，且E为AC的中点，则DE A 21 36 ABAC B 21 36 ABAC C 11 36 ABAC D 25 36 ABAC 7若双曲线上存在四点，使得以这四点为顶点的四边形是菱形，则该双曲线的离心率的取 值范围是 A 1,2

4、B 1, 3 C 2, D 3, M 理科数学试题 第 2 页（共 5 页） 8某学生到工厂实践，欲将一个底面半径为2，高为3的实心圆锥体工件切割成一个圆柱 体，并使圆柱体的一个底面落在圆锥体的底面内若不考虑损耗，则得到的圆柱体的最 大体积是 A16 9 B 8 9 C 16 27 D 8 27 9已知 f x是定义在R上的偶函数，其图象关于点1,0对称以下关于 f x的结论： f x是周期函数； f x满足 4f xfx； f x在0,2单调递减； cos 2 x f x 是满足条件的一个函数 其中正确结论的个数是 A4 B3 C2 D1 10设抛物线 2 6Eyx：的弦AB过焦点F，3AF

5、BF，过A，B分别作E的准线的垂 线，垂足分别是 A ， B ，则四边形AA B B 的面积等于 A4 3 B8 3 C16 3 D32 3 11上世纪末河南出土的以鹤的尺骨（翅骨）制成的“骨笛”（图 1） ，充分展示了我国古代 高超的音律艺术及先进的数学水平， 也印证了我国古代音律与历法的 密切联系. 图 2 为骨笛测量“春（秋）分”，“夏（冬）至”的示意图， 图 3 是某骨笛的部分测量数据（骨笛的弯曲忽略不计） ，夏至（或冬 至）日光（当日正午太阳光线）与春秋分日光（当日正午太阳光线） 的夹角等于黄赤交角 由历法理论知，黄赤交角近 1 万年持续减小，其正切值及对应的年代如下表： 黄赤交角

6、23 41 23 57 24 13 24 28 24 44 正切值 0.439 0.444 0.450 0.455 0.461 年代 公元元年 公元前 2000 年 公元前 4000 年 公元前 6000 年 公元前 8000 年 根据以上信息，通过计算黄赤交角，可估计该骨笛的大致年代是 A公元前 2000 年到公元元年 B公元前 4000 年到公元前 2000 年 C公元前 6000 年到公元前 4000 年 D早于公元前 6000 年 12在满足0 4 ii xy， ii yx ii xy的实数对 , ii x y （1,2,in ）中，使得 121 3 nn xxxx 成立的正整数 n

7、的最大值为 A5 B6 C7 D9 图 1 M 理科数学试题 第 3 页（共 5 页） 二、填空题：本题共二、填空题：本题共 4 小题小题，每小题，每小题 5 分，共分，共 20 分。分。 13 复数z的共轭复数z满足2i3+4iz， 则z= 14.如图，网格纸上小正方形的边长为 1，粗实线画出的是 某四棱锥的三视图，则该四棱锥的外接球的表面积等 于 15. 2020 年初， 我国突发新冠肺炎疫情 面对 “突发灾难” ， 举国上下一心，继解放军医疗队于除夕夜飞抵武汉，各 省医疗队也陆续增援，纷纷投身疫情防控与病人救治之 中为分担“逆行者”的后顾之忧，某大学学生志愿者团队开展“爱心辅学”活动，为

8、 抗疫前线工作者子女在线辅导功课现随机安排甲、乙、丙 3 名志愿者为某学生辅导数 学、物理、化学、生物 4 门学科，每名志愿者至少辅导 1 门学科，每门学科由 1 名志愿 者辅导，则数学学科恰好由甲辅导的概率为 16. 数列 n a满足 2 123 4921 n aaan an n记不超过 x 的最大整数为 x，如 0.90，0.91设 2 log nn ba，数列 n b的前n项和为 n S，若0 n S ，则n的 最小值为 三、解答题：共三、解答题：共 70 分分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第 1721 题为必考题为必考 题，每个试

9、题考生都必须作答。第题，每个试题考生都必须作答。第 22、23 为选考题，考生根据要求作答。为选考题，考生根据要求作答。 （一）必考题：共（一）必考题：共 60 分。分。 17 （12 分） 已知ABC的内角, ,A B C的对边分别为, ,a b c，且 222 2cabab. （1）若 3 sin 3 C ，求B； （2）若D为AC中点，且BDBC，求 a b 18(12 分) 如图 1， 在矩形ABCD中，2AB ，3BC ， 点E在线段BC上，2BEEC 把BAE 沿AE翻折至 1 B AE的位置， 1 B 平面AECD， 连结 1 B D， 点F在线段 1 DB上， 1 2DFFB，

10、 如图 2 （1）证明：CF平面 1 B AE； （2）当三棱锥 1 BADE的体积最大时，求二面角 1 BDEC的余弦值 图 1 图 2 M 理科数学试题 第 4 页（共 5 页） 19(12 分) 已知椭圆:E 22 22 10 xy ab ab 的焦距为2 3，直线 1: 4lx 与x轴的交点为G，过 点1,0M且不与x轴重合的直线 2 l交E于点,A B. 当 2 l垂直x轴时，ABG的面积为 3 3 2 （1）求E的方程； （2）若 1 ACl，垂足为C，直线BC交x轴于点D，证明：MDDG 20(12 分) 为贯彻落实党中央全面建设小康社会的战略部署， 某贫困地区的广大党员干部深入

11、农村 积极开展“精准扶贫”工作经过多年的精心帮扶，截至 2018 年底，按照农村家庭人均年 纯收入 8000 元的小康标准，该地区仅剩部分家庭尚未实现小康2019 年 7 月，为估计该地 能否在 2020 年全面实现小康， 统计了该地当时最贫困的一个家庭 2019 年 1 至 6 月的人均月 纯收入，作出散点图如下： 根据相关性分析， 发现其家庭人均月纯收入y与时间代码x之间具有较强的线性相关关 系（记 2019 年 1 月、2 月分别为1,2xx，依此类推） ，由此估计该家庭 2020 年 能实现小康生活 但 2020 年 1 月突如其来的新冠肺炎疫情影响了奔小康的进展， 该家庭 2020

12、年第一季度每月的人均月纯收入均只有 2019 年 12 月的预估值的 2 3 （1）求该家庭 2020 年 3 月份的人均月纯收入； （2）如果以该家庭 3 月份人均月纯收入为基数，以后每月的增长率为a，为使该家庭 2020 年能实现小康生活，a至少应为多少?（结果保留两位小数） 参考数据： 6 1 9310 ii i x y ，68610x y， 2 454 120 462.81 ， 10 1.154.05 参考公式：线性回归方程 ybxa中， 1 2 1 n ii i n i i xxyy b xx ， a ybx； 12233 11CCC10,0.15 n nnn aaaana M 理科

13、数学试题 第 5 页（共 5 页） 21(12 分) 已知函数 ln x f xax a （1）求 f x的极值； （2）若 2 e ln1e0 xx xmxx+m，求正实数m的取值范围 （二）选考题：共（二）选考题：共 10 分分。请考生在第请考生在第 22、23 两题中任选一题作答两题中任选一题作答。如果多做，则按所做如果多做，则按所做 的的第一题计分第一题计分。 22选修44：坐标系与参数方程（10 分） 在直角坐标系xOy中， 曲线 1 C的参数方程为 cos , sin x y 为参数 以原点O为极点， x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线 2 C的极坐标方程为 2 2 12 3s

14、in （1）求 1 C的普通方程和 2 C的直角坐标方程； （2）若直线l与 1 C相切于第二象限的点P，与 2 C交于,A B两点，且 7 | | 3 PAPB， 求直线l的倾斜角 23选修45：不等式选讲（10 分） 已知函数 2f xxaxb，a，bR （1）若1a ，1b ，求不等式 5f x 的解集； （2）若0ab ，且 f x的最小值为2，求 21 ab 的最小值 理科数学参考答案及评分细则 第 1 页（共 15 页） 2020 年福建省高三毕业班质量检查测试 理科数学参考答案及评分细则理科数学参考答案及评分细则 评分说明： 1本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本

15、解答不同，可根据 试题的主要考查内容比照评分标准制定相应的评分细则 2对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该 题的内容和难度， 可视影响的程度决定后继部分的给分， 但不得超过该部分正确解答应 给分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分 3解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数 4只给整数分数选择题和填空题不给中间分 一、选择题：本大题考查基础知识和基本运算每小题一、选择题：本大题考查基础知识和基本运算每小题 5 分，满分分，满分 60 分分 1C 2B 3D 4B 5B 6A 7C 8A 9B 10C 11D 12A 二、填空题：本

16、大题考查基础知识和基本运算每小题二、填空题：本大题考查基础知识和基本运算每小题 5 分，满分分，满分 20 分分 132i 149 15 1 3 168 三、解答题：本大题共三、解答题：本大题共 6 小题，共小题，共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17本小题主要考查正弦定理、余弦定理等解三角形基础知识，考查运算求解能力，考查函 数与方程思想，考查逻辑推理、数学运算等核心素养，体现基础性、综合性满分 12 分 解法一： （1）由余弦定理得， 222 2coscabacB， . 2 分 又 222 2cabab，所以2cos2acBab，即

17、coscBb， 由正弦定理得，sincossinCBB， . 4 分 显然cos0B ，所以tansinBC， 5 分 因为 3 sin 3 C ，所以 3 tan 3 B ， 又因为0B ，所以 6 B . 6 分 （2）在ABD和BCD中，BDa，由余弦定理可得 2 22 222 + +2 cos 2 2 2 b ac BDADAB ADB bBD AD a ， . 7 分 2 22 222 + +2 cos 2 2 2 b aa BDCDBC CDB bBD CD a ， 8 分 因为coscos0ADBCDB，所以 2 22 2 b ca， 9 分 又因为 222 2cabab，所以

18、22 440aabb，即 2 4410 aa bb ， 10 分 解得 12 2 a b ，因为0,0ab，所以 12 2 a b . 12 分 理科数学参考答案及评分细则 第 2 页（共 15 页） 解法二： （1）由已知，根据正弦定理得 222 sinsinsin2sinsinCABAB， . 2 分 所以 2 22 sincoscossinsinsin2sinsinABABABAB， 3 分 得 222222 sincoscossin2sincossincossinsin2sinsinABABAABBABAB， 故 22222 sincoscos1 sin2sincossincossin

19、2sinsinABABAABBAAB， 于是 22222 sincossinsinsin2sincossincos2sinsinABABAAABBAB， 2222 sincossin1sin2sincossincos2sinsinABABAABBAB， 22 sincossincossincossinsinABAABBAB， 4 分 因为sincos0AB ，所以 sinsin sincoscossin sincos AB ABAB AB ， 所以sintanCB， 5 分 因为 3 sin 3 C ，所以 3 tan 3 B ，又因为0,B，所以 6 B 6 分 （2）因为D是AC中点，所以

20、 1 2 BDBABC， 所以 2221 2 4 BDBABCBA BC， . 7 分 因为BDBCa，所以 222 42cosacaacB， 8 分 又因为 222 cos 2 acb B ac ，所以 222222 4acaacb， 所以 222 22acb， 9 分 又因为 222 2cabab，所以 2222 222abaabb， 所以 22 44abab，即 2 4410 aa bb ， . 10 分 解得 12 2 a b ，因为0,0ab，所以 12 2 a b . 12 分 解法三： （1）同解法一 . 6 分 （2）在ABC中，由正弦定理知： sinsinsincoscoss

21、incos cossin sinsinsinsin BCaABCBCB CC bBBBB ， . 7 分 又由（1）知sintanCB，所以 cos costancos1 sin aB CBC bB ， 即cos1 a C b ， 8 分 又BDBC，所以 2 aBCBD bACDC ， 又因为BDCC ，2DBCCBDCC ， 理科数学参考答案及评分细则 第 3 页（共 15 页） 在BCD中， sinsin1 sin2sinCcos2cos BDCC DCDBCCC ，所以 1 4cos a bC ， 即cos 4 b C a ， 9 分 所以 2 4410 aa bb ， 10 分 解得

22、 12 2 a b ，因为0,0ab，所以 12 2 a b . 12 分 解法四： （1）同解法一 6 分 （2）延长BD至E，使得DEBD，连接,CE AE，如图所示. 因为D为AC中点，所以四边形ABCE是平行四边形， 所以BCEABC ，.7 分 在BCE中，CEABc,222BEBDBCa， 由余弦定理得： 2 22 22 23 cos 22 acaca BCE acac ，即 22 3 cos 2 ca ABC ac ， . 8 分 在ABC中， 222 cos 2 cab ABC ac ， 所以 22222 3cabac，即 222 22cab， . 9 分 又因为 222 2c

23、abab， 所以 2222 2 22abbaab， 得 22 440aabb，即 2 4410 aa bb ， . 10 分 解得 12 2 a b ，因为0,0ab，所以 12 2 a b . 12 分 解法五： （1）同解法一 . 6 分 （2）因为BDBC，所以BDCC，2DBCCBDCC ， 在BCD中，由正弦定理知： sin sin CDCBD BCBDC ，即 sin2 2cos 2sin Cb C aC ， 7 分 所以 222 2 22 abc b aab ，. 8 分 化简得 222 22abc， 9 分 又因为 222 2cabab，所以 2222 222abaabb， 所

24、以 22 44abab，即 22 440aabb，即 2 4410 aa bb ， 10 分 解得 12 2 a b ，因为0a ，0b ，所以 12 2 a b . 12 分 理科数学参考答案及评分细则 第 4 页（共 15 页） 18本小题考查直线与平面平行、平面与平面平行的判定与性质，直线与平面垂直的判定与 性质，三棱锥的体积与二面角等基础知识；考查空间想象能力，推理论证能力，运算求 解能力；考查化归与转化思想，函数与方程思想；考查直观想象、逻辑推理、数学运算 等核心素养，体现基础性、综合性.满分 12 分 解法一： （1）依题意得，在矩形ABCD中，2AB ，3BC ，2BEEC， 所

25、以3,1ADEC 在线段 1 B A上取一点M，满足 1 2AMMB， 又因为 1 2DFFB，所以 11 B MB F MAFD ， 故FMAD， 1 分 又因为ECAD，所以ECFM， . 2 分 因为 1 1 3 FMAD，所以ECFM， 3 分 所以四边形FMEC为平行四边形，所以CFEM， 4 分 又因为CF 平面 1 B AE，EM 平面 1 B AE， 所以CF平面 1 B AE. 5 分 （2）设 1 B到平面AECD的距离为h， 1 1 3 BAEDAED VSh ，又3 AED S ， 所以 1 BAED Vh ，故要使三棱锥 1 BAED的体积取到最大值，须且仅需取到最大

26、值 取AE的中点O，连结 1 BO，依题意得 1 BOAE，则 1 2hBO ， 因为平面 1 B AE平面AECDAE， 1 BOAE， 1 BO 平面 1 B AE， 故当平面 1 B AE 平面AECD时， 1 BO 平面AECD， 1 hBO 即当且仅当平面 1 B AE 平面AECD时， 1 BAED V 取得最大值，此时2h . 6 分 如图，以D为坐标原点，DA，DC的方向分别为 x 轴，y 轴的正方向建立空间直角坐 标系D xyz ，得 0,0,0D ， 1,2,0E ， 1 2,1, 2B， 1 2,1,2DB ， 1,2,0DE ， 7 分 设 , ,x y zn 是平面

27、1 B ED的一个法向量， 则 1 0, 0, DB DE n n 8 分 得 220, 20, xyz xy 令1y ，解得 3 2,1, 2 n， 9 分 又因为平面CDE的一个法向量为0,0,1m， . 10 分 所以 3 3 19 2 cos 199 41 2 m n m n mn ， . 11 分 因为 1 BDEC为钝角，所以其余弦值等于 3 19 19 . . 12 分 h 理科数学参考答案及评分细则 第 5 页（共 15 页） 解法二： （1）依题意，在线段AD上取一点Q，使得 2 3 DQDA， 因为 1 2DFFB，所以 1 DQDF DADB ，所以 1 FQB A，.1

28、 分 因为FQ 平面 1 B AE， 1 B A平面 1 B AE， 所以FQ平面 1 B AE， . 2 分 在矩形ABCD中，ADBC，2BEEC，所以 11 33 ECBCADAQ， 又AQEC，所以四边形QAEC为平行四边形，故QCAE， 又因为CQ 平面 1 B AE，AE 平面 1 B AE，所以CQ平面 1 B AE， 3 分 又因为CQFQQ，所以平面QCF平面 1 B AE， . 4 分 又因为CF 平面QCF，所以CF平面 1 B AE. 5 分 （2）设 1 B到平面AECD的距离为h， 1 1 3 BAEDAED VSh ，又3 AED S ， 所以 1 BAED Vh

29、 ，故要使三棱锥 1 BAED的体积取到最大值，须且仅需取到最大值 取AE的中点O，连结 1 BO，依题意得 1 BOAE，则 1 2hBO ， 因为平面 1 B AE平面AECDAE， 1 BOAE， 1 BO 平面 1 B AE， 故当平面 1 B AE 平面AECD时， 1 BO 平面AECD， 1 hBO 即当且仅当平面 1 B AE 平面AECD时， 1 BAED V 取得最大值，此时2h . 6 分 如图，以O为坐标原点，EC，CD的方向分别为 x 轴，y 轴的正方向建立空间直角坐标 系Oxyz，得 1 0,0,2B，2,1,0D，1, 1,0E， 所以 1 1,1, 2EB ，

30、1,2,0ED ，7 分 设 , ,x y zn 是平面 1 B ED的一个法向量， 则 1 0, 0, EB ED n n 8 分 得 20, 20, xyz xy 令1y ，解得 3 2, 1, 2 n， . 9 分 又因为平面CDE的一个法向量为0,0,1m， . 10 分 所以 3 3 19 2 cos 199 41 2 m n m n mn ， . 11 分 因为 1 BDEC为钝角，所以其余弦值等于 3 19 19 . . 12 分 h 理科数学参考答案及评分细则 第 6 页（共 15 页） 解法三： （1） 延长,AE DC相交于点N，在矩形ABCD中，2BEEC，所以 2 3

31、DC DN ， .2 分 又因为 1 2DFFB，所以 1 DCDF DNDB ，所以 1 CFB N，.4 分 又因为CF 平面 1 B AE， 1 B N 平面 1 B AE， 所以CF平面 1 B AE5分 （2）设 1 B到平面AECD的距离为h， 1 1 3 BAEDAED VSh ， 又3 AED S ，所以 1 BAED Vh ，故要使三棱锥 1 BAED的体积取到最大值，须且仅需 取到最大值 取AE的中点O，连结 1 BO，依题意得 1 BOAE，则 1 2hBO ， 因为平面 1 B AE平面AECDAE， 1 BOAE， 1 BO 平面 1 B AE， 故当平面 1 B A

32、E 平面AECD时， 1 BO 平面AECD， 1 hBO 即当且仅当平面 1 B AE 平面AECD时， 1 BAED V 取得最大值，此时2h 6 分 过O作OHDE，垂足为H，连接 1 B H， 因为 1 BO 平面AECD，所以 1 BODE， 7 分 又因为OHDE， 1 BOOHO，所以DE 平面 1 BOH， 8 分 所以 1 B HDE，所以 1 B HO为二面角 1 ADEB的平面角， 即 1 B HO为二面角 1 BDEC的平面角的补角. 9 分 设A到直线DE的距离d， 11 3 22 AED SDE dAD DC ， 又因为 22 215DE ，得 6 5 d ，所以

33、3 25 d OH ， 10 分 在 1 BOH中， 1 2BO ， 3 5 OH ，且 1 90BOH， 所以 222 11 19 5 B HBOOH，所以 1 1 3 19 cos 19 OH B HO B H ， . 11 分 二面角 1 BDEC的余弦值等于 3 19 19 12 分 19本小题主要考查椭圆的定义、标准方程及简单几何性质，直线与椭圆的位置关系等基础 知识；考查运算求解能力，推理论证能力；考查数形结合思想，函数与方程思想等；考 查直观想象，逻辑推理，数学运算等核心素养；体现基础性，综合性与创新性满分 12 分 解法一： （1）因为椭圆E的焦距为2 3，所以 3c ， .

34、1 分 所以 22 3ab， . 2 分 h 理科数学参考答案及评分细则 第 7 页（共 15 页） 当 2 l垂直x轴时，3MG ，因为ABG的面积为 3 3 2 ，即 13 3 22 ABMG， 所以3AB ，不妨设 3 1, 2 A ， . 3 分 代入椭圆E的方程得 22 13 1 4ab ， 联立 解得 2 4a ， 2 1b ，所以椭圆E的方程 2 2 1 4 x y. 5 分 （2）设 11 ,A x y ， 22 ,B x y ，则 1 4,Cy. 因为直线 2 l不与x轴重合，故可设 2 l方程为1xmy， . 6 分 联立 2 2 1, 1, 4 xmy x y 整理得 2

35、2 4230mymy， 所以 2 =1630m， 12 2 2 4 m yy m ， 12 2 3 4 y y m ， . 7 分 所以直线:BC 12 1 2 4 4 yy yyx x ， 8 分 令 0y ，则 12 12 4 4 yx x yy ，所以D的横坐标 12 12 4 4 D yx x yy ， 9 分 所以 12121212 121212 432333553 4 2222 D yxy myy myyy x yyyyyy 1212 12 23 2 my yyy yy 22 12 66 44 0 2 mm mm yy ，所以 5 2 D x ， 11 分 因为MG中点的横坐标为

36、5 2 ，所以D为线段MG的中点， 所以MD DG . 12 分 解法二： （1）因为椭圆E的焦距为2 3，所以2 2 3c ，所以 3c ， . 1 分 所以 22 3ab， . 2 分 即 22 3ab，所以椭圆E的方程为 22 22 1 3 xy bb ， 当 2 l垂直x轴时，点A的横坐标为 1，将1x 代入椭圆方程得 22 2 2 2 3 bb y b ， 所以 2 2 22 2 3 b b ABy b ， 3 分 又因为 3MG ，所以 2 2 132 2 3 ABG b b SABMG b ， 理科数学参考答案及评分细则 第 8 页（共 15 页） 因为 2 2 3 3323 3

37、 , 22 3 ABG b b S b 所以，解得 2 1b 或 2 9 4 b （舍去） ， 所以椭圆E的方程为 2 2 1 4 x y. 5 分 （2）设 11 ,A x y ， 22 ,B x y ，则 1 4,Cy. 因为直线 2 l不与x轴重合，故可设 2 l方程为1xmy， . 6 分 联立 2 2 1, 1, 4 xmy x y 整理得 22 4230mymy， 所以 2 =1630m， 12 2 2 4 m yy m ， 12 2 3 4 y y m ，. 7 分 要证MD DG ，只要证D 5 0 2 ， . 8 分 只须证 22 (,)B xy， 1 (4,)Cy与点 5

38、0 2 ，三点共线，只须证 12 2 35 22 yy x ， . 9 分 又 22 1xmy，只须证 212 35 1 22 yymy ， 只须证 1212 3 2 yymy y， . 10 分 因为 12 2 2 4 m yy m ， 12 2 3 4 y y m ，所以 1212 3 2 yymy y成立， . 11 分 所以MD DG . 12 分 解法三： （1）同解法一 . 5 分 （2）设 11 ,A x y ， 22 ,B x y ，则 1 4,Cy. 因为直线 2 l不与x轴重合，故可设 2 l方程为1xmy， . 6 分 联立 2 2 1, 1, 4 xmy x y 整理得

39、 22 4230mymy， 所以 2 =1630m， 12 2 2 4 m yy m ， 12 2 3 4 y y m ，. 7 分 所以 1212 3 2 my yyy， 又因为直线:BC 12 1 2 4 4 yy yyx x ， 8 分 令 0y ，则 12 12 4 4 yx x yy ，所以D的横坐标 12 12 4 4 D yx x yy ， . 9 分 又因为 22 1xmy， 理科数学参考答案及评分细则 第 9 页（共 15 页） 所以 1212 1212 1212 121212 3 4 344 2 D yyyy y myyymy yyy x yyyyyy 12 12 55 5

40、 22 2 yy yy ， . 11 分 因为MG中点的横坐标为 5 2 ，所以D为线段MG的中点， 所以MD DG . 12 分 20本小题主要考查回归直线、数列和二项展开式等基础知识，考查数据处理能力、运算 求解能力、应用意识，考查统计与概率思想、分类与整合思想，考查数学抽象、数学建 模、数据分析、数学运算等核心素养，体现基础性、综合性与应用性满分 12 分 解： （1）依题意得： 123456 3.5 6 x ， 1 分 故 68610 410 66 3.5 x y y x ，. 2 分 所以 66 11 693108610700 iiii ii xxyyx yxy ，3 分 6 2 1

41、 25911925 17.5 444444 i i xx ，所以 6 1 6 2 1 700 40 17.5 ii i i i xxyy b xx ， . 4 分 41040 3.5270aybx， 所以y关于x的线性回归方程为 40270yx 5 分 令12x 时，得 2019 年 12 月该家庭人均月纯收入预估值为40 12270750元， 所以，2020 年第一季度每月的人均月纯收入均为 2 750500 3 元， 所以，2020 年 3 月份该家庭的人均月纯收入为500元 6 分 （2）因为每月的增长率为，设从 3 月开始到 12 月的纯收入之和为，则 29 10 500500150015001Saaa 10 50011a a ， . 8 分 依题意，令 10 50011 80005005007000 a a （*） ， . 9 分 a 10 S 理科数学参考答案及评分细则 第 10 页（共 15 页） 当0.15a时， 10 10 5001.151 30500 =700