2020年湖南省岳阳市汨罗市高考数学一模试卷（理科）.docx

1、 第 1 页（共 23 页） 2020 年湖南省岳阳市汨罗市高考数学一模试卷（理科）年湖南省岳阳市汨罗市高考数学一模试卷（理科） 一、选择题（本大题共一、选择题（本大题共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只分在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的）有一项是符合题目要求的） 1（5分） 已知全集UR， 集合 2 |23 0Ax xx ， 集合 2 |log1Bxx， 则() ( U AB ) A(2，3 B C 1，0)(2，3 D 1，0(2， 3 2 （5 分）已知实数0x ，0y ，则“224 xy ”是“1xy”的( )

2、A充要条件 B必要不充分条件 C充分不必要条件 D既不充分也不必要条件 3 （5 分）在等比数列 n a中，若 2 2a， 3 3a， 4 4a成等差数列，则公比q为( ) A1 B2 C1 或 1 2 D 1 2 4 （5 分）图 1 是某高三学生进入高中三年来的数学考试成绩茎叶图，第 1 次到 12 次的考 试成绩依次记为 1 A， 2 A， 12 A图 2 是统计茎叶图中成绩在一定范围内考试次数的 一个算法流程图那么算法流程图输出的结果是( ) 第 2 页（共 23 页） A8 B9 C10 D11 5（5 分） 若直线20(0axbya、0)b 截得圆 22 (2)(1)1xy的弦长为

3、 2， 则 12 ab 的最小值为( ) A4 B6 C8 D10 6 （5 分）我国著名数学家华罗庚先生曾说：数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合 百般好，隔裂分家万事休在数学的学习和研究中，常用函数的图象来研究函数的性质，也 常用函数的解析式来琢磨函数的图象的特征 如函数 21 ( )cos 21 x x f xx 的图象大致是( ) A B C D 第 3 页（共 23 页） 7 （5 分）函数sin3cosyxx的图象可由函数sin3cosyxx的图象至少向右平移( )个单位长度得到 A 6 B 3 C 2 D 2 3 8 （5 分）平面向量a与b的夹角为60，(2,0)a ，|2

4、 | 2 3ab，则| (b ) A3 B1 C2 D31 9 （5 分）如图，AB和CD是圆O两条互相垂直的直径，分别以OA，OB，OC，OD为 直径作四个圆，在圆O内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率是( ) A 2 1 B 11 2 C 2 D 1 10 （5 分）设函数( )f x的定义域为R，满足2 (1)( )f xf x，且当(0x，1时， ( )(1)f xx x 若对任意xm，)，都有 8 ( ) 9 f x ，则m的取值范围是( ) A 7 ,) 6 B 5 ,) 3 C 5 ,) 4 D 4 ,) 3 11 （5 分）SC是球O的直径，A、B是该球面上两点，3AB ，3

5、0ASCBSC ， 棱锥SABC的体积为3，则球O的表面积( ) A4 B8 C16 D32 12 （5 分）关于函数 2 ( )f xlnx x ，下列说法正确的是( ) （1）2x 是( )f x的极小值点； （2）函数( )yf xx有且只有 1 个零点； （3） 1 ( ) 2 f xx恒成立； （4）设函数 2 ( )( )4g xxf xx ，若存在区间 1 , ,) 2 a b ，使( )g x在a，b上的值域 是 (2)k a ，(2)k b，则 92 2 (1, 10 ln k 第 4 页（共 23 页） A （1） （2） B （2） （4） C （1） （2） （4） D

6、 （1） （2） （3） （4） 二、填空题（本大题共二、填空题（本大题共 4 小题，共小题，共 20 分把答案填在题中的横线上）分把答案填在题中的横线上） 13 （5 分）已知单位向量a与向量(1,2)b 方向相同，则向量a的坐标是 14 （5 分）已知ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，若60B ，27bc， 则sin A的值为 15 （5 分）2019 年 1 月 1 日起新的个人所得税法开始实施，依据中华人民共和国个人所 得税法可知纳税人实际取得工资、薪金（扣除专项、专项附加及依法确定的其他）所得不 超过 5000 元（俗称“起征点” )的部分不征税，超出 5000 元部分为

7、全月纳税所得额新 的税率表如下： 2019 年 1 月 1 日后个人所得税税率表 全月应纳税所得额 税率(%) 不超过 3000 元的部分 3 超过 3000 元至 12000 元的部分 10 超过 12000 元至 25000 元的部分 20 超过 25000 元至 35000 元的部分 25 个人所得税专项附加扣除是指个人所得税法规定的子女教育、继续教育、大病医疗、住房贷 款利息、住房租金和赡养老人等六项专项附加扣除其中赡养老人一项指纳税人赡养 60 岁 （含)以上父母及其他法定赡养人的赡养支出， 可按照以下标准扣除： 纳税人为独生子女的， 按照每月 2000 元的标准定额扣除；纳税人为非

8、独生子女的，由其与兄弟姐妹分摊每月 2000 元的扣除额度，每人分摊的额度不能超过每月 1000 元某纳税人为独生子，且仅符合规定 中的赡养老人的条件， 如果他在 2019 年 10 月份应缴纳个人所得税款为 390 元， 那么他当月 的工资、薪金税后所得是 元 16 （5 分）函数(15sin7)cosyxx的最大值是 三、 解答题 （本大题共三、 解答题 （本大题共 5 小题， 共小题， 共 70 分 解答应写出文字说明、 证明过程或演算步骤） （一）分 解答应写出文字说明、 证明过程或演算步骤） （一） 必考题：共必考题：共 60 分分 17 （12 分）已知等差数列 n a的前n项和为

9、 n S，公差d为整数， 5 35S ，且 2 a， 3 1a ， 6 a成等比数列 第 5 页（共 23 页） （1）求数列 n a的通项公式； （2）设数列 n b满足 1 1 n nn b a a ，求数列 n b的前n项和 n T 18（12 分） 已知四棱锥EABCD，3AB ，4BC ，12CD ，13AD ， 12 cos 13 ADC， EC 平面ABCD （1）求证：平面ABE 平面EBC； （2）当60CE 时，求直线AC和平面ADE所成角的正弦值 19 （12 分）已知椭圆 22 22 :1(0) xy Cab ab 的离心率为 3 2 ，短轴长为 2 （）求椭圆T的标准

10、方程； （）若直线:(0)l ykxm k与椭圆C交于不同的两点M，N，且线段MN的垂直平分 线过定点(1,0)，求实数k的取值范围 20 （12 分）已知函数( )(1)f xlnxa x （1）若函数( )f x的图象与x轴相切，求实数a的值； （2）讨论函数( )f x的零点个数 21（12 分） 冠状病毒是一个大型病毒家族， 已知可引起感冒以及中东呼吸综合征()MERS和 严重急性呼吸综合征()SARS等较严重疾病 而今年出现在湖北武汉的新型冠状病毒()nCoV 是以前从未在人体中发现的冠状病毒新毒株 人感染了新型冠状病毒后常见体征有呼吸道症 状、发热、咳嗽、气促和呼吸困难等在较严重病

11、例中感染可导致肺炎、严重急性呼吸综合 征、肾衰竭，甚至死亡 某医院为筛查冠状病毒，需要检验血液是否为阳性，现有 * ()n nN份血液样本，有以下两 种检验方式： 方式一：逐份检验，则需要检验n次 方式二：混合检验，将其中 * (k kN且2)k份血液样本分别取样混合在一起检验，若检验 一次就够了，如果检验结果为阳性，为了明确这k份血液究竟哪几份为阳性，就要对这k份 再逐份检验，此时这k份血液的检验次数总共为1k 第 6 页（共 23 页） 假设在接受检验的血液样本中， 每份样本的检验结果是阳性还是阴性都是独立的， 且每份样 本是阳性结果的概率为(01)pp现取其中 * (k kN且2)k份血

12、液样本，记采用逐份检 验方式，样本需要检验的总次数为 5，采用混合检验方式，样本需要检验的总次数为 2 （1）若 12 ( )()EE，试求关于k的函数关系式( )Pf k； （2）若P与干扰素计量 n x相关，其中 1 x， 2 x，(2) n x n是不同的正实数，满足 1 1x 且 *( 2)nNn 都有 1222 1 3 22 1 121 n nni i ii xxx e x xxx 成立 ( ) i求证：数列 n x为等比数列； ( )ii当 3 4 1 1P x 时，采用混合检验方式可以使得样本需要检验的总次数的期望值比逐份检 验的总次数的期望值更少，求k的最大值 （二）选考题：共

13、（二）选考题：共 10 分请考生在第分请考生在第 22，23 题中任选一题作答如果多做，则按所做的题中任选一题作答如果多做，则按所做的 第一题计分第一题计分选修选修 4-4：坐标系与参数方程：坐标系与参数方程 22 （10 分）在平面直角坐标系xOy中，倾斜角为() 2 的直线l的参数方程为 cos ( 1sin xt t yt 为参数） 以坐标原点为极点，以x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲 线C的极坐标方程是 2 sin4cos0 （）写出直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程； （） 若直线l经过曲线C的焦点F且与曲线C相交于A，B两点， 设线段AB的中点为Q， 求|FQ的值 选修选修

14、 4-5：不等式选讲：不等式选讲 23设函数 4 ( ) |1|,(0)f xxaxa a （）证明：( ) 5f x ； （）若f（1）6成立，求实数a的取值范围 第 7 页（共 23 页） 2020 年湖南省岳阳市汨罗市高考数学一模试卷（理科）年湖南省岳阳市汨罗市高考数学一模试卷（理科） 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题（本大题共一、选择题（本大题共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只分在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的）有一项是符合题目要求的） 1（5分） 已知全集UR， 集合 2 |23 0Ax xx

15、 ， 集合 2 |log1Bxx， 则() ( U AB ) A(2，3 B C 1，0)(2，3 D 1，0(2， 3 【解答】解：全集UR，集合 2 |23 0 | 13Ax xxxx剟?， 集合 2 |log1 |02Bxxxx剟， |0 U C Bx x或2x ， () | 10 U ABxx 剟或23 1x ，0(2，3 故选：D 2 （5 分）已知实数0x ，0y ，则“224 xy ”是“1xy”的( ) A充要条件 B必要不充分条件 C充分不必要条件 D既不充分也不必要条件 【解答】解：实数0x ，0y ，则“224 xy ” 2 2 24 xy ，化为：24 x y ， 2x

16、y 22xy，化为1xy反之不成立，例如4x ， 1 6 y 实数0x ，0y ，则“224 xy ”是“1xy”的充分不必要条件 故选：C 3 （5 分）在等比数列 n a中，若 2 2a， 3 3a， 4 4a成等差数列，则公比q为( ) A1 B2 C1 或 1 2 D 1 2 【解答】解：等比数列 n a中，若 2 2a， 3 3a， 4 4a成等差数列， 可得 324 624aaa， 即有 23 111 32a qa qa q， 第 8 页（共 23 页） 即为 2 2310qq ， 解得1q 或 1 2 ， 故选：C 4 （5 分）图 1 是某高三学生进入高中三年来的数学考试成绩茎

17、叶图，第 1 次到 12 次的考 试成绩依次记为 1 A， 2 A， 12 A图 2 是统计茎叶图中成绩在一定范围内考试次数的 一个算法流程图那么算法流程图输出的结果是( ) A8 B9 C10 D11 【解答】解：根据题意，模拟程序框图的运行过程，得出该程序框图运行输出的是 茎叶图所有数据中大于 90 的数据的个数n， 由茎叶图知，9n 故选：B 5（5 分） 若直线20(0axbya、0)b 截得圆 22 (2)(1)1xy的弦长为 2， 则 12 ab 的最小值为( ) A4 B6 C8 D10 【解答】解：由题意圆心坐标为：( 2, 1)，半径1，所以圆心代直线的距离为： 第 9 页（

18、共 23 页） 22 | 22|ab d ab ， 所以弦长 2 22 | 22| 22 1() ab ab ，整理可得：22ab，0a ，0b ， 所以 1212 11414 ()(2)(22)(42)4 222 baba ab abababa b ，所以最小值为 4， 故选：A 6 （5 分）我国著名数学家华罗庚先生曾说：数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合 百般好，隔裂分家万事休在数学的学习和研究中，常用函数的图象来研究函数的性质，也 常用函数的解析式来琢磨函数的图象的特征 如函数 21 ( )cos 21 x x f xx 的图象大致是( ) A B C D 【解答】解： 2112

19、 ()cos()cos( ) 2112 xx xx fxxxf x ，故函数( )f x为奇函数，其图象 关于原点对称，故排除AC； 当0x 时，( )f x ，故排除D； 故选：B 7 （5 分）函数sin3cosyxx的图象可由函数sin3cosyxx的图象至少向右平移( )个单位长度得到 A 6 B 3 C 2 D 2 3 【解答】解：sin3cos2sin() 3 yxxx ， sin3cos2sin() 3 yxxx ， 2 2sin()2sin() 333 yxx ， 第 10 页（共 23 页） 即函数sin3cosyxx的图象可由函数sin3cosyxx的图象至少向右平移 2

20、3 的单 位得到， 故选：D 8 （5 分）平面向量a与b的夹角为60，(2,0)a ，|2 | 2 3ab，则| (b ) A3 B1 C2 D31 【解答】解：由已知 222 | 2,|2 |44aabaa bb 2 442 | cos604|12bb ，| 1b ， 故选：B 9 （5 分）如图，AB和CD是圆O两条互相垂直的直径，分别以OA，OB，OC，OD为 直径作四个圆，在圆O内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率是( ) A 2 1 B 11 2 C 2 D 1 【解答】解：设大圆的半径为 2，则小圆的半径为 1， 1 4168 42 S 白 ， 设“此点取自阴影部分”为事件A，

21、 由几何概型中的面积型可得： 则P（A） 82 111 4 S S 白 大圆 ， 故选：A 10 （5 分）设函数( )f x的定义域为R，满足2 (1)( )f xf x，且当(0x，1时， ( )(1)f xx x 若对任意xm，)，都有 8 ( ) 9 f x ，则m的取值范围是( ) A 7 ,) 6 B 5 ,) 3 C 5 ,) 4 D 4 ,) 3 【解答】解：作出当(0x，1时，( )(1)f xx x 的图象，由2 (1)( )f xf x，可得 第 11 页（共 23 页） 将( )yf x在(0，1的图象向左平移 1 个，2 个，3 个单位， 同时点的纵坐标伸长到原来的

22、2 倍，4 倍，8 倍， 将( )yf x在(0，1的图象每向右平移 1 个，2 个，3 个单位， 同时点的纵坐标缩短到原来的 1 2 倍， 1 4 倍， 1 8 倍， 作出直线 8 9 y ，如图所示： 对任意xm，)，都有 8 ( ) 9 f x ，可得只要找直线 8 9 y 与( )( 21)f xx 的右边的交 点， 由 8 4(1)(2) 9 xx，解得 45 ( 33 x 舍去） ， 则 4 3 m， 故选：D 11 （5 分）SC是球O的直径，A、B是该球面上两点，3AB ，30ASCBSC ， 棱锥SABC的体积为3，则球O的表面积( ) A4 B8 C16 D32 【解答】解

23、：如图，SC是球O的直径，可得SCA，SCB是直角三角形， 30ASCBSC ，3SASBR，(R为球半径） ， 作ADSC于D，连接DB，可得 3 2 ADBDR， 3AB ， 222 13 ()1 224 ABD AB SABADR 2 13 123 34 RR ，解得2R ， 则球O的表面积为 2 416R 第 12 页（共 23 页） 故选：C 12 （5 分）关于函数 2 ( )f xlnx x ，下列说法正确的是( ) （1）2x 是( )f x的极小值点； （2）函数( )yf xx有且只有 1 个零点； （3） 1 ( ) 2 f xx恒成立； （4）设函数 2 ( )( )4

24、g xxf xx ，若存在区间 1 , ,) 2 a b ，使( )g x在a，b上的值域 是 (2)k a ，(2)k b，则 92 2 (1, 10 ln k A （1） （2） B （2） （4） C （1） （2） （4） D （1） （2） （3） （4） 【解答】解： （1）定义域为(0,)， 2 2 ( ) x fx x ， 令( )0fx，则2x ，所以函数( )f x在(0,2)上单调递减，在(2,)上单调递增 所以2x 是( )f x的极小值点，即（1）正确； （2）令 2 ( )( )g xf xxlnxx x ，则 2 2 2 ( )0 xx g x x 恒成立 所以函

25、数( )g x在(0,)上单调递减 而g（1）2110 ， 222 2 2 ()230g eee e 所以函数( )yf xx有且只有 1 个零点，即（2）正确； （3）令 1 ( )( ) 2 h xf xx，原问题转化为( )0h x 恒成立， 2 2 24 ( )0 2 xx h x x 恒成立，所以函数( )h x在(0,)上单调递减， 第 13 页（共 23 页） 由于 22 2 2 2 ()230 22 ee h e e ， 所以( )0h x 不可能恒成立，即（3）错误； （4） 22 ( )( )42g xxf xxxxlnx ，则( )21g xxlnx，令( )21t xx

26、lnx，则 1 ( )2t x x ， 所以( )t x在 1 ,) 2 上单调递增， 1 ( )( )20 2 t xtln，所以( )g x在 1 ,) 2 上单调递增 因为 1 , ,) 2 a b ，所以( )g x在a，b上单调递增 因为( )g x在a，b上的值域为 (2)k a ，(2)k b，所以 ( )(2) ( )(2) g ak a g bk b ， 即方程( )(2)g xk x在 1 ,) 2 上有a，b两个不同解，所以 ( ) 2 g x k x ， 令 2 ( )21 ( )() 222 g xxxlnx F xx xx ， 则 2 2 324 ( ) (2) x

27、xlnx F x x ， 令 2 ( )324G xxxlnx，则 (21)(2) ( )0 xx G x x ， 所以( )G x在 1 ,) 2 上单调递增，而 1 ( )0,(1)0 2 GG， 所以当 1 ,1) 2 x时，( )0G x 即( )0F x；当1x，)时，( ) 0G x 即( ) 0F x， 因此( )F x在 1 ,1) 2 上单调递减，在1，)上单调递增， 所以F（1） 1 ( ) 2 k F ，即 922 1 10 ln k ，所以（4）正确 故选：C 二、填空题（本大题共二、填空题（本大题共 4 小题，共小题，共 20 分把答案填在题中的横线上）分把答案填在题

28、中的横线上） 13 （5 分）已知单位向量a与向量(1,2)b 方向相同，则向量a的坐标是 5 2 5 (,) 55 【解答】解：设向量( , )ax y，则 22 1 2 xy xy ， 解得 5 5 2 5 5 x y 或 5 5 2 5 5 x y ， 第 14 页（共 23 页） 由于向量a与向量b方向相同，所以 5 2 5 (,) 55 a 故答案是： 5 2 5 (,) 55 14 （5 分）已知ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，若60B ，27bc， 则sin A的值为 3 21 14 【解答】解：由正弦定理得 2321 sinsin 277 c CB b ， 因为2

29、7bc，所以bc，角C为锐角， 212 7 cos1 497 C ， 则 32 71213 21 sinsin()sincoscossin 272714 ABCBCBC 故答案为： 3 21 14 15 （5 分）2019 年 1 月 1 日起新的个人所得税法开始实施，依据中华人民共和国个人所 得税法可知纳税人实际取得工资、薪金（扣除专项、专项附加及依法确定的其他）所得不 超过 5000 元（俗称“起征点” )的部分不征税，超出 5000 元部分为全月纳税所得额新 的税率表如下： 2019 年 1 月 1 日后个人所得税税率表 全月应纳税所得额 税率(%) 不超过 3000 元的部分 3 超过

30、 3000 元至 12000 元的部分 10 超过 12000 元至 25000 元的部分 20 超过 25000 元至 35000 元的部分 25 个人所得税专项附加扣除是指个人所得税法规定的子女教育、继续教育、大病医疗、住房贷 款利息、住房租金和赡养老人等六项专项附加扣除其中赡养老人一项指纳税人赡养 60 岁 （含)以上父母及其他法定赡养人的赡养支出， 可按照以下标准扣除： 纳税人为独生子女的， 按照每月 2000 元的标准定额扣除；纳税人为非独生子女的，由其与兄弟姐妹分摊每月 2000 元的扣除额度，每人分摊的额度不能超过每月 1000 元某纳税人为独生子，且仅符合规定 中的赡养老人的条

31、件， 如果他在 2019 年 10 月份应缴纳个人所得税款为 390 元， 那么他当月 第 15 页（共 23 页） 的工资、薪金税后所得是 12610 元 【解答】解：当工资、薪金为 8000 元时，缴纳税款30003%90（元)； 当工资、薪金为 17000 元时，缴纳税款30003%9000 10%990（元)， 所以他的工资、薪金在800017000元之间， 设工资、薪金为x元，则3000 3%(10000) 10%390x，解得：13000x ， 所以税后所得为1300039012610（元)， 故答案为：12610 16 （5 分）函数(15sin7)cosyxx的最大值是 64

32、5 【解答】解：方法一： 2222 15cos(15sin7)sin15cos15sin7sin30sin7sin15(5sin3)(6sin5)yxxxxxxxxxx ， 令0y，得 3 sin 5 x 或 5 sin 6 x ， 因为函数的定义域为R，所以函数若存在最大值， 则最大值应在极大值处取到， 当 3 sin 5 x ， 4 cos 5 x 时，函数的最大值为 64 5 方法二：因为 22 16sin9cos24sin cosxxxx，当4sin3cosxx时，等号成立； 2 168 7(cos) 7cos 255 xx，当 4 cos 5 x 时，等号成立， 所以 222 168

33、 16sin9cos7(cos) 24sin cos7cos 255 xxxxxx， 即 8167 24sin cos7cos16 525 xxx ， 764 3sin coscos 525 xxx， 64 15sin cos7cos 5 xxx， 当 4 cos 5 x ， 3 sin 5 x 时，等号成立， 因此函数(15sin7)cosyxx的最大值是 64 5 胡答案为： 64 5 三、 解答题 （本大题共三、 解答题 （本大题共 5 小题， 共小题， 共 70 分 解答应写出文字说明、 证明过程或演算步骤） （一）分 解答应写出文字说明、 证明过程或演算步骤） （一） 必考题：共必考

34、题：共 60 分分 第 16 页（共 23 页） 17 （12 分）已知等差数列 n a的前n项和为 n S，公差d为整数， 5 35S ，且 2 a， 3 1a ， 6 a成等比数列 （1）求数列 n a的通项公式； （2）设数列 n b满足 1 1 n nn b a a ，求数列 n b的前n项和 n T 【解答】解： （1）由 53 535Sa，得 3 7a ， 由 2 a， 3 1a ， 6 a成等比数列，得 2 263 (1)64a aa， 即 33 ()(3 )64ad ad，整理得 2 314150dd， 又因为公差d为整数，所以3d ， 所以数列 n a的通项公式为32 n a

35、n （2） 1 11111 () (32)(31)3 3231 n nn b a annnn ， 所以 123nn Tbbbb 11111111 (1)()()() 34477103231nn 11 (1) 331n 31 n n 18（12 分） 已知四棱锥EABCD，3AB ，4BC ，12CD ，13AD ， 12 cos 13 ADC， EC 平面ABCD （1）求证：平面ABE 平面EBC； （2）当60CE 时，求直线AC和平面ADE所成角的正弦值 【解答】解： （1）在ADC中，由余弦定理可得， 222 2cosACADDCAD DCADC， 22 12 13122 12 132

36、5 13 ， 第 17 页（共 23 页） 故5AC ， 222 ABBCAC，即ABBC， 又EC 平面ABCD，AB平面ABCD， 所以ECAB，ECBCC， 所以AB 平面EBC， 又AB平面ABE， 所以平面ABE 平面BCE， （2）由（1）知ACCD， 又EC 平面ABCD， 所以AC，CD，EC两两垂直，以C为 原点，以CD，CA，CE分别为x，y，z轴建立 空间直角坐标系， 由题意可得，(0C，0，0)，(0A，5，0)，(12，0，0)，E(0，0，60)， 则(12AD ，5，0)，(0AE ，5，60)， 设( , , )nx y z为平面ADE的一个法向量，由 0 0

37、AD n AE n 可得 1250 5600 xy xz ， 令1z 可得，(5n ，12，1)， 而(0AC ，5，0)，设直线AC与平面ADE所成的角为， 则 222 |055 120 1|6 170 sin 85| 55121 AC n ACn ， 即直线AC与平面ADE所成的角的正弦值为 6 170 85 第 18 页（共 23 页） 19 （12 分）已知椭圆 22 22 :1(0) xy Cab ab 的离心率为 3 2 ，短轴长为 2 （）求椭圆T的标准方程； （）若直线:(0)l ykxm k与椭圆C交于不同的两点M，N，且线段MN的垂直平分 线过定点(1,0)，求实数k的取值

38、范围 【解答】解： （）由题意可知： 222 22 3 2 b c a abc ，得 2 1 3 a b c ， 故椭圆C的标准方程为 2 2 1 4 x y （4 分） （）设 1 (M x， 1) y， 2 (N x， 2) y，将ykxm代入椭圆方程， 消去y得 222 (14)8440kxkmxm， 所以 222 (8)4(14)(44)0kmkm，即 22 41mk 由根与系数关系得 12 2 8 14 km xx k ，则 12 2 2 14 m yy k ，（6 分） 所以线段MN的中点P的坐标为 22 4 (,) 1414 kmm kk （8 分） 又线段MN的垂直平分线 l

39、的方程为 1 (1)yx k ， 由点P在直线 l 上，得 22 14 (1) 1414 mkm kkk ， 即 2 4310kkm ，所以 2 1 (41) 3 mk k （10 分） 由得 22 2 2 (41) 41 9 k k k ， 222 410419kkk ， 所以 2 1 5 k ，即 5 5 k 或 5 5 k ， 所以实数k的取值范围是 55 (,)(,) 55 （12 分） 20 （12 分）已知函数( )(1)f xlnxa x （1）若函数( )f x的图象与x轴相切，求实数a的值； （2）讨论函数( )f x的零点个数 【解答】解： （1） 1 ( ) ax fx

40、x ，令( )0fx，则 1 x a ， 因为函数( )f x的图象与x轴相切，所以 1 ( )0f a ， 第 19 页（共 23 页） 即 111 ( )(1)10flnaalna aaa ， 令( )1h xxlnx ，则 1 ( )1h x x ， 当01x时，( )0h x，函数( )h x单调递减； 当1x 时，( )0h x，函数( )h x单调递增，所以( )minh xh（1）0， 所以10alna 有唯一解1a ，即实数a的值为 1 （2） 1 ( ) ax fx x ， 当0a时，( )0fx，函数( )f x在(0,)上单调递增，且f（1）0，函数有唯一零点； 当0a

41、时 ， 函 数( )f x在 1 (0,) a 上 单 调 递 增 ， 在 1 (,) a 上 单 调 递 减 ， 1 ( )( )1 max f xfalna a ， 由（1）( )1h xxlnx 的单调性知： （）当1a 时，( )0 max f x，所以函数只有一个零点； （）当01a时， 1 ( )10falna a ，f（1）0，所以函数( )f x在 1 (0,) a 上有一个 零点， 2 11 ()2falna aa ， 令 1 ( )2p xxlnx x ，则 2 22 12(1) ( )10 x p x xxx ， 所以函数( )p x在(0,)上单调递增，又p（1）0，

42、当01x时，( )0p x ，所以 2 11 ()20falna aa ， 所以函数( )f x在 1 (,) a 上有一个零点， 所以函数( )f x在(0,)上有两个零点； （）当1a 时，f（1）0， 1 ( )10falna a ，所以函数( )f x在 1 (,) a 上有一个零 点， 当 1 0 a x e 时，lnxa ，( )(1)(1)0f xlnxa xaa xax ， 所以函数( )f x在 1 (0,) a 上有一个零点， 所以函数( )f x在(0,)上有两个零点， 综上，当0a或1a 时，函数( )f x有唯一零点； 第 20 页（共 23 页） 当01a或1a 时

43、，函数( )f x有两个零点 21（12 分） 冠状病毒是一个大型病毒家族， 已知可引起感冒以及中东呼吸综合征()MERS和 严重急性呼吸综合征()SARS等较严重疾病 而今年出现在湖北武汉的新型冠状病毒()nCoV 是以前从未在人体中发现的冠状病毒新毒株 人感染了新型冠状病毒后常见体征有呼吸道症 状、发热、咳嗽、气促和呼吸困难等在较严重病例中感染可导致肺炎、严重急性呼吸综合 征、肾衰竭，甚至死亡 某医院为筛查冠状病毒，需要检验血液是否为阳性，现有 * ()n nN份血液样本，有以下两 种检验方式： 方式一：逐份检验，则需要检验n次 方式二：混合检验，将其中 * (k kN且2)k份血液样本分别取样混合在一起检验，若检验 一次就够了，如果检验结果为阳性，为了明确这k份血液究竟哪几份为阳性，就要对这k份 再逐份检验，此时这k份血液的检验次数总共为1k 假设在接受检验的血液样本中， 每份样本的检验结果是阳性还是阴性都是独立的， 且每份样 本是阳性结果的概率为(01)pp现取其中 * (k kN且2)k份血液样本，记采用逐份检 验方式，样本需要检验的总次数为 5，采用混合检验方式，样本需要检验的总次数为 2 （1）若 12 ( )()EE，试求关于k的函数关系式( )Pf k； （2）若P与干扰素计量 n x相关，其中