2020年闽粤赣三省十二校高考数学模拟试卷（理科）（2月份）.docx

1、 第 1 页（共 21 页） 2020 年闽粤赣三省十二校高考数学模拟试卷（理科） （年闽粤赣三省十二校高考数学模拟试卷（理科） （2 月份）月份） 一、选择题（本大题共一、选择题（本大题共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只分在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的）有一项是符合题目要求的） 1 （5 分）已知集合 2 |20AxR xx， 1B ，0，1，则(AB ) A 1，0，1 B 1，0 C0，1 D0 2 （5 分）已知(3)4 (i zi i为虚数单位） ，则复数z在复平面上所对应的点在( ) A第一象限 B第二象

2、限 C第三象限 D第四象限 3 （5 分）已知 4 log 0.4m ， 0.4 4n ， 0.5 0.4p ，则( ) Amnp Bmpn Cpnm Dnpm 4 （5 分）如图，AOB为等腰直角三角形，1OA ，OC为斜边AB的高，P为线段OC的 中点，则(AP OP ) A1 B 1 8 C 1 4 D 1 2 5 （5 分）某调查机构对全国互联网行业进行调查统计，得到整个互联网行业从业者年龄分 布饼状图、90 后从事互联网行业岗位分布条形图，则下列结论中不一定正确的是( ) 注：90 后指 1990 年及以后出生，80 后指19801989年之间出生，80 前指 1979 年及以前出

3、生 A互联网行业从业人员中 90 后占一半以上 B互联网行业中从事技术岗位的人数超过总人数的20% 第 2 页（共 21 页） C互联网行业中从事运营岗位的人数 90 后比 80 前多 D互联网行业中从事技术岗位的人数 90 后比 80 后多 6 （5 分）已知A，B，C是双曲线 22 22 1(0,0) xy ab ab 上的三个点，AB经过原点O， AC经过右焦点F，若BFAC且2| |AFCF，则该双曲线的离心率是( ) A 5 3 B 17 3 C 17 2 D 9 4 7 （5 分）函数 2 2 ( )log |f xxx，则不等式(1)f xf（3）0的解集为( ) A(，1)(4

4、，) B(，4)(1，) C( 4，1)( 1，2) D( 1，1)(1，4) 8 （5 分）已知函数( )2sin()(0,|) 2 f xx 的两条相邻对称轴间的距离为 2 ，把 ( )f x的图象向右平移 6 个单位得到函数( )g x的图象，且( )g x为偶函数，则( )f x的单调 递增区间为( ) A 4 2,2, 33 kkkz B 4 , 33 kkkz C2,2, 63 kkkz D, 63 kkkz 9 （5 分）已知直三棱柱 111 ABCABC，的各顶点都在球O的球面上，且2ABAC， 2 3BC ，若球O的体积为160 5 3 ，则这个直三棱柱的体积等于( ) A4

5、 2 B8 3 C8 D4 5 10 （5 分）在ABC中，内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，S为ABC的面积， 22 2 sin() S AC bc ，且A， 、B、C成等差数列，则C的大小为( ) A 3 B 2 3 C 6 D 5 6 11 （5 分）已知函数 2 ,0 ( ) ,0 x x x f x ex ，( )( x g xe e是自然对数的底数） ，若关于x的方程 第 3 页（共 21 页） ( ( )0g f xm恰有两个不等实根 1 x、 2 x，且 12 xx，则 21 xx的最小值为( ) A 1 (12) 2 ln B 1 2 2 ln C12ln D 1 (1

6、2) 2 ln 12 （5 分） 设M，N是抛物线 2 yx上的两个不同的点，O是坐标原点，若直线OM与ON 的斜率之积为 1 2 ，则( ) A|4 2OMON BMN为直径的圆的面积大于4 C直线MN过抛物线 2 yx的焦点 DO到直线MN的距离不大于 2 二、填空题：本大题共二、填空题：本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分，请把正确的答案填在横线上分，请把正确的答案填在横线上 13 （5 分） 已知 2 ，1， 1 1 , 2 2 ，1，2，3，若幂函数( )f xx为奇函数，且在(0,) 上递减，则 14 （5 分）函数( )cos x f xex的图象在

7、点(0，(0)f处的切线的倾斜角为 15 （5 分）有 4 名高三学生准备高考后到上海市、江苏省、浙江省、安徽省 4 个地方旅游， 假设每名同学均从这 4 个地方中任意选取一个去旅游，则恰有一个地方未被选中的概率为 16 （5 分）如图，三棱锥ABCD中，10ACADBCBD，8AB ，12CD ，点P 在侧面ACD上，且到直线AB的距离为21，则PB的最大值是 三、解答题：本大题共三、解答题：本大题共 5 小题，共小题，共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，解分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，解 答应写在答题卡上的指定区域内答应写在答题卡上的指定区域内 17 （12 分

8、）已知公差不为 0 的等差数列 n a满足 3 9a ， 2 a是 1 a， 7 a的等比中项 （1）求 n a的通项公式； 第 4 页（共 21 页） （2）设数列 n b满足 1 (7) n n b n a ，求 n b的前n项和 n S 18（12 分） 如图， 在四棱锥PABCD中， 底面ABCD是正方形，1PAAB，2PBPD （1）证明：BD 平面PAC； （2）若E是PC的中点，F是棱PD上一点，且/ /BE平面ACF，求二面角FACD的 余弦值 19 （12 分）已知椭圆 22 22 :1(0) 5 xy Cb bb 的一个焦点坐标为(2,0) （）求椭圆C的方程； （）已知点

9、(3,0)E，过点(1,0)的直线l（与x轴不重合）与椭圆C交于M，N两点，直 线ME与直线5x 相交于点F，试证明：直线FN与x轴平行 20 （12 分）一年之计在于春，一日之计在于晨，春天是播种的季节，是希望的开端某种 植户对一块地的(*)n nN个坑进行播种， 每个坑播 3 粒种子， 每粒种子发芽的概率均为 1 2 ， 且每粒种子是否发芽相互独立，对每一个坑而言，如果至少有两粒种子发芽，则不需要进行 补播种，否则要补播种 （1）当n取何值时，有 3 个坑要补播种的概率最大？最大概率为多少？ （2）当4n 时，用X表示要补播种的坑的个数，求X的分布列与数学期望 21 （12 分）已知函数

10、1 ( )sin1 22 m f xxxlnx，( )fx是( )f x的导函数 （1）证明：当2m 时，( )fx在(0,)上有唯一零点； （2）若存在 1 x， 2 (0,)x ，且 12 xx时， 12 ()()f xf x，证明： 2 12 x xm 请考生在请考生在 22、23 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分作答时请写清题题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分作答时请写清题 号号选修选修 4-4：坐标系与参数方程：坐标系与参数方程 22 （10 分）在极坐标系中，曲线C的极坐标方程为6cos以极点为原点，极轴为x轴 的正半轴建立平面直角坐标系，直线l的参数

11、方程为 2cos ( 1sin xt t yt 为参数） 第 5 页（共 21 页） （1）若 2 ，求曲线C的直角坐标方程以及直线l的极坐标方程； （2）设点(2, 1)P，曲线C与直线l交于A、B两点，求 22 |PAPB的最小值 选修选修 4-5：不等式选讲：不等式选讲 23已知函数 1 ( )| 3 f xxa，()aR （1）当2a 时，解不等式 1 |( ) 1 3 xf x； （2）设不等式 1 |( ) 3 xf xx的解集为M，若 1 3， 1 2 M，求实数a的取值范围 第 6 页（共 21 页） 2020 年闽粤赣三省十二校高考数学模拟试卷（理科） （年闽粤赣三省十二校高

12、考数学模拟试卷（理科） （2 月份）月份） 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题（本大题共一、选择题（本大题共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只分在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的）有一项是符合题目要求的） 1 （5 分）已知集合 2 |20AxR xx， 1B ，0，1，则(AB ) A 1，0，1 B 1，0 C0，1 D0 【解答】解： 2 |20 | 12AxR xxxx ， 1B ，0，1， 则0AB ，1， 故选：C 2 （5 分）已知(3)4 (i zi i为虚数单位） ，则复数z在复平面上所对应

13、的点在( ) A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 【解答】解：由题意可得， 44 (3)46 31055 iii Zi i ， 对应的点 4 6 (, ) 5 5 在第二象限 故选：B 3 （5 分）已知 4 log 0.4m ， 0.4 4n ， 0.5 0.4p ，则( ) Amnp Bmpn Cpnm Dnpm 【解答】解：因为 0.40.5 4 log 0.40,41,00.41mnp，所以mpn 故选：B 4 （5 分）如图，AOB为等腰直角三角形，1OA ，OC为斜边AB的高，P为线段OC的 中点，则(AP OP ) A1 B 1 8 C 1 4 D 1 2 第 7 页

14、（共 21 页） 【解答】解：由题意可得2AB ， 2 2 OC ， 2 4 OP ，45AOP， 则()AP OPOPOA OP 2 2 222 ()1 442 OPOA OP 1 8 故选：B 5 （5 分）某调查机构对全国互联网行业进行调查统计，得到整个互联网行业从业者年龄分 布饼状图、90 后从事互联网行业岗位分布条形图，则下列结论中不一定正确的是( ) 注：90 后指 1990 年及以后出生，80 后指19801989年之间出生，80 前指 1979 年及以前出 生 A互联网行业从业人员中 90 后占一半以上 B互联网行业中从事技术岗位的人数超过总人数的20% C互联网行业中从事运营

15、岗位的人数 90 后比 80 前多 D互联网行业中从事技术岗位的人数 90 后比 80 后多 【解答】解：在A中，由整个互联网行业从业者年龄分布饼状图得到互联网行业从业人员 中 90 后占56%，故A 正确； 在B中，由整个互联网行业从业者年龄分布饼状图、90 后从事互联网行业岗位分布条形图 得到： 56%39.6%22.176%20%， 互联网行业中从事技术岗位的人数超过总人数的20%，故B正确； 在C中，由整个互联网行业从业者年龄分布饼状图、90 后从事互联网行业岗位分布条形图 得到： 137%56%9.52% 互联网行业中从事运营岗位的人数 90 后比 80 前多，故C正确； 第 8 页

16、（共 21 页） 在D中，由整个互联网行业从业者年龄分布饼状图、90 后从事互联网行业岗位分布条形图 得到： 互联网行业中从事技术岗位的人数 90 后不一定比 80 后多，故D错误 故选：D 6 （5 分）已知A，B，C是双曲线 22 22 1(0,0) xy ab ab 上的三个点，AB经过原点O， AC经过右焦点F，若BFAC且2| |AFCF，则该双曲线的离心率是( ) A 5 3 B 17 3 C 17 2 D 9 4 【解答】解：设双曲线的另一个焦点为E，由题意可得在直角三角形ABF中， OF为斜边AB上的中线，即有| 2| 2| 2ABOAOFc，令| |BFAEm，|AFn， |

17、 2CFn， 由双曲线的定义有，| | 2CECFAEAFa，22CEna 在直角三角形EAC中， 222 (3 )(22 )mnna， 代入2amn，化简可得4mn， 又2mna得 2 3 na， 8 3 ma， 在直角三角形EAF中， 222 (2 )mnc， 即为 222 464 4 99 aac，可得 17 3 c e a 故选：B 第 9 页（共 21 页） 7 （5 分）函数 2 2 ( )log |f xxx，则不等式(1)f xf（3）0的解集为( ) A(，1)(4，) B(，4)(1，) C( 4，1)( 1，2) D( 1，1)(1，4) 【解答】解：不等式(1)f xf

18、（3）0等价为(1)f xf（3） ， 2 2 ( )log |f xxx， 22 22 ()()log |log |( )fxxxxxf x ， 则函数( )f x是偶函数， 且当0x 时， 2 2 ( )logf xxx为增函数， 则不等式(1)f xf（3）等价为(|1|)fxf（3） ， |1| 3x且10x ， 即313x 且1x ， 则42x 且1x ， 不等式的解集为( 4，1)( 1，2)， 故选：C 8 （5 分）已知函数( )2sin()(0,|) 2 f xx 的两条相邻对称轴间的距离为 2 ，把 ( )f x的图象向右平移 6 个单位得到函数( )g x的图象，且( )

19、g x为偶函数，则( )f x的单调 递增区间为( ) A 4 2,2, 33 kkkz B 4 , 33 kkkz C2,2, 63 kkkz D, 63 kkkz 【解答】解：函数( )f x的两条相邻对称轴间的距离为 2 ， 22 T ，即周期 2 T ，则2， 此时( )2sin(2)f xx， 把( )f x的图象向右平移 6 个单位得到函数( )g x的图象， 则( )2sin2()2sin(2) 63 g xxx ， ( )g x为偶函数， 第 10 页（共 21 页） 32 k ， 则 5 6 k ，kZ， | 2 ， 当1k 时， 5 66 ， 则( )2sin(2) 6 f

20、 xx ， 由222 262 kxk 剟，kZ， 得 2 222 33 kxk 剟， 即 63 kx k 剟，kZ， 即函数的单调递增区间为 6 k ， 3 k ，kZ， 故选：D 9 （5 分）已知直三棱柱 111 ABCABC，的各顶点都在球O的球面上，且2ABAC， 2 3BC ，若球O的体积为160 5 3 ，则这个直三棱柱的体积等于( ) A4 2 B8 3 C8 D4 5 【解答】 解： 设球O的半径为R， 球O的体积为160 5 3 ， 3 4160 5 33 R ， 解得2 5R 2ABAC，2 3BC ， 260120BAC 2 1 2sin1203 2 ABC S ABC外

21、接圆的半径 2 3 24 sin120 r ，可得2r 设球心到底面的距离为h，则 22 4hRr 这个直三棱柱的体积238 3h 故选：B 10 （5 分）在ABC中，内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，S为ABC的面积， 22 2 sin() S AC bc ，且A， 、B、C成等差数列，则C的大小为( ) A 3 B 2 3 C 6 D 5 6 第 11 页（共 21 页） 【解答】解：根据题意，在ABC中，ACB，则sin()sinACB， 又由 22 2 sin() S AC bc ，则有 22 1 2sin 2 sin acB B bc ，变形可得： 22 acbc， 若A、B

22、、C成等差数列， 则 3 B ， 则 222 1 c o s 22 acb B ac ， 变形可得 222 acbac， ， 联立可得： 2 2aac，即2ac， 又由 22 acbc，则 222 3baccc，即3bc， 则 222222 433 cos 22223 abcccc C abcc ，故 6 C ； 故选：C 11 （5 分）已知函数 2 ,0 ( ) ,0 x x x f x ex ，( )( x g xe e是自然对数的底数） ，若关于x的方程 ( ( )0g f xm恰有两个不等实根 1 x、 2 x，且 12 xx，则 21 xx的最小值为( ) A 1 (12) 2 l

23、n B 1 2 2 ln C12ln D 1 (12) 2 ln 【解答】解： 2 ,0 ( ) ,0 x x x f x ex ，( )0f x恒成立； ( ) ( ) f x g f xem，( )f xlnm； 作函数( )f x，ylnm的图象如下， 结合图象可知，存在实数(01)mm，使 1 2 2 x xem 故 12 1 2 xxmlnm，令 1 ( ) 2 g mmlnm，则 1 ( )1 2 g m m ， 故( )g m在(0， 1 2 递减，在 1 ( 2 ，1)递增， 111 ( )( )2 222 g mgln， 故选：D 第 12 页（共 21 页） 12 （5 分

24、） 设M，N是抛物线 2 yx上的两个不同的点，O是坐标原点，若直线OM与ON 的斜率之积为 1 2 ，则( ) A|4 2OMON BMN为直径的圆的面积大于4 C直线MN过抛物线 2 yx的焦点 DO到直线MN的距离不大于 2 【解答】解：当直线MN的斜率不存在时，设 2 0 (M y， 0) y， 2 0 (N y， 0) y， 由斜率之积为 1 2 ，可得 2 0 11 2y ，即 2 0 2y， MN的直线方程为2x ； 当直线的斜率存在时，设直线方程为ykxm， 联立 2 ykxm yx ，可得 2 0kyym 设 1 (M x， 1) y， 2 (N x， 2) y， 则 12

25、m y y k ， 2 12 2 m x x k ， 12 12 1 2 OMON y yk kk x xm ，即2mk 直线方程为2(2)ykxkk x 则直线MN过定点(2,0) 则O到直线MN的距离不大于 2 故选：D 第 13 页（共 21 页） 二、填空题：本大题共二、填空题：本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分，请把正确的答案填在横线上分，请把正确的答案填在横线上 13 （5 分） 已知 2 ，1， 1 1 , 2 2 ，1，2，3，若幂函数( )f xx为奇函数，且在(0,) 上递减，则 1 【解答】解： 2 ，1， 1 1 , 2 2 ，1，2，3

26、， 幂函数( )f xx为奇函数，且在(0,)上递减， a是奇数，且0a ， 1a 故答案为：1 14 （5 分）函数( )cos x f xex的图象在点(0，(0)f处的切线的倾斜角为 4 【解答】解：( )cossin xx fxexex， 0 (0)(cos0sin0)1fe 函数图象在点(0，(0)f处的切线的斜率为tan1 函数图象在点(0，(0)f处的切线的倾斜角为 4 故答案为： 4 15 （5 分）有 4 名高三学生准备高考后到上海市、江苏省、浙江省、安徽省 4 个地方旅游， 假设每名同学均从这 4 个地方中任意选取一个去旅游，则恰有一个地方未被选中的概率为 9 16 【解答

27、】解：有 4 名高三学生准备高考后到上海市、江苏省、浙江省、安徽省 4 个地方旅 游， 假设每名同学均从这 4 个地方中任意选取一个去旅游， 基本事件总数 4 4256n ， 第 14 页（共 21 页） 恰有一个地方未被选中包含的基本事件个数 323 443 144mC C A， 则恰有一个地方未被选中的概率为 1449 25616 p 故答案为： 9 16 16 （5 分）如图，三棱锥ABCD中，10ACADBCBD，8AB ，12CD ，点P 在侧面ACD上，且到直线AB的距离为21，则PB的最大值是 57 【解答】解：取CD中点K，连接AK，BK， ACADBCBD，K是CD的中点，

28、AKCD，BKCD， 又AKBKK，AK 平面ABK，BK 平面ABK，AKBKK， CD平面ABK，又CD 平面ACD， 平面ABK 平面ACD B在平面ACD内的投影在直线AK上， 由对称性可知当P在AC（或)AD上时，PB取得最大值 过P作PMAB于M，过C作CNAB于N， 10ACBC，8AB ，2 21CN， 21PM ， P是AC的中点，M是AN的中点， 6BM， 22 57BPBMPM 故答案为：57 第 15 页（共 21 页） 三、解答题：本大题共三、解答题：本大题共 5 小题，共小题，共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，解分解答应写出文字说明、证明过程或演算

29、步骤，解 答应写在答题卡上的指定区域内答应写在答题卡上的指定区域内 17 （12 分）已知公差不为 0 的等差数列 n a满足 3 9a ， 2 a是 1 a， 7 a的等比中项 （1）求 n a的通项公式； （2）设数列 n b满足 1 (7) n n b n a ，求 n b的前n项和 n S 【解答】解： （1）设等差数列 n a的公差为(0)d d ， 则 1 2 111 29 ()(6 ) ad adaad 解得4d 或0d （舍去） ， 1 1a ， 14(1)43 n ann （2） 11 11 () (7)41 n n b n ann ， 123 1 111111 ()()()

30、 4 12231 nn Sbbbb nn 11 (1) 4144 n nn 18（12 分） 如图， 在四棱锥PABCD中， 底面ABCD是正方形，1PAAB，2PBPD （1）证明：BD 平面PAC； （2）若E是PC的中点，F是棱PD上一点，且/ /BE平面ACF，求二面角FACD的 余弦值 第 16 页（共 21 页） 【解答】 （本小题满分 12 分） （1）证明：1,2PAABADPBPD， PAAB，PAAD，ABADA， PA平面ABCD， PABD 又ABCD为正方形，ACBD，PAACA，BD平面PAC （2）解：如图，连接ED，取ED的中点M， 设ACBDO，连接OM，则/

31、 /BEOM， 从而/ /BE平面ACM，平面ACM与PD的交点即为F 建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz， 212 (0, 0),(0, 0,),(, 0, 0) 222 OCOEOD ， 21 (, 0,) 244 OEOD OM ， 平面ACF即平面ACM，设其法向量为( ,)nxy z， 则 0, 0, n OC n OM 即 0, 20, y xz 令1x ，得(1, 0,2)n ， 易知平面ACD的一个法向量为(0, 0, 1)m ， 26 cos, 33 m n ， 因为二面角FACD为锐二面角， 故所求余弦值为： 6 3 第 17 页（共 21 页） 19 （12 分）已知椭

32、圆 22 22 :1(0) 5 xy Cb bb 的一个焦点坐标为(2,0) （）求椭圆C的方程； （）已知点(3,0)E，过点(1,0)的直线l（与x轴不重合）与椭圆C交于M，N两点，直 线ME与直线5x 相交于点F，试证明：直线FN与x轴平行 【解答】解： （）根据题意，椭圆 22 22 :1(0) 5 xy Cb bb 的一个焦点坐标为(2,0)， 则有 22 2 5. c ab 所以 2 5a ， 2 1b 所以椭圆C的方程为 2 2 1 5 x y； （）根据题意，分 2 种情况讨论： 当直线l的斜率不存在时，此时MNx轴 设(1,0)D，直线5x 与x轴相交于点G， 易得点(3,0

33、)E是点(1,0)D和点(5,0)G的中点， 又因为| |MDDN， 所以| |FGDN 所以直线/ /FNx轴 当直线l的斜率存在时， 设直线l的方程为(1)(0)yk xk， 1 (M x， 1) y， 2 (N x， 2) y 因为点(3,0)E，所以直线ME的方程为 1 1 (3) 3 y yx x 令5x ，所以 11 11 2 (53) 33 F yy y xx 由 22 (1) 55 yk x xy 消去y得 2222 (15)105(1)0kxk xk 第 18 页（共 21 页） 显然0恒成立 所以 22 1212 22 105(1) , 5151 kk xxx x kk ，

34、 因为 22 222 22 12112111212 22 2 111111 5(1)10 35 2(3)2(1)(3)2 (1)3()551651 5151 0 33333513 F kk k yyxyk xxk xk x xxxkkkk kk yyy xxxxxkx ， 所以 2F yy 所以直线/ /FNx轴 综上所述，所以直线/ /FNx轴 20 （12 分）一年之计在于春，一日之计在于晨，春天是播种的季节，是希望的开端某种 植户对一块地的(*)n nN个坑进行播种， 每个坑播 3 粒种子， 每粒种子发芽的概率均为 1 2 ， 且每粒种子是否发芽相互独立，对每一个坑而言，如果至少有两粒种

35、子发芽，则不需要进行 补播种，否则要补播种 （1）当n取何值时，有 3 个坑要补播种的概率最大？最大概率为多少？ （2）当4n 时，用X表示要补播种的坑的个数，求X的分布列与数学期望 【解答】解： （1）对于一个坑而言，要补种的概率为 313 3 111 ( )( ) 222 C 有 3 个坑需要补种的概率为： 3 1 ( ) 2 n n C ， 要使 3 1 ( ) 2 n n C 最大，只须 32 34 11 ( )( ) 22 11 ( )( ) 22 nn nn nn nn CC CC ，解得57n剟， * nN，故5n ，6，7 353535 567 115135 ( )( )( )

36、 22162128 CCC， 所以当n为 5 或 6 时，有 3 个坑要补播种的概率最大最大概率为 5 16 （2）4n 时，要补播种的坑的个数X的所有的取值分别为 0，1，2，3，4， 1 (4, ) 2 XB， 04 4 11 (0)( ) 216 P XC， 14 4 11 (1)( ) 24 P XC， 24 4 13 (2)( ) 28 P XC， 34 4 11 (3)( ) 24 P XC， 44 4 11 (4)( ) 216 P XC 所以随机变量X的分布列为： 第 19 页（共 21 页） X 0 1 2 3 4 P 1 16 1 4 3 8 1 4 1 16 所以X的数学

37、期望 1 ()42 2 E X 21 （12 分）已知函数 1 ( )sin1 22 m f xxxlnx，( )fx是( )f x的导函数 （1）证明：当2m 时，( )fx在(0,)上有唯一零点； （2）若存在 1 x， 2 (0,)x ，且 12 xx时， 12 ()()f xf x，证明： 2 12 x xm 【解答】证明： （1）当2m 时， 1 ( )sin1 2 f xxxlnx， 11 ( )1cos 2 fxx x ， 当(0, )x时，( )fx为增函数，且 1333 ()10 344 f ， 31 ( )0 2 f ， ( )fx在(0, )上有唯一零点， 当x，)时，

38、111111 ( )1cos10 222 fxx xx 厖， ( )fx在，)上没有零点， 综上知，( )fx在(0,)上有唯一零点； （2）不妨设 12 0xx，由 12 ()()f xf x得 111222 11 sin1sin1 2222 mm xxlnxxxlnx ， 212121 1 ()(sinsin) 22 m lnxlnxxxxx， 设( )sing xxx，则( )1cos0g xx ，故( )g x在(0,)为增函数， 2211 sinsinxxxx，从而 2121 sinsinxxxx， 21212121 11 ()(sinsin)() 222 m lnxlnxxxxxx

39、x， 21 21 xx m lnxlnx ， 下面证明： 21 12 21 xx x x lnxlnx ， 令 2 1 x t x ，则1t ，即证明 1t t lnt ，只要证明 1 0 t lnt t ，(*) 设 1 ( ) t h tlnt t ，则 2 (1) ( )0 2 t h t t t ，( )h t在(1,)单调递减， 当1t 时，( )h th（1）0，从而(*)得证，即 21 12 21 xx x x lnxlnx ， 12 mx x，即 2 12 x xm 第 20 页（共 21 页） 请考生在请考生在 22、23 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分作答

40、时请写清题题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分作答时请写清题 号号选修选修 4-4：坐标系与参数方程：坐标系与参数方程 22 （10 分）在极坐标系中，曲线C的极坐标方程为6cos以极点为原点，极轴为x轴 的正半轴建立平面直角坐标系，直线l的参数方程为 2cos ( 1sin xt t yt 为参数） （1）若 2 ，求曲线C的直角坐标方程以及直线l的极坐标方程； （2）设点(2, 1)P，曲线C与直线l交于A、B两点，求 22 |PAPB的最小值 【解答】解： （1）曲线 2 :6 cosC，将cosx，siny代入得 22 60xyx 即曲线C的直角坐标方程为 22 (3)9x

41、y 直线 2 : 1 x l yt ，(t为参数） ，所以直线的直角坐标方程为2x ，故直线l的极坐标方程 为cos2 （ 2 ） 联 立 直 线l与 曲 线C的 方 程 得 22 ( cossin)( sin1)9tt即 2 2 (cossin)70tt， 设点A，B对应的参数分别为 1 t， 2 t，则 12 2(cossin)tt， 1 2 7t t ， 因为 222222 12121 2 |()24(cossin)144sin218 14PAPBttttt t， 当sin21 时取等号，所以 22 |PAPB的最小值为 14 选修选修 4-5：不等式选讲：不等式选讲 23已知函数 1

42、( )| 3 f xxa，()aR （1）当2a 时，解不等式 1 |( ) 1 3 xf x； （2）设不等式 1 |( ) 3 xf xx的解集为M，若 1 3， 1 2 M，求实数a的取值范围 【解答】解： （1）2a 时， 1 ( )|2| 3 f xx， 问题转化为解不等式 11 |2| 1 33 xx， 2x时， 第 21 页（共 21 页） 11 (2) 1 33 xx， 112 1 333 xx， 解得： 3 2 x； 1 2 3 x时， 11 (2) 1 33 xx， 解得：1x，故12x ； 1 3 x时， 11 (2) 1 33 xx， 解得：0x， 综上，不等式的解集是： |0x x或1x； （2） 11 | 33 xxax的解集包含 1 3， 1 2 ， 11 | 33 xxax ， 故1 | 1xa剟， 解得：11a xa 剟， 故 1 1 3 1 1 2 a a ，解得： 14 23 a剟