2020年辽宁省大连市高考数学双基试卷（理科）.docx

1、 第 1 页（共 21 页） 2020 年辽宁省大连市高考数学双基试卷（理科）年辽宁省大连市高考数学双基试卷（理科） 一、选择题（本大题共一、选择题（本大题共 12 个小题，每小题个小题，每小题 5 分，共分，共 60 分分.其中试题其中试题 1-11 中每小题给出的四中每小题给出的四 个选项中，只有一项是符合题目要求的；试题个选项中，只有一项是符合题目要求的；试题 12 为多选题，有两个选项正确，只选一个且为多选题，有两个选项正确，只选一个且 对得对得 2 分，有一个错选项得分，有一个错选项得 0 分）分） 1 （5 分）已知集合 2 |3100Ax xx， |22 x Bx，则(AB )

2、A( 2,1) B( 5,1) C D0 2 （5 分）在复平面内，与复数1zi 的共轭复数对应的点位于( ) A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 3 （5 分）命题“xR ， 2 4 0x ”的否定是( ) AxR ， 2 4 0x BxR ， 2 40x CxR ， 2 4 0x DxR ， 2 40x 4 （5 分）为了解某商品销售量y（件)与销售价格x（元/件）的关系，统计了( , )x y的 10 组值，并画成散点图如图，则其回归方程可能是( ) A10198yx B10198yx C10198yx D10198yx 5 （5 分）已知二面角l 的大小为60，b和c是两条

3、异面直线，且b，c， 则b与c所成的角的大小为( ) A120 B90 C60 D30 6 （5 分）下列四个函数中，以为最小正周期，且在区间( 2 ，)上为减函数的是( ) Acosyx B2|sin |yx Ccos 2 x y Dtanyx 7 （5 分） “剑桥学派”创始人之一数学家哈代说过： “数学家的造型，同画家和诗人一样， 也应当是美丽的” ； 古希腊数学家毕达哥拉斯创造的 “黄金分割” 给我们的生活处处带来美； 我国古代数学家赵爽创造了优美“弦图” “弦图”是由四个全等的直角三角形与一个小正方 第 2 页（共 21 页） 形拼成的一个大正方形，如果小正方形的面积为 1，大正方形

4、的面积为 25，直角三角形中较 小的锐角为，则sin2等于( ) A 3 5 B 4 5 C 7 25 D 24 25 8 （5 分）已知直线l过抛物线 2 :8C yx的焦点，并交抛物线C于A、B两点，| 16AB ， 则弦AB中点M的横坐标是( ) A3 B4 C6 D8 9 （5 分）一件刚出土的珍贵文物要在博物馆大厅中央展出，需要设计各面是玻璃平面的无 底正四棱柱将其罩住，罩内充满保护文物的无色气体已知文物近似于塔形，高 1.8 米，体 积 0.5 立方米， 其底部是直径为 0.9 米的圆形， 要求文物底部与琉璃罩底边至少间隔 0.3 米， 文物顶部与玻璃罩上底面至少间隔 0.2 米，

5、气体每立方米 1000 元，则气体费用最少为( )元 A4500 B4000 C2880 D2380 10 （5 分）设 1 F， 2 F是双曲线C， 22 22 1(0,0) xy ab ab 的两个焦点，P是双曲线C上一 点，若 12 | 6PFPFa，且 12 FPF为120，则双曲线C的离心率为( ) A 31 2 B 51 2 C5 D7 11 （5 分）在发生某公共卫生事件期间，有专业机构认为该事件在一段时间内没有发生大 规模群体感染的标志是“连续 10 日， 每天新增疑似病例不超过 7 人” ，过去 10 日，甲、乙、 丙、丁四地新增疑似病例数据信息如下： 甲地：总体平均数为 3

6、，中位数为 4； 第 3 页（共 21 页） 乙地：总体平均数为 1，总体方差大于 0； 丙地：总体平均数为 2，总体方差为 3； 丁地：中位数为 2，众数为 3； 则甲、乙、丙、丁四地中，一定没有发生大规模群体感染的是( ) A甲地 B乙地 C丙地 D丁地 12 （5 分）若点 1 (A x， 1) y， 2 (B x， 212 )()yxx是函数 1,1 ( ) ,1 x ex f x lnx x 的图象上任意两 点，且函数( )f x在点A和点B处的切线互相垂直，则下列结论正确的是( ) A 1 0x B 1 01x C 2 1 x x 最小值为e D 12 x x最大值为e 二、填空题

7、（本大题共二、填空题（本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分，将答案填在答题纸上，分，将答案填在答题纸上，16 题第一空题第一空 2 分，第二空分，第二空 3 分）分） 13 （5 分）已知向量a，b的夹角为 4 ，|2a ，| 2b ，则a b 14 （5 分）已知定义在R上的奇函数( ) xx f xeae，则a的值为 15 （5 分）我国南宋数学家秦九韶撰写的名著数书九章第五卷提出了“三斜求积术” ， 即已加三角形三边长，求三角形面积的公式设三角形的三条边长分别为a，b，c，则三 角形的面积S，可由公式()()()Sp pa pb pc求得，其中p为三角形周长

8、的一半，这 个公式也被称为“海伦秦九韶”公式，现有一个三角形的边长满足4c ，6p ，则三角 形面积的最大值为 16 （5 分）在ABC中，若sin(sincos)sin0ABBC，则角A的值为 ，当 sin 22 sin 2BC取得最大值时，tan22tan2BC的值为 三、解答题： （本大题共三、解答题： （本大题共 5 小题，共小题，共 70 分分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17（12 分） 已知四棱锥PABCD中， 底面ABCD为菱形， 且60ABC，PAPCAB， 过侧面PAD中线AE的一个平面与直线PD垂直，并与此四棱锥的面相

9、交，交线围成一 个平面图形 （1）画出这个平面图形，并证明PD 平面； （2）若PBPD，求平面与平面PAB所成的锐二面角的余弦值 第 4 页（共 21 页） 18 （12 分）已知数列 n a满足： n a n 是公比为 2 的等比数列， 2 n n a 是公差为 1 的等差数 列 （1）求 1 a， 2 a的值； （2）试求数列 n a的前n项和 n S 19 （12 分）某校辨论队计划在周六、周日各参加一场辨论赛，分别由正、副队长负责，已 知该校辩论队共有 10 位成员（包含正、副队长） ，每场比赛除负责人外均另需 3 位队员（同 一队员可同时参加两天的比赛，正、副队长只能参加一场比赛）

10、 假设正副队长分别将各自 比赛通知的信息独立、随机地发给辩论队 8 名队员中的 3 位，且所发信息都能收到 （1）求辩论队员甲收到队长或副队长所发比赛通知信息的概率； （2） 记辩论队收到正副队长所发比赛通知信息的队员人数为随机变量X， 求X的分布列及 其数学期望 20 （12 分）已知函数( )f xlnx （1）试判断函数( )( ) 1 ax g xf x x 的单调性； （2）若函数 1 ( )( )(1)(0)h xfxf xax a 在(0,)上有且仅有一个零点， 求证：此零点是( )h x的极值点； 求证： 1 2 21 32 eae （本题可能会用到的数据：1.65e ，20.

11、7ln ，31.1)ln 21 （12 分）已知离心率为 1 2 的椭圆 22 22 :1(0) xy Eab ab 的左顶点为A，且椭圆E经过 3 (1, ) 2 P，与坐标轴不垂直的直线l与椭圆E交于C，D两点 （1）求椭圆E的标准方程； （2）若直线AC和直线AD的斜率之积为 9 4 ，求证：直线l过定点； （3）若B为椭圆E上一点，且0OCODOB，求三角形BCD的面积 请考生在请考生在 22，23 二题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分，作答时，用二题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分，作答时，用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的标号涂黑铅笔在答题卡上把所

12、选题目对应的标号涂黑.选修选修 4-4：坐标系与参数方程：坐标系与参数方程 22 （10 分）在平面直角坐标系中，以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴，建立极坐标 系，已知曲线C的极坐标方程为 2 sin4cos，经过点(2,0)M，倾斜角为的直线l与 第 5 页（共 21 页） 曲线C交于A，B两点 （1）求曲线C的直角坐标方程和直线l的参数方程； （2）求 22 11 |MAMB 的值 选修选修 4-5：不等式选讲：不等式选讲 23已知a，bR， 33 16ab （1）求证：4ab； （2）求证：4ab 第 6 页（共 21 页） 2020 年辽宁省大连市高考数学双基试卷（理科）年辽宁省大

13、连市高考数学双基试卷（理科） 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题（本大题共一、选择题（本大题共 12 个小题，每小题个小题，每小题 5 分，共分，共 60 分分.其中试题其中试题 1-11 中每小题给出的四中每小题给出的四 个选项中，只有一项是符合题目要求的；试题个选项中，只有一项是符合题目要求的；试题 12 为多选题，有两个选项正确，只选一个且为多选题，有两个选项正确，只选一个且 对得对得 2 分，有一个错选项得分，有一个错选项得 0 分）分） 1 （5 分）已知集合 2 |3100Ax xx， |22 x Bx，则(AB ) A( 2,1) B( 5,1) C D0 【解答】

14、解：集合 2 |3100 | 25Ax xxxx ， |22 |1 x Bxx x， | 21( 2,1)ABxx 故选：A 2 （5 分）在复平面内，与复数1zi 的共轭复数对应的点位于( ) A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 【解答】解：1zi ，则所对应的点在第二象限， 故选：B 3 （5 分）命题“xR ， 2 4 0x ”的否定是( ) AxR ， 2 4 0x BxR ， 2 40x CxR ， 2 4 0x DxR ， 2 40x 【解答】解：命题“xR ， 2 4 0x ”的否定是 “xR ， 2 40x ” 故选：D 4 （5 分）为了解某商品销售量y（件)与销

15、售价格x（元/件）的关系，统计了( , )x y的 10 组值，并画成散点图如图，则其回归方程可能是( ) 第 7 页（共 21 页） A10198yx B10198yx C10198yx D10198yx 【解答】解：根据图象可知，线性回归系数为负，回归截距为正，故B满足题意 故选：B 5 （5 分）已知二面角l 的大小为60，b和c是两条异面直线，且b，c， 则b与c所成的角的大小为( ) A120 B90 C60 D30 【解答】解：二面角l 的大小为60，b和c是两条异面直线，且b，c， b与c所成的角的大小为60 故选：C 6 （5 分）下列四个函数中，以为最小正周期，且在区间( 2

16、 ，)上为减函数的是( ) Acosyx B2|sin |yx Ccos 2 x y Dtanyx 【解答】解：由于cosyx的周期为2，故排除A； 由于2|sin|yx以为最小正周期，且在区间( 2 ，)上为减函数，故满足条件； 由于cos 2 x y 的周期为 2 4 1 2 ，故排除C； 由于tanyx区间( 2 ，)上为增函数，故排除D， 故选：B 7 （5 分） “剑桥学派”创始人之一数学家哈代说过： “数学家的造型，同画家和诗人一样， 也应当是美丽的” ； 古希腊数学家毕达哥拉斯创造的 “黄金分割” 给我们的生活处处带来美； 我国古代数学家赵爽创造了优美“弦图” “弦图”是由四个全

17、等的直角三角形与一个小正方 形拼成的一个大正方形，如果小正方形的面积为 1，大正方形的面积为 25，直角三角形中较 小的锐角为，则sin2等于( ) 第 8 页（共 21 页） A 3 5 B 4 5 C 7 25 D 24 25 【解答】解：设直角三角形的边长为a，1a ， 则 22 (1)25aa，0a 解得3a 3 sin 5 ， 4 cos 5 4324 sin22 5525 故选：D 8 （5 分）已知直线l过抛物线 2 :8C yx的焦点，并交抛物线C于A、B两点，| 16AB ， 则弦AB中点M的横坐标是( ) A3 B4 C6 D8 【解答】解：抛物线 2 8yx的焦点为(2,

18、0)F， 设 1 (A x， 1) y， 2 (B x， 2) y， 0 (M x， 0) y，过A，B，M作准线的垂直，垂足分别为 1 A， 1 B 及 1 M， 111212 |16 22 pp AABBxxxxp， 12 12xx， 弦AB中点M的横坐标是 6 故选：C 第 9 页（共 21 页） 9 （5 分）一件刚出土的珍贵文物要在博物馆大厅中央展出，需要设计各面是玻璃平面的无 底正四棱柱将其罩住，罩内充满保护文物的无色气体已知文物近似于塔形，高 1.8 米，体 积 0.5 立方米， 其底部是直径为 0.9 米的圆形， 要求文物底部与琉璃罩底边至少间隔 0.3 米， 文物顶部与玻璃罩

19、上底面至少间隔 0.2 米，气体每立方米 1000 元，则气体费用最少为( )元 A4500 B4000 C2880 D2380 【解答】解：由题意可知，文物底部是直径为 0.9 米的圆形，文物底部与琉璃罩底边至少间 隔 0.3 米， 所以由正方形与圆的位置关系可知，底面正方形的边长为0.920.31.5m， 又因为文物高1.8m，文物顶部与玻璃罩上底面至少间隔 0.2 米， 所以正四棱柱的高为1.80.22m， 则正四棱柱的体积为 23 1.524.5Vm， 又因为文物体积为 3 0.5m， 所以罩内空气的体积为 3 4.50.54m， 因为气体每立方米 1000 元，所以共需费用为4 10

20、004000元， 第 10 页（共 21 页） 故选：B 10 （5 分）设 1 F， 2 F是双曲线C， 22 22 1(0,0) xy ab ab 的两个焦点，P是双曲线C上一 点，若 12 | 6PFPFa，且 12 FPF为120，则双曲线C的离心率为( ) A 31 2 B 51 2 C5 D7 【解答】解： 12 | 6PFPFa， 12 | 2PFPFa， 1 | 4PFa且 2 | 2PFa， 又 12 120FPF， 根据余弦定理，得 2222 121212 |2| |cos12028FFPFPFPFPFa 因此， 12 | 2 7FFa，可得双曲线的离心率7 c e a 故

21、选：D 11 （5 分）在发生某公共卫生事件期间，有专业机构认为该事件在一段时间内没有发生大 规模群体感染的标志是“连续 10 日， 每天新增疑似病例不超过 7 人” ，过去 10 日，甲、乙、 丙、丁四地新增疑似病例数据信息如下： 甲地：总体平均数为 3，中位数为 4； 乙地：总体平均数为 1，总体方差大于 0； 丙地：总体平均数为 2，总体方差为 3； 丁地：中位数为 2，众数为 3； 则甲、乙、丙、丁四地中，一定没有发生大规模群体感染的是( ) A甲地 B乙地 C丙地 D丁地 【解答】解：平均数和中位数不能限制某一天的病例超过 7 人，不是A地， 当总体方差大于 0， 不知道总体方差的具

22、体数值， 因此不能确定数据的波动大小， 不是B地； 当总体平均数是 2，若有一个数据超过 7，则方差就接近 3，是C地 中位数和众数也不能限制某一天的病例超过 7 人，不是D地； 故选：C 12 （5 分）若点 1 (A x， 1) y， 2 (B x， 212 )()yxx是函数 1,1 ( ) ,1 x ex f x lnx x 的图象上任意两 点，且函数( )f x在点A和点B处的切线互相垂直，则下列结论正确的是( ) 第 11 页（共 21 页） A 1 0x B 1 01x C 2 1 x x 最小值为e D 12 x x最大值为e 【解答】解：由导数的几何意义知，点A处的切线的斜率

23、为 1 ()fx，点B处的切线的斜率为 2 ()fx， 函数( )f x的图象在点A，B处的切线互相垂直时，有 12 ()()1fxfx ， 由(1) xx ee ， 1 ()lnx x ，可得 _1 2 1 1 x e x ，即 _1 2 x xe， 由 2 1x ，可得 1 01x，故A，B都错； 由 1 2 11 x xe xx ，设( )(01) x e g xx x ，可得 2 (1) ( ) x ex g x x ， 在(0x，1，( ) 0g x，可得( )g x在(0，1递减，可得( )g x有最小值g（1）e，故C正 确； _1 211 x x xx e，设( )(01) x

24、 h xxex ，可得( )(1)0 x h xxe，即( )h x在(0，1递增，可得 ( )h x有最大值e， 故D正确 故选：CD 二、填空题（本大题共二、填空题（本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分，将答案填在答题纸上，分，将答案填在答题纸上，16 题第一空题第一空 2 分，第二空分，第二空 3 分）分） 13 （5 分）已知向量a，b的夹角为 4 ，|2a ，| 2b ，则a b 2 【解答】解：因为向量a，b的夹角为 4 ，|2a ，| 2b ， 第 12 页（共 21 页） 22cos2 4 a b ； 故答案为：2 14 （5 分）已知定义在R上的

25、奇函数( ) xx f xeae，则a的值为 1 【解答】 解： 函数( )f x是定义在R上的奇函数，(0)0f， 00 (0)10feaea ， 解得1a 故答案为：1 15 （5 分）我国南宋数学家秦九韶撰写的名著数书九章第五卷提出了“三斜求积术” ， 即已加三角形三边长，求三角形面积的公式设三角形的三条边长分别为a，b，c，则三 角形的面积S，可由公式()()()Sp pa pb pc求得，其中p为三角形周长的一半，这 个公式也被称为“海伦秦九韶”公式，现有一个三角形的边长满足4c ，6p ，则三角 形面积的最大值为 4 3 【解答】解：4c ，6p ， 4 6 2 ab ，8ab 6

26、6 6(6)(6)22 3 (6)(6) 2 34 3 2 ab Sabab ，当且仅当4ab 时取等号 故答案为：4 3 16 （5 分）在ABC中，若sin(sincos)sin0ABBC，则角A的值为 4 ，当 sin 22sin 2BC取得最大值时，tan22tan2BC的值为 【解答】解：由sin (sincos )sin0ABBC， sinsinsincossin()0ABABAB sinsinsincossincoscossin0ABABABAB sin (sincos )0BAA 因为(0, )B， 所以sin0B ，从而cossinAA 由(0, )A，知 4 A 3 4 C

27、ABB ， 第 13 页（共 21 页） 由诱导公式，可得 33 sin22sin2sin22sin2()sin22sin(2 ) 42 BCBBBB sin22cos25sin(2)BBB，tan2， 当2 2 B 时取得最大值， 此时2 2 B ， tan(2)2 2 B ， sin(2) 2 tan(2)2 2 cos(2) 2 B B B ，即 cos2 2 sin2 B B ，同取倒数可得： 1 tan2 2 B， 1 tan2 2 B ，可得 331 tan2tan2()tan(2 )2 42tan2 CBB B ， 19 tan22tan22( 2) 22 BC 故答案为： 4

28、， 9 2 三、解答题： （本大题共三、解答题： （本大题共 5 小题，共小题，共 70 分分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17（12 分） 已知四棱锥PABCD中， 底面ABCD为菱形， 且60ABC，PAPCAB， 过侧面PAD中线AE的一个平面与直线PD垂直，并与此四棱锥的面相交，交线围成一 个平面图形 （1）画出这个平面图形，并证明PD 平面； （2）若PBPD，求平面与平面PAB所成的锐二面角的余弦值 【解答】解： （1） 连接AC，CE，ACE即为所求， ABCD是菱形，ADAB，又PAAB，ADPA， E为PD中点，AEPD，

29、同理CEPD， 又AECEE，AE，CE，PD； （2） 第 14 页（共 21 页） 连接BD，交AC于O，连接PO， ABCD是菱形，ACBD，且O为AC，BD中点， PAPC，ACPO，同理BDPO，又ACBDO，AC，BD 平面ABCD， PO面ABCD， 以O为原点，OB为x轴，OC为y轴，OP为z轴，建立空间直角坐标系， 设2PAPCAB，60ABC，2,2 3ACBD， 各 点 坐 标 为 (0, 1,0), ( 3,0,0),(3,0,0), (0,0, 3)( 3,0, 3),( 3,1,0),(0,1, 3)ABDPDPABAP PD，平面的一个法向量为( 3,0, 3)D

30、P ， 设平面PAB的一个法向量为( , , )nx y z， 则 0 0 n AB n AP ，即 30 30 xy yz ，设1x ，则3,1yz ，(1,3,1)n ， 设平面与平面PAB所成的锐二面角大小为， 则 2 310 cos|cos,| | 5|65 n DP n DP nDP ， 综上平面与平面PAB所成的锐二面角余弦值为 10 5 18 （12 分）已知数列 n a满足： n a n 是公比为 2 的等比数列， 2 n n a 是公差为 1 的等差数 列 （1）求 1 a， 2 a的值； （2）试求数列 n a的前n项和 n S 【解答】解： （1）方法一： n a n 是

31、公比为 2 的等比数列， 21 2 21 aa ， 21 4aa， 又 2 n n a 是公差为 1 的等差数列， 21 21 1 22 aa ， 第 15 页（共 21 页） 解得 1 2 2 8 a a ； 方法二： n a n 构成公比为 2 的等比数列， 1 1 2 n n a n a n ， 1 (1) 2 nn n aa n 又 2 n n a 构成公差为 1 的等差数列， 1 1 1 22 nn nn aa 由解得：2n n an， 所以 1 2 2 8 a a ； （2） 11 22 1 nnn aa n ，2n n an， 方法一： 123 123 1 22 23 22n n

32、n Saaaan， 2341 21 22 23 22n n Sn ， 两式作差可得： 23111 2(12 ) 222222(1) 22 12 n nnnn n Snnn ， 1 (1) 22 n n Sn ； 方法二： 1 2(22) 2(24) 2() nnn n annnnN ， 设 1 (24) 2n n bn ，则 1nnn abb ， 122132111 ()()()(22) 22 n nnnnn Saaabbbbbbbbn 1 (1) 22 n n Sn 19 （12 分）某校辨论队计划在周六、周日各参加一场辨论赛，分别由正、副队长负责，已 知该校辩论队共有 10 位成员（包含正

33、、副队长） ，每场比赛除负责人外均另需 3 位队员（同 一队员可同时参加两天的比赛，正、副队长只能参加一场比赛） 假设正副队长分别将各自 比赛通知的信息独立、随机地发给辩论队 8 名队员中的 3 位，且所发信息都能收到 （1）求辩论队员甲收到队长或副队长所发比赛通知信息的概率； （2） 记辩论队收到正副队长所发比赛通知信息的队员人数为随机变量X， 求X的分布列及 其数学期望 第 16 页（共 21 页） 【解答】解： （1）设事件A表示：辩论队员甲收到队长的通知信息， 则 3 ( ) 8 P A ， 5 ( ) 8 P A ， 设事件B表示：辩论队员甲收到副队长的通知信息， 则 35 ( ),

34、 ( ) 88 P BP B， 设事件C表示辩论队员甲收到队长或副队长的通知信息， 则 2 539 ( )1( ) ( )1( ) 864 P CP A P B ， 所以辩论队员甲收到队长或副队长的通知信息的概率为 39 64 ； （2）由题意可得随机变量X可取值为 3，4，5，6， 则 3211 8865 3535 8888 115 (3), (4) 5656 CC C C P XP X C CC C ， 122 875 35 88 15 (5) 28 C C C P X C C ， 35 85 35 88 5 (6) 28 C C P X C C ， 所以随机变量X的分布列为： X 3 4

35、 5 6 P 1 56 15 56 15 28 5 28 其数学期望 11515539 ()3456 565628288 E X 20 （12 分）已知函数( )f xlnx （1）试判断函数( )( ) 1 ax g xf x x 的单调性； （2）若函数 1 ( )( )(1)(0)h xfxf xax a 在(0,)上有且仅有一个零点， 求证：此零点是( )h x的极值点； 求证： 1 2 21 32 eae （本题可能会用到的数据：1.65e ，20.7ln ，31.1)ln 【解答】解： （1） 2 222 1 2 1(2)1 ( ) (1)(1)(1) xa axax x g x

36、xxx xx ， 0x ， 1 2 22xaa x ，4a时，( ) 0g x恒成立， 第 17 页（共 21 页） 所以( )g x在(0,)单调递增，没有单调递减区间4a 时，设 2 ( )(2)1m xxax，则 对称轴 0 2 0 2 a x ， 2 40aa， 解不等式( )0m x 可得： 2 (2)4 2 aaa x ，或 2 (2)4 2 aaa x ， 所以此时( )g x的单调递增区间为 2 (2)4 (0,) 2 aaa 和 2 (2)4 (,) 2 aaa 单调递减区间是 22 (2)4(2)4 (,) 22 aaaaaa ， 综上：4a时，单调递增区间是(0,)，没有

37、单调递减区间：4a 时，单调递增区间 为 2 (2)4 (0,) 2 aaa 和 2 (2)4 (,) 2 aaa ， 单调递减区间是 22 (2)4(2)4 (,) 22 aaaaaa ； （2）证明： 1 ( )( )(1)(1) x h xfxf xaxeln xax ， 1 ( ) 1 x h xea x 在(0,)单调递增，又因为(0)0ha ， (1) 1(1) ( (1)0 (1)1(1)1 ln a ln a h ln aea ln aln a 0 (0x，(1)ln a， 使得 0 ()0h x， 且 0 ( 0 , )xx时，( )0h x， 0 (xx，)时，( )0h

38、x， ( )h x在 0 (0,)x单调递减， 0 (x，)单调递增， ( )h x在(0,)上有且仅有一个零点， 此零点为极小值点 0 x； 由得 0 0 ()0 ()0 h x h x ，即 0 0 0 00 1 0 1 (1)0 x x ea x eln xax ， 解得： 0 0 1 1 x ae x ，且 0 0 00 0 (1)(1)0 1 x x xeln x x ， 设( )(1)(1) 1 x x u xx eln x x ，(0x，(1)ln a ， 22 111 ( )() 1(1)(1) xx u xx ex e xxx ， 第 18 页（共 21 页） 则( )u x

39、在(0x，(1)ln a单调递减， 因为 1131 ( )3 2223 ueln， 1 (1)20 2 uln ， 0 1 ( ,1) 2 x ， 又因为 1 ( ) 1 x v xe x 在 1 ( ,1) 2 单调递增， 1 2 12 ( ) 23 ve， 1 (1) 2 ve， 1 2 21 32 eae 21 （12 分）已知离心率为 1 2 的椭圆 22 22 :1(0) xy Eab ab 的左顶点为A，且椭圆E经过 3 (1, ) 2 P，与坐标轴不垂直的直线l与椭圆E交于C，D两点 （1）求椭圆E的标准方程； （2）若直线AC和直线AD的斜率之积为 9 4 ，求证：直线l过定点

40、； （3）若B为椭圆E上一点，且0OCODOB，求三角形BCD的面积 【解答】解： （1） 1 2 c a ，2 ,3ac bc， 22 22 1 43 xy cc ，又椭圆E经过点 3 (1, ) 2 ， 1c ，椭圆E的标准方程为 22 1 43 xy ； （2）证明：方法一：设直线l的方程为ykxm，设 1 (C x， 1) y， 2 (D x， 2) y， 联立方程组 22 1 43 xy ykxm ，化简得 222 (43)84120kxkmxm， 由0解得 22 34km，且 12 2 8 43 km xx k ， 2 12 2 412 43 m x x k ， 1212 1212

41、 9 22224 ACAD yykxm kxm kk xxxx ， 22 1212 (49)(418)()4360kx xkmxxm， 2 22 22 4128 (49)(418)4360 4343 mkm kkmm kk ， 化简可得： 22 230kkmm，km或2km（舍)，满足0， 直线l的方程为ykxk， 直线l经过定点( 1,0) 方法二：设l的方程为xmyn，设 1 (C x， 1) y， 2 (D x， 2) y， 第 19 页（共 21 页） 联立方程组 22 1 43 xy xmyn ， 化简得 222 (34)63120mymnyn， 0解得： 22 34mn， 且 12

42、 2 6 34 mn yy m ， 2 12 2 312 34 n y y m ， 1212 1212 9 22(2)(2)4 ACAD yyy y kk xxmynmyn ， 22 1212 (94)9 (2)()9(2)0my ym nyyn， 2 22 22 3126 (94)9 (2)9(2)0 3434 nmn mm nn mm ， 化简可得： 2 320nn，1n 或者2n （舍)满足0 直线l经过定点( 1,0)； 方法三：设 2xx yy ，则有 22 (2)() 1 43 xy ， 22 ( )() 0 43 xy x ， 设l方程为1mxny， 22 ( )() ()0 4

43、3 xy x mxny ， 2 1 0 34 k nkm， 12 1 9 4 1 4 3 m k k ，1m， :1l xny，21xny ，1xny ， 直线l经过定点( 1,0)； （3）方法一：设直线l的方程为ykxm，设 1 (C x， 1) y， 2 (D x， 2) y， 联立方程组 22 1 43 xy ykxm ，化简得 222 (43)84120kxkmxm， 由 22 48(43)0km，且 12 2 8 43 km xx k ， 2 12 2 412 43 m x x k ， 0OCODOB，点 12 (Bxx， 12) yy， 又点B在椭圆E上， 22 1212 ()() 1 43 xxyy ， 2222 11221212 22 1 434343 xyxyx xy y ， 1212 1 432 x xy y ， 22 22 121