2020年内蒙古阿拉善盟高考数学一模试卷（理科）.docx

1、 第 1 页（共 21 页） 2020 年内蒙古阿拉善盟高考数学一模试卷（理科）年内蒙古阿拉善盟高考数学一模试卷（理科） 一、选择题（本大题共一、选择题（本大题共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符 合题目要求的）合题目要求的） 1 （5 分）已知m，nR且0m ，集合2A，lgm，Bm，2 n ，若1AB ，则 (mn ) A7 B8 C9 D10 2 （5 分）已知复数 34 12 i z i ，则复数z在复平面内对应的点位于( ) A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 3 （5 分） 九章算术

2、是我国古代的数学名著，书中有如下问题： “今有五人分五钱，令上 二人所得与下三人等问各得几何 ”其意思为“已知甲、乙、丙、丁、戊五人分 5 钱，甲、 乙两人所得与丙、丁、戊三人所得相同，且甲、乙、丙、丁、戊所得依次成等差数列问五 人各得多少钱？”( “钱”是古代的一种重量单位） 这个问题中，甲所得为( ) A 5 4 钱 B 4 3 钱 C 3 2 钱 D 5 3 钱 4 （5 分）如图，网格纸上小正方形的边长为 1，粗线画出的是某几何体的正视图（等腰直 角三角形）和侧视图，且该几何体的体积为 8 3 ，则该几何体的俯视图可以是( ) A B C D 5 （5 分）若实数x，y满足 5 2 1

3、 xy xy x 则2zxy的最小值是( ) A9 B 20 3 C10 3 D2 6 （5 分）将 4 名实习教师分配到高一年级三个班实习，每班至少安排一名教师，则不同的 分配方案有( )种 第 2 页（共 21 页） A12 B36 C72 D108 7 （5 分）某班数学课代表给全班同学出了一道证明题，以下四人中只有一人说了真话，只 有一人会证明此题 甲： 我不会证明 乙： 丙会证明 丙：丁会证明 丁： 我不会证明 根 据以上条件，可以判定会证明此题的人是( ) A甲 B乙 C丙 D丁 8 （5 分）执行如图的程序框图，则输出的(n ) A4 B5 C6 D7 9 （5 分）已知双曲线

4、22 22 :1(0,0) xy Cab ab 的右顶点为A，以A为圆心，b为半径作圆 A，圆A与双曲线C的一条渐近线交于M，N两点，若30MNA，则C的离心率为 ( ) A3 B3 C2 D2 10（5 分） 如图， 在三棱柱 111 ABCABC中， 底面为正三角形， 侧棱垂直底面，4AB ， 1 6AA ， 若E，F分别是棱 1 BB， 1 CC上的点，且 1 BEB E， 11 1 3 C FCC，则异面直线 1 AE与AF 所成角的余弦值为( ) 第 3 页（共 21 页） A 3 6 B 2 6 C 3 10 D 2 10 11 （5 分）若曲线( )(1)f xlnxax存在与直

5、线210xy 垂直的切线，则实数a的取 值范围为( ) A 1 ( 2 ，) B 1 2 ，) C(1,) D1，) 12 （5 分）已知ABC是腰长为 4 的等腰直角三角形，ABAC，P为平面ABC内一点， 则()PA PBPC的最小值为( ) A4 B 4 3 C0 D2 二、填空题（本大题共二、填空题（本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分将答案填在答题卷相应位置上）分将答案填在答题卷相应位置上） 13 （5 分）在某项测量中，测量结果服从正态分布(1N， 2)( 0)，若在(0,1)内的概 率为 0.4，则在(0,2)内取值的概率为 14 （5 分）已知数列

6、 n a是递增的等比数列， 14 9aa， 23 8a a ，则数列 n a的前n项 和等于 15 （5 分）已知向量( 3sin 4 x m ，1)，(cos 4 x n ， 2 cos) 4 x ，若mn，则cos() 3 x 的值 为 16 （5 分）函数log (3)1(0 a yxa，1)a 的图象恒过定点A，若点A在直线 10mxny 上，其中0mn ，则 12 mn 的最小值为 三、解答题（本大题共三、解答题（本大题共 5 小题，共小题，共 70 分分.解答应写出文字说明证明过程或演算步骤）解答应写出文字说明证明过程或演算步骤） 17 （ 12 分 ） 如 图 ， 在ABC中 ，

7、,4 8 4 CC A C B ， 点D在BC边 上 ， 且 3 5 2,cos 5 ADADB （）求AC，CD的长； （）求cosBAD的值 第 4 页（共 21 页） 18 （12 分）近年来，我国电子商务蓬勃发展.2016年“618”期间，某网购平台的销售业绩 高达 516 亿元人民币， 与此同时， 相关管理部门推出了针对该网购平台的商品和服务的评价 系统从该评价系统中选出 200 次成功交易，并对其评价进行统计，网购者对商品的满意率 为 0.6，对服务的满意率为 0.75，其中对商品和服务都满意的交易为 80 次 （） 根据已知条件完成下面的22列联表，并回答能否有99%的把握认为“

8、网购者对商 品满意与对服务满意之间有关系”？ 对服务满意 对服务不满意 合计 对商品满意 80 对商品不满意 合计 200 （） 若将频率视为概率，某人在该网购平台上进行的 3 次购物中，设对商品和服务都满 意的次数为随机变量X，求X的分布列和数学期望EX 附： 2 2 () ()()()() n adbc K ab cd ac bd （其中nabcd为样本容量） 2 ()P Kk 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 k 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 19 （12 分）如图，四棱锥PABCD的底面是正方形，PA 底面ABCD，2PAAD， 点M，

9、N分别在棱PD，PC上，且PC 平面AMN （）求证：AMPD； （）求直线CD与平面AMN所成角的正弦值 （）求二面角CAMN的余弦值 第 5 页（共 21 页） 20 （12 分）已知函数( )f xxlnxaxb在点(1，f（1）)处的切线为320xy （1）求函数( )f x的解析式； （2）若kZ，且存在0x ，使得 (1)f x k x 成立，求k的最小值 21 （12 分）已知椭圆 22 22 :1(0) xy Cab ab 的离心率为 6 3 ，以原点O为圆心，椭圆C的 长半轴为半径的圆与直线2260xy相切 （1）求椭圆C的标准方程； （2）已知点A，B为动直线(2)(0)y

10、k xk与椭圆C的两个交点，问：在x轴上是否存 在点E，使 2 EAEA AB为定值？若存在，试求出点E的坐标和定值，若不存在，说明 理由 请考生在第请考生在第 22、23 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时请写清题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时请写清 楚题号楚题号选修选修 4-4：坐标系与参数方程：坐标系与参数方程 22 （10 分）在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为 2 1 2 ( 2 1 2 xt t yt 为参数） ，在极坐标 系（与直角坐标系xOy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴） 中圆C的极坐标方程为 2 6

11、 cos50，圆C与直线l交于A、B两点，P点的直 角坐标为(1,1) ( ) I将直线l的参数方程化为普通方程，圆C的极坐标方程化为直角坐标方程； （）求|PAPB的值 选修选修 4-5：不等式选讲：不等式选讲 23已知函数 2 ( )4f xxax ，( ) |1|1|g xxx 第 6 页（共 21 页） （1）当1a 时，求不等式( )( )f xg x的解集； （2）若不等式( )( )f xg x的解集包含 1，1，求a的取值范围 第 7 页（共 21 页） 2020 年内蒙古阿拉善盟高考数学一模试卷（理科）年内蒙古阿拉善盟高考数学一模试卷（理科） 参考答案与试题解析参考答案与试题

12、解析 一、选择题（本大题共一、选择题（本大题共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符 合题目要求的）合题目要求的） 1 （5 分）已知m，nR且0m ，集合2A，lgm，Bm，2 n ，若1AB ，则 (mn ) A7 B8 C9 D10 【解答】解：集合2A，lgm，Bm，2 n ，且1AB ， 则1lgm ，10m； 21 n ，解得0n ； 10010mn 故选：D 2 （5 分）已知复数 34 12 i z i ，则复数z在复平面内对应的点位于( ) A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 【解

13、答】解：复数 34(34 )(12 )112 12(12 )(12 )5 iiii z iii ，则复数z在复平面内对应的点 11 2 (, ) 5 5 位于第一象限 故选：A 3 （5 分） 九章算术是我国古代的数学名著，书中有如下问题： “今有五人分五钱，令上 二人所得与下三人等问各得几何 ”其意思为“已知甲、乙、丙、丁、戊五人分 5 钱，甲、 乙两人所得与丙、丁、戊三人所得相同，且甲、乙、丙、丁、戊所得依次成等差数列问五 人各得多少钱？”( “钱”是古代的一种重量单位） 这个问题中，甲所得为( ) A 5 4 钱 B 4 3 钱 C 3 2 钱 D 5 3 钱 【解答】 解： 依题意设甲

14、、 乙、 丙、 丁、 戊所得钱分别为2ad，ad，a，ad，2ad， 则由题意可知，22adadaadad，即6ad ， 又2255adadaadada，1a， 则 44 22() 633 a adaa 故选：B 第 8 页（共 21 页） 4 （5 分）如图，网格纸上小正方形的边长为 1，粗线画出的是某几何体的正视图（等腰直 角三角形）和侧视图，且该几何体的体积为 8 3 ，则该几何体的俯视图可以是( ) A B C D 【解答】解：该几何体为正方体截去一部分后的四棱锥PABCD，如图所示， 该几何体的俯视图为D 故选：D 5 （5 分）若实数x，y满足 5 2 1 xy xy x 则2zx

15、y的最小值是( ) A9 B 20 3 C10 3 D2 【解答】解：作出不等式组所表示的平面区域如图所示， 其中 10 5 (1,4), (, ) 3 3 AB 作直线:20l xy，平移直线l，当其经过点B时，z取得最小值， 10520 2 333 min z， 故选：B 第 9 页（共 21 页） 6 （5 分）将 4 名实习教师分配到高一年级三个班实习，每班至少安排一名教师，则不同的 分配方案有( )种 A12 B36 C72 D108 【解答】解：第一步从 4 名实习教师中选出 2 名组成一个复合元素，共有 2 4 6C 种， 第二步把 3 个元素（包含一个复合元素）安排到三个班实习

16、有 3 3 6A 种， 根据分步计数原理不同的分配方案有6636种 故选：B 7 （5 分）某班数学课代表给全班同学出了一道证明题，以下四人中只有一人说了真话，只 有一人会证明此题 甲： 我不会证明 乙： 丙会证明 丙：丁会证明 丁： 我不会证明 根 据以上条件，可以判定会证明此题的人是( ) A甲 B乙 C丙 D丁 【解答】解：四人中只有一人说了真话，只有一人会证明此题丙：丁会证明丁：我不会 证明所以丙与丁中一定有一个是正确的； 若丙说了真话，则甲必是假话，矛盾；若丁说了真话，则甲说的是假话，甲就是会证明的那 个人，符合题意；以此类推易得出答案：A 故选：A 8 （5 分）执行如图的程序框图

17、，则输出的(n ) 第 10 页（共 21 页） A4 B5 C6 D7 【解答】解：模拟程序的运行，可得： 1m ，1n 执行循环体，不满足条件mn，3m ，2n 不满足条件9mn，执行循环体，满足条件mn，2m ，3n 不满足条件9mn，执行循环体，不满足条件mn，5m ，4n 满足条件9mn，退出循环，输出n的值为 4 故选：A 9 （5 分）已知双曲线 22 22 :1(0,0) xy Cab ab 的右顶点为A，以A为圆心，b为半径作圆 A，圆A与双曲线C的一条渐近线交于M，N两点，若30MNA，则C的离心率为 ( ) A3 B3 C2 D2 【解答】解：双曲线 22 22 :1(0

18、,0) xy Cab ab 的右顶点为( ,0)A a， 以A为圆心，b为半径做圆A，圆A与双曲线C的一条渐近线交于M、N两点 若30MNA，可得A到渐近线0bxay的距离为： 1 sin30 2 bb ， 第 11 页（共 21 页） 可得： 22 |1 2 ab b ab ， 即 1 2 a c 可得离心率为：2 c e a 故选：C 10（5 分） 如图， 在三棱柱 111 ABCABC中， 底面为正三角形， 侧棱垂直底面，4AB ， 1 6AA ， 若E，F分别是棱 1 BB， 1 CC上的点，且 1 BEB E， 11 1 3 C FCC，则异面直线 1 AE与AF 所成角的余弦值为

19、( ) A 3 6 B 2 6 C 3 10 D 2 10 【解答】解以C为原点，CA为x轴，在平面ABC中过作AC的垂线为y轴， 1 CC为z轴， 建立空间直角坐标系， 在三棱柱 111 ABCABC中，底面为正三角形，侧棱垂直底面，4AB ， 1 6AA ， E，F分别是棱 1 BB， 1 CC上的点，且 1 BEB E， 11 1 3 C FCC， 1(4 A，0，6)，(2E，2 3，3)，(0F，0，4)，(4A，0，0)， 1 ( 2A E ，2 3，3)，( 4AF ，0，4)， 设异面直线 1 AE与AF所成角所成角为， 则 1 1 |42 cos 10| |20 2 AE A

20、F AEAF 异面直线 1 AE与AF所成角的余弦值为 2 10 故选：D 第 12 页（共 21 页） 11 （5 分）若曲线( )(1)f xlnxax存在与直线210xy 垂直的切线，则实数a的取 值范围为( ) A 1 ( 2 ，) B 1 2 ，) C(1,) D1，) 【解答】解：函数( )(1)f xlnxax，0x ， 则 1 ( )1fxa x ， 若函数( )f x存在与直线210xy 垂直的切线， 可得 1 12a x 有大于 0 的解， 则 1 10a x ， 解得1a ， 则实数a的取值范围是(1,)， 故选：C 12 （5 分）已知ABC是腰长为 4 的等腰直角三角

21、形，ABAC，P为平面ABC内一点， 则()PA PBPC的最小值为( ) A4 B 4 3 C0 D2 【解答】解：如图建立坐标系，(0,2 2)A，( 2 2,0)B ，(2 2,0)C，设( , )P x y， 则(,2 2)PAxy ，2( 2 , 2 )PBPCPOxy ， 2222 ()24 2222(2)44PA PBPCxxyxy， 最小值为4， 故选：A 第 13 页（共 21 页） 二、填空题（本大题共二、填空题（本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分将答案填在答题卷相应位置上）分将答案填在答题卷相应位置上） 13 （5 分）在某项测量中，测量结

22、果服从正态分布(1N， 2)( 0)，若在(0,1)内的概 率为 0.4，则在(0,2)内取值的概率为 0.8 【解答】解：服从正态分布 2 (1,)N，在(0,1)内的概率为 0.4， 由正态分布的对称性可知在(1,2)内的取值概率也为 0.4， (02)(01)(12)0.40.40.8PPP 故答案为：0.8 14 （5 分）已知数列 n a是递增的等比数列， 14 9aa， 23 8a a ，则数列 n a的前n项 和等于 21 n 【解答】解：数列 n a是递增的等比数列， 14 9aa， 23 8a a ， 可得 14 8a a ，解得 1 1a ， 4 8a ， 3 81 q ，

23、2q ， 数列 n a的前n项和为： 12 21 12 n n 故答案为：21 n 15 （5 分）已知向量( 3sin 4 x m ，1)，(cos 4 x n ， 2 cos) 4 x ，若mn，则cos() 3 x 的值 为 1 2 【解答】解：向量( 3sin 4 x m ，1)，(cos 4 x n ， 2 cos) 4 x ，mn， 2 3sincoscos 444 xxx m n 1cos 3 2 sin 222 x x 1 sin()0 262 x ， 1 sin() 262 x ， 第 14 页（共 21 页） 2 11 cos()12sin ()1 32622 x x 故答

24、案为： 1 2 16 （5 分）函数log (3)1(0 a yxa，1)a 的图象恒过定点A，若点A在直线 10mxny 上，其中0mn ，则 12 mn 的最小值为 8 【解答】解：log (3)1 a yx恒过定点( 2, 1)A ； 又点A在直线10mxny 上； 210mn ； 21mn； 0mn ； 12124 () (2)22 8 mn mn mnmnnm ； 12 mn 的最小值为 8 故答案为：8 三、解答题（本大题共三、解答题（本大题共 5 小题，共小题，共 70 分分.解答应写出文字说明证明过程或演算步骤）解答应写出文字说明证明过程或演算步骤） 17 （ 12 分 ） 如

25、 图 ， 在ABC中 ，,4 8 4 CC A C B ， 点D在BC边 上 ， 且 3 5 2,cos 5 ADADB （）求AC，CD的长； （）求cosBAD的值 【解答】解： （）在ABD中， 3 cos 5 ADB， 4 sin 5 ADB 42322 sinsin()sincoscossin 44525210 CADADBACDADBADB 在ADC中，由正弦定理得 sinsinsin ACCDAD ADCCADACD ， 第 15 页（共 21 页） 即 5 2 4 22 5 102 ACCD ， 解得：8,2ACCD （）48CA CB ， 4 C 2 848 2 CB， 解得

26、：6 2CB ， 5 2BDCBCD， 在ABC中， ： 22 2 8(6 2)2 86 22 10 2 AB ， 在ABD中，由余弦定理可得： 222 (2 10)(5 2)(5 2)5 cos 522 105 2 BAD 18 （12 分）近年来，我国电子商务蓬勃发展.2016年“618”期间，某网购平台的销售业绩 高达 516 亿元人民币， 与此同时， 相关管理部门推出了针对该网购平台的商品和服务的评价 系统从该评价系统中选出 200 次成功交易，并对其评价进行统计，网购者对商品的满意率 为 0.6，对服务的满意率为 0.75，其中对商品和服务都满意的交易为 80 次 （） 根据已知条件

27、完成下面的22列联表，并回答能否有99%的把握认为“网购者对商 品满意与对服务满意之间有关系”？ 对服务满意 对服务不满意 合计 对商品满意 80 对商品不满意 合计 200 （） 若将频率视为概率，某人在该网购平台上进行的 3 次购物中，设对商品和服务都满 意的次数为随机变量X，求X的分布列和数学期望EX 附： 2 2 () ()()()() n adbc K ab cd ac bd （其中nabcd为样本容量） 2 ()P Kk 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 k 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 第 16 页（共 21 页） 【解答】解：

28、（）22列联表： 对服务满意 对服务不满意 合计 对商品满意 80 40 120 对商品不满意 70 10 80 合计 150 50 200 （2 分） 2 2 200(80 104070) 11.111 15050 12080 K ，（3 分） 因为11.1116.635， 所以能有99%的把握认为“网购者对商品满意与对服务满意之间有关系” （4 分） （） 每次购物时，对商品和服务都满意的概率为 2 5 ，且X的取值可以是 0，1，2，3 （6 分） 312 3 3272354 (0)( ); (1)( )( ) 512555125 P XP XC； 221 3 2336 (2)( )(

29、) 55125 P XC； 330 3 238 (3)( )( ) 55125 P XC（10 分） X的分布列为： X 0 1 2 3 P 27 125 54 125 36 125 8 125 （11 分） 所以 27543686 0123 1251251251255 EX （12 分） 19 （12 分）如图，四棱锥PABCD的底面是正方形，PA 底面ABCD，2PAAD， 点M，N分别在棱PD，PC上，且PC 平面AMN （）求证：AMPD； （）求直线CD与平面AMN所成角的正弦值 （）求二面角CAMN的余弦值 第 17 页（共 21 页） 【解答】解： （1）因为四边形ABCD是正方

30、形，所以CDAD， 又因为PA 底面ABCD，所以PACD，故CD 平面PAD， 又AM 平面PAD，则CDAM， 而PC 平面AMN，有PCAM，则AM 平面PCD， 故AMPD； （2）如图，延长NM，CD交于点E，因为PC 平面AMN， 所以NE为CE在平面AMN内的射影，故CEN为CD（即)CE与平面AMN所成的角， 又因为CDPD，ENPN，则有CENMPN ， 在Rt PMN中， 3 sin 3 MN MPN PM ， 故CD与平面AMN所成角的正弦值为 3 3 （3）分别以AB，AD，AP为x，y，z轴建立空间直角坐标系，(0A，0，0)，(0P，0， 2)，(2C，2，0)，(

31、0M，1，1) 所以(2,2,0)AC ，(0,1,1)AM ， 设平面AMC的法向量( , , )nx y z， 由 220 0 n ACxy n AMyz ，令1y ，则(1, 1,1)n ， 由（1）知，平面AMN的法向量(2,2, 2)PC ， 设所求二面角CAMN的大小为，且为锐角， 所以 21 cos|cos,| 332 3 n PC ， 所以二面角CAMN的余弦值为 1 3 第 18 页（共 21 页） 20 （12 分）已知函数( )f xxlnxaxb在点(1，f（1）)处的切线为320xy （1）求函数( )f x的解析式； （2）若kZ，且存在0x ，使得 (1)f x

32、k x 成立，求k的最小值 【解答】解： （1）函数( )f xxlnxaxb的导数为( )1fxalnx ， 可得在点(1，f（1）)处的切线切线的斜率为1a，切点为(1,)ab， 由在点(1，f（1）)处的切线为320xy 可得13a，1ab，解得2a ，1b ， 即有( )21f xxlnxx； （2）kZ，且存在0x ，使得 (1)f x k x 成立，即为 (1) (1)21xln xx x 的最小值小于k， 设 (1) (1)21 ( )(0) xln xx g xx x ， 则 2 1(1) ( ) xln x g x x ， 设( )1(1)(0)h xxln xx 1 ( )

33、10 11 x h x xx ， 即有( )h x在(0,)上单调递增 又h（2）0，h（3）0，根据零点存在定理可知： 函数( )h x在(2,3)内有零点，且在(0,)上有唯一零点， 设该零点为 0 x，则 00 1(1)xln x ， 0 (2,3)x ， 000 0 0 (1) (1)21 ( )2 min xln xx g xx x ， 则 0 2kx，kZ， 第 19 页（共 21 页） 故k的最小值为 5 21 （12 分）已知椭圆 22 22 :1(0) xy Cab ab 的离心率为 6 3 ，以原点O为圆心，椭圆C的 长半轴为半径的圆与直线2260xy相切 （1）求椭圆C的

34、标准方程； （2）已知点A，B为动直线(2)(0)yk xk与椭圆C的两个交点，问：在x轴上是否存 在点E，使 2 EAEA AB为定值？若存在，试求出点E的坐标和定值，若不存在，说明 理由 【解答】解： （1）由离心率为 6 3 ，得 6 3 c a ， 即 6 3 ca， 又以原点O为圆心，椭圆C的长半轴长为半径的圆为 222 xya， 且与直线2260xy相切， 所以 22 6 6 2( 2) a ，代入得2c ， 所以 222 2bac 所以椭圆C的标准方程为 22 1 62 xy （2）由 22 (2) 36 yk x xy ，可得 2222 (13)121260kxk xk， 42

35、2 1444(13)(126)0kkk，即为 2 660k恒成立 设 1 (A x， 1) y， 2 (B x， 2) y， 所以 2 12 2 12 13 k xx k ， 2 12 2 126 13 k x x k ， 根据题意，假设x轴上存在定点( ,0)E m， 使得 2 ()EAEA ABEA EAABEA EB为定值， 则有 1 (EA EBxm， 12 ) (yxm， 21212 )() ()yxmxmy y 2 1212 ()()(2)(2)xm xmkxx 2222 1212 (1)(2)()(4)kx xkm xxkm 第 20 页（共 21 页） 22 2222 22 1

36、2612 (1)(2)(4) 1313 kk kkmkm kk 222 2 (31210)(6) 13 mmkm k ， 要使上式为定值，即与k无关，则应 22 312103(6)mmm， 即 7 3 m ，此时 2 5 6 9 EA EBm 为定值，定点E为 7 ( ,0) 3 请考生在第请考生在第 22、23 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时请写清题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时请写清 楚题号楚题号选修选修 4-4：坐标系与参数方程：坐标系与参数方程 22 （10 分）在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为 2 1 2 ( 2 1 2 xt

37、 t yt 为参数） ，在极坐标 系（与直角坐标系xOy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴） 中圆C的极坐标方程为 2 6 cos50，圆C与直线l交于A、B两点，P点的直 角坐标为(1,1) ( ) I将直线l的参数方程化为普通方程，圆C的极坐标方程化为直角坐标方程； （）求|PAPB的值 【解答】解： （）由直线l的参数方程为 2 1 2 ( 2 1 2 xt t yt 为参数） ， 可得：直线l的普通方程为：2xy，即20xy 由 2 6 cos50，得 22 650xyx，即 22 (3)4xy； （）将l的参数方程代入圆C的直角坐标方程，得 22 22 (13)(

38、1)4 22 tt 即 2 3 210tt ， 由于 2 ( 3 2)4140 ， 故可设 1 t， 2 t是上述方程的两实根， 所以 12 3 2tt， 12 1t t ， 又直线l过点(1,1)P， 第 21 页（共 21 页） 故由上式及t的几何意义得： 1212 | |3 2PAPBtttt 选修选修 4-5：不等式选讲：不等式选讲 23已知函数 2 ( )4f xxax ，( ) |1|1|g xxx （1）当1a 时，求不等式( )( )f xg x的解集； （2）若不等式( )( )f xg x的解集包含 1，1，求a的取值范围 【解答】解： （1）当1a 时， 2 ( )4f

39、xxx ，是开口向下，对称轴为 1 2 x 的二次函数， 2 ,1 ( ) |1|1|2, 11 2 ,1 x x g xxxx x x 剟， 当(1,)x时，令 2 42xxx，解得 171 2 x ，( )g x在(1,)上单调递增，( )f x在 (1,)上单调递减，此时( )( )f xg x的解集为(1， 171 2 ； 当 1x ，1时，( )2g x ，( )( 1)2f xf 当(, 1)x 时，( )g x单调递减，( )f x单调递增，且( 1)( 1)2gf 综上所述，( )( )f xg x的解集为 1， 171 2 ； （2）依题意得： 2 4 2xax 在 1，1恒成立，即 2 2 0xax 在 1，1恒成立，则只 需 2 2 112 0 ( 1)( 1)2 0 a a ，解得11a 剟， 故a的取值范围是 1，1